21.1一元二次方程第21章一元二次方程1.通過閱讀課本理解并掌握一元二次方程的概念，知道一元二次方程的一般形式，提高學(xué)生的運(yùn)算能力.2.通過完成習(xí)題可以把一個(gè)一元二次方程化為一般形式，正確識別二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)，發(fā)展了學(xué)生的類比思想和歸納能力.3.通過讓學(xué)生積極參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)，激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣，體會數(shù)學(xué)思考的快樂，培養(yǎng)運(yùn)用數(shù)學(xué)的意識.重點(diǎn)難點(diǎn)舊知回顧1.什么叫方程？我們學(xué)過哪些方程？2.什么叫一元一次方程？(方程：含有未知數(shù)的等式.一元一次方程、二元一次方程、分式方程)(只含有一個(gè)未知數(shù)（元），未知數(shù)的次數(shù)都是1，等號兩邊都是整式，這樣的方程叫做一元一次方程)課堂導(dǎo)入要設(shè)計(jì)一座2

m高的人體雕像，使雕像的上部(腰以上)與下部(腰以下)的高度比，等于下部與全部的高度比，雕像的下部應(yīng)設(shè)計(jì)為多高？

即．解：雕像上部的高度AC，下部的高度BC。

應(yīng)有如下關(guān)系：設(shè)雕像下部高xm，可得方程。整理得x2+2x?4=0．

x2=2(2?x)這個(gè)方程與我們學(xué)過的一元一次方程不同，x的最高次數(shù)是2．如何解這類方程？如何用這類方程解決一些實(shí)際問題？這就是本章我們要學(xué)習(xí)的內(nèi)容．ACB

2mx2-x想一想觀察下面等式：102＋112＋122＝132＋142

你還能找到五個(gè)連續(xù)整數(shù)，使前三個(gè)數(shù)的平方和等于后兩個(gè)數(shù)的平方和嗎？

如果設(shè)五個(gè)連續(xù)整數(shù)中的第一個(gè)數(shù)為x，那么后面四個(gè)數(shù)依次可表示為：根據(jù)題意，可得方程x2＋(x＋1)2

＋(x＋2)2＝(x＋3)2

＋(x＋4)2

，

，

，

．

x＋1x＋2x＋3x＋4如圖2，一個(gè)長為10m的梯子斜靠在墻上，梯子的頂端距地面的垂直距離為8m.如果梯子的頂端下滑1m.那么梯子的底端滑動(dòng)多少米？你能列出怎樣的方程？圖2解：根據(jù)勾股定理，可以計(jì)算出滑動(dòng)前梯子底端距墻6m.設(shè)梯子頂端下滑1m時(shí)，梯子底端滑動(dòng)xm，則可以列出方程(x+6)2+72=102，化成一般形式為x2+12x–15=0.觀察下列三個(gè)方程，它們有什么共同特點(diǎn)？議一議（8－2x）（5－2x）=18;x2＋(x＋1)2＋(x＋2)2＝(x＋3)2＋(x＋4)2

;(x+6)2+72=102.把a(bǔ)x2＋bx＋c＝0（a，b，c為常數(shù)，a≠0）稱為一元二次方程的一般形式，其中ax2，bx，c分別稱為二次項(xiàng)、一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)，a，b分別稱為二次項(xiàng)系數(shù)和一次項(xiàng)系數(shù)．上面的方程都是只含有一個(gè)未知數(shù)x的整式方程，并且可以化成ax2＋bx＋c＝0（a，b，c為常數(shù)，a≠0）的形式，這樣的方程叫做一元二次方程.思考

為什么一般形式中ax2+bx+c=0要限制a≠0，b、c可以為零嗎？當(dāng)

a=0時(shí)bx＋c=0當(dāng)

a≠0，b=0時(shí)

，ax2＋c=0當(dāng)

a≠0，c=0時(shí)

，ax2＋bx=0當(dāng)

a≠0，b=c=0時(shí)

，ax2

=0總結(jié)：只要滿足a≠0，b，

c

可以為任意實(shí)數(shù).知識精講C不是整式方程含兩個(gè)未知數(shù)化簡整理成x2-3x+2=0少了限制條件a≠0【點(diǎn)睛】判斷一個(gè)方程是不是一元二次方程，首先看是不是整式方程；如是再進(jìn)一步化簡整理后再作判斷.典例解析例1

下列選項(xiàng)中，關(guān)于x的一元二次方程的是（）

判斷下列方程是否為一元二次方程？(2)x3+x2=36(3)x+3y=36(4)x+1=0(1)x2+x=36變式練習(xí)例2a為何值時(shí)，下列方程為一元二次方程？(1)ax2－x=2x2(2)(a－1)x|a|+1

－2x－7=0.解：(1)將方程式轉(zhuǎn)化為一般形式，得(a-2)x2-x=0,所以當(dāng)a-2≠0，即a≠2時(shí)，原方程是一元二次方程；

(2)由∣a∣+1=2，且a-1≠0知，當(dāng)a=-1時(shí)，原方程是一元二次方程.【點(diǎn)睛】用一元二次方程的定義求字母的值的方法：根據(jù)未知數(shù)的最高次數(shù)等于2，列出關(guān)于某個(gè)字母的方程，再排除使二次項(xiàng)系數(shù)等于0的字母的值．典例解析已知關(guān)于x的方程.（1）當(dāng)m為何值時(shí)，此方程為一元二次方程？（2）當(dāng)m為何值時(shí)，此方程為一元一次方程？并求出此方程的解.針對練習(xí)思考：一元一次方程與一元二次方程有什么區(qū)別與聯(lián)系？ax=b(a≠0）ax2+bx+c=0(a≠0）整式方程，只含有一個(gè)未知數(shù)未知數(shù)最高次數(shù)是1未知數(shù)最高次數(shù)是2

已知方程的根求字母的值，只需要把方程的根代入方程中，得到一個(gè)關(guān)于這個(gè)字母的方程，然后解這個(gè)方程，就能得到字母的值.

拓展探究

拓展探究1、判斷下列各式哪些是一元二次方程．

是不是是不是不是是不是課堂練習(xí)方程一般形式二次項(xiàng)系數(shù)一次項(xiàng)系數(shù)常數(shù)項(xiàng)=62.把下列方程化成一般形式，并指出各項(xiàng)系數(shù)

14-123-8

60-962-1-9

-132022當(dāng)堂練習(xí)

1.

下列哪些是一元二次方程？√×√××√3x+2=5x-2x2=0(x+3)(2x-4)=x23y2=(3y+1)(y-2)x2=x3+x2-13x2=5x-1第二學(xué)程一元二次方程的根2.填空：方程一般形式二次項(xiàng)系數(shù)一次項(xiàng)系數(shù)常數(shù)項(xiàng)-21313-540-53-2第二學(xué)程一元二次方程的根4.已知方程5x2+mx-6=0的一個(gè)根為4，則ｍ的值為_______．3.關(guān)于x的方程(k2－1)x2＋

2(k－1)x＋

2k＋

2＝0,當(dāng)k

時(shí)，是一元二次方程．當(dāng)k

時(shí)，是一元一次方程．≠±1＝－14.(1)

如圖，已知一矩形的長為200cm,寬150cm.現(xiàn)在矩形中挖去一個(gè)圓，使剩余部分的面積為原矩形面積的四分之三.求挖去的圓的半徑xcm應(yīng)滿足的方程（其中π取3）.解：設(shè)由于圓的半徑為xcm，則它的面積為3x2

cm2.整理，得根據(jù)題意有，200cm150cm(2)

如圖，據(jù)某市交通部門統(tǒng)計(jì)，前年該市汽車擁有量為75萬輛，兩年后增加到108萬輛.求該市兩年來汽車擁有量的年平均增長率x應(yīng)滿足的方程.解：該市兩年來汽車擁有量的年平均增長率為x整理，得根據(jù)題意有，6.若關(guān)于x的一元二次方程（m+2)x2+5x+m2-4=0有一個(gè)根為0，求m的值.二次項(xiàng)系數(shù)不為零不容忽視解：將x=0代入方程m2-4=0，解得m=±2.∵m+2≠0，∴m≠-2，綜上所述：m=2.知識點(diǎn)2一元二次方程的一般形式3.[2023保定期中]方程2

x2－3

x

＝1的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系

數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別為(

D

)A.2，3，1B.2，－3，1C.2，3，－1D.2，－3，－1D2345678910111213141514.[2023廊坊期末]將方程(3

x

－2)(

x

＋1)＝8

x

－3化成一元二

次方程的一般形式后，二次項(xiàng)系數(shù)為

a

，一次項(xiàng)系數(shù)為

b

，常數(shù)項(xiàng)為

c

，則

a

＋

b

＋

c

＝

?.－3

2345678910111213141515.[2023石家莊月考]把下列方程化為一元二次方程的一般形

式，并指出它們的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng).(1)4

x2＝1－6

x

；(2)5

x

(

x

－2)＝4

x2－3

x

.解：(1)把4

x2＝1－6

x

化為一般形式為4

x2＋6

x

－1

＝0，它的二次項(xiàng)系數(shù)為4，一次項(xiàng)系數(shù)為6，常數(shù)項(xiàng)

為－1.(2)把5

x

(

x

－2)＝4

x2－3

x

化為一般形式為

x2－7

x

＝0，

它的二次項(xiàng)系數(shù)為1，一次項(xiàng)系數(shù)為－7，常數(shù)項(xiàng)為0.234567891011121314151知識點(diǎn)3一元二次方程的根6.

以－2為一根的一元二次方程可能是(

D

)A.

x2－2

x

＝0B.

x2－

x

＝0C.

x2＋

x

＋2＝0D.

x2＋

x

－2＝0D2345678910111213141517.[2023合肥期中]關(guān)于

x

的一元二次方程2

xa－2＋

m

＝4的一

個(gè)解為

x

＝1，則

a

＋

m

的值為(

B

)A.4B.6C.8D.9B2345678910111213141518.[2023棗莊中考改編]若

x

＝3是關(guān)于

x

的方程

ax2－

bx

＝6的

一個(gè)解，則2024－6

a

＋2

b

的值為

?.2020

234567891011121314151【解】根據(jù)題意,得(x＋1)·2x－(x＋2)(x－2)＝22,∴2x2＋2x－x2＋4＝22,即x2＋2x－18＝0,它符合一元二次方程的定義,是一元二次方程,其一般形式為x2＋2x－18＝0.返回請用材料中提供的“換根法”求方程(要求:把所求方程化為一般形式):(1)已知方程x2＋2x－1＝0,求一個(gè)一元二次方程,使它的根分別是已知方程根的相反數(shù),則所求方程為________________.y2－2y－1＝0(2)已知關(guān)于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有兩個(gè)不等于零的實(shí)數(shù)根,求一個(gè)一元二次方程,使它的根分別是已知方程根的倒數(shù).返回一般形式：

ax2+bx+c