2.4.2圓的一般方程第二章

直線和圓的方程培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)通過(guò)具體例題的講解以及GGB動(dòng)態(tài)圖的演示，能掌握求圓的一般方程以及求與圓有關(guān)的簡(jiǎn)單的動(dòng)點(diǎn)軌跡方程問(wèn)題提升邏輯推理和直觀想象的核心素養(yǎng)通過(guò)對(duì)圓的一般方程和標(biāo)準(zhǔn)方程的互化，能正確理解圓的一般方程中系數(shù)所滿足的條件通過(guò)將圓的標(biāo)準(zhǔn)方程變形成一般方程，理解圓的一般方程與一般形式的二元二次方程之間的聯(lián)系學(xué)

習(xí)

目

標(biāo)

同樣，在圓的方程表達(dá)式中也是有標(biāo)準(zhǔn)方程與一般式方程。

這節(jié)課，我們將在上節(jié)課的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)圓的另一種方程表達(dá)式：一般式方程銜接導(dǎo)入

發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)任意直線都可以用二元一次方程表示，同樣，任一二元一次方程都可以表示直線。直線方程的一般式方程為：

除此之外直線方程還有其他幾種方程表達(dá)式。

展開得配方自主探究

由于a,b,r

均為常數(shù)，所以

x2

＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0結(jié)論：任何一個(gè)圓的方程可以寫成

形式問(wèn)題2：是不是任一個(gè)形如x2

＋y

2＋Dx＋Ey＋F＝0的方程表示的曲線都是圓？嘗試：

判斷下列方程分別表示什么圖形？圓

圓心為(1,-2),半徑為2(1,2)不表示任何圖形(3)x2+y2-2x-4y+6=0(1)x2+y2-2x+4y+1=0(2)x2+y2-2x-4y+5=0結(jié)論：形如

x2

＋y

2＋Dx＋Ey＋F＝0

的方程不一定都表示圓.自主探究點(diǎn)問(wèn)題3：方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0

在什么條件下表示圓？自主探究

圓的一般方程:概念形成

1、判斷下列方程能否表示圓的方程,若能寫出圓心與半徑.

是

是

不是不是不是初試身手

是

思考

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與圓的一般方程對(duì)比：

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程明確看出圓心坐標(biāo)和半徑（重“形”）圓的一般方程則明確表明其形式是一種特殊的二元二次方程．（重“數(shù)”）配方展開例4求過(guò)三點(diǎn)O(0,0),M1(1,1),M2(4,2)的圓的方程及圓的半徑和圓心坐標(biāo).解1：(待定系數(shù)法)設(shè)所求圓的方程為：所以所求圓的方程為解2：(待定系數(shù)法)設(shè)所求圓的方程為：所求圓的方程為對(duì)比兩種待定系數(shù)法求方程的區(qū)別優(yōu)劣？因?yàn)镺(0,0),M1(1,1),M2(4,2)都在圓上因?yàn)镺(0,0),M1(1,1),M2(4,2)都在圓上所以例題精講求圓的方程常用待定系數(shù)法,其大致步驟是:

(1)根據(jù)題意,選擇標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程;

(2)根據(jù)條件列出關(guān)于a,b,r或D,E,F的方程組;

(3)解出a,b,r或D,E,F,得到標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程.解法1、2均采用了待定系數(shù)法求解.其中1選用標(biāo)準(zhǔn)方程，2選用一般方程，相比之下，2的運(yùn)算顯得簡(jiǎn)單一些，簡(jiǎn)單的原因是得到的方程沒(méi)有二次項(xiàng)，是一個(gè)三元一次方程組；而1用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，得到的是三元二次方程組，需要消去二次項(xiàng).

一般來(lái)說(shuō)，解一次方程比解二次方程簡(jiǎn)單.方法總結(jié)解3：l′?xO(0,0)yM1(1,1)??M2(4,2)l能否利用幾何性質(zhì)求解？例4求過(guò)三點(diǎn)O(0,0),M1(1,1),M2(4,2)的圓的方程及圓的半徑和圓心坐標(biāo).圓心：兩條弦的中垂線的交點(diǎn)半徑：圓心到圓上一點(diǎn)例題精講一般地，求圓的方程有兩種方法：(1)待定系數(shù)法：設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)或一般方程,列出方程組，求系數(shù).(2)幾何分析法：常用的性質(zhì)是

圓的弦的垂直平分線必過(guò)圓心.注意:(恰當(dāng)選擇圓的方程形式)①若知道或涉及圓心和半徑,一般采用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程較簡(jiǎn)單.②若已知三點(diǎn)求圓的方程,常常采用圓的一般方程用待定系數(shù)法求解.方法總結(jié)?xOyA??B(4,3)?M-134注意：點(diǎn)M的軌跡方程是指點(diǎn)M的坐標(biāo)(x,y)滿足的關(guān)系式.軌跡是指點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程中形成的圖形在解析幾何中,我們常常把圖形看作點(diǎn)的軌跡(集合).

例5

已知線段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)是(4,3),端點(diǎn)A在圓(x+1)2+y2=4上運(yùn)動(dòng),求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程.求軌跡方程問(wèn)題例題精講

?xOyA??B(4,3)?M-134例題精講

(相關(guān)點(diǎn)代入法)【變式訓(xùn)練】

已知點(diǎn)A(-1,1),B(3,3)是圓C的一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn),又點(diǎn)M在圓C上運(yùn)動(dòng),點(diǎn)N(4,-2),求線段MN的中點(diǎn)P的軌跡方程.解:因?yàn)锳,B是圓C直徑的兩個(gè)端點(diǎn),例題精講課堂小結(jié)談?wù)劚竟?jié)課你的收獲吧！1.圓心為(a，b)，半徑為r

的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：方程特征：明確給出了圓的大?。ò霃剑┖蛨A的位置（圓心）---幾何特征2.圓的一般方程為：方程特征：突出了圓方程形式上的特點(diǎn).3.