9.1網(wǎng)格生成技術(shù)概要流動和熱物理中復(fù)雜計算區(qū)域所采用的網(wǎng)格大體上分為結(jié)構(gòu)網(wǎng)格和非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格兩大結(jié)構(gòu)網(wǎng)格的生成技術(shù)相對成熟，其特點(diǎn)是任意一個節(jié)點(diǎn)的位置都可通過一定的規(guī)則給果。本書將對此不再討論，有興趣的讀者可參看相關(guān)結(jié)構(gòu)網(wǎng)格中，除了在整個計算區(qū)域內(nèi)構(gòu)建一種形式的網(wǎng)格外，還發(fā)展了一種稱為塊結(jié)非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格是一種沒有固定結(jié)構(gòu)的網(wǎng)格，其節(jié)點(diǎn)的編號命名無一定規(guī)則甚至隨意，每能力。生成非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格的方法大致分為三類：前沿推進(jìn)法，Delaunay三角形化方法，其它方法。限于篇幅，我們不做進(jìn)一步討論，感興趣的讀者可高質(zhì)量的網(wǎng)格還應(yīng)與數(shù)值求解的動態(tài)過程結(jié)合起來。這個過程系指用最適合求解問題9.2貼體坐標(biāo)和貼體坐標(biāo)轉(zhuǎn)換流動和熱物理過程的控制方程最一般的形式是以矢量寫出來的。這些矢量形式的方程理想的坐標(biāo)系是求解區(qū)域的邊界與坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸一一相平行的坐標(biāo)系，這種坐標(biāo)稱因此需要采用坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的數(shù)學(xué)手段來構(gòu)造與之相適應(yīng)的貼體坐標(biāo)系，以使求解區(qū)域得以簡以二維問題為例，如圖9－2所示，設(shè)在物理平面x?y上定義有一個復(fù)雜的求解區(qū)域ABCD，選擇某種坐標(biāo)轉(zhuǎn)換ξ=ξ(x,y)η=ξ=ξ(x,y)如果它能將物理平面上的非規(guī)則區(qū)域ABCD變?yōu)橛嬎闫矫姒?η上的一個規(guī)則的矩形區(qū)域A*B*C*D*，且矩形A*B*C*D*的每條邊相應(yīng)ξ?η平面上的一條坐標(biāo)線，并與物理平面復(fù)雜區(qū)域ABCD上的邊界線一一對應(yīng)，則ξ?η就是我們要找的與物理空間復(fù)雜區(qū)域邊界相適應(yīng)的貼體坐標(biāo)。貼體坐標(biāo)系在物理平面x?y上是曲線坐標(biāo)ξ?η,其物理邊界均是對應(yīng)的各個網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)(ξ,η)，找出物理平面上對應(yīng)的網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)(x,y)，也就是要確定度易于控制4）網(wǎng)格線應(yīng)盡可能避免過于傾斜，以減小截斷誤差5）仍以二維問題為例：式(9-1)表示從物理平面(x,y)到計算平面(ξ,η)的轉(zhuǎn)換，稱為正變換；而從計算平面(ξ,η)到物理平面(x,y)的轉(zhuǎn)換稱為逆變換，表成為x=x(ξ,η)y=y(x=x(ξ,η)Jξ=yηxξξ+xξyξη?xηyξξ?yξxξηJη=yηxξη+xξyηη?xηyξη?yξxηηxηDy?yηDx)J,σ=(yξDx?Dxξξηηη,Dy=αyξξξη（1）生成貼體網(wǎng)格。在計算平面上選定與物理平面上復(fù)雜求解域相對應(yīng)9.3生成貼體網(wǎng)格的代數(shù)方法邊界規(guī)范化方法系指采用一些簡單的如圖9－3(a)所示的先收縮而后擴(kuò)散的大。為精確模擬這類特性的流場，可引用如規(guī)則的葉柵繞流區(qū)通過邊界規(guī)范化變化不同幾何結(jié)構(gòu)特性和流動特性的計算區(qū)域面上均勻劃分的網(wǎng)格對應(yīng)物理平面上符合前面給出的用初等函數(shù)變換使邊界規(guī)范化而生成貼體網(wǎng)格的方法，可用范圍是很有限其中Li(ξ)為Lagrange插值函數(shù)，形式為2）Hermite插值：相應(yīng)上述提法的其中，插值函數(shù)Hi(ξ)和Hi(ξ)的形式為是上下邊界上的x,y僅隨ξ（左右邊界僅令該兩邊界上的x,y隨ξ變化關(guān)系定為利用以上給定的上、下邊界值條件進(jìn)行插值，最簡單的插值方式就是沿η方向的Lagrange對二維問題，雙邊界法僅規(guī)定了兩條非規(guī)則邊界上的(x,y)和(ξ,η)間的對應(yīng)關(guān)系，在在ξ,η兩個不同方向分別進(jìn)行插值。這是一種雙方向插值。因?yàn)樗菍?ξ,η)平面整個計算單向插值。令插值函數(shù)為αi(ξ)，所得結(jié)果記為F1(ξ,η)，則這里ri=r(ξi,η)和F1(ξ,η)都是矢量函數(shù)。ri的兩個分量為xi、yi，即（2）對η=ηj線上的差值(r(ξ,ηj)-F(ξ,ηj))在全域范圍內(nèi)進(jìn)行η方向的插值。令F(ξ,η)=F1(ξ,η)+F2(ξ,η)(9-26)N條，顯然，將上面的插值表達(dá)式(9-23)和(9-25)中的求和上標(biāo)‘2’改寫為‘I’和‘J’就可以了。無限插值在不同方向的插值函數(shù)αi(ξ)和βj(η)稱為混合函數(shù)（blendingfunction可有不同的選擇形式，它的好壞對生成網(wǎng)格的好壞有重要作用。通?？刹捎脼榘袑?dǎo)數(shù)條件的形式(9-18)，相應(yīng)的混合函數(shù)為Hermite插值函F1-ξ)xl(η)+ξxr(η)F1y(ξ,η)=(1-ξ)yl(η)+ξyr(η)第二步按式(9-25)進(jìn)行η方向的插值，其投影形式為F2x(ξ,η)=(1-η)xb(ξ)+ηxt(ξ)-[(1-η)(1-ξ)xl(0)+η(1-ξ)xl(1)+(1-η)ξxr(0)+ηξxr(1)]F2y(ξ,η)=(1-η)yb(ξ)+ηyt(ξ)-[(1-η)(1-ξ)yl(0)+η(1-ξ)yl(1)+(1-η)ξyr(0)+ηξyr(1)]x(ξ,η)=F1x(ξ,η)+F2x(ξ,η)y(ξ,η)=F1y(ξ,η)+F2y(ξ,η)9.4生成貼體網(wǎng)格的微分方程方法為了實(shí)現(xiàn)如式(9-1)表示的從物理平面變到計理平面(x,y)上Laplace方程或者Poisson方程的解，即或而從物理平面到計算平面的變換恰是從計算平面到物理平面的一個反變換，此時，ξ,η是自變量，而x,y是因變量，把正變換要解的方程轉(zhuǎn)化為反變換下對應(yīng)的方程來求解，正變將上式第一式乘xξ,第二式乘xη,兩式相加；另將上式第一式乘yξ,第二式乘yη,兩式相加，并利用Jacibi因子J的定義：J=xξyη?xηyξ,可得這就是反變換下的Poisson方程。顯然，設(shè)如圖9－6所示的物理平面曲線邊界的非規(guī)則區(qū)域變成了計算平面規(guī)則求解區(qū)域?yàn)棣蝹€節(jié)點(diǎn)，η方向有N+1個節(jié)點(diǎn)。求解方程(9-35)和(9-36)所需給定的邊值條件為η反變換方程中的Jacobi因子J代表坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的兩平面上所計算的控制容積體積的脹縮標(biāo)η和ξ兩方向上的度規(guī)系數(shù)，其平方根為曲線坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的Lam量dr在曲線坐標(biāo)η和ξ方向上的投影弧長dsη和dsξ,也即沿ξ和η為常數(shù)的網(wǎng)格線上的微分弧長ds(ξ)和ds(η)分別為取決于物理平面上求解域是單連通的或多連通的，生成的結(jié)構(gòu)網(wǎng)格的拓?fù)湫螒B(tài)多種多樣，相應(yīng)的計算平面的規(guī)則幾何區(qū)域也彼此不同。文獻(xiàn)[12]列舉了多種例子，有興趣讀者可對邊構(gòu)成周期性邊界條件，在圖示的邊界r和上，相同的η對應(yīng)相同的(x,y)值。C型-灬網(wǎng)格線的兩端分別是物理平面上的rs和pq反變換來生成網(wǎng)格。方程中的源函數(shù)P(ξ,η)和Q(ξ,η)起著這樣的控制作用，稱為控制函其中，P(ξ)和Q(η)分別控制近邊界處ξ與η方向上網(wǎng)格的疏密；M+1和N+1分別為ξ與η方向節(jié)點(diǎn)總數(shù)，a、b和a、b分別是ξ與η方向的調(diào)節(jié)常數(shù)，取值大于或等于零，(a)Laplace方程(b)能控制邊界附近網(wǎng)格疏這里，M+1和N+1意義同式(9-39a)和式(9-39b)；兩式右端第二項(xiàng)的求和上ndiP(ξ,η)=φ(ξ,η)(ξ+ξ)22(Q(ξ,η)=Ψ(ξ,η)(ηx+ηy22(其中(ξ+ξ)和(η+η)起著把邊界上設(shè)定的網(wǎng)格線分布密度向計算區(qū)域內(nèi)部傳遞的直和正交的要求來確定。將式(9-41)代（1）在計算域的等η邊界線上確定φ,在等ξ邊界線上確定Ψ。確定條件為網(wǎng)格線與lr，在兩條等η線間的等ξ圖9－12(a)和圖9－12(b)分別示出了沒有附加源項(xiàng)的Laplace方程反變換和按照上法附(a)Laplace方程(b)能控制邊界上網(wǎng)格正交特性的Poisson方9.5自適應(yīng)網(wǎng)格的生成方法自適應(yīng)網(wǎng)格是在計算過程中根據(jù)解的分布特性而建立的適合于解的要求的網(wǎng)格。它要網(wǎng)格生成函數(shù)是問題解的某種函數(shù)。設(shè)非穩(wěn)態(tài)二維平面問題的求解函數(shù)為φ(x,y,t)，物理坐標(biāo)為(x,y)，生成自適網(wǎng)格的變換函數(shù)為(ξ,η)，則值以及求解變量間的差值保持均勻，也即使映射計算平面(ξ,η)上始終保持網(wǎng)格間距如圖9－13所示，考慮物理平面(x,y)上某條ξ=const網(wǎng)格曲線，用s表示沿該線的(a)物理平面網(wǎng)格疏密隨時要求不一(b)計算平其中，b為調(diào)節(jié)參數(shù)。進(jìn)一步，如果我們將看成是與ds作乘積并得到常數(shù)結(jié)果時的某個權(quán)函數(shù)，并令滿足這種要求的一般權(quán)函數(shù)為W(s)，則相應(yīng)于式(9-46)的表達(dá)式為顯然，如果將W(s)看成為ds上的密度分布函數(shù)，則式(9-47)或式(9-48)要能使網(wǎng)格分布適應(yīng)計算要求，權(quán)函數(shù)W(s)可以選擇成不同的函數(shù)形式。而在η方向網(wǎng)格自適應(yīng)處理的權(quán)函數(shù)取為而應(yīng)用變分法來生成自適應(yīng)網(wǎng)格的思想最早由文獻(xiàn)[18]提出。該法綜合考慮物理空間上所即dxdy=Jdξdη(9-58)因此J值在全域內(nèi)的變化就反映了物理空間中控制容積的變化，J的大小能夠反映物理空間網(wǎng)格的密集程度。如果把解的梯度有關(guān)的某個權(quán)函數(shù)W(x,y)乘上J，在全域內(nèi)積分，就構(gòu)成一個能反映網(wǎng)格分布疏密度的度量參數(shù)ID因?yàn)楱對魏通對欠从澄锢砥矫嫔暇W(wǎng)格分布的均勻程度，故作為全域范圍內(nèi)網(wǎng)格分布均勻由于網(wǎng)格正交時，必有▽ξ.▽η=0，因此可將▽ξ.▽η之值作為網(wǎng)格正交性的度量。2.J3.dxdy(9-61)綜合三方面因素考慮，將以上三個度量參數(shù)作線性組Jacobi因子J的變換。其中，D*為計算平面上相應(yīng)于物理平面積分區(qū)域D的區(qū)域。進(jìn)一步，由(9-62)得到求泛函I極小值的Eu