14.2.2三角形全等的判定(二)——角邊角

所在的兩個(gè)三角形全等.內(nèi)容

兩邊及其夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等應(yīng)用注意①

已知一角和這角的一夾邊，必須找這角

的另一夾邊.證明線段(或角相等)

轉(zhuǎn)化證明線段（或角）或“SAS”簡(jiǎn)記為“邊角邊”②

已知兩邊，必須找“夾角”(邊角邊)

三角形全等的判定知識(shí)回顧在△ABC和△A′B′C′中

∴△ABC≌

△A′B′C′

兩邊及其夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等.判定兩個(gè)三角形全等的第1種方法是如下的基本事實(shí).幾何語言：AB=A′B′

∠A=∠A′

AC=A′C

BCAB′C′

A′必須是兩邊“夾角”或“SAS”簡(jiǎn)記為“邊角邊”(S表示邊，A表示角)∵(SAS)

在書寫兩個(gè)三角形全等的條件“邊角邊”時(shí)，要按邊、角、邊的順序來寫，即把夾角相等寫在中間，以突出兩邊及其夾角對(duì)應(yīng)相等.知識(shí)回顧知識(shí)拓展：

如圖，小明不慎把一塊三角形的玻璃打碎成兩塊，他是否可以只帶其中的一塊碎片到商店去，就能配一塊與原來一樣的三角形模具？如果可以，帶哪塊去合適？ⅠⅡ探究新知ⅠⅡ解：帶第

Ⅱ塊去.活動(dòng)：猜想、測(cè)量、驗(yàn)證觀察圖中的三角形：1、先觀察，猜一猜哪兩個(gè)三角形是全等三角形?2、哪些條件決定了△ABC≌△FDE?3、△ABC與△PQR有哪些相等的條件？為什么它們不全等？AB360°40°C340°60°PRQ60°40°DFE3△ABC≌△FDE兩角及其夾邊分別相等都有

40°

角和

60°角，但是一條是夾邊，一條是

60°角的對(duì)邊.作圖探究已知：△ABC求作：△A′B′C′，使

∠B′=∠B，B′C′=BC，∠C′=∠CBACB′C’A′NM作法：(1)作線段B′C′=BC；(2)在B′C′的同旁，分別以B′，C′為頂點(diǎn)作∠NC′B′=∠C，B′M與C′N交于點(diǎn)A′.則△A′B′C′就是所求作三角形.∠MB′C′=∠B

將所作的△A′B′C′與△ABC疊一疊，看看它們能否完全重合？由此你能得到什么結(jié)論？分別相等的兩個(gè)三角形全等兩角及其夾邊兩角及其夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等.判定兩個(gè)三角形全等的第2種方法

是如下的基本事實(shí).或“ASA”簡(jiǎn)記為“角邊角”(S表示邊，A表示角).在

△ABC和△A′B′C′中

∴△ABC≌

△A′B′C′

幾何語言：∠A=∠A′

AB=A′B′

∠B=∠B′

必須是兩角的“夾邊”∵(ASA)ABCA′B′C′歸納總結(jié)4ABDC123例3

已知：∠1=∠2，∠3=∠4.求證：DB=CB.又∵∠3=∠4證明:∴△ADB

≌

△ACB∠1=∠2∴DB=CB

∵∠ABD+∠3=180°∠ABC+∠4=180°(已知)(已證)(公共邊)(ASA)∵(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等)(鄰補(bǔ)角的定義)(已知)∴∠ABD=∠ABC(等角的補(bǔ)角相等)在△ADB和△ACB中

AB=AB∠ABD=∠ABC例4

已知：如圖，要測(cè)量河兩岸相對(duì)的兩點(diǎn)A，B之間的距離，可以在AB的垂線BF上取兩點(diǎn)C，D（BF在河岸上），使BC=CD，再過點(diǎn)D作BF的垂線DE，使點(diǎn)A，C，E在一條直線上，這時(shí)測(cè)得DE的長(zhǎng)等于AB的長(zhǎng)，請(qǐng)說明理由.證明:∵AB⊥CD，ED⊥BD

(已知)∴

∠ABC=∠EDC=90°

(垂直的定義)∴△ABC

≌

△EDC∠ABC=∠EDC∴AB=DE(已證)(對(duì)頂角相等)(已知)(ASA)∵(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等)在△ABC和△EDC

中

BC=CD∠ACB=∠ECD1、已知：∠1=∠2，∠ABC＝∠DCB.求證：△ABC≌△DCB.

證明：在△ABC和△DCB中∴△ABC≌

△DCBBCAD12∵(已知）(公共邊)(已知)

∠ABC＝∠DCBBC＝CB∠2＝∠1(ASA)鞏固練習(xí)2．如圖，AC=AE，∠C=∠E，∠1=∠2.

求證：△ABC≌△ADE．證明：∵∠1=∠2

(已知)(等式的性質(zhì))∴

∠1+∠EAC=∠2+∠EAC在

△ABC

和

△ADE

中∴

△ABC≌△ADE∵(已知)(已知)(已證)∠C＝∠EAC＝AE∠BAC＝∠DAE(ASA)歸納總結(jié)∴∠BAC=∠DAE3、如圖，AB∥

CD，E

是

CD

上一點(diǎn)，BE

交

AD

于點(diǎn)

F，EF=BF．求證：AF=DF歸納總結(jié)證明：∵

AB∥CD∴

∠B=∠FED在

△ABF

和

△DEF

中∠B＝∠FEDBF＝EF∠AFB＝∠EFD∴△ABF≌△DEF∴AF=DF∵(ASA)(已知)(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等)(對(duì)頂角相等)(已證)(已知)（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）

4、如圖，在

△ABC

和

△ADE中，AB=AD，∠B=∠D，∠1=∠2.

求證：BC=DE．證明：∵

∠1=∠2∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC即

∠BAC=∠DAE在△ABC和△ADE中∠B=∠DAB=AD∠BAC=∠DAE∴△ABC≌△ADE∴BC=DE∵(ASA)(已知)(等式性質(zhì))(已證)(已知)(已知)（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）

5、如圖，在△ADE中，∠CAE=∠BAD，AC=AE．(1)若添加條件：

，可用“SAS”推得△ABC≌△ADE；(2)若添加條件：

，可用“ASA”推得△ABC≌△ADE．AB=AD∠C=∠E歸納總結(jié)6、

如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)在AC上，AB∥CD，DE∥BF，AE＝CF.

求證：△ABF≌△CDE.證明：∵AB∥CD，DE∥BF(已知)∴∠A＝∠C，∠AFB＝∠CED.(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等)∵AE＝CF∴AE＋EF＝CF＋EF即

AF＝CE(已知)(等式的性質(zhì))在△ABF和△CDE中∴

△ABF≌△CDE∵(已證）(已證）(已證）∠AFB=∠CEDAF＝CE∠A＝∠C（ASA）

7、如圖，在△ABC中，D是AB的中點(diǎn)，DE∥BC，DF∥AC.若AE＝20cm，求DF的長(zhǎng)．解：∵D是AB的中點(diǎn)∴AD＝BD∵

DE∥BC，∴

∠ADE＝∠B，

DF∥AC

∠A＝∠BDF在△ADE和△DBF中∵(已證)(已證)

(已證)