第24頁(yè)（共24頁(yè)）2024-2025學(xué)年下學(xué)期高二數(shù)學(xué)人教A版（2019）期末必刷?？碱}之離散型隨機(jī)變量及其分布列一．選擇題（共7小題）1．（2025?金川區(qū)校級(jí)二模）已知隨機(jī)變量X的分布列如下：X123Pm2﹣2m120.4則數(shù)學(xué)期望E（X）＝（）A．0.8 B．1.4 C．2m﹣3 D．22．（2025春?天津校級(jí)期中）已知隨機(jī)變量X的分布規(guī)律為P（X＝i）＝ai2（i＝1，2，3），則P（X＝2）＝（）A．27 B．13 C．14 3．（2025春?遼寧期中）已知離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表：若離散型隨機(jī)變量Y＝2X+1，則P（Y≥5）＝（）X0123Pa135a16A．712 B．512 C．56 4．（2025春?九龍坡區(qū)校級(jí)期中）設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表所示．若隨機(jī)變量Y＝|X|，則P（Y＝2）＝（）X﹣2012P0.10.40.20.3A．0.7 B．0.4 C．0.3 D．0.65．（2025?山東校級(jí)一模）甲、乙兩人玩一種撲克游戲，每局開始前每人手中各有6張撲克牌，點(diǎn)數(shù)分別為1～6，兩人各隨機(jī)出牌1張，當(dāng)兩張牌的點(diǎn)數(shù)之差為偶數(shù)時(shí)，視為平局，當(dāng)兩張牌的點(diǎn)數(shù)之差為奇數(shù)時(shí)，誰(shuí)的牌點(diǎn)數(shù)大誰(shuí)勝，重復(fù)上面的步驟，游戲進(jìn)行到一方比對(duì)方多勝2次或平局4次時(shí)停止，記游戲停止時(shí)甲、乙各出牌X次，則P（X＝4）＝（）A．116 B．532 C．564 6．（2025春?濱海新區(qū)校級(jí)期中）已知隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，且P（X＝1）＝0.7，設(shè)Y＝2X﹣1，那么D（Y）的值是（）A．0.84 B．0.7 C．0.4 D．0.37．（2025春?滄州期中）籃球中三分球的投籃位置為三分線以外，若從3分投籃區(qū)域投籃命中計(jì)3分，沒(méi)有命中得0分．已知某籃球運(yùn)動(dòng)員三分球命中的概率為0.4，設(shè)其投三分球一次的得分為X，則D（X）＝（）A．1.2 B．2.4 C．2.16 D．2.52二．多選題（共3小題）（多選）8．（2025?西安模擬）已知min{x1，x2，?，xn}表示x1，x2，?，xn中最小的數(shù)，max{x1，x2，?，xn}表示x1，x2，?，xn中最大的數(shù)．若數(shù)列{an}，{bn}都只有8項(xiàng)，且都是由數(shù)字1，2，3，4，5，6，7，8隨機(jī)排列而成的（每個(gè)數(shù)字都出現(xiàn)，但不重復(fù)出現(xiàn)），記X＝min{max{a1，a2，a3，a4}，max{a5，a6，a7，a8}，Y＝max{min{b1，b2，b3，b4}，min{b5，b6，b7，b8}}，則（）A．X的值可能為4，5，6，7 B．Y的值可能為3，4，5，6 C．X≥6的概率為67D．X＞Y的概率為1216（多選）9．（2025春?浙江期中）下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的有（）A．相關(guān)系數(shù)r越小，表明兩個(gè)變量相關(guān)性越弱 B．決定系數(shù)R2越接近1，表明模型的擬合效果越好 C．若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，其中P(X=0)=23，則E（3X+2）＝3，D（3D．隨機(jī)變量X～N（3，σ2），若P（X≤5）＝0.7，則P（X≤1）＝0.3（多選）10．（2025春?濱湖區(qū)校級(jí)期中）已知隨機(jī)變量X的分布列為P(X=A．P（X＝0）+P（X＝1）+P（X＝2）＝1 B．a(chǎn)=C．P(0D．P三．填空題（共3小題）11．（2025春?南岸區(qū)期中）隨機(jī)變量X的分布列如表所示：X1234P0.1m0.32m則P（X≤2）＝．12．（2025春?浙江期中）將編號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)小球隨機(jī)放入編號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)盒子中，要求每個(gè)小盒只能裝一個(gè)小球，用Y表示編號(hào)與盒子編號(hào)相同的小球數(shù)，則Y的分布列為．13．（2025春?溧陽(yáng)市期中）已知隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，且P（X＝1）＝0.3，設(shè)Y＝2X﹣1，那么P（Y＝﹣1）＝．四．解答題（共2小題）14．（2025春?青島期中）甲和乙兩個(gè)箱子各裝有10個(gè)球，其中甲箱中有5個(gè)紅球、5個(gè)白球，乙箱中有8個(gè)紅球、2個(gè)白球．（1）從甲箱中隨機(jī)摸出3個(gè)球，求這3個(gè)球中恰有2個(gè)紅球的概率；（2）先從甲箱中隨機(jī)摸出1個(gè)球，再?gòu)囊蚁渲须S機(jī)摸出1個(gè)球，求這兩次摸出的球中紅球個(gè)數(shù)ξ的分布列；（3）擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，如果點(diǎn)數(shù)為1或2，從甲箱子隨機(jī)摸出1個(gè)球；如果點(diǎn)數(shù)為3，4，5，6，從乙箱子中隨機(jī)摸出1個(gè)球，求摸到紅球的概率．15．（2025春?石家莊期中）我校高二年級(jí)組織“風(fēng)華杯”籃球比賽，甲、乙兩班進(jìn)入決賽．規(guī)定：先累計(jì)勝兩場(chǎng)者為冠軍，一場(chǎng)比賽中犯規(guī)4次以上的球員在該場(chǎng)比賽結(jié)束后，將不能參加后面場(chǎng)次的比賽．在規(guī)則允許的情況下，甲班球員M都會(huì)參賽，他上場(chǎng)與不上場(chǎng)甲班一場(chǎng)比賽獲勝的概率分別為35和25，且球員M每場(chǎng)比賽犯規(guī)4次以上的概率為（1）求甲班第二場(chǎng)比賽獲勝的概率；（2）用X表示比賽結(jié)束時(shí)比賽場(chǎng)數(shù)，求X的分布列；（3）已知球員M在第一場(chǎng)比賽中犯規(guī)4次以上，求甲班比賽獲勝的概率．

2024-2025學(xué)年下學(xué)期高二數(shù)學(xué)人教A版（2019）期末必刷?？碱}之離散型隨機(jī)變量及其分布列參考答案與試題解析一．選擇題（共7小題）題號(hào)1234567答案DAABDAC二．多選題（共3小題）題號(hào)8910答案ACDACABC一．選擇題（共7小題）1．（2025?金川區(qū)校級(jí)二模）已知隨機(jī)變量X的分布列如下：X123Pm2﹣2m120.4則數(shù)學(xué)期望E（X）＝（）A．0.8 B．1.4 C．2m﹣3 D．2【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量及其分布列；離散型隨機(jī)變量的均值（數(shù)學(xué)期望）．【專題】對(duì)應(yīng)思想；定義法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】D【分析】根據(jù)概率之和為1得到方程，求出m2﹣2m＝0.4，利用期望公式得到答案．【解答】解：已知P（X＝1）＝m2﹣2m，P（X＝2）=12m2-m，P（由題意，m2-2m+12m2所以E(故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望相關(guān)知識(shí)，屬于中檔題．2．（2025春?天津校級(jí)期中）已知隨機(jī)變量X的分布規(guī)律為P（X＝i）＝ai2（i＝1，2，3），則P（X＝2）＝（）A．27 B．13 C．14 【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量及其分布列．【專題】計(jì)算題；整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】A【分析】利用分布列的性質(zhì)求出a，進(jìn)而可得出答案．【解答】解：已知隨機(jī)變量X的分布規(guī)律為P（X＝i）＝ai2（i＝1，2，3），根據(jù)隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)可知概率和為1，則P（X＝1）+P（X＝2）+P（X＝3）＝a+4a+9a＝1，解得a=所以P(故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)，屬于中檔題．3．（2025春?遼寧期中）已知離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表：若離散型隨機(jī)變量Y＝2X+1，則P（Y≥5）＝（）X0123Pa135a16A．712 B．512 C．56 【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量及其分布列；離散型隨機(jī)變量的均值（數(shù)學(xué)期望）．【專題】方程思想；定義法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】A【分析】由分布列中各概率之和為1求得參數(shù)a，進(jìn)一步將所求變形為P（Y≥5）＝P（X＝2）+P（X＝3）即可求解．【解答】解：由題意a+13而P(故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查離散型隨機(jī)事件概率分布列等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．4．（2025春?九龍坡區(qū)校級(jí)期中）設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表所示．若隨機(jī)變量Y＝|X|，則P（Y＝2）＝（）X﹣2012P0.10.40.20.3A．0.7 B．0.4 C．0.3 D．0.6【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量及其分布列．【專題】計(jì)算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】B【分析】根據(jù)給定的條件，利用分布列的性質(zhì)求解．【解答】解：根據(jù)題意，隨機(jī)變量Y＝|X|，則P（Y＝2）＝P（X＝﹣2）+P（X＝2）＝0.1+0.3＝0.4．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查隨機(jī)變量的分布列，涉及概率的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．5．（2025?山東校級(jí)一模）甲、乙兩人玩一種撲克游戲，每局開始前每人手中各有6張撲克牌，點(diǎn)數(shù)分別為1～6，兩人各隨機(jī)出牌1張，當(dāng)兩張牌的點(diǎn)數(shù)之差為偶數(shù)時(shí)，視為平局，當(dāng)兩張牌的點(diǎn)數(shù)之差為奇數(shù)時(shí)，誰(shuí)的牌點(diǎn)數(shù)大誰(shuí)勝，重復(fù)上面的步驟，游戲進(jìn)行到一方比對(duì)方多勝2次或平局4次時(shí)停止，記游戲停止時(shí)甲、乙各出牌X次，則P（X＝4）＝（）A．116 B．532 C．564 【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量及其分布列．【專題】計(jì)算題；對(duì)應(yīng)思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】D【分析】分甲乙出牌的張數(shù)和甲乙勝負(fù)情況結(jié)合古典概率和二項(xiàng)分布討論．【解答】解：甲乙每次出牌1張，若兩人出牌的點(diǎn)數(shù)都是偶數(shù)或都是奇數(shù)，則平局，所以平局的概率p1若甲勝，則結(jié)果有（2，1）、（3，2）、（4，1）、（4，3）、（5，2）、（5，4）、（6，1）、（6，3）、（6，5），共9種，所以甲勝的概率為p2=96×6=各出牌4次后停止游戲，若4次全平局，概率為(1若平局2次，則最后1次不能是平局，另外2次甲全勝或乙全勝，概率為C3若平局0次，則一方3勝1負(fù)，且負(fù)的1次只能在前2次中，概率為C2所以P(故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查概率的求法，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．6．（2025春?濱海新區(qū)校級(jí)期中）已知隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，且P（X＝1）＝0.7，設(shè)Y＝2X﹣1，那么D（Y）的值是（）A．0.84 B．0.7 C．0.4 D．0.3【考點(diǎn)】?jī)牲c(diǎn)分布（0﹣1分布）．【專題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】A【分析】由已知結(jié)合兩點(diǎn)分布的方差公式和方差性質(zhì)即可求解．【解答】解：因?yàn)殡S機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，所以D（X）＝0.7×（1﹣0.7）＝0.21，又Y＝2X﹣1，所以D（Y）＝D（2X﹣1）＝22D（X）＝4×0.21＝0.84．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了兩點(diǎn)分布的期望公式，考查了期望的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．7．（2025春?滄州期中）籃球中三分球的投籃位置為三分線以外，若從3分投籃區(qū)域投籃命中計(jì)3分，沒(méi)有命中得0分．已知某籃球運(yùn)動(dòng)員三分球命中的概率為0.4，設(shè)其投三分球一次的得分為X，則D（X）＝（）A．1.2 B．2.4 C．2.16 D．2.52【考點(diǎn)】?jī)牲c(diǎn)分布（0﹣1分布）．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】C【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合期望、方差公式，即可求解．【解答】解：得分X的期望E（X）＝3×0.4＝1.2，E（X2）＝32×0.4＝3.6，故D（X）＝E（X2）﹣[（EX）]2＝3.6﹣1.44＝2.16．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查期望、方差的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．二．多選題（共3小題）（多選）8．（2025?西安模擬）已知min{x1，x2，?，xn}表示x1，x2，?，xn中最小的數(shù)，max{x1，x2，?，xn}表示x1，x2，?，xn中最大的數(shù)．若數(shù)列{an}，{bn}都只有8項(xiàng)，且都是由數(shù)字1，2，3，4，5，6，7，8隨機(jī)排列而成的（每個(gè)數(shù)字都出現(xiàn)，但不重復(fù)出現(xiàn)），記X＝min{max{a1，a2，a3，a4}，max{a5，a6，a7，a8}，Y＝max{min{b1，b2，b3，b4}，min{b5，b6，b7，b8}}，則（）A．X的值可能為4，5，6，7 B．Y的值可能為3，4，5，6 C．X≥6的概率為67D．X＞Y的概率為1216【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量及其分布列；古典概型及其概率計(jì)算公式．【專題】對(duì)應(yīng)思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】ACD【分析】先確定滿足條件的X，Y的個(gè)數(shù)，再結(jié)合定義確定X的可能取值，確定取各值的方法數(shù)，由此可得X取各值的概率，再求Y的值及取各值的概率，結(jié)合概率加法和乘法公式求結(jié)論．【解答】解：將1，2，3，4，5，6，7，8平均分成2組，有C8對(duì)于A，C，X的值可能為4，5，6，7，故A正確；不妨設(shè)max{a1，a2，a3，a4}＜max{a5，a6，a7，a8}，若a1，a2，a3，a4中的最大值為4，則a5，a6，a7，a8中的最大值為8，有1種情況，此時(shí)X＝4，若a1，a2，a3，a4中的最大值為5，則a5，a6，a7，a8中的最大值為8，有C43=4種情況，此時(shí)X若a1，a2，a3，a4中的最大值為6，則a5，a6，a7，a8中的最大值為8，有C53=10種情況，此時(shí)X若a1，a2，a3，a4中的最大值為7，則a5，a6，a7，a8中的最大值為8，有C63=20種情況，此時(shí)X所以P(X=4)=135，PP（X≥6）＝P（X＝6）+P（X＝7）=67，故對(duì)于B，D，Y的值可能為2，3，4，5，故B錯(cuò)誤；不妨設(shè)min{b1，b2，b3，b4}＞min{b5，b6，b7，b8}，若b1，b2，b3，b4中的最小值為5，則b5，b6，b7，b8中的最小值為1，有1種情況，此時(shí)Y＝5，若b1，b2，b3，b4中的最小值為4，則b5，b6，b7，b8中的最小值為1，有C43=4種情況，此時(shí)Y若b1，b2，b3，b4中的最小值為3，則b5，b6，b7，b8中的最小值為1，有C53=10種情況，此時(shí)Y若b1，b2，b3，b4中的最小值為2，則b5，b6，b7，b8中的最小值為1，有C63=20種情況，此時(shí)Y所以P(Y=5)=135，PP（X＞Y）＝P（X＝4）?[P（Y＝3）+P（Y＝2）]+P（X＝5）?[P（Y＝4）+P（Y＝3）+P（Y＝2）]+P(X故選：ACD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了古典概型及離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，屬于中檔題．（多選）9．（2025春?浙江期中）下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的有（）A．相關(guān)系數(shù)r越小，表明兩個(gè)變量相關(guān)性越弱 B．決定系數(shù)R2越接近1，表明模型的擬合效果越好 C．若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，其中P(X=0)=23，則E（3X+2）＝3，D（3D．隨機(jī)變量X～N（3，σ2），若P（X≤5）＝0.7，則P（X≤1）＝0.3【考點(diǎn)】?jī)牲c(diǎn)分布（0﹣1分布）；正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義；樣本相關(guān)系數(shù)．【專題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】AC【分析】根據(jù)相關(guān)系數(shù)的概念即可判斷A；根據(jù)決定系數(shù)的概念判斷B；根據(jù)兩點(diǎn)分布的均值與方差公式及均值與方差的性質(zhì)即可判斷C；根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性即可判斷D．【解答】解：對(duì)于選項(xiàng)A：|r|值越小，表明兩個(gè)變量相關(guān)性越弱，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，決定系數(shù)R2越接近1，表明模型的擬合效果越好，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，其中P(則P（X＝1）＝1﹣P（X＝0）＝1-2所以E(X)=所以E(3X+2)=3×1對(duì)于選項(xiàng)D，隨機(jī)變量X～N（3，σ2），若P（X≤5）＝0.7，則P（X≤1）＝P（X≥5）＝1﹣0.7＝0.3，故D正確．故選：AC．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)，考查了期望和方差的性質(zhì)，以及正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性，屬于基礎(chǔ)題．（多選）10．（2025春?濱湖區(qū)校級(jí)期中）已知隨機(jī)變量X的分布列為P(X=A．P（X＝0）+P（X＝1）+P（X＝2）＝1 B．a(chǎn)=C．P(0D．P【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量及其分布列．【專題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】ABC【分析】根據(jù)分布列的性質(zhì)，列出方程求得a=【解答】解：因?yàn)閄的分布列為P(所以P(解得a=則P（X＝1）=29，P（0≤X＜2）故選：ABC．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．三．填空題（共3小題）11．（2025春?南岸區(qū)期中）隨機(jī)變量X的分布列如表所示：X1234P0.1m0.32m則P（X≤2）＝0.3．【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量及其分布列．【專題】計(jì)算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】0.3．【分析】根據(jù)題意，利用分布列的性質(zhì)求出m，再利用互斥事件的概率公式計(jì)算作答．【解答】解：根據(jù)題意，由分布列的性質(zhì)得，0.1+m+0.3+2m＝1，解得m＝0.2，所以P（X≤2）＝P（X＝1）+P（X＝2）＝0.1+0.2＝0.3．故答案為：0.3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查隨機(jī)變量的分布列，涉及概率的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．12．（2025春?浙江期中）將編號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)小球隨機(jī)放入編號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)盒子中，要求每個(gè)小盒只能裝一個(gè)小球，用Y表示編號(hào)與盒子編號(hào)相同的小球數(shù)，則Y的分布列為Y0124P381314124【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量及其分布列．【專題】對(duì)應(yīng)思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；邏輯思維；運(yùn)算求解．【答案】Y0124P381314124【分析】由題意，得到Y(jié)的所有可能取值和相對(duì)應(yīng)的概率，進(jìn)而可解．【解答】解：易知Y的所有可能取值取值為0，1，2，3，4，若Y＝4，此時(shí)所有小球與盒子編號(hào)相同，共有一種排列方式，所以P(若Y＝3，此時(shí)有3個(gè)小球與盒子編號(hào)相同，顯然最后一組編號(hào)必相同，所以Y的所有可能取值不包括3；若Y＝2，此時(shí)有2個(gè)小球與盒子編號(hào)相同，顯然剩余兩組編號(hào)必然不同，所以P(若Y＝1，此時(shí)有1個(gè)小球與盒子編號(hào)相同，剩余三組編號(hào)共有兩種排列方式，所以P(若Y＝0，此時(shí)沒(méi)有小球與盒子編號(hào)相同，因?yàn)镻（Y＝0）+P（Y＝1）+P（Y＝2）+P（Y＝4）＝1，所以P(則Y的分布列為：Y0124P381314124故答案為：Y0124P381314124【點(diǎn)評(píng)】本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列，考查了邏輯推理和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．13．（2025春?溧陽(yáng)市期中）已知隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，且P（X＝1）＝0.3，設(shè)Y＝2X﹣1，那么P（Y＝﹣1）＝0.7．【考點(diǎn)】?jī)牲c(diǎn)分布（0﹣1分布）．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】0.7．【分析】結(jié)合兩點(diǎn)分布的定義即可得答案．【解答】解：因?yàn)殡S機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，且P（X＝1）＝0.3，所以P（X＝0）＝0.7，因?yàn)閅＝2X﹣1，所以P（Y＝﹣1）＝P（X＝0）＝0.7．故答案為：0.7．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查兩點(diǎn)分布的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．四．解答題（共2小題）14．（2025春?青島期中）甲和乙兩個(gè)箱子各裝有10個(gè)球，其中甲箱中有5個(gè)紅球、5個(gè)白球，乙箱中有8個(gè)紅球、2個(gè)白球．（1）從甲箱中隨機(jī)摸出3個(gè)球，求這3個(gè)球中恰有2個(gè)紅球的概率；（2）先從甲箱中隨機(jī)摸出1個(gè)球，再?gòu)囊蚁渲须S機(jī)摸出1個(gè)球，求這兩次摸出的球中紅球個(gè)數(shù)ξ的分布列；（3）擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，如果點(diǎn)數(shù)為1或2，從甲箱子隨機(jī)摸出1個(gè)球；如果點(diǎn)數(shù)為3，4，5，6，從乙箱子中隨機(jī)摸出1個(gè)球，求摸到紅球的概率．【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量及其分布列；古典概型及其概率計(jì)算公式．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；邏輯思維；運(yùn)算求解．【答案】（1）512；（2）分布列見解答；（3）7【分析】（1）結(jié)合組合數(shù)知識(shí)及古典概型的概率公式求解即可；（2）由題意可得ξ的所有取值為0，1，2，進(jìn)而求解即可．；（3）分別計(jì)算出從甲箱中摸到紅球的概率和從乙箱中摸到紅球的概率，然后利用概率的加法公式即可．【解答】解：（1）由題意，這3個(gè)球中恰有2個(gè)紅球的概率為C5（2）由題意，ξ的所有取值為0，1，2，則P(P(P(則ξ的分布列為：ξ012P1101225（3）從甲箱中摸紅球：擲到點(diǎn)數(shù)為1或2的概率為26=1故從甲箱中摸到紅球的概率為P1從乙箱中摸紅球：擲到點(diǎn)數(shù)為3，4，5，6的概率為46=2故從乙箱中摸到紅球的概率為P2綜上所述：摸到紅球的概率為：16【點(diǎn)評(píng)】本題考查古典概型的概率求解，分布列的求法，計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，屬于中檔題．15．（2025春?石家莊期中）我校高二年級(jí)組織“風(fēng)華杯”籃球比賽，甲、乙兩班進(jìn)入決賽．規(guī)定：先累計(jì)勝兩場(chǎng)者為冠軍，一場(chǎng)比賽中犯規(guī)4次以上的球員在該場(chǎng)比賽結(jié)束后，將不能參加后面場(chǎng)次的比賽．在規(guī)則允許的情況下，甲班球員M都會(huì)參賽，他上場(chǎng)與不上場(chǎng)甲班一場(chǎng)比賽獲勝的概率分別為35和25，且球員M每場(chǎng)比賽犯規(guī)4次以上的概率為（1）求甲班第二場(chǎng)比賽獲勝的概率；（2）用X表示比賽結(jié)束時(shí)比賽場(chǎng)數(shù)，求X的分布列；（3）已知球員M在第一場(chǎng)比賽中犯規(guī)4次以上，求甲班比賽獲勝的概率．【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量及其分布列．【專題】計(jì)算題；整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】（1）1120（2）分布列見解析；（3）56125【分析】（1）根據(jù)全概率公式，即可求解；（2）由題意可得X＝2，3，從而再根據(jù)對(duì)立事件的概率與獨(dú)立事件的概率公式，即可求解X的分布列；（3）根據(jù)對(duì)立事件與獨(dú)立事件的概率公式，條件概率公式，即可求解．【解答】解：（1）先累計(jì)勝兩場(chǎng)者為冠軍，一場(chǎng)比賽中犯規(guī)4次以上的球員在該場(chǎng)比賽結(jié)束后，將不能參加后面場(chǎng)次的比賽，在規(guī)則允許的情況下，甲班球員M都會(huì)參賽，他上場(chǎng)與不上場(chǎng)甲班一場(chǎng)比賽獲勝的概率分別為35和25，且球員M每場(chǎng)比賽犯規(guī)4次以上的概率為設(shè)Ai為“第i場(chǎng)甲隊(duì)獲勝”，Bi為“球員M第i場(chǎng)上場(chǎng)比賽”，i＝1，2，3，根據(jù)全概率公式可得P(（2）由題意可得X＝2，3，又P(A1)=3∴P(A1∴P(∴P(所以X的分布列為：X23P5110049100（3）已知球員M在第一場(chǎng)比賽中犯規(guī)4次以上，∵p(B2∴甲班比賽獲勝的概率為：P(【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全概率公式和離散型隨機(jī)變量的分布列，屬于中檔題．

考點(diǎn)卡片1．古典概型及其概率計(jì)算公式【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．定義：如果一個(gè)試驗(yàn)具有下列特征：（1）有限性：每次試驗(yàn)可能出現(xiàn)的結(jié)果（即基本事件）只有有限個(gè)；（2）等可能性：每次試驗(yàn)中，各基本事件的發(fā)生都是等可能的．則稱這種隨機(jī)試驗(yàn)的概率模型為古典概型．*古典概型由于滿足基本事件的有限性和基本事件發(fā)生的等可能性這兩個(gè)重要特征，所以求事件的概率就可以不通過(guò)大量的重復(fù)試驗(yàn)，而只要通過(guò)對(duì)一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果進(jìn)行分析和計(jì)算即可．2．古典概率的計(jì)算公式如果一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果有n個(gè)，而且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，那么每一個(gè)基本事件的概率都是1n如果某個(gè)事件A包含的結(jié)果有m個(gè)，那么事件A的概率為P（A）=m【解題方法點(diǎn)撥】1．注意要點(diǎn)：解決古典概型的問(wèn)題的關(guān)鍵是：分清基本事件個(gè)數(shù)n與事件A中所包含的基本事件數(shù)．因此要注意清楚以下三個(gè)方面：（1）本試驗(yàn)是否具有等可能性；（2）本試驗(yàn)的基本事件有多少個(gè)；（3）事件A是什么．2．解題實(shí)現(xiàn)步驟：（1）仔細(xì)閱讀題目，弄清題目的背景材料，加深理解題意；（2）判斷本試驗(yàn)的結(jié)果是否為等可能事件，設(shè)出所求事件A；（3）分別求出基本事件的個(gè)數(shù)n與所求事件A中所包含的基本事件個(gè)數(shù)m；（4）利用公式P（A）=mn求出事件3．解題方法技巧：（1）利用對(duì)立事件、加法公式求古典概型的概率（2）利用分析法求解古典概型．2．離散型隨機(jī)變量及其分布列【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、相關(guān)概念；（1）隨機(jī)變量：如果隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用一個(gè)變量來(lái)表示，那么這樣的變量叫做隨機(jī)變量隨機(jī)變量常用希臘字母ξ、η等表示．（2）離散型隨機(jī)變量：對(duì)于隨機(jī)變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量．若ξ是隨機(jī)變量，η＝aξ+b，其中a、b是常數(shù)，則η也是隨機(jī)變量．（3）連續(xù)型隨機(jī)變量：對(duì)于隨機(jī)變量可能取的值，可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的變量就叫做連續(xù)型隨機(jī)變量（4）離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量的區(qū)別與聯(lián)系：離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量都是用變量表示隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果；但是離散型隨機(jī)變量的結(jié)果可以按一定次序一一列出，而連續(xù)性隨機(jī)變量的結(jié)果不可以一一列出．2、離散型隨機(jī)變量（1）隨機(jī)變量：在隨機(jī)試驗(yàn)中，試驗(yàn)可能出現(xiàn)的結(jié)果可以用一個(gè)變量X來(lái)表示，并且X是隨著試驗(yàn)結(jié)果的不同而變化的，這樣的變量X叫做一個(gè)隨機(jī)變量．隨機(jī)變量常用大寫字母X，Y，…表示，也可以用希臘字母ξ，η，…表示．（2）離散型隨機(jī)變量：如果隨機(jī)變量X的所有可能的取值都能一一列舉出來(lái)，則稱X為離散型隨機(jī)變量．3、離散型隨機(jī)變量的分布列．（1）定義：一般地，設(shè)離散型隨機(jī)變量X的所有可能值為x1，x2，…，xn；X取每一個(gè)對(duì)應(yīng)值的概率分別為p1，p2，…，pn，則得下表：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn該表為隨機(jī)變量X的概率分布，或稱為離散型隨機(jī)變量X的分布列．（2）性質(zhì)：①pi≥0，i＝1，2，3，…，n；②p1+p2+…+pn＝1．3．離散型隨機(jī)變量的均值（數(shù)學(xué)期望）【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、離散型隨機(jī)變量的期望數(shù)學(xué)期望：一般地，若離散型隨機(jī)變量ξ的概率分布則稱Eξ＝x1p1+x2p2+…+xnpn+…為ξ的數(shù)學(xué)期望，簡(jiǎn)稱期望．?dāng)?shù)學(xué)期望的意義：數(shù)學(xué)期望離散型隨機(jī)變量的一個(gè)特征數(shù)，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平．平均數(shù)與均值：一般地，在有限取值離散型隨機(jī)變量ξ的概率分布中，令p1＝p2＝…＝pn，則有p1＝p2＝…＝pn=1n，Eξ＝（x1+x2+…+xn）×1期望的一個(gè)性質(zhì)：若η＝aξ+b，則E（aξ+b）＝aEξ+b．4．兩點(diǎn)分布（0-1分布）【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】﹣0﹣1分布：也稱為伯努利分布，只有兩個(gè)可能取值（0或1），用于描述事件發(fā)生的概率．【解題方法點(diǎn)撥】﹣計(jì)算0﹣1分布的期望和方差時(shí)，使用伯努利分布的性質(zhì)和公式．【命題方向】﹣主要考察0﹣1分布的性質(zhì)和應(yīng)用問(wèn)題．5．正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．正態(tài)曲線及性質(zhì)（1）正態(tài)曲線的定義函數(shù)φμ，σ（x）=12πσe-(x-μ)22σ2，x∈（﹣∞，+∞），其中實(shí)數(shù)（2）正態(tài)曲線的解析式①指數(shù)的自變量是x定義域是R，即x∈（﹣∞，+∞）．②解析式中含有兩個(gè)常數(shù)：π和e，這是兩個(gè)無(wú)理數(shù)．③解析式中含有兩個(gè)參數(shù)：μ和σ，其中μ可取任意實(shí)數(shù)，σ＞0這是正態(tài)分布的兩個(gè)特征數(shù)．④解析式前面有一個(gè)系數(shù)為12πσ，后面是一個(gè)以e為底數(shù)的指數(shù)函數(shù)的形式，冪2．正態(tài)分布（1）正態(tài)分布的定義及表示如果對(duì)于任何實(shí)數(shù)a，b（a＜b），隨機(jī)變量X滿足P（a＜X≤b）=abφμ，σ（x）dx，則稱X的分布為正態(tài)分布，記作N（μ，（2）正態(tài)總體在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值①P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826；②P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544；③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9974．3．正態(tài)曲線的性質(zhì)正態(tài)曲線φμ，σ（x）=12πσe（1）曲線位于x軸上方，與x軸不相交；（2）曲線是單峰的，它關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱；（3）曲線在x＝μ處達(dá)到峰值12（4）曲線與x軸圍成的圖形的面積為1；（5）當(dāng)σ一定時(shí)，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移；（6）當(dāng)μ一定時(shí)，曲線的形狀由σ確定，σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散．4．三個(gè)鄰域會(huì)用正態(tài)總體在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值結(jié)合正態(tài)曲線求隨機(jī)變量的概率．落在三個(gè)鄰域之外是小概率事件，這也是對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行質(zhì)量檢測(cè)的理論依據(jù)．【解題方法點(diǎn)撥】正態(tài)分布是高中階段唯一連續(xù)型隨機(jī)變量的分布，這個(gè)考點(diǎn)雖然不是高考的重點(diǎn)，但在近幾年新課標(biāo)高考中多次出現(xiàn)，其中數(shù)值計(jì)算是考查的一個(gè)熱點(diǎn)，考生往往不注意對(duì)這些數(shù)值的記憶而導(dǎo)致解題無(wú)從下手或計(jì)算錯(cuò)誤．對(duì)正態(tài)分布N（μ，σ2）中兩個(gè)參數(shù)對(duì)應(yīng)的數(shù)值及其意義應(yīng)該理解透徹并記住，且注意第二個(gè)數(shù)值應(yīng)該為σ2而不是σ，同時(shí)，記住正態(tài)密度曲線的六條性質(zhì)．【命題方向】題型一：概率密度曲線基礎(chǔ)考察典例1：設(shè)有一正態(tài)總體，它的概率密度曲線是函數(shù)f（x）的圖象，且f（x）=18πA．10與8B．10與2C．8與10D．2與10解析：由18πe-(x-10)答案：B．典例2：已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N（2，σ2），且P（ξ＜4）＝0.8，則P（0＜ξ＜2）等于（）A．0.6B．0.4C．0.3D．0.2解析：由P（ξ＜4）＝0.8知P（ξ＞4）＝P（ξ＜0）＝0.2，故P（0＜ξ＜2）＝0.3．故選C．典例3：已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（3，1），且P（2≤X≤4）＝0.6826，則P（X＞4）等于（）A．0.1588B．0.1587C．0.1586D．0.1585解析由正態(tài)曲線性質(zhì)知，其圖象關(guān)于直線x＝3對(duì)稱，∴P（X＞4）＝0.5﹣12P（2≤X≤4）＝0.5-12×0.6826＝題型二：正態(tài)曲線的性質(zhì)典例1：若一個(gè)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù)，且該函數(shù)的最大值為14（1）求該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式；（2）求正態(tài)總體在（﹣4，4]的概率．分析：要確定一個(gè)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式，關(guān)鍵是求解析式中的兩個(gè)參數(shù)μ，σ的值，其中μ決定曲線的對(duì)稱軸的位置，σ則與曲線的形狀和最大值有關(guān)．解（1）由于該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù)，所以其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，即μ＝0．由12πσ=1φμ，σ（x）=142πe-（2）P（﹣4＜X≤4）＝P（0﹣4＜X≤0+4）＝P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826．點(diǎn)評(píng)：解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是正確理解函數(shù)解析式與正態(tài)曲線的關(guān)系，掌握函數(shù)解析式中參數(shù)的取值變化對(duì)曲線的影響．典例2：設(shè)兩個(gè)正態(tài)分布N（μ1，σ12）（σ1＞0）和N（μ2，σ22）（σ2＞0A．μ1＜μ2，σ1＜σ2B．μ1＜μ2，σ1＞σ2C．μ1＞μ2，σ1＜σ2D．μ1＞μ2，σ1＞σ2解析：根據(jù)正態(tài)分布N（μ，σ2）函數(shù)的性質(zhì)：正態(tài)分布曲線是一條關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱，在x＝μ處取得最大值的連續(xù)鐘形曲線；σ越大，曲線的最高點(diǎn)越低且較平緩；反過(guò)來(lái)，σ越小，曲線的最高點(diǎn)越高且較陡峭，故選A．答案：A．題型三：服從正態(tài)分布的概率計(jì)算典例1：設(shè)X～N（1，22），試求（1）P（﹣1＜X≤3）；（2）P（3＜X≤5）；（3）P（X≥5）．分析：將所求概率轉(zhuǎn)化到（μ﹣σ，μ+σ]．（μ﹣2σ，μ+2σ]或[μ﹣3σ，μ+3σ]上的概率，并利用正態(tài)密度曲線的對(duì)稱性求解．解析：∵X～N（1，22），∴μ＝1，σ＝2．（1）P（﹣1＜X≤3）＝P（1﹣2＜X≤1+2）＝P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826．（2）∵P（3＜X≤5）＝P（﹣3＜X≤﹣1），∴P（3＜X≤5）=12[P（﹣3＜X≤5）﹣P（﹣1＜X≤3=12[P（1﹣4＜X≤1+4）﹣P（1﹣2＜X≤1+2=12[P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）﹣P（μ﹣σ＜X≤μ+σ=12×（0.9544＝0.1359．（3）∵P（X≥5）＝P（X≤﹣3），∴P（X≥5）=12[1﹣P（﹣3＜X≤5=12[1﹣P（1﹣4＜X≤1+4=12[1﹣P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ=12×（1﹣0.9544求服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量在某個(gè)區(qū)間取值的概率，只需借助正態(tài)曲線的性質(zhì)，把所求問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知概率的三個(gè)區(qū)間上．典例2：隨機(jī)變量ξ服從正