第19頁（共19頁）2024-2025學(xué)年下學(xué)期高一數(shù)學(xué)北師大版（2019）期末必刷常考題之復(fù)數(shù)的三角表示一．選擇題（共7小題）1．（2024春?官渡區(qū)校級月考）已知復(fù)數(shù)z滿足2i?z＝1﹣i，其中i為虛數(shù)單位，則|z|＝（）A．12 B．22 C．2 D2．（2024秋?江蘇月考）已知復(fù)數(shù)z滿足z3=1+3A．1+33i BC．1+63i 3．（2024?哈師大附中、東北師大附中、遼寧省實驗中學(xué)三模）復(fù)數(shù)z＝a+bi（a，b∈R，i是虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點為Z，設(shè)r＝|OZ|，θ是以x軸的非負半軸為始邊，以O(shè)Z所在的射線為終邊的角，則z＝a+bi＝r（cosθ+isinθ），把r（cosθ+isinθ）叫做復(fù)數(shù)a+bi的三角形式，利用復(fù)數(shù)的三角形式可以進行復(fù)數(shù)的指數(shù)運算，[r（cosθ+isinθ）]n＝rn（cosθ+isinθ）（n∈N*），例如：(-12+32i)3=(cos2π3+isin2π3)A．2(B．2(C．62D．64．（2024春?田家庵區(qū)校級期中）復(fù)數(shù)-1A．cos60°+isin60° B．﹣cos60°+isin60° C．cos120°+isin60° D．cos120°+isin120°5．（2023春?浙江期中）任何一個復(fù)數(shù)z＝a+bi（a，b∈R）都可以表示成z＝r（cosθ+isinθ）的形式．其中r是復(fù)數(shù)z的模：θ是以x軸的非負半軸為始邊，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的平面向量OZ→=(a，b)所在射線為終邊的角，叫做復(fù)數(shù)z＝a+bi的輻角．我們規(guī)定在0≤θ＜2π范圍內(nèi)的輻角θA．4π3 B．2π3 C．π6．（2023春?鼓樓區(qū)校級期中）復(fù)數(shù)z＝1﹣i，將復(fù)數(shù)z的對應(yīng)向量按逆時針方向旋轉(zhuǎn)π4A．2 B．2i C．1 D．7．（2023?天河區(qū)校級開學(xué)）復(fù)數(shù)z=4iA．π4 B．7π4 C．3π二．多選題（共3小題）（多選）8．（2024春?彌勒市校級期中）歐拉是科學(xué)史上最多才的一位杰出的數(shù)學(xué)家，他發(fā)明的公式為eix＝cosx+isinx，i虛數(shù)單位，將指數(shù)函數(shù)的定義域擴大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，這個公式也被譽為“數(shù)學(xué)中的天橋”（e為自然對數(shù)的底數(shù)，i為虛數(shù)單位），依據(jù)上述公式，則下列結(jié)論中正確的是（）A．復(fù)數(shù)eiπB．復(fù)數(shù)ei3對應(yīng)的點位于第二象限 C．復(fù)數(shù)eiπ3D．復(fù)數(shù)eiθ（θ∈[0，π]）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的軌跡是半圓（多選）9．（2024?凌河區(qū)校級模擬）已知復(fù)數(shù)z滿足|z|＝1且z=i?z，則zA．cosπ4-isin3C．cos34π+（多選）10．（2024春?尚義縣校級月考）任何一個復(fù)數(shù)z＝a+bi（其中a，b∈R）都可以表示成：z＝r（cosθ+isinθ）的形式．法國數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn)：zn＝[r（cosθ+isinθ）]n＝rn（cosnθ+isinnθ）（n∈N*），我們稱這個結(jié)論為棣莫弗定理．根據(jù)以上信息，下列說法正確的是（）A．當(dāng)r＝1，θ=π3時，復(fù)數(shù)zB．當(dāng)r＝2，θ=2π3時，zC．當(dāng)r＝1，θ=2πD．|三．填空題（共3小題）11．（2022春?沙坪壩區(qū)校級月考）復(fù)數(shù)12+32i的三角形式是12．（2022春?閔行區(qū)校級期末）將復(fù)數(shù)化為三角形式：12-12i13．（2022秋?寶山區(qū)校級月考）已知a，b∈R，a+3i＝（b+i）i（i為虛數(shù)單位），則arg（a+bi）＝．（用反三角形式書寫）四．解答題（共2小題）14．（2024春?博望區(qū)校級期中）已知：①任何一個復(fù)數(shù)z＝a+bi都可以表示成r（cosθ+isinθ）的形式．其中r是復(fù)數(shù)z的模，θ是以x軸的非負半軸為始邊，向量OZ→所在射線（射線OZ）為終邊的角，叫做復(fù)數(shù)z＝a+bi的輻角，r（cosθ+isinθ）叫做復(fù)數(shù)z＝a+bi②方程xn＝1（n為正整數(shù)）有n個不同的復(fù)數(shù)根；（1）求證：r1（cosθ1+isinθ1）?r2（cosθ2+isinθ2）＝r1r2[cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）]；（2）設(shè)ω=-12（3）試求出所有滿足方程x6＝1的復(fù)數(shù)x的值所組成的集合．15．（2024春?浦東新區(qū)校級月考）已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足|z|＝1．（1）若z=32-i（2）若z≠±i，復(fù)數(shù)ω滿足ω+iω（3）已知復(fù)平面上點A，B對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為z1＝2，z2＝﹣3．記復(fù)數(shù)z-z1z-

2024-2025學(xué)年下學(xué)期高一數(shù)學(xué)北師大版（2019）期末必刷?？碱}之復(fù)數(shù)的三角表示參考答案與試題解析一．選擇題（共7小題）題號1234567答案BDDDBAB二．多選題（共3小題）題號8910答案ABDACBCD一．選擇題（共7小題）1．（2024春?官渡區(qū)校級月考）已知復(fù)數(shù)z滿足2i?z＝1﹣i，其中i為虛數(shù)單位，則|z|＝（）A．12 B．22 C．2 D【考點】復(fù)數(shù)的三角表示．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)；運算求解．【答案】B【分析】由向量的四則運算以及模的運算公式求解即可．【解答】解：因為z=所以|z故選：B．【點評】本題考查了向量的四則運算以及模的運算公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．2．（2024秋?江蘇月考）已知復(fù)數(shù)z滿足z3=1+3A．1+33i BC．1+63i 【考點】復(fù)數(shù)的代數(shù)形式與三角形式互化．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)；運算求解．【答案】D【分析】設(shè)z＝rcosθ+risinθ（r＞0，θ∈[0，2π）），根據(jù)復(fù)數(shù)的三角形式計算可得答案．【解答】解：設(shè)z＝rcosθ+risinθ（r＞0，θ∈[0，2π）），所以z3可得r3兩式相除可得tan3θ=即θ=因為θ∈[0，2π），所以θ=當(dāng)θ=π9時，則r3sin(3×π9)=3，即r解得r=32，此時z=32（cos當(dāng)θ=4π9時，則r3sin(3×4π9)=3，即當(dāng)θ=7π9時，則r3sin(3×7π9)=解得r=32，此時z=32（cos當(dāng)θ=10π9時，則r3sin(3×10π9)=3，即當(dāng)θ=13π9時，則r3sin(3×13π9)=解得r=32，此時z=32（cos當(dāng)θ=16π9時，則r3sin(3×16π9)=3，即故選：D．【點評】本題考查了復(fù)數(shù)的代數(shù)形式與三角形式的互化，考查了運算能力，是基礎(chǔ)題．3．（2024?哈師大附中、東北師大附中、遼寧省實驗中學(xué)三模）復(fù)數(shù)z＝a+bi（a，b∈R，i是虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點為Z，設(shè)r＝|OZ|，θ是以x軸的非負半軸為始邊，以O(shè)Z所在的射線為終邊的角，則z＝a+bi＝r（cosθ+isinθ），把r（cosθ+isinθ）叫做復(fù)數(shù)a+bi的三角形式，利用復(fù)數(shù)的三角形式可以進行復(fù)數(shù)的指數(shù)運算，[r（cosθ+isinθ）]n＝rn（cosθ+isinθ）（n∈N*），例如：(-12+32i)3=(cos2π3+isin2π3)A．2(B．2(C．62D．6【考點】復(fù)數(shù)乘、除運算的三角表示及其幾何意義．【專題】綜合法；數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)；能力層次；運算求解．【答案】D【分析】結(jié)合已知運算法則檢驗各選項即可判斷．【解答】解：因為z3＝1+i=2（2結(jié)合選項可知，A，B顯然錯誤；若z=62（cos5π4+isin5π4），則z3=2（cos15π4若z=62（cos17π12+isin17π12），則z3=2（cos17π4故選：D．【點評】本題主要考查了復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)的四則運算，屬于基礎(chǔ)題．4．（2024春?田家庵區(qū)校級期中）復(fù)數(shù)-1A．cos60°+isin60° B．﹣cos60°+isin60° C．cos120°+isin60° D．cos120°+isin120°【考點】復(fù)數(shù)的代數(shù)形式與三角形式互化．【專題】方程思想；定義法；數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)；運算求解．【答案】D【分析】利用復(fù)數(shù)的三角形式即可得解．【解答】解：令z=則r＝|z|＝1，所以cosθ=因為0°≤θ＜360°，所以θ＝120°，-12+32i的三角形式是故選：D．【點評】本題考查復(fù)數(shù)的三角形式，屬于基礎(chǔ)題．5．（2023春?浙江期中）任何一個復(fù)數(shù)z＝a+bi（a，b∈R）都可以表示成z＝r（cosθ+isinθ）的形式．其中r是復(fù)數(shù)z的模：θ是以x軸的非負半軸為始邊，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的平面向量OZ→=(a，b)所在射線為終邊的角，叫做復(fù)數(shù)z＝a+bi的輻角．我們規(guī)定在0≤θ＜2π范圍內(nèi)的輻角θA．4π3 B．2π3 C．π【考點】復(fù)數(shù)的輻角和輻角主值．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)；運算求解．【答案】B【分析】由題意求出復(fù)數(shù)﹣1+3i【解答】解：由題意可得|﹣1+3i|=(-1則﹣1+3i＝2（-12+32所以arg（﹣1+3i）=故選：B．【點評】本題考查了復(fù)數(shù)的三角表示，涉及到三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．6．（2023春?鼓樓區(qū)校級期中）復(fù)數(shù)z＝1﹣i，將復(fù)數(shù)z的對應(yīng)向量按逆時針方向旋轉(zhuǎn)π4A．2 B．2i C．1 D．【考點】復(fù)數(shù)乘、除運算的三角表示及其幾何意義．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)；運算求解．【答案】A【分析】化簡z＝1﹣i=2（cos（-π4）+isin（-π4）），從而由可得新復(fù)數(shù)為2（cos（-π4+π【解答】解：z＝1﹣i=2（cos（-π4）+isin將復(fù)數(shù)z的對應(yīng)向量按逆時針方向旋轉(zhuǎn)π42（cos（-π4+π4）+isin故選：A．【點評】本題考查了復(fù)數(shù)的代數(shù)形式與三角形式的轉(zhuǎn)化，屬于基礎(chǔ)題．7．（2023?天河區(qū)校級開學(xué)）復(fù)數(shù)z=4iA．π4 B．7π4 C．3π【考點】復(fù)數(shù)的輻角和輻角主值．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)；運算求解．【答案】B【分析】先對z化簡，再結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的定義，以及復(fù)數(shù)輻角主值的定義，即可求解．【解答】解：z=故z=2-2故z的輻角主值為7π故選：B．【點評】本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運算，屬于基礎(chǔ)題．二．多選題（共3小題）（多選）8．（2024春?彌勒市校級期中）歐拉是科學(xué)史上最多才的一位杰出的數(shù)學(xué)家，他發(fā)明的公式為eix＝cosx+isinx，i虛數(shù)單位，將指數(shù)函數(shù)的定義域擴大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，這個公式也被譽為“數(shù)學(xué)中的天橋”（e為自然對數(shù)的底數(shù)，i為虛數(shù)單位），依據(jù)上述公式，則下列結(jié)論中正確的是（）A．復(fù)數(shù)eiπB．復(fù)數(shù)ei3對應(yīng)的點位于第二象限 C．復(fù)數(shù)eiπ3D．復(fù)數(shù)eiθ（θ∈[0，π]）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的軌跡是半圓【考點】復(fù)數(shù)的三角表示．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)；運算求解．【答案】ABD【分析】根據(jù)給定的公式，結(jié)合復(fù)數(shù)的相關(guān)概念逐項分析判斷即得．【解答】解：對于A，eiπ2=cos對于B，ei3＝cos3+isin3，而π2＜3＜π，即cos3＜0，sin3＞0，則復(fù)數(shù)e對于C，eiπ3=cosπ3對于D，eiθ＝cosθ+isinθ，|eiθ|＝|cosθ+isinθ|＝1，復(fù)數(shù)eiθ（θ∈[0，π]）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的軌跡是半徑為1的半圓，D正確．故選：ABD．【點評】本題主要考查復(fù)數(shù)的指數(shù)形式，屬于基礎(chǔ)題．（多選）9．（2024?凌河區(qū)校級模擬）已知復(fù)數(shù)z滿足|z|＝1且z=i?z，則zA．cosπ4-isin3C．cos34π+【考點】復(fù)數(shù)的代數(shù)形式與三角形式互化；共軛復(fù)數(shù)；復(fù)數(shù)的除法運算．【專題】對應(yīng)思想；分析法；數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)；運算求解．【答案】AC【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義、共軛復(fù)數(shù)的概念與運算以及復(fù)數(shù)的乘法運算依次判斷選項即可．【解答】解：對于A：若z=cosπ∴|z|=(22對于B：若z=cos3|z|=(-22對于C：若z=cos3|z|=(-22對于D：若z=cosπ|z|=(22故選：AC．【點評】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查了復(fù)數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)題．（多選）10．（2024春?尚義縣校級月考）任何一個復(fù)數(shù)z＝a+bi（其中a，b∈R）都可以表示成：z＝r（cosθ+isinθ）的形式．法國數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn)：zn＝[r（cosθ+isinθ）]n＝rn（cosnθ+isinnθ）（n∈N*），我們稱這個結(jié)論為棣莫弗定理．根據(jù)以上信息，下列說法正確的是（）A．當(dāng)r＝1，θ=π3時，復(fù)數(shù)zB．當(dāng)r＝2，θ=2π3時，zC．當(dāng)r＝1，θ=2πD．|【考點】復(fù)數(shù)乘、除運算的三角表示及其幾何意義；純虛數(shù)；共軛復(fù)數(shù)；復(fù)數(shù)的乘法及乘方運算．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)；運算求解．【答案】BCD【分析】用給定的定理，結(jié)合純虛數(shù)、共軛復(fù)數(shù)及復(fù)數(shù)乘法依次判斷即得．【解答】解：對于A，z3＝cosπ+isinπ＝﹣1，z3為實數(shù)，故A錯誤；對于B，z=2(cos2π3+isin2π3)，z3＝8（對于C，z=cos2π3對于D，z＝r（cosθ+isinθ），則z?z=故選：BCD．【點評】本題考查了復(fù)數(shù)的乘法運算，考查了復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題．三．填空題（共3小題）11．（2022春?沙坪壩區(qū)校級月考）復(fù)數(shù)12+32i的三角形式是cosπ3【考點】復(fù)數(shù)的代數(shù)形式與三角形式互化．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)；運算求解．【答案】cosπ3+isin【分析】直接化復(fù)數(shù)的代數(shù)形式為三角形式即可．【解答】解：復(fù)數(shù)12+32i=故答案為：cosπ3+isin【點評】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式與三角形式的互化，是基礎(chǔ)題．12．（2022春?閔行區(qū)校級期末）將復(fù)數(shù)化為三角形式：12-12i【考點】復(fù)數(shù)的代數(shù)形式與三角形式互化．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)；運算求解．【答案】22【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的三角表示的定義計算即可．【解答】解：復(fù)數(shù)12-1設(shè)θ為復(fù)數(shù)的輻角主值，θ∈[0，2π），又cos7所以12故答案為：22【點評】本題主要考查復(fù)數(shù)的三角表示，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．13．（2022秋?寶山區(qū)校級月考）已知a，b∈R，a+3i＝（b+i）i（i為虛數(shù)單位），則arg（a+bi）＝π﹣arctan3．（用反三角形式書寫）【考點】復(fù)數(shù)的輻角和輻角主值．【專題】計算題；對應(yīng)思想；分析法；數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)；運算求解．【答案】π﹣arctan3【分析】首先根據(jù)題意得到a＝﹣1，b＝3，從而得到幅角的正切值為﹣3，再求arg（﹣1+3i）即可．【解答】解：因為a+3i＝（b+i）i＝﹣1+bi，所以a＝﹣1，b＝3．所以arg（a+bi）＝arg（﹣1+3i），幅角的正切值為﹣3，（﹣1，3）在第二象限，因為arg(-1+3i)∈(π2，故答案為：π﹣arctan3．【點評】本題考查復(fù)數(shù)的運算，屬于基礎(chǔ)題．四．解答題（共2小題）14．（2024春?博望區(qū)校級期中）已知：①任何一個復(fù)數(shù)z＝a+bi都可以表示成r（cosθ+isinθ）的形式．其中r是復(fù)數(shù)z的模，θ是以x軸的非負半軸為始邊，向量OZ→所在射線（射線OZ）為終邊的角，叫做復(fù)數(shù)z＝a+bi的輻角，r（cosθ+isinθ）叫做復(fù)數(shù)z＝a+bi②方程xn＝1（n為正整數(shù)）有n個不同的復(fù)數(shù)根；（1）求證：r1（cosθ1+isinθ1）?r2（cosθ2+isinθ2）＝r1r2[cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）]；（2）設(shè)ω=-12（3）試求出所有滿足方程x6＝1的復(fù)數(shù)x的值所組成的集合．【考點】復(fù)數(shù)的三角表示．【專題】對應(yīng)思想；定義法；數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)；運算求解．【答案】（1）證明見解析；（2）-1（3）{1，【分析】（1）根據(jù)題意，由復(fù)數(shù)的四則運算代入計算，即可證明；（2）根據(jù)題意，將復(fù)數(shù)ω化為復(fù)數(shù)的三角形式，然后結(jié)合三角形式的運算，代入計算，即可得到結(jié)果；（3）根據(jù)題意，由復(fù)數(shù)的三角形式的運算代入計算，結(jié)合終邊相同的角的集合，即可得到結(jié)果．【解答】（1）證明：r1（cosθ1+isinθ1）?r2（cosθ2+isinθ2）＝r1r2[cosθ1cosθ2﹣sinθ1sinθ2+（cosθ1sinθ2+sinθ1cosθ2）i]＝r1r2[cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）]；（2）ω=則ω2024（3）設(shè)x＝cosθ+isinθ，則x6＝（cosθ+isinθ）6＝cos6θ+isin6θ＝1，因此sin6θ＝0，cos6θ＝1，6θ＝2kπ，k∈Z，解得θ=取k＝0，1，2，3，4，5，則對應(yīng)的θ依次為0，因此對應(yīng)的x依次為1，可得所求的集合是{1，【點評】本題考查復(fù)數(shù)的三角表示，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．15．（2024春?浦東新區(qū)校級月考）已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足|z|＝1．（1）若z=32-i（2）若z≠±i，復(fù)數(shù)ω滿足ω+iω-（3）已知復(fù)平面上點A，B對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為z1＝2，z2＝﹣3．記復(fù)數(shù)z-z1z-【考點】復(fù)數(shù)的代數(shù)形式與三角形式互化．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)；邏輯思維；運算求解．【答案】（1）π6（2）以（0，0）為圓心、半徑為1的圓，不含點（0，1），理由見解析；（3）[π【分析】（1）求得復(fù)數(shù)z，可求輻角主值；（2）設(shè)z＝a+bi（a，b∈R），z-iz+i=-2aia2+(b+1)（3）設(shè)z＝a+bi（a，b∈R），則a2+b2＝1，設(shè)z﹣z1的一個輻角為α，z﹣z2的一個輻角為β，可得tanφ=tan(α-β)=5ba-5，令a＝cost，b＝sint，0【解答】解：（1）z+i=32-所以z+i的輻角主值為π6（2）由題意設(shè)z＝a+bi（a，b∈R），a≠0，則a2+b2＝1，z-又因為ω+所以ω+iω-i為純虛數(shù)或0，設(shè)ω＝x+yi（x所以ω+iω即x2+y2＝1，且ω≠i．所以ω是以（0，0）為圓心、半徑為1的圓，不含點（0，1）；（3）設(shè)z＝a+bi（a，b∈R），則a2+b2＝1，設(shè)z﹣z1的一個輻角為α，z﹣z2的一個輻角為β，tanφ=令a＝cost，b＝sint，0≤t＜2π，設(shè)k=5sint解得k范圍為[-若Im（z）≥0，則φ的范圍是[π若Im（z）＜0，則φ的范圍是(π所以φ的范圍是[π【點評】本題考查復(fù)數(shù)的運算性質(zhì)的應(yīng)用，復(fù)角主值的求法，屬于中檔題．

考點卡片1．純虛數(shù)【知識點的認(rèn)識】形如a+bi（a，b∈R）的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，a，b分別叫做它的實部和虛部，當(dāng)a＝0，b≠0時，叫做純虛數(shù)．純虛數(shù)也可以理解為非零實數(shù)與虛數(shù)單位i相乘得到的結(jié)果．【解題方法點撥】復(fù)數(shù)與復(fù)平面上的點是一一對飲的，這為形與數(shù)之間的相互轉(zhuǎn)化提供了一條重要思路．要完整理解復(fù)數(shù)為純虛數(shù)的等價條件，復(fù)數(shù)z＝a+bi（a，b∈R）為純虛數(shù)的充要條件是a＝0，b≠0．實數(shù)集和虛數(shù)集的并集是全體復(fù)數(shù)集．虛數(shù)中包含純虛數(shù)，即由純虛數(shù)構(gòu)成的集合可以看成是虛數(shù)集的一個真子集．【命題方向】純虛數(shù)在考察題型上主要以選擇、填空題的形式出現(xiàn)．試題難度不大，多為低檔題，是歷年高考的熱點，考察學(xué)生的基本運算能力．常見的命題角度有：（1）復(fù)數(shù)的概念；（2）復(fù)數(shù)的模；（3）復(fù)數(shù)相等的四則運算；（4）復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點．2．共軛復(fù)數(shù)【知識點的認(rèn)識】實部相等而虛部互為相反數(shù)的兩個復(fù)數(shù)，叫做互為共軛復(fù)數(shù)．如2+3i與2﹣3i互為共軛復(fù)數(shù)，用數(shù)學(xué)語言來表示即：復(fù)數(shù)Z＝a+bi的共軛復(fù)數(shù)Z=a﹣bi【解題方法點撥】共軛復(fù)數(shù)的常見公式有：|Z|=|Z|；|Z【命題方向】共軛復(fù)數(shù)在考察題型上主要以選擇、填空題的形式出現(xiàn)．試題難度不大，多為低檔題，要求能夠掌握共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)，并能將復(fù)數(shù)的共軛加法運算和乘法運算進行推廣．運用共軛復(fù)數(shù)運算解決一些簡單的復(fù)數(shù)問題，提高數(shù)學(xué)符號變換的能力，培優(yōu)學(xué)生類比推廣思想，從特殊到一般的方法和探究方法．3．復(fù)數(shù)的乘法及乘方運算【知識點的認(rèn)識】﹣乘法：復(fù)數(shù)z1＝a1+b1i和z2＝a2+b2i的乘積是（a1a2﹣b1b2）+（a1b2+b1a2）i．﹣乘方：復(fù)數(shù)的乘方可通過乘法運算重復(fù)進行，或利用極坐標(biāo)表示．【解題方法點撥】﹣直接計算：使用復(fù)數(shù)的分量進行乘法運算．﹣極坐標(biāo)形式：利用極坐標(biāo)形式進行復(fù)數(shù)乘方運算，簡化計算過程．【命題方向】﹣復(fù)數(shù)乘法運算：考查復(fù)數(shù)乘法及其性質(zhì)．﹣復(fù)數(shù)的乘方：如何使用復(fù)數(shù)的乘方運算解決問題，如冪運算和多項式根．（3i﹣2）（i+4）﹣i＝_____．解：依題意，（3i﹣2）（i+4）﹣i＝3i2+12i﹣2i﹣8﹣i＝﹣11+9i．4．復(fù)數(shù)的除法運算【知識點的認(rèn)識】復(fù)數(shù)除法涉及分子與分母的復(fù)數(shù)．對于復(fù)數(shù)z1＝a1+b1i和z2＝a2+b2i，除法結(jié)果是z1【解題方法點撥】﹣化簡復(fù)數(shù)：將復(fù)數(shù)除法轉(zhuǎn)換為分?jǐn)?shù)形式，乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，化簡得到標(biāo)準(zhǔn)形式．﹣應(yīng)用：在實際問題中如何處理復(fù)數(shù)的除法及其應(yīng)用．【命題方向】﹣復(fù)數(shù)除法的計算：考查如何計算復(fù)數(shù)除法及其結(jié)果．﹣除法的實際應(yīng)用：如何在實際問題中應(yīng)用復(fù)數(shù)除法．i是虛數(shù)單位，2i1+解：2i1+i5．復(fù)數(shù)的三角表示【知識點的認(rèn)識】在復(fù)平面中，我們設(shè)r=|OZ|，θ是以x則a＝rcosθ，b＝rsinθ，z＝a+bi＝r（cosθ+isinθ），我們把r（cosθ+isinθ）叫做復(fù)數(shù)a+bi的三角形式，其中r是復(fù)數(shù)的模，(2)(2)+2【解題方法點撥】（1）復(fù)數(shù)的三角形式Z＝r（cosθ+isinθ）滿足以下條件：①r≥0；②加號連接；③cos在前，sin在后；④θ前后一致，可為任意值．（2）代數(shù)式化三角式的步驟：①先求復(fù)數(shù)的模；②決定輻角