案例二十七——模數(shù)濾波器橋之雙線性變換法內(nèi)容概要案例設(shè)置目的相關(guān)基礎(chǔ)理論情境任務及步驟IIR數(shù)字低通濾波器設(shè)計IIR數(shù)字高通濾波器設(shè)計IIR數(shù)字帶通濾波器設(shè)計IIR數(shù)字帶阻濾波器設(shè)計思考題總結(jié)報告要求案例設(shè)置目的理解雙線性變換法的思想及特點；掌握用雙線性變換法設(shè)計數(shù)字低通、高通、帶通濾波器的方法與步驟；了解MATLAB有關(guān)雙線性變換法設(shè)計的常用子函數(shù)。相關(guān)基礎(chǔ)理論沖擊響應不變法通過

=

T保證了模擬角頻率

和數(shù)字角頻率

之間的線性關(guān)系，但采樣也造成了多重映射，時域采樣定理也要求所設(shè)計的濾波器必須是帶限的，即沖擊響應不變法只能用于低通和帶通濾波器的設(shè)計，而不能用于高通或帶阻濾波器的設(shè)計。雙線性變換則通過頻率的壓縮和單值映射確立了S平面與Z平面的關(guān)系。下面將詳細討論雙線性變換的原理與濾波器的實現(xiàn)。1．雙線性變換原理雙線性變換通過兩次單值映射完成S平面到Z平面的映射，具體過程如圖27.1所示。相關(guān)基礎(chǔ)理論該過程分為兩步，第一步是從S平面到S1平面的映射，第二步是從S1平面到Z平面的映射。在低頻頻率一致優(yōu)先原則下，雙線性變換利用如下表達式將整個S平面沿縱軸方向壓縮到S1平面的

π/T之間：（27.1）或者說將整個S平面壓縮為S1平面的

π/T之間的一條帶狀區(qū)域，即（27.2）再通過將S1平面上Ω1取

π/T之間的條帶映射到Z平面，最終建立了S平面與Z平面的單值映射關(guān)系：（27.3）S平面的虛軸單值地映射成Z平面的單位圓上，S平面的左半平面完全映射到Z平面的單位圓內(nèi)，因此雙線性變換可以避免采樣引起的混疊問題。有了式（27.3）所示s與z的關(guān)系，不難得出從模擬濾波器傳遞函數(shù)Ha(s)到數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(z)的映射關(guān)系，（27.4）相關(guān)基礎(chǔ)理論另外值得注意的是雙線性變換中模擬角頻率

和數(shù)字角頻率

之間不是線性關(guān)系，而是（27.5）從tan函數(shù)隨頻率改變而出現(xiàn)的斜率的變化可以看出，雙線性變換中

和

之間的關(guān)系是非線性的，

越大這種非線性越明顯，因此會造成頻率響應曲線的失真，但這種非線性引起的幅頻特性畸變可通過預畸變而得到適當校正。相關(guān)基礎(chǔ)理論2．基于雙線性變換的數(shù)字IIR濾波器設(shè)計方法與步驟綜上，基于雙線性變換（BilinearTransformDesignmethod--BTD）的數(shù)字IIR濾波器設(shè)計可以分為以下四步。BTDStep1：確定數(shù)字濾波器的性能指標，即通帶、阻帶截止頻率

p和

st（若給定模擬頻率指標則要先轉(zhuǎn)化為數(shù)字邊界頻率，

p=2πfp/Fs，

st=2πfst/Fs，其中Fs為采樣頻率）；通帶內(nèi)的最大衰減

p；阻帶內(nèi)的最小衰減

st。BTDStep2：頻率預畸變。利用式（27.5）計算預畸變邊界模擬頻率（當設(shè)計非低通濾波器時，需要頻帶轉(zhuǎn)換等措施將截止頻率指標轉(zhuǎn)換為模擬低通原型濾波器設(shè)計所需的形式）。BTDStep3：根據(jù)

p、

st、

p和

st確定模擬低通原型濾波器的傳遞函數(shù)Ha(s)。BTDStep4：通過試（27.4）將所得Ha(s)變換為數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。相關(guān)基礎(chǔ)理論考慮到數(shù)字IIR數(shù)字高通、帶通和帶阻濾波器的設(shè)計中需要用到頻帶變換，表27.1匯總了頻率預畸變及從設(shè)計得到的原型低通模擬濾波器傳遞函數(shù)到所需數(shù)字濾波器的映射關(guān)系。情境任務及步驟一、IIR數(shù)字低通濾波器設(shè)計試設(shè)計一ChebyshevI型數(shù)字低通濾波器，其通帶范圍為0～40Hz，通帶允許最大衰減為1dB（

p=1dB），150Hz以上為阻帶，阻帶允許最小衰減為60dB（

st=60dB）。1．數(shù)字低通濾波器設(shè)計1）確定待設(shè)計低通濾波器指標設(shè)采樣頻率為阻帶截止頻率的20倍，即Fs=20

150，編制程序?qū)崿F(xiàn)BTDStep1～BTDStep2所述功能。（1）根據(jù)BTDStep1確定數(shù)字濾波器邊界頻率指標

p和

st。（2）根據(jù)BTDStep2對數(shù)字濾波器邊界頻率進行預畸變，得到模擬濾波器邊界頻率指標

p和

st。（3）通帶內(nèi)的最大衰減

p和阻帶內(nèi)的最小衰減

st直接作為模擬濾波器的衰減指標使用。情境任務及步驟2）模擬低通濾波器設(shè)計為聚焦探究任務的核心，建議在自編程序過程中調(diào)用MATLAB函數(shù)完成濾波器的設(shè)計。為探究頻率預畸變的意義，下面將用兩種方法設(shè)計ChebyshevI型模擬低通濾波器，確定其傳遞函數(shù)Ha(s)。調(diào)用函數(shù)時應注意輸入?yún)?shù)和域（模擬和數(shù)字）的一致性。（1）頻率預畸變的模擬低通濾波器設(shè)計。調(diào)用MATLAB函數(shù)cheb1ord，以

p、

st、

p和

st為輸入，確定模擬ChebyshevI型低通濾波器的階數(shù)N1和半功率點截止頻率Wn1。調(diào)用MATLAB函數(shù)cheby1，以N1、

p和Wn1為參數(shù)確定ChebyshevI型模擬低通濾波器傳遞函數(shù)Ha(s)的分子分母多項式系數(shù)，分別記為bs1和as1。（2）頻率未畸變的模擬低通濾波器設(shè)計。以2π

40、2π

150、

p和

st為輸入，重新確定ChebyshevI型模擬低通濾波器傳遞函數(shù)Ha(s)的分子分母多項式系數(shù)，分別記為bs2和as2。情境任務及步驟3）完成數(shù)字低通濾波器設(shè)計繼續(xù)編制程序，確定ChebyshevI型數(shù)字低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(z)。下面介紹兩種實現(xiàn)方法，第一種方法是在已得到傳遞函數(shù)Ha(s)基礎(chǔ)上，再進行一次映射得到H(z)；第二種方法是將頻率預畸變、模擬低通濾波器設(shè)計、函數(shù)映射集中到兩個函數(shù)實現(xiàn)。方法一：按部就班。以bs1、as1和Fs為參數(shù)，調(diào)用函數(shù)bilinear確定數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(z)的分子分母多項式系數(shù)，分別記為bz1和az1。此時得到的數(shù)字濾波器前期已經(jīng)進行了頻率預畸變處理。以bs2、as2和Fs為參數(shù)，調(diào)用函數(shù)bilinear確定數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(z)的分子分母多項式系數(shù)，分別記為bz2和az2。此時得到的數(shù)字濾波器前期未進行過頻率預畸變處理。方法二：設(shè)計速成。以

p/π、

st/π、

p和

st為輸入，調(diào)用MATLAB函數(shù)cheb1ord，確定數(shù)字ChebyshevI型低通濾波器的階數(shù)N2和半功率點截止頻率Wn2。其中

p、

st分別表示歸一化的通帶截止頻率和阻帶截止頻率。以N2、

p和Wn2為參數(shù)，調(diào)用MATLAB函數(shù)cheby1，確定ChebyshevI型數(shù)字低通濾波器傳遞函數(shù)H(z)的分子分母多項式系數(shù)，分別記為bz3和az3。情境任務及步驟2．指標驗證1）模擬濾波器頻率響應特性分析調(diào)用MATLAB函數(shù)freqs分析由bs1和as1決定的系統(tǒng)的頻率響應Hs1，分析由bs2和as2決定的系統(tǒng)的頻率響應Hs2，分析的頻率范圍f均為0～Fs/2Hz，步進為10Hz。創(chuàng)建圖形窗口Figure1，并將其分成上下兩部分，在上方子窗口以holdon的方式用不同顏色畫出兩幅頻響應圖，縱軸采用對數(shù)形式；在下方子窗口中用不同顏色畫出兩相頻響應圖，用線性比例顯示。幅頻響應圖子窗口橫軸顯示范圍為0～2fst，縱軸顯示范圍為

90～5。建議畫圖前兩幅頻特性都要進行歸一化處理。2）數(shù)字濾波器頻率響應特性分析調(diào)用MATLAB函數(shù)freqz分析由bz1和az1決定的系統(tǒng)的頻率響應Hz1，由bz2和az2決定的系統(tǒng)的頻率響應Hz2，由bz3和az3決定的系統(tǒng)的頻率響應Hz3，分析的頻率范圍f為0～Fs/2Hz。創(chuàng)建圖形窗口Figure2，并分成上下兩個子窗口，與Figure1類似，上方子窗口用不同顏色分別顯示兩種方法設(shè)計出來的三個數(shù)字濾波器的幅頻響應，下方子窗口顯示兩方法設(shè)計出來的三個數(shù)字濾波器的相頻響應。情境任務及步驟3）畫出比較基準線為直觀準確分析指標的符合度，F(xiàn)igure1和Figure2的幅頻響應圖顯示窗口均標出比較基準線。調(diào)用line函數(shù)在圖上分別畫(0,

p)

(fp,

p)、(0,

st)

(fst,

st)、(fp,

st)

(fp,

p)、(fst,

st)

(fst,

p)四條直線。其中fp、fst、

p和

st分別表示低通濾波器的通帶截止頻率、阻帶截止頻率、通帶允許最大衰減和阻帶允許最小衰減。對照比較基準，仔細觀察Figure1上下兩子圖，總結(jié)頻率預畸變和未預畸變處理情況下，兩模擬濾波器的差異，并記入總結(jié)報告中。觀察Figure2，總結(jié)兩種方法設(shè)計的三種數(shù)字濾波器的幅頻響應和相頻響應的異同，分析頻率預畸變的意義，歸納MATLAB自帶函數(shù)cheby1的算法原理，并記入總結(jié)報告中。3．采樣率變化影響探究將采樣頻率設(shè)置為阻帶截止頻率的4倍、8倍，重復上述1和2的任務，對比頻率響應特性曲線的變化，并將變化情況記入總結(jié)報告。情境任務及步驟二、IIR數(shù)字高通濾波器設(shè)計盡管理論分析已經(jīng)得出雙線性變換法適用于數(shù)字高通濾波器設(shè)計的結(jié)論，為用實踐印證這一結(jié)果，設(shè)置了雙線性變換法的IIR數(shù)字高通濾波器設(shè)計的情境，情境任務與情境一基本相同，具體要求如下。試設(shè)計一ChebyshevI型數(shù)字高通濾波器，0～40Hz為阻帶，最小衰減為60dB（

st=60dB），150Hz以上為其通帶范圍，通帶最大衰減1dB（

p=1dB）。IIR數(shù)字高通濾波器濾波器設(shè)計與上述數(shù)字低通濾波器的設(shè)計步驟基本相同，相同部分不再贅述，這里只強調(diào)其中的不同點。情境二與情境一的主要差別在于：（1）調(diào)用函數(shù)cheby1時，濾波器類型ftype指定為high；（2）圖形顯示時橫軸顯示范圍為0～2fp。情境任務及步驟三、IIR數(shù)字帶通濾波器設(shè)計設(shè)計一橢圓（用最少階數(shù)）數(shù)字濾波器，要求最大限度的保留頻率為2000～2300Hz的信號，最大衰減不能超過1dB，1700Hz以下和2700Hz以上的信號要濾除，衰減比例不得小于40dB，采樣速率為8000Hz。1．設(shè)計數(shù)字帶通濾波器1）確定待設(shè)計帶通濾波器指標編制程序?qū)崿F(xiàn)BTDStep1～BTDStep2所述功能。（1）根據(jù)BTDStep1確定數(shù)字濾波器邊界頻率指標

p1、

p2和

st1、

st2。（2）根據(jù)BTDStep2對數(shù)字濾波器邊界頻率進行預畸變，得到模擬濾波器邊界頻率指標

p1、

p2和

st1、

st2。（3）通帶內(nèi)的最大衰減

p和阻帶內(nèi)的最小衰減

st直接使用。情境任務及步驟2）模擬帶通濾波器設(shè)計為聚焦探究任務的核心，建議在自編程序過程中調(diào)用MATLAB函數(shù)完成濾波器的設(shè)計，減少在手動解決頻帶變換等問題的時間消耗。繼續(xù)編制程序，用兩種方法設(shè)計橢圓模擬低通濾波器，確定其傳遞函數(shù)Ha(s)。（1）頻率預畸變的模擬帶通濾波器設(shè)計。調(diào)用MATLAB函數(shù)ellipord，以[

p1,

p2]、[

s1,

s2]、

p和

st為輸入，確定橢圓模擬形通帶濾波器的階數(shù)N1和半功率點截止頻率Wn1。調(diào)用MATLAB函數(shù)ellip，以N1、

p、

st和Wn1為參數(shù)確定橢圓模擬帶通濾波器傳遞函數(shù)Ha(s)的分子分母多項式系數(shù)，分別記為bs1和as1。（2）頻率不預畸變的模擬帶通濾波器設(shè)計。以[2π

2000,2π

2300]、[2π

1700,2π

2700]、

p和

st為輸入，重新確定橢圓模擬帶通濾波器傳遞函數(shù)Ha(s)的分子分母多項式系數(shù)，分別記為bs2和as2。情境任務及步驟3）完成數(shù)字帶通濾波器設(shè)計繼續(xù)編制程序，確定橢圓數(shù)字帶通濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(z)。下面介紹兩種實現(xiàn)方法，第一種方法是在已得到傳遞函數(shù)Ha(s)基礎(chǔ)上，再進行一次映射得到H(z)；第二種方法是將頻率預畸變、模擬低通濾波器設(shè)計、函數(shù)映射集中到兩個函數(shù)實現(xiàn)。方法一：按部就班。調(diào)用函數(shù)bilinear，以bs1、as1和Fs為參數(shù)確定數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(z)的分子分母多項式系數(shù)，分別記為bz1和az1。此時得到的數(shù)字濾波器前期已經(jīng)進行了頻率預畸變處理。調(diào)用函數(shù)bilinear，以bs2、as2和Fs為參數(shù)確定數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(z)的分子分母多項式系數(shù)，分別記為bz2和az2。此時得到的數(shù)字濾波器前期未進行頻率預畸變處理。（2）設(shè)計速成。調(diào)用MATLAB函數(shù)ellipord，以[

p1,

p2]/π、[

st1,

st2]/π、

p和

st為輸入，確定橢圓數(shù)字帶通濾波器的階數(shù)N2和半功率點截止頻率Wn2；調(diào)用MATLAB函數(shù)ellip，以N2、

p、

st和Wn2為參數(shù)確定ChebyshevI型數(shù)字帶通濾波器傳遞函數(shù)H(z)的分子分母多項式系數(shù)，分別記為bz3和az3。其中

p1、

p2、

st1、

st2分別表示歸一化的通帶截止頻率和阻帶截止頻率。情境任務及步驟2．指標驗證與情境一雙線性變換法設(shè)計數(shù)字低通濾波器的指標驗證的目的和方法都一樣，不再贅述。這里要求確定[bs1,as1]、[bs2,as2]、[bz1,az1]、[bz2,az2]和[bz3,az3]決定系統(tǒng)的幅頻響應，并在同一個窗口中作圖進行比較，得到的三個數(shù)字濾波器與頻率預畸變和未畸變模擬濾波器頻率響應的逼近程度，分析預畸變的意義，并記于總結(jié)報告中。3．采樣率變化影響探究將采樣頻率設(shè)置為阻帶截止頻率的4倍、8倍，重復上述過程，對比頻率響應特性曲線的變化。情境任務及步驟四、IIR數(shù)字帶阻濾波器設(shè)計與情境二類似，只是為用實踐印證雙線性