高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1浙江省杭州市上城區(qū)杭二東河2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)、是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，即x+1x-6>0，解得或，所以B=x|x2又，所以.故選：C.2.已知函數(shù)，則（）A.0 B.1 C.2 D.【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，所?故選：A.3.已知點(diǎn)是第四象限的點(diǎn)，則角的終邊位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】因?yàn)辄c(diǎn)是第四象限的點(diǎn)，所以且.所以角的終邊位于第二象限.故選：B.4.函數(shù)的定義域是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由題意得，即，所以，所以函數(shù)的定義域?yàn)?故選：B.5.已知，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，兩邊同時平方得，所以.故選：D.6.已知，則等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)椋?，解得或（舍去），所?故選：B.7.若，，并且均為銳角，且，則的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，可得，又，所以，因?yàn)?，，所以，所以，又因?yàn)椋?故選：C.8.已知函數(shù)，若，，且，則最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】對任意的，，即恒成立，所以，函數(shù)的定義域?yàn)椋驗(yàn)?，所以，所以，故函?shù)為奇函數(shù)，當(dāng)時，函數(shù)、均增函數(shù)，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，因?yàn)橥鈱雍瘮?shù)為增函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)法可知，函數(shù)在上為增函數(shù)，由奇函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)在上也為增函數(shù)，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，由可得，所以，可得，又因?yàn)?，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時，等號成立，因此的最小值為8.故選：D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知關(guān)于的一元二次不等式的解集為或，則（）A.且B.C.不等式的解集為D.不等式的解集為【答案】AC【解析】由題意可知，則，對于A，所以且，故A正確；對于B，，故B錯誤；對于C，不等式，故C正確；對于D，不等式，又，可得，所以或，故D錯誤.故選：AC.10.函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.C.是函數(shù)的一條對稱軸D.是函數(shù)的對稱中心【答案】ACD【解析】由圖知：，即，而，可得，A正確；可得，結(jié)合，可得，B錯誤；為對稱軸，C正確；由是函數(shù)的一個對稱中心，，則是函數(shù)的對稱中心，D正確.故選：ACD.11.下列各組函數(shù)中，可以只通過圖象平移變換從變?yōu)榈氖牵ǎ〢.，B.，C.，D.，【答案】BD【解析】對于A，無法通過平移由得到，故A錯誤，對于B，，，故可以將的圖象向右平移個單位得到的圖象，故B正確，對于C，要想由得到需要橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)伸長為原來的3倍，故C錯誤，對于D，，，故可將的圖象向上平移1個單位得到的圖象，故D正確.故選：BD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知扇形的半徑為2，圓心角為2弧度，則該扇形的面積為______.【答案】4【解析】根據(jù)扇形的弧長公式可得，根據(jù)扇形的面積公式可得．13.求值：_______．【答案】【解析】.14.若函數(shù)滿足且在區(qū)間上單調(diào)遞減．則的取值范圍是_______．【答案】【解析】因?yàn)榍遥?，則，當(dāng)時，，該函數(shù)在上不單調(diào)，不合乎題意；當(dāng)時，由可得，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，所以，解得，由可得，又由于，則，則，因?yàn)?，則，此時，；當(dāng)時，由可得，由于內(nèi)層函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，所以，解得，由得，由于，則，由于，則，可得，此時，.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知.（1）求的值；（2）求的值.解：（1）由.（2）.16.已知函數(shù)且.（1）求函數(shù)的定義域且判斷奇偶性；（2）求不等式的解集．解：（1）令，∵，解得，∴函數(shù)的定義域?yàn)?，，∴為偶函?shù)，即為偶函數(shù).（2）∵，∴，當(dāng)時，，解得，當(dāng)時，，解得，綜上所述，當(dāng)時，解集為，當(dāng)時，解集為．17.某游樂場的摩天輪示意圖如圖，已知該摩天輪的半徑為30米，輪上最低點(diǎn)與地面的距離為2米，沿逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)一周所需時間為分鐘．在圓周上均勻分布12個座艙，標(biāo)號分別為1~12（可視為點(diǎn)），在旋轉(zhuǎn)過程中，座艙與地面的距離h與時間t的函數(shù)關(guān)系基本符合正弦函數(shù)模型即（其中），現(xiàn)從圖示位置，即1號座艙（可視為A點(diǎn)）位于圓周最右端時開始計(jì)時，旋轉(zhuǎn)時間為t分鐘．（1）求旋轉(zhuǎn)分鐘后號座艙（點(diǎn)）離地面的距離；（2）求1號座艙（點(diǎn)）與地面的距離與時間的函數(shù)關(guān)系的解析式（寫出定義域）；（3）在前24分鐘內(nèi)，求1號座艙（點(diǎn)）與地面的距離為17米時的值．解：（1）因?yàn)樾D(zhuǎn)一周所需時間分鐘，所以旋轉(zhuǎn)分鐘轉(zhuǎn)過的角度為，號座艙（點(diǎn)）離地面的初始高度為米，又摩天輪的半徑為30米，所以逆時針旋轉(zhuǎn)時上升的高度為米，所以旋轉(zhuǎn)分鐘后號座艙（點(diǎn)）離地面的距離米.（2）依題意1號座艙與地面的距離與時間的函數(shù)關(guān)系的解析式為（其中），依題意可得，，則．又，，當(dāng)時，，又，所以，所以．（3）令，即，，，，或，解得或，故或時，1號座艙與地面的距離為17米．18.已知函數(shù)．（1）求和的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）用五點(diǎn)法作出在區(qū)間內(nèi)的圖象；（3）在中，若，求的最大值．解：（1）因?yàn)椋?，所以，令，解得，故的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）依題意可得如下表格：故在區(qū)間內(nèi)的圖象如下所示：（3）由可得，由于，則，故，故，因此，由于，則，故當(dāng)，即時，取最大值為.19.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求的最小值；（2）若在上單調(diào)遞增，求的取值范圍．（3）設(shè)，若對于任意，存在，使得不等式成立，求的取值范圍．解：（1）當(dāng)時，，對任意的，恒成立，此時，函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)閮?nèi)層函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，外層函數(shù)為增函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，故.（2）令，因?yàn)橥鈱雍瘮?shù)在定義域上為增函數(shù)，且函數(shù)在上單調(diào)遞增，則內(nèi)層函數(shù)在上為增函數(shù)，且，即，解得.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.（3）對于任意，存在，使得不等式成立，則對任意的恒成立，因?yàn)椋?dāng)時，，故當(dāng)時，即當(dāng)時，函數(shù)取最小值，即，所以對任意的恒成立，由可得，參變量分離得，因?yàn)?，由基本不等式可得，?dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時等號成立，則，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.浙江省杭州市上城區(qū)杭二東河2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)、是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，即x+1x-6>0，解得或，所以B=x|x2又，所以.故選：C.2.已知函數(shù)，則（）A.0 B.1 C.2 D.【答案】A【解析】因?yàn)椋?，所?故選：A.3.已知點(diǎn)是第四象限的點(diǎn)，則角的終邊位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】因?yàn)辄c(diǎn)是第四象限的點(diǎn)，所以且.所以角的終邊位于第二象限.故選：B.4.函數(shù)的定義域是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由題意得，即，所以，所以函數(shù)的定義域?yàn)?故選：B.5.已知，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，兩邊同時平方得，所以.故選：D.6.已知，則等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)椋?，解得或（舍去），所?故選：B.7.若，，并且均為銳角，且，則的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，可得，又，所以，因?yàn)?，，所以，所以，又因?yàn)?，所?故選：C.8.已知函數(shù)，若，，且，則最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】對任意的，，即恒成立，所以，函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)?，所以，所以，故函?shù)為奇函數(shù)，當(dāng)時，函數(shù)、均增函數(shù)，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，因?yàn)橥鈱雍瘮?shù)為增函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)法可知，函數(shù)在上為增函數(shù)，由奇函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)在上也為增函數(shù)，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，由可得，所以，可得，又因?yàn)椋?，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時，等號成立，因此的最小值為8.故選：D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知關(guān)于的一元二次不等式的解集為或，則（）A.且B.C.不等式的解集為D.不等式的解集為【答案】AC【解析】由題意可知，則，對于A，所以且，故A正確；對于B，，故B錯誤；對于C，不等式，故C正確；對于D，不等式，又，可得，所以或，故D錯誤.故選：AC.10.函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.C.是函數(shù)的一條對稱軸D.是函數(shù)的對稱中心【答案】ACD【解析】由圖知：，即，而，可得，A正確；可得，結(jié)合，可得，B錯誤；為對稱軸，C正確；由是函數(shù)的一個對稱中心，，則是函數(shù)的對稱中心，D正確.故選：ACD.11.下列各組函數(shù)中，可以只通過圖象平移變換從變?yōu)榈氖牵ǎ〢.，B.，C.，D.，【答案】BD【解析】對于A，無法通過平移由得到，故A錯誤，對于B，，，故可以將的圖象向右平移個單位得到的圖象，故B正確，對于C，要想由得到需要橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)伸長為原來的3倍，故C錯誤，對于D，，，故可將的圖象向上平移1個單位得到的圖象，故D正確.故選：BD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知扇形的半徑為2，圓心角為2弧度，則該扇形的面積為______.【答案】4【解析】根據(jù)扇形的弧長公式可得，根據(jù)扇形的面積公式可得．13.求值：_______．【答案】【解析】.14.若函數(shù)滿足且在區(qū)間上單調(diào)遞減．則的取值范圍是_______．【答案】【解析】因?yàn)榍?，所以，則，當(dāng)時，，該函數(shù)在上不單調(diào)，不合乎題意；當(dāng)時，由可得，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，所以，解得，由可得，又由于，則，則，因?yàn)椋瑒t，此時，；當(dāng)時，由可得，由于內(nèi)層函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，所以，解得，由得，由于，則，由于，則，可得，此時，.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知.（1）求的值；（2）求的值.解：（1）由.（2）.16.已知函數(shù)且.（1）求函數(shù)的定義域且判斷奇偶性；（2）求不等式的解集．解：（1）令，∵，解得，∴函數(shù)的定義域?yàn)?，，∴為偶函?shù)，即為偶函數(shù).（2）∵，∴，當(dāng)時，，解得，當(dāng)時，，解得，綜上所述，當(dāng)時，解集為，當(dāng)時，解集為．17.某游樂場的摩天輪示意圖如圖，已知該摩天輪的半徑為30米，輪上最低點(diǎn)與地面的距離為2米，沿逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)一周所需時間為分鐘．在圓周上均勻分布12個座艙，標(biāo)號分別為1~12（可視為點(diǎn)），在旋轉(zhuǎn)過程中，座艙與地面的距離h與時間t的函數(shù)關(guān)系基本符合正弦函數(shù)模型即（其中），現(xiàn)從圖示位置，即1號座艙（可視為A點(diǎn)）位于圓周最右端時開始計(jì)時，旋轉(zhuǎn)時間為t分鐘．（1）求旋轉(zhuǎn)分鐘后號座艙（點(diǎn)）離地面的距離；（2）求1號座艙（點(diǎn)）與地面的距離與時間的函數(shù)關(guān)系的解析式（寫出定義域）；（3）在前24分鐘內(nèi)，求1號座艙（點(diǎn)）與地面的距離為17米時的值．解：（1）因?yàn)樾D(zhuǎn)一周所需時間分鐘，所以旋轉(zhuǎn)分鐘轉(zhuǎn)過的角度為，號座艙（點(diǎn)）離地面的初始高度為米，又摩天輪的半徑為30米，所以逆時針旋轉(zhuǎn)時上升的高度為米，所以旋轉(zhuǎn)分鐘后號座艙（點(diǎn)）離地面的距離米.（2）依題意1號座艙與地面的距離與時間的函數(shù)關(guān)系的解析式為（其中），依題意可得，，則．又，，當(dāng)時，，又，所以，所以．（3）令，即，，，，或，解得或，故或時，1號座艙與地面的距離為17米．18.已知函數(shù)．（1）求和的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）用五點(diǎn)法作出在區(qū)間內(nèi)的圖象；（3）在中，若，求的最大值．解：（1）因?yàn)?，即，所以，令，解得，故的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）依題意可得如下表格：故在區(qū)間內(nèi)的圖象如下所示：（3）由可得，由于，則，故，故，因此，由于，則，故當(dāng)，即時，取最大值為.19.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求的最小值；（2）若在上單調(diào)遞增，求的取值范圍．（3）設(shè)