高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1四川省遂寧市等3地2024屆高三二模數(shù)學(xué)試題（文）一?選擇題1.已知集合，，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，，得，而，所以.故選：C.2.復(fù)數(shù)，則（）A. B. C.2 D.【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，故選：D.3.某公司收集了某商品銷售收入（萬元）與相應(yīng)的廣告支出（萬元）共10組數(shù)據(jù)（），繪制出如下散點(diǎn)圖，并利用線性回歸模型進(jìn)行擬合.若將圖中10個(gè)點(diǎn)中去掉點(diǎn)后再重新進(jìn)行線性回歸分析，則下列說法正確的是（）A.決定系數(shù)變小 B.殘差平方和變小C.相關(guān)系數(shù)的值變小 D.解釋變量與預(yù)報(bào)變量相關(guān)性變?nèi)酢敬鸢浮緽【解析】從圖中可以看出點(diǎn)較其他點(diǎn)，偏離直線遠(yuǎn)，故去掉點(diǎn)后，回歸效果更好，故決定系數(shù)會(huì)變大，更接近于1，殘差平方和變小，相關(guān)系數(shù)的絕對值，即會(huì)更接近于1，由圖可得與正相關(guān)，故會(huì)更接近于1，即相關(guān)系數(shù)的值變大，解釋變量與預(yù)報(bào)變量相關(guān)性變強(qiáng)，故A、C、D錯(cuò)誤，B正確.故選：B.4.已知，分別為的邊，的中點(diǎn)，若，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)?，分別為，的中點(diǎn)，所以，設(shè)，又，所以即，解得.故選：A5.已知數(shù)列滿足，（），則（）A. B. C. D.2【答案】A【解析】因?yàn)?，，所以，，，，，又，所以故選：A6.已知平面區(qū)域，則的最大值為（）A.8 B.4 C.3 D.2【答案】B【解析】如下圖所示，不等式組所表示的可行域如下圖中的陰影部分，在直線方程中，令，解得，得點(diǎn)的坐標(biāo)為，作直線，直線在軸上的截距為，當(dāng)直線經(jīng)過區(qū)域中的點(diǎn)時(shí)，直線在軸上截距最小，此時(shí)取最大值，即.故選：B.7.在區(qū)間隨機(jī)取1個(gè)數(shù)，則使得的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?，又，所以，，，即有時(shí)，成立，.在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，則使得概率為.故選：C.8.已知函數(shù)，則下列說法中，正確的是（）A.的最小值為B.在區(qū)間上單調(diào)遞增C.的最小正周期為D.的圖象可由的圖象向右平移個(gè)單位得到【答案】D【解析】因?yàn)?，因?yàn)椋?，所以，故A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，因?yàn)樵谏喜粏握{(diào)，所以在區(qū)間上不單調(diào)，故B錯(cuò)誤；的最小正周期，故C錯(cuò)誤；將的圖象向右平移個(gè)單位得到，故D正確.故選：D9.如圖，菱形的對角線與交于點(diǎn)，是的中位線，與交于點(diǎn)，已知是繞旋轉(zhuǎn)過程中的一個(gè)圖形﹐且平面.給出下列結(jié)論：①平面；②平面平面；③“直線直線”始終不成立.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)為（）A.①②③ B.①② C.①③ D.②③【答案】B【解析】菱形的對角線與交于點(diǎn)，是的中位線，則，而平面，平面，因此平面，①正確；連接，由，得，而平面，則平面，又平面，因此平面平面，②正確；顯然是二面角的平面角，由繞旋轉(zhuǎn)過程中，從逐漸減小到（不包含和），當(dāng)時(shí)，，平面，則平面，而平面，于是，③錯(cuò)誤，所以所有正確結(jié)論的序號(hào)為①②.故選：B10.已知函數(shù)，給出下列4個(gè)圖象：其中，可以作為函數(shù)的大致圖象的個(gè)數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】由題意知，定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)單調(diào)遞增，可對應(yīng)①；當(dāng)時(shí)，，令可得：，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，函數(shù)先減后增，且當(dāng)時(shí)，，此時(shí)可對應(yīng)②；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，函數(shù)先增后減，當(dāng)時(shí)，，且此時(shí)，所以可對應(yīng)③，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，所以可對應(yīng)④.故選：D.11.已知，分別是雙曲線（，）的左右焦點(diǎn)，若過的直線與圓相切，與在第一象限交于點(diǎn)，且軸，則的離心率為（）A. B.3 C. D.【答案】D【解析】如圖，設(shè)，圓的圓心為，半徑為，過點(diǎn)的直線與圓相切于點(diǎn)，則，，，則，所以，因?yàn)檩S，所以易得，，化簡得，即，解得，.故選：D.12.已知，，均為正數(shù)，,，，則，，的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】可變形為：，可變形為：，可變形為：，令，，，，且，可知分別為函數(shù)與，，的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增且，，，，這三個(gè)函數(shù)全部單調(diào)遞減，且，，，，由零點(diǎn)存在性定理可知：，所以只需判斷，，這三個(gè)函數(shù)的單調(diào)性，在范圍內(nèi)下降速度快的，交點(diǎn)橫坐標(biāo)小，下降速度慢的交點(diǎn)橫坐標(biāo)大，由圖象可知，下降速度最慢，所以最大，，，時(shí)，，所以交點(diǎn)，故選：B

二?填空題13.已知函數(shù)，則的值為_________.【答案】【解析】，故答案為：.14.已知，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為___________.【答案】【解析】由求導(dǎo)得，則，而，所以所求切線方程為，即.故答案為：15.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則________.【答案】【解析】數(shù)列中，由，得當(dāng)時(shí)，，則，顯然滿足上式，因此，所以.故答案為：16.一個(gè)圓錐的頂點(diǎn)和底面圓都在半徑為2的球體表面上，當(dāng)圓錐的體積最大時(shí)，其底面圓的半徑為________.【答案】【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為，高為，則圓錐的體積為，當(dāng)圓錐頂點(diǎn)與底面在球心的同側(cè)時(shí)，有，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，又，所以等號(hào)不成立.當(dāng)圓錐頂點(diǎn)與底面在球心的異側(cè)時(shí)，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.此時(shí)，即.所以當(dāng)圓錐的體積最大時(shí)，其底面圓的半徑為.故答案為：.三?解答題（一）必考題17.某校在課外活動(dòng)期間設(shè)置了文化藝術(shù)類活動(dòng)和體育鍛煉類活動(dòng)，為了解學(xué)生對這兩類活動(dòng)的參與情況，統(tǒng)計(jì)了如下數(shù)據(jù)：文化藝術(shù)類體育鍛煉類合計(jì)男女合計(jì)（1）通過計(jì)算判斷，有沒有的把握認(rèn)為該校學(xué)生所選擇課外活動(dòng)的類別與性別有關(guān)系？（2）為收集學(xué)生對課外活動(dòng)建議，在參加文化藝術(shù)類活動(dòng)的學(xué)生中按性別用分層抽樣的方法抽取了名同學(xué).若在這名同學(xué)中隨機(jī)抽取名，求所抽取的名同學(xué)中至少有名女生的概率.附表及公式：其中，.解：（1）由表格數(shù)據(jù)可得：，有的把握認(rèn)為該校學(xué)生所選擇課外活動(dòng)的類別與性別有關(guān).（2）抽取的名同學(xué)中，男生有人，女生有人，記事件為“抽取的名同學(xué)中至少有名女生”，則，，即抽取的名同學(xué)中至少有名女生的概率為.18.如圖，在三棱錐中，為邊上的一點(diǎn)，，，，.（1）證明：平面；（2）設(shè)點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，試判斷三棱錐的體積是否有最大值？如果有，請求出最大值；如果沒有，請說明理由.（1）證明：因?yàn)?，，，所以，由射影定理得，所以，由余弦定理得，所以，則，即，又因?yàn)?，，所以平面；?）解：因?yàn)辄c(diǎn)為邊的中點(diǎn)，所以，又，所以，因?yàn)槠矫?，所以平面平面，所以點(diǎn)P到平面ABC的距離，即為點(diǎn)P到BM的距離，設(shè)為h，因?yàn)闉槎ㄖ担?dāng)h最大時(shí)，所以三棱錐體積最大，而，則，當(dāng)h=1時(shí)，.19.已知的內(nèi)角，，的對邊分別為,,,且.（1）求角；（2）若是的角平分線，，的面積為，求的值.解：（1）由及正弦定理得，，所以，因?yàn)?，所以，又，所以?）由，得，又，所以，由余弦定理得所以.20.在直角坐標(biāo)系中，設(shè)為拋物線（）的焦點(diǎn)，為上位于第一象限內(nèi)一點(diǎn).當(dāng)時(shí)，的面積為1.（1）求的方程；（2）當(dāng)時(shí)，如果直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，直線，的斜率滿足.證明直線是恒過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo).解：（1）由，所以，設(shè)，，，，解得，所以拋物線的方程為.（2）如圖，設(shè)，，，，，解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.由題意直線的斜率不為0，設(shè)，，，聯(lián)立，消去整理得，則，，，因?yàn)椋?，即，整理得，將，代入上式，，滿足，所以直線為，恒過定點(diǎn).21.已知函數(shù).（1）若存在極值，求的取值范圍；（2）若，，證明：.（1）解：由，，得，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增，不存在極值；當(dāng)時(shí)，令，則，當(dāng)，則，即在上單調(diào)遞減，當(dāng)，則，即在上單調(diào)遞增.所以是的極小值點(diǎn)，所以當(dāng)時(shí)，存在極值，綜上所述，存在極值時(shí)，的取值范圍是.（2）證明：欲證不等式在時(shí)恒成立，只需證明在時(shí)恒成立.設(shè)，，則，令，，則.當(dāng)時(shí)，，所以，所以即在上單調(diào)遞增，所以，因，所以，故，所以在上單調(diào)遞增，所以，即當(dāng)，時(shí)，不等式恒成立.（二）選考題[選修：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22.在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為.（1）求的普通方程和的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)直線與軸相交于點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在上，點(diǎn)滿足，點(diǎn)的軌跡為，試判斷曲線與曲線是否有公共點(diǎn).若有公共點(diǎn)，求出其直角坐標(biāo)；若沒有公共點(diǎn)，請說明理由.解：（1）由題設(shè)曲線的參數(shù)方程，消參得，由，且得，，化簡得，C的普通方程為，l直角坐標(biāo)方程為.（2）當(dāng)時(shí)，，易知，設(shè)，可得，（a是參數(shù)），消參得方程為且，則圓心距離得，則兩圓相交，故兩圓存在公共點(diǎn)，聯(lián)立方程組，解得或，故坐標(biāo)為.[選修4-5：不等式選講]23.已知，，均為正數(shù)，且.（1）是否存在，，，使得，說明理由；（2）證明：.（1）解：不存在，，，使得.理由如下：因?yàn)?，，都是正?shù)，且，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，即的最小值為，所以不存在，，，使得.（2）證明：因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以.四川省遂寧市等3地2024屆高三二模數(shù)學(xué)試題（文）一?選擇題1.已知集合，，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，，得，而，所以.故選：C.2.復(fù)數(shù)，則（）A. B. C.2 D.【答案】D【解析】因?yàn)椋?，故選：D.3.某公司收集了某商品銷售收入（萬元）與相應(yīng)的廣告支出（萬元）共10組數(shù)據(jù)（），繪制出如下散點(diǎn)圖，并利用線性回歸模型進(jìn)行擬合.若將圖中10個(gè)點(diǎn)中去掉點(diǎn)后再重新進(jìn)行線性回歸分析，則下列說法正確的是（）A.決定系數(shù)變小 B.殘差平方和變小C.相關(guān)系數(shù)的值變小 D.解釋變量與預(yù)報(bào)變量相關(guān)性變?nèi)酢敬鸢浮緽【解析】從圖中可以看出點(diǎn)較其他點(diǎn)，偏離直線遠(yuǎn)，故去掉點(diǎn)后，回歸效果更好，故決定系數(shù)會(huì)變大，更接近于1，殘差平方和變小，相關(guān)系數(shù)的絕對值，即會(huì)更接近于1，由圖可得與正相關(guān)，故會(huì)更接近于1，即相關(guān)系數(shù)的值變大，解釋變量與預(yù)報(bào)變量相關(guān)性變強(qiáng)，故A、C、D錯(cuò)誤，B正確.故選：B.4.已知，分別為的邊，的中點(diǎn)，若，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)椋謩e為，的中點(diǎn)，所以，設(shè)，又，所以即，解得.故選：A5.已知數(shù)列滿足，（），則（）A. B. C. D.2【答案】A【解析】因?yàn)?，，所以，，，，，又，所以故選：A6.已知平面區(qū)域，則的最大值為（）A.8 B.4 C.3 D.2【答案】B【解析】如下圖所示，不等式組所表示的可行域如下圖中的陰影部分，在直線方程中，令，解得，得點(diǎn)的坐標(biāo)為，作直線，直線在軸上的截距為，當(dāng)直線經(jīng)過區(qū)域中的點(diǎn)時(shí)，直線在軸上截距最小，此時(shí)取最大值，即.故選：B.7.在區(qū)間隨機(jī)取1個(gè)數(shù)，則使得的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)椋?，所以，，，即有時(shí)，成立，.在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，則使得概率為.故選：C.8.已知函數(shù)，則下列說法中，正確的是（）A.的最小值為B.在區(qū)間上單調(diào)遞增C.的最小正周期為D.的圖象可由的圖象向右平移個(gè)單位得到【答案】D【解析】因?yàn)?，因?yàn)?，所以，所以，故A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，因?yàn)樵谏喜粏握{(diào)，所以在區(qū)間上不單調(diào)，故B錯(cuò)誤；的最小正周期，故C錯(cuò)誤；將的圖象向右平移個(gè)單位得到，故D正確.故選：D9.如圖，菱形的對角線與交于點(diǎn)，是的中位線，與交于點(diǎn)，已知是繞旋轉(zhuǎn)過程中的一個(gè)圖形﹐且平面.給出下列結(jié)論：①平面；②平面平面；③“直線直線”始終不成立.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)為（）A.①②③ B.①② C.①③ D.②③【答案】B【解析】菱形的對角線與交于點(diǎn)，是的中位線，則，而平面，平面，因此平面，①正確；連接，由，得，而平面，則平面，又平面，因此平面平面，②正確；顯然是二面角的平面角，由繞旋轉(zhuǎn)過程中，從逐漸減小到（不包含和），當(dāng)時(shí)，，平面，則平面，而平面，于是，③錯(cuò)誤，所以所有正確結(jié)論的序號(hào)為①②.故選：B10.已知函數(shù)，給出下列4個(gè)圖象：其中，可以作為函數(shù)的大致圖象的個(gè)數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】由題意知，定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)單調(diào)遞增，可對應(yīng)①；當(dāng)時(shí)，，令可得：，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，函數(shù)先減后增，且當(dāng)時(shí)，，此時(shí)可對應(yīng)②；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，函數(shù)先增后減，當(dāng)時(shí)，，且此時(shí)，所以可對應(yīng)③，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，所以可對應(yīng)④.故選：D.11.已知，分別是雙曲線（，）的左右焦點(diǎn)，若過的直線與圓相切，與在第一象限交于點(diǎn)，且軸，則的離心率為（）A. B.3 C. D.【答案】D【解析】如圖，設(shè)，圓的圓心為，半徑為，過點(diǎn)的直線與圓相切于點(diǎn)，則，，，則，所以，因?yàn)檩S，所以易得，，化簡得，即，解得，.故選：D.12.已知，，均為正數(shù)，,，，則，，的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】可變形為：，可變形為：，可變形為：，令，，，，且，可知分別為函數(shù)與，，的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增且，，，，這三個(gè)函數(shù)全部單調(diào)遞減，且，，，，由零點(diǎn)存在性定理可知：，所以只需判斷，，這三個(gè)函數(shù)的單調(diào)性，在范圍內(nèi)下降速度快的，交點(diǎn)橫坐標(biāo)小，下降速度慢的交點(diǎn)橫坐標(biāo)大，由圖象可知，下降速度最慢，所以最大，，，時(shí)，，所以交點(diǎn)，故選：B

二?填空題13.已知函數(shù)，則的值為_________.【答案】【解析】，故答案為：.14.已知，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為___________.【答案】【解析】由求導(dǎo)得，則，而，所以所求切線方程為，即.故答案為：15.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則________.【答案】【解析】數(shù)列中，由，得當(dāng)時(shí)，，則，顯然滿足上式，因此，所以.故答案為：16.一個(gè)圓錐的頂點(diǎn)和底面圓都在半徑為2的球體表面上，當(dāng)圓錐的體積最大時(shí)，其底面圓的半徑為________.【答案】【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為，高為，則圓錐的體積為，當(dāng)圓錐頂點(diǎn)與底面在球心的同側(cè)時(shí)，有，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，又，所以等號(hào)不成立.當(dāng)圓錐頂點(diǎn)與底面在球心的異側(cè)時(shí)，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.此時(shí)，即.所以當(dāng)圓錐的體積最大時(shí)，其底面圓的半徑為.故答案為：.三?解答題（一）必考題17.某校在課外活動(dòng)期間設(shè)置了文化藝術(shù)類活動(dòng)和體育鍛煉類活動(dòng)，為了解學(xué)生對這兩類活動(dòng)的參與情況，統(tǒng)計(jì)了如下數(shù)據(jù)：文化藝術(shù)類體育鍛煉類合計(jì)男女合計(jì)（1）通過計(jì)算判斷，有沒有的把握認(rèn)為該校學(xué)生所選擇課外活動(dòng)的類別與性別有關(guān)系？（2）為收集學(xué)生對課外活動(dòng)建議，在參加文化藝術(shù)類活動(dòng)的學(xué)生中按性別用分層抽樣的方法抽取了名同學(xué).若在這名同學(xué)中隨機(jī)抽取名，求所抽取的名同學(xué)中至少有名女生的概率.附表及公式：其中，.解：（1）由表格數(shù)據(jù)可得：，有的把握認(rèn)為該校學(xué)生所選擇課外活動(dòng)的類別與性別有關(guān).（2）抽取的名同學(xué)中，男生有人，女生有人，記事件為“抽取的名同學(xué)中至少有名女生”，則，，即抽取的名同學(xué)中至少有名女生的概率為.18.如圖，在三棱錐中，為邊上的一點(diǎn)，，，，.（1）證明：平面；（2）設(shè)點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，試判斷三棱錐的體積是否有最大值？如果有，請求出最大值；如果沒有，請說明理由.（1）證明：因?yàn)椋?，，所以，由射影定理得，所以，由余弦定理得，所以，則，即，又因?yàn)?，，所以平面；?）解：因?yàn)辄c(diǎn)為邊的中點(diǎn)，所以，又，所以，因?yàn)槠矫?，所以平面平面，所以點(diǎn)P到平面ABC的距離，即為點(diǎn)P到BM的距離，設(shè)為h，因?yàn)闉槎ㄖ?，?dāng)h最大時(shí)，所以三棱錐體積最大，而，則，當(dāng)h=1時(shí)，.19.已知的內(nèi)角，，的對邊分別為,,,且.（1）求角；（2）若是的角平分線，，的面積為，求的值.解：（1）由及正弦定理得，，所以，因?yàn)?，所以，又，所以?）由，得，又，所以，由余弦定理得所以.20.在直角坐標(biāo)系中，設(shè)為拋物線（）的焦點(diǎn)，為上位于第一象限內(nèi)一點(diǎn).當(dāng)時(shí)，的面積為1.（1）求的方程；（2）當(dāng)時(shí)，如果直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，直線，的斜率滿足.證明直線是恒過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo).解：（1）由，所以，設(shè)，，，，解得，