高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1天津市河?xùn)|區(qū)2024屆高三下學(xué)期二模數(shù)學(xué)試卷一、選擇題1.設(shè)全集，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵，，∴,又，∴，故選:D.2.已知，為非零實數(shù)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】當(dāng)時，同號且非零，則，所以.當(dāng)時，如，則，無法得到.所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A3.函數(shù)的圖像為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】先根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)，舍去B,C再根據(jù)x等于1時，函數(shù)值大于零，舍去D故選：A.4.已知函數(shù)，若，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由，且，故；，，故，又因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，故選：C5.將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則下列說法不正確的是（）A.的最小正周期為 B.C.是圖象的一條對稱軸 D.為奇函數(shù)【答案】C【解析】依題意，，函數(shù)的周期，A正確；，B正確；因，即不是圖象的一條對稱軸，C不正確；定義域為R，，為奇函數(shù)，D正確.故選：C6.已知直線與圓相交于兩點(diǎn)，且，則實數(shù)（）A或 B. C.或 D.【答案】A【解析】圓，即的半徑為，圓心為，因為，所以點(diǎn)到直線的距離為，所以，解得或.故選：A.7.下列說法中正確的是（）A.具有線性相關(guān)關(guān)系的變量，，其線性回歸方程為，若樣本的中心，則B.數(shù)據(jù)3，4，2，8，1，5，8，6的中位數(shù)為5C.將一組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)據(jù)加上同一個正數(shù)后，方差變大D.若甲、乙兩組數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)分別為和0.89，則甲組數(shù)據(jù)的線性相關(guān)性更強(qiáng)【答案】D【解析】對于A,把代入，可得，解得，故A錯誤；對于B，數(shù)據(jù)3，4，2，8，1，5，8，6，即1，2，3，4，5，6，8，8的中位數(shù)為，故B錯誤；對于C，將一組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)據(jù)加上同一個正數(shù)后，方差不變，故C錯誤；對于D，若甲、乙兩組數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)分別為和0.89，，因為，則甲組數(shù)據(jù)的線性相關(guān)性更強(qiáng)，故D正確．故選：D．8.如圖，已知長方體的體積為是棱的中點(diǎn)，平面將長方體分割成兩部分，則體積較小的一部分的體積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】取的中點(diǎn)，連接，易知，所以平面與交點(diǎn)為.設(shè)長方體的長、寬、高分別為，則.平面將長方體分割成兩部分，則體積較小的一部分的體積為.故選：A.9.雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，Q為線段上一點(diǎn)，P為雙曲線上第一象限內(nèi)一點(diǎn)，，與的周長之和為，且它們的內(nèi)切圓半徑相等，則雙曲線的離心率為（）A.2 B.4 C.5 D.6【答案】A【解析】記與的周長分別為與，設(shè)與的內(nèi)切圓半徑為，則，根據(jù)，得，又與的周長之和為，所以．因為，又，所以可得．又，所以．由可得，即，化簡得，所以離心率．故選：A二、填空題10.是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)_________．【答案】【解析】.故答案為：.11.在的展開式中的系數(shù)為，則實數(shù)__________．【答案】【解析】因為展開式的通項公式，令，則，即，故答案為：．12.甲袋中有3個紅球，2個白球和1個黑球，乙袋中有4個紅球，1個白球和1個黑球（除顏色外，球的大小、形狀完全相同）.先從甲袋中隨機(jī)取出1球放入乙袋，再從乙袋中隨機(jī)取出1球.分別以，，表示由甲袋取出的球是紅球，白球和黑球的事件，以表示由乙袋取出的球是紅球的事件，則P______，______.【答案】【解析】甲袋中有3個紅球，2個白球和1個黑球，乙袋中有4個紅球，1個白球和1個黑球（除顏色外，球的大小、形狀完全相同）．先從甲袋中隨機(jī)取出1球放入乙袋，再從乙袋中隨機(jī)取出1球．分別以，，表示由甲袋取出的球是紅球，白球和黑球的事件，以表示由乙袋取出的球是紅球的事件，則，，，，，，，，，，，，（B）．故答案為：；．13.，，且恒成立，則的最大值為_____．【答案】4【解析】由于恒成立，且即恒成立只要的最小值即可，，故，因此故答案為：4．14.如圖所示，正方形的邊長為，正方形邊長為1，則的值為__________.若在線段上有一個動點(diǎn)，則的最小值為_________.【答案】6【解析】由已知得正方形與正方形的中心重合，不妨設(shè)為，所以，，則；，顯然，當(dāng)為的中點(diǎn)時，，所以故答案為：6；．15.已知函數(shù)，，若方程恰有2個不同的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為____________.【答案】,,．【解析】依題意畫出的圖象如圖所示：因為函數(shù)，所以，當(dāng)直線與相切時，由，得，，解得，由圖可知，①當(dāng)時，函數(shù)的圖象與的圖象無交點(diǎn)，不滿足題意；②當(dāng)時，函數(shù)的圖象與的圖象交于點(diǎn)，不滿足題意；③時，當(dāng)經(jīng)過函數(shù)圖象上的點(diǎn)時，恰好經(jīng)過函數(shù)圖象上的點(diǎn)，則要使方根恰有2個不同的實數(shù)根，只需，即，故；④當(dāng)時，函數(shù)圖象與的圖象有3個交點(diǎn)，不滿足題意；⑤當(dāng)時，函數(shù)的圖象與的圖象有2個交點(diǎn)，滿足題意．綜上，或．所以的取值范圍為：,,．故答案為：,,．三、解答題16.在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，．已知．（1）求角的大?。唬?）設(shè)，，求和的值．解：（1）在中，由正弦定理，可得，又由，得，即，可得．又因為，可得．（2）在中，由余弦定理及，，，有，故．可得．又因為，故．因此，，所以，17.如圖，在四棱錐中，平面，底面是直角梯形，其中為棱上的點(diǎn)，且,為棱上的點(diǎn)，.（1）求證：平面；（2）求平面與平面的夾角的的余弦值；（3）求直線與平面所成角的正弦值.（1）證明：取中點(diǎn)，連接交于，設(shè)交于，由已知得四邊形為邊長是2的正方形，是中點(diǎn)，因為，，，所以，所以，所以、、、四點(diǎn)共圓，所以，所以，因為平面，平面，所以，又因為，平面，平面，所以平面．（2）解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，設(shè)，因為，所以，所以由（1）知平面的法向量為，，2，，，，，設(shè)平面的法向量為，，，，令，，2，，設(shè)二面角的大小為，，故平面與平面的夾角的余弦值．（3）解：因為，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為；18.已知橢圓的左焦點(diǎn)為，且過點(diǎn)．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過作一條斜率不為0的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，為橢圓的左頂點(diǎn)，若直線、與直線分別交于、兩點(diǎn)，與軸的交點(diǎn)為，則是否為定值？若為定值，請求出該定值；若不為定值，請說明理由．解：（1）由題知，橢圓的右焦點(diǎn)為，且過點(diǎn)，結(jié)合橢圓定義，所以，所以．又，所以，則的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)直線的方程為，，，由，得，易知，所以，，直線的方程為，令得，，同理可得，所以，為定值．19.已知數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，滿足，，正項數(shù)列的前項和為，且．（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）在和之間插入1個數(shù)，使，，成等差數(shù)列；在和之間插入2個數(shù)，，使，，，成等差數(shù)列；…；在和之間插入個數(shù)，，…，，使，，，，成等差數(shù)列．（ⅰ）求；（ⅱ）求的值．（1）設(shè)數(shù)列的公差為，由題意知，，解得，所以，因為數(shù)列的前項和為，且滿足，當(dāng)時，，當(dāng)時，，經(jīng)驗證當(dāng)時，也滿足上式，綜上得，．（2）（?。┰诤椭g插入個數(shù)，，，因為，，，…，成等差數(shù)列，所以設(shè)公差為，，則．（ⅱ）設(shè)，則，設(shè)，即，，．所以，．20.已知函數(shù)，其中為正實數(shù).（1）若函數(shù)在處的切線斜率為2，求的值；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）若函數(shù)有兩個極值點(diǎn)，求證：（1）解：因為，所以，則,所以的值為1．（2）解：，函數(shù)的定義域為，若,即,則,此時的單調(diào)減區(qū)間為;若,即,則的兩根為,此時的單調(diào)減區(qū)間為,,單調(diào)減區(qū)間為．（3）證明：由（2）知，當(dāng)時，函數(shù)有兩個極值點(diǎn),且．因要證,只需證．構(gòu)造函數(shù)，則，在上單調(diào)遞增,又,且在定義域上不間斷,由零點(diǎn)存在定理，可知在上唯一實根,且．則在上遞減,上遞增,所以的最小值為．因,當(dāng)時,,則,所以恒成立．所以,所以，得證．天津市河?xùn)|區(qū)2024屆高三下學(xué)期二模數(shù)學(xué)試卷一、選擇題1.設(shè)全集，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵，，∴,又，∴，故選:D.2.已知，為非零實數(shù)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】當(dāng)時，同號且非零，則，所以.當(dāng)時，如，則，無法得到.所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A3.函數(shù)的圖像為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】先根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)，舍去B,C再根據(jù)x等于1時，函數(shù)值大于零，舍去D故選：A.4.已知函數(shù)，若，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由，且，故；，，故，又因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，故選：C5.將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則下列說法不正確的是（）A.的最小正周期為 B.C.是圖象的一條對稱軸 D.為奇函數(shù)【答案】C【解析】依題意，，函數(shù)的周期，A正確；，B正確；因，即不是圖象的一條對稱軸，C不正確；定義域為R，，為奇函數(shù)，D正確.故選：C6.已知直線與圓相交于兩點(diǎn)，且，則實數(shù)（）A或 B. C.或 D.【答案】A【解析】圓，即的半徑為，圓心為，因為，所以點(diǎn)到直線的距離為，所以，解得或.故選：A.7.下列說法中正確的是（）A.具有線性相關(guān)關(guān)系的變量，，其線性回歸方程為，若樣本的中心，則B.數(shù)據(jù)3，4，2，8，1，5，8，6的中位數(shù)為5C.將一組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)據(jù)加上同一個正數(shù)后，方差變大D.若甲、乙兩組數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)分別為和0.89，則甲組數(shù)據(jù)的線性相關(guān)性更強(qiáng)【答案】D【解析】對于A,把代入，可得，解得，故A錯誤；對于B，數(shù)據(jù)3，4，2，8，1，5，8，6，即1，2，3，4，5，6，8，8的中位數(shù)為，故B錯誤；對于C，將一組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)據(jù)加上同一個正數(shù)后，方差不變，故C錯誤；對于D，若甲、乙兩組數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)分別為和0.89，，因為，則甲組數(shù)據(jù)的線性相關(guān)性更強(qiáng)，故D正確．故選：D．8.如圖，已知長方體的體積為是棱的中點(diǎn)，平面將長方體分割成兩部分，則體積較小的一部分的體積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】取的中點(diǎn)，連接，易知，所以平面與交點(diǎn)為.設(shè)長方體的長、寬、高分別為，則.平面將長方體分割成兩部分，則體積較小的一部分的體積為.故選：A.9.雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，Q為線段上一點(diǎn)，P為雙曲線上第一象限內(nèi)一點(diǎn)，，與的周長之和為，且它們的內(nèi)切圓半徑相等，則雙曲線的離心率為（）A.2 B.4 C.5 D.6【答案】A【解析】記與的周長分別為與，設(shè)與的內(nèi)切圓半徑為，則，根據(jù)，得，又與的周長之和為，所以．因為，又，所以可得．又，所以．由可得，即，化簡得，所以離心率．故選：A二、填空題10.是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)_________．【答案】【解析】.故答案為：.11.在的展開式中的系數(shù)為，則實數(shù)__________．【答案】【解析】因為展開式的通項公式，令，則，即，故答案為：．12.甲袋中有3個紅球，2個白球和1個黑球，乙袋中有4個紅球，1個白球和1個黑球（除顏色外，球的大小、形狀完全相同）.先從甲袋中隨機(jī)取出1球放入乙袋，再從乙袋中隨機(jī)取出1球.分別以，，表示由甲袋取出的球是紅球，白球和黑球的事件，以表示由乙袋取出的球是紅球的事件，則P______，______.【答案】【解析】甲袋中有3個紅球，2個白球和1個黑球，乙袋中有4個紅球，1個白球和1個黑球（除顏色外，球的大小、形狀完全相同）．先從甲袋中隨機(jī)取出1球放入乙袋，再從乙袋中隨機(jī)取出1球．分別以，，表示由甲袋取出的球是紅球，白球和黑球的事件，以表示由乙袋取出的球是紅球的事件，則，，，，，，，，，，，，（B）．故答案為：；．13.，，且恒成立，則的最大值為_____．【答案】4【解析】由于恒成立，且即恒成立只要的最小值即可，，故，因此故答案為：4．14.如圖所示，正方形的邊長為，正方形邊長為1，則的值為__________.若在線段上有一個動點(diǎn)，則的最小值為_________.【答案】6【解析】由已知得正方形與正方形的中心重合，不妨設(shè)為，所以，，則；，顯然，當(dāng)為的中點(diǎn)時，，所以故答案為：6；．15.已知函數(shù)，，若方程恰有2個不同的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為____________.【答案】,,．【解析】依題意畫出的圖象如圖所示：因為函數(shù)，所以，當(dāng)直線與相切時，由，得，，解得，由圖可知，①當(dāng)時，函數(shù)的圖象與的圖象無交點(diǎn)，不滿足題意；②當(dāng)時，函數(shù)的圖象與的圖象交于點(diǎn)，不滿足題意；③時，當(dāng)經(jīng)過函數(shù)圖象上的點(diǎn)時，恰好經(jīng)過函數(shù)圖象上的點(diǎn)，則要使方根恰有2個不同的實數(shù)根，只需，即，故；④當(dāng)時，函數(shù)圖象與的圖象有3個交點(diǎn)，不滿足題意；⑤當(dāng)時，函數(shù)的圖象與的圖象有2個交點(diǎn)，滿足題意．綜上，或．所以的取值范圍為：,,．故答案為：,,．三、解答題16.在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，．已知．（1）求角的大?。唬?）設(shè)，，求和的值．解：（1）在中，由正弦定理，可得，又由，得，即，可得．又因為，可得．（2）在中，由余弦定理及，，，有，故．可得．又因為，故．因此，，所以，17.如圖，在四棱錐中，平面，底面是直角梯形，其中為棱上的點(diǎn)，且,為棱上的點(diǎn)，.（1）求證：平面；（2）求平面與平面的夾角的的余弦值；（3）求直線與平面所成角的正弦值.（1）證明：取中點(diǎn)，連接交于，設(shè)交于，由已知得四邊形為邊長是2的正方形，是中點(diǎn)，因為，，，所以，所以，所以、、、四點(diǎn)共圓，所以，所以，因為平面，平面，所以，又因為，平面，平面，所以平面．（2）解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，設(shè)，因為，所以，所以由（1）知平面的法向量為，，2，，，，，設(shè)平面的法向量為，，，，令，，2，，設(shè)二面角的大小為，，故平面與平面的夾角的余弦值．（3）解：因為，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為；18.已知橢圓的左焦點(diǎn)為，且過點(diǎn)．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過作一條斜率不為0的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，為橢圓的左頂點(diǎn)，若直線、與直線分別交于、兩點(diǎn)，與軸的