高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省汕頭市2025屆高三下學(xué)期第二次模擬考試普通高考數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.拋物線的準(zhǔn)線方程是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】拋物線的準(zhǔn)線方程是，即.故選：B.2.設(shè)復(fù)數(shù)，是虛數(shù)單位，則（）A. B. C. D.2【答案】D【解析】.故選：D.3.在中，為邊上的中線，，，則的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如圖，因?yàn)檫吷系闹芯€，則，又，則．故選：D.4.某學(xué)校有、兩家餐廳，王同學(xué)第1天午餐時(shí)隨機(jī)選擇一家餐廳用餐．如果第1天去餐廳，那么第2天去餐廳的概率為0.6；如果第1天去B餐廳，那么第2天去餐廳的概率為0.8，則王同學(xué)第2天去A餐廳用餐的概率為（）A.0.7 B.0.6 C.0.5 D.0.4【答案】A【解析】記“第1天去餐廳”，“第1天去餐廳”，“第2天去餐廳”，則由全概率公式得：．故選：A.5.設(shè)平面與長(zhǎng)方體的六個(gè)面的夾角分別為，則的值為（）A.2 B.3 C.4 D.6【答案】A【解析】設(shè)平面的法向量為，正方體一個(gè)頂點(diǎn)處的三個(gè)平面的法向量分別為、、，則，，，因正方體有三對(duì)互相平行的平面，則.故選：A.6.若，，則A. B. C. D.【答案】C【解析】用特殊值法，令，，得，選項(xiàng)A錯(cuò)誤，，選項(xiàng)B錯(cuò)誤，，選項(xiàng)D錯(cuò)誤，因?yàn)檫x項(xiàng)C正確，故選C．7.在中，角、、的對(duì)邊分別為、、，已知，，，的面積為，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.是鈍角 C. D.【答案】C【解析】由正弦定理得，所以，故A錯(cuò)誤；因?yàn)?，又，所以，所以，所以，故B錯(cuò)誤；從而，由正弦定理可得，故C正確；所以，故D錯(cuò)誤．故選：C.8.若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因時(shí)，，函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為，當(dāng)時(shí)函數(shù)在時(shí)取得極大值，又因時(shí)，，由函數(shù)的性質(zhì)，可知要使還有一個(gè)極值，必須使，則由，可得.故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.針對(duì)“中學(xué)生追星問(wèn)題”，某校團(tuán)委對(duì)“學(xué)生性別和中學(xué)生追星是否有關(guān)”進(jìn)行調(diào)查，調(diào)查樣本中女生人數(shù)是男生人數(shù)，男生追星人數(shù)占男生人數(shù)的，女生追星的人數(shù)占女生人數(shù)的．若根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以推斷追星和性別有關(guān)，則調(diào)查樣本中男生人數(shù)可以是（）（參考公式及數(shù)據(jù)：，臨界值）A.10 B.11 C.12 D.18【答案】CD【解析】設(shè)樣本中男生人數(shù)為，得列聯(lián)表追不追合計(jì)男女合計(jì)所以，即，又，故C、D正確．故選：CD.10.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且都有，則（）A.數(shù)列是等比數(shù)列 B.數(shù)列是等比數(shù)列C. D.數(shù)列前10項(xiàng)和為56【答案】AD【解析】由題設(shè)得：當(dāng)時(shí)，，可得，又，所以，所以，，所以，所以是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，故A正確；所以，當(dāng)時(shí)，，所以，所以數(shù)列不是等比數(shù)列，故B錯(cuò)誤；所以，故C錯(cuò)誤；又，所以的前10項(xiàng)和為，故D正確．故選：AD.11.已知函數(shù)的定義域?yàn)榍?，，則（）A. B.C.為的極小值點(diǎn) D.是偶函數(shù)【答案】AD【解析】在中，對(duì)于A，令，則，，A正確；對(duì)于B，令，則，В錯(cuò)誤；對(duì)于C，若函數(shù)為，顯然符合題意，此時(shí)無(wú)極小值點(diǎn)，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，令，則，則，令，則，故是偶函數(shù)，D正確．故選：AD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.的展開(kāi)式中的系數(shù)為_(kāi)_________.【答案】30【解析】由，其展開(kāi)式的通項(xiàng)為，，，令，得的展開(kāi)式的通項(xiàng)為，，，令，得，則的展開(kāi)式中的系數(shù)為.故答案為：30.13.已知直線與交于A，B兩點(diǎn)，寫(xiě)出滿足“面積為”的m的一個(gè)值______．【答案】（中任意一個(gè)皆可以）【解析】設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，由弦長(zhǎng)公式得，所以，解得：或，由，所以或，解得：或．故答案為：（中任意一個(gè)皆可以）．14.如圖，在三棱錐中，為等邊三角形，，，若，則三棱錐外接球體積的最小值為_(kāi)_____．【答案】【解析】如圖，取中點(diǎn)，連接，則，，又，，平面，則平面，因?yàn)槠矫?，則，又，，，平面，所以平面，所以三棱錐的外接球球心必在過(guò)的中心且平行于的直線上，且，設(shè)，則，，設(shè)三棱錐的外接球半徑為，則有，當(dāng)時(shí)，，故三棱錐外接球體積的最小值為．故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.已知函數(shù)，．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)和的圖象在公共點(diǎn)處的切線相同，證明：函數(shù)的圖象在處的切線平行于軸．（1）解：，由得：或，當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為，不存在減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，列表得00所以的增區(qū)間為與，減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，列表得00所以的增區(qū)間為與，減區(qū)間為；（2）證明：由題設(shè)得，解得：，即的圖象在處的切線平行于軸．16.已知數(shù)列，，其前項(xiàng)和為．（1）求；（2）求；（3）若數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，證明：．（1）解：因?yàn)?，所以；?）解：因?yàn)?，所以；?）證明：因?yàn)?，所以，從而，兩式相減得：，故．得證.17.如圖，在四棱錐中，四邊形是菱形，，三角形是正三角形，是棱的中點(diǎn)，設(shè)平面與平面的交線為．（1）證明：平面；（2）證明：；（3）若二面角為，求直線與平面所成角的正弦值．（1）證明：四邊形是菱形，所以，平面，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，平面平面，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平?（2）證明：取與中點(diǎn)，．連接，，，，則運(yùn)用中位線性質(zhì)知，且,則，，則四邊形是平行四邊形，是正三角形，易知，，底面是菱形，，則是正三角形，則，平面，平面，平面，，由于四邊形是菱形，四邊形是平行四邊形，所以，，．（3）解：由（2）知為二面角的平面角，即，前面知道，則過(guò)做的垂線，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，設(shè)，則，，，，，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則進(jìn)而求得一個(gè)法向量為，設(shè)直線與平面所成角為，則．18.已知函數(shù)，其中．（1）當(dāng)時(shí)，求方程的解集；（2）若是偶函數(shù)，當(dāng)取最小值時(shí)，求函數(shù)的取值范圍；（3）若是常數(shù)函數(shù)，求的值．解：（1）當(dāng)時(shí)，，由得：，解得，或，即，或，故所求方程的解集為，或；（2）的定義域?yàn)?，由是偶函?shù)得：，即：，所以，從而，進(jìn)而，所以為正奇數(shù)，當(dāng)取最小值即時(shí)，，所以，，令，，則，且，所以函數(shù)的值域轉(zhuǎn)化為，且的值域，對(duì)稱軸，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值；當(dāng)時(shí)，取得最大值；又當(dāng)時(shí)，；故函數(shù)的取值范圍為；（3）因?yàn)椋?，所以若是常?shù)函數(shù)，則，①當(dāng)時(shí)，由（1）知，不是常數(shù)函數(shù)；②當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，，不是常數(shù)函數(shù)；③當(dāng)時(shí)，，所以，是常數(shù)函數(shù)；④當(dāng)時(shí)，，不是常數(shù)函數(shù)；綜上所述：．19.已知矩形中，，．如圖，以矩形的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別平行于、的直線為、軸建立平面直角坐標(biāo)系．設(shè)軸分別交、于點(diǎn)、，點(diǎn)為平面上的動(dòng)點(diǎn)，且直線、的斜率的積為．（1）證明點(diǎn)不在矩形的外部；（2）現(xiàn)將矩形折疊，使點(diǎn)落在線段上，設(shè)折痕所在直線的斜率為，①求直線的方程；②重新展平矩形，當(dāng)折痕的長(zhǎng)最大時(shí)，求折痕被點(diǎn)的軌跡所截得的弦長(zhǎng)．（1）證明：設(shè)，由題設(shè)知、，從而，整理得，所以點(diǎn)的軌跡為橢圓（去掉上下頂點(diǎn)），其范圍是，，故點(diǎn)不可能在矩形外部；（2）解：①設(shè)折疊后A點(diǎn)落在線段DC上的點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，易得直線方程為；當(dāng)時(shí)，由A與G關(guān)于折痕所在的直線對(duì)稱，有，即，所以，AG中點(diǎn)坐標(biāo)為，從而折痕所在的直線方程，即；綜上：直線方程為：；②由題可得，當(dāng)時(shí)，折痕的長(zhǎng)為4；當(dāng)時(shí)，因直線所對(duì)應(yīng)方程為：.則直線與交點(diǎn)為，，（?。┤粽酆鬯诘闹本€分別與邊、相交，則交點(diǎn)坐標(biāo)為，，則此時(shí)此時(shí)，，且；（ⅱ）若折痕所在的直線分別與邊、相交，則交點(diǎn)坐標(biāo)為，，則此時(shí)，，．令得：，列表得0所以，（ⅲ）若折痕所在的直線分別與邊、相交，則交點(diǎn)坐標(biāo)為，，k2>1此時(shí)，，，綜上可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，即折痕長(zhǎng)的最大值為，由得：，所以，，故弦長(zhǎng)，又，，，則廣東省汕頭市2025屆高三下學(xué)期第二次模擬考試普通高考數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.拋物線的準(zhǔn)線方程是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】拋物線的準(zhǔn)線方程是，即.故選：B.2.設(shè)復(fù)數(shù)，是虛數(shù)單位，則（）A. B. C. D.2【答案】D【解析】.故選：D.3.在中，為邊上的中線，，，則的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如圖，因?yàn)檫吷系闹芯€，則，又，則．故選：D.4.某學(xué)校有、兩家餐廳，王同學(xué)第1天午餐時(shí)隨機(jī)選擇一家餐廳用餐．如果第1天去餐廳，那么第2天去餐廳的概率為0.6；如果第1天去B餐廳，那么第2天去餐廳的概率為0.8，則王同學(xué)第2天去A餐廳用餐的概率為（）A.0.7 B.0.6 C.0.5 D.0.4【答案】A【解析】記“第1天去餐廳”，“第1天去餐廳”，“第2天去餐廳”，則由全概率公式得：．故選：A.5.設(shè)平面與長(zhǎng)方體的六個(gè)面的夾角分別為，則的值為（）A.2 B.3 C.4 D.6【答案】A【解析】設(shè)平面的法向量為，正方體一個(gè)頂點(diǎn)處的三個(gè)平面的法向量分別為、、，則，，，因正方體有三對(duì)互相平行的平面，則.故選：A.6.若，，則A. B. C. D.【答案】C【解析】用特殊值法，令，，得，選項(xiàng)A錯(cuò)誤，，選項(xiàng)B錯(cuò)誤，，選項(xiàng)D錯(cuò)誤，因?yàn)檫x項(xiàng)C正確，故選C．7.在中，角、、的對(duì)邊分別為、、，已知，，，的面積為，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.是鈍角 C. D.【答案】C【解析】由正弦定理得，所以，故A錯(cuò)誤；因?yàn)?，又，所以，所以，所以，故B錯(cuò)誤；從而，由正弦定理可得，故C正確；所以，故D錯(cuò)誤．故選：C.8.若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因時(shí)，，函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為，當(dāng)時(shí)函數(shù)在時(shí)取得極大值，又因時(shí)，，由函數(shù)的性質(zhì)，可知要使還有一個(gè)極值，必須使，則由，可得.故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.針對(duì)“中學(xué)生追星問(wèn)題”，某校團(tuán)委對(duì)“學(xué)生性別和中學(xué)生追星是否有關(guān)”進(jìn)行調(diào)查，調(diào)查樣本中女生人數(shù)是男生人數(shù)，男生追星人數(shù)占男生人數(shù)的，女生追星的人數(shù)占女生人數(shù)的．若根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以推斷追星和性別有關(guān)，則調(diào)查樣本中男生人數(shù)可以是（）（參考公式及數(shù)據(jù)：，臨界值）A.10 B.11 C.12 D.18【答案】CD【解析】設(shè)樣本中男生人數(shù)為，得列聯(lián)表追不追合計(jì)男女合計(jì)所以，即，又，故C、D正確．故選：CD.10.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且都有，則（）A.數(shù)列是等比數(shù)列 B.數(shù)列是等比數(shù)列C. D.數(shù)列前10項(xiàng)和為56【答案】AD【解析】由題設(shè)得：當(dāng)時(shí)，，可得，又，所以，所以，，所以，所以是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，故A正確；所以，當(dāng)時(shí)，，所以，所以數(shù)列不是等比數(shù)列，故B錯(cuò)誤；所以，故C錯(cuò)誤；又，所以的前10項(xiàng)和為，故D正確．故選：AD.11.已知函數(shù)的定義域?yàn)榍遥?，則（）A. B.C.為的極小值點(diǎn) D.是偶函數(shù)【答案】AD【解析】在中，對(duì)于A，令，則，，A正確；對(duì)于B，令，則，В錯(cuò)誤；對(duì)于C，若函數(shù)為，顯然符合題意，此時(shí)無(wú)極小值點(diǎn)，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，令，則，則，令，則，故是偶函數(shù)，D正確．故選：AD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.的展開(kāi)式中的系數(shù)為_(kāi)_________.【答案】30【解析】由，其展開(kāi)式的通項(xiàng)為，，，令，得的展開(kāi)式的通項(xiàng)為，，，令，得，則的展開(kāi)式中的系數(shù)為.故答案為：30.13.已知直線與交于A，B兩點(diǎn)，寫(xiě)出滿足“面積為”的m的一個(gè)值______．【答案】（中任意一個(gè)皆可以）【解析】設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，由弦長(zhǎng)公式得，所以，解得：或，由，所以或，解得：或．故答案為：（中任意一個(gè)皆可以）．14.如圖，在三棱錐中，為等邊三角形，，，若，則三棱錐外接球體積的最小值為_(kāi)_____．【答案】【解析】如圖，取中點(diǎn)，連接，則，，又，，平面，則平面，因?yàn)槠矫?，則，又，，，平面，所以平面，所以三棱錐的外接球球心必在過(guò)的中心且平行于的直線上，且，設(shè)，則，，設(shè)三棱錐的外接球半徑為，則有，當(dāng)時(shí)，，故三棱錐外接球體積的最小值為．故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.已知函數(shù)，．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)和的圖象在公共點(diǎn)處的切線相同，證明：函數(shù)的圖象在處的切線平行于軸．（1）解：，由得：或，當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為，不存在減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，列表得00所以的增區(qū)間為與，減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，列表得00所以的增區(qū)間為與，減區(qū)間為；（2）證明：由題設(shè)得，解得：，即的圖象在處的切線平行于軸．16.已知數(shù)列，，其前項(xiàng)和為．（1）求；（2）求；（3）若數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，證明：．（1）解：因?yàn)?，所以；?）解：因?yàn)椋?；?）證明：因?yàn)椋?，從而，兩式相減得：，故．得證.17.如圖，在四棱錐中，四邊形是菱形，，三角形是正三角形，是棱的中點(diǎn)，設(shè)平面與平面的交線為．（1）證明：平面；（2）證明：；（3）若二面角為，求直線與平面所成角的正弦值．（1）證明：四邊形是菱形，所以，平面，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，平面平面，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平?（2）證明：取與中點(diǎn)，．連接，，，，則運(yùn)用中位線性質(zhì)知，且,則，，則四邊形是平行四邊形，是正三角形，易知，，底面是菱形，，則是正三角形，則，平面，平面，平面，，由于四邊形是菱形，四邊形是平行四邊形，所以，，．（3）解：由（2）知為二面角的平面角，即，前面知道，則過(guò)做的垂線，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，設(shè)，則，，，，，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則進(jìn)而求得一個(gè)法向量為，設(shè)直線與平面所成角為，則．18.已知函數(shù)，其中．（1）當(dāng)時(shí)，求方程的解集；（2）若是偶函數(shù)，當(dāng)取最小值時(shí)，求函數(shù)的取值范圍；（3）若是常數(shù)函數(shù)，求的值．解：（1）當(dāng)時(shí)，，由得：，解得，或，即，或，故所求方程的解集為，或；（2）的定義域?yàn)?，由是偶函?shù)得：，即：，所以，從而，進(jìn)而，所以為正奇數(shù)，當(dāng)取最小值即時(shí)