高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1浙江省杭州市下沙區(qū)杭四吳山2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)、是符合題目要求的.1.集合，則為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，所?故選：B．2.設(shè)，則“”是“”的（）條件．A.充分非必要 B.必要非充分C.充分必要 D.既非充分又非必要【答案】B【解析】因?yàn)椴荒芡瞥?，所以“”不是“”的充分條件；因?yàn)槟芡瞥觯浴啊笔恰啊钡谋匾獥l件；所以“”是“”的必要條件非充分條件.故選：B．3.如圖所示的冪函數(shù)圖象對(duì)應(yīng)的解析式可能為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】對(duì)于A，，定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，，不符合題意；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，不符合題意；對(duì)于C，，定義域?yàn)?，函?shù)為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，符合題意；對(duì)于D，，當(dāng)時(shí)，，不符合題意.故選：C.4.已知函數(shù)是上單調(diào)遞增的奇函數(shù)．若，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】將不等式變形可得，因?yàn)楹瘮?shù)是上單調(diào)遞增的奇函數(shù)，所以不等式等價(jià)于，所以，即的取值范圍為.故選：D.5.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由對(duì)數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以，對(duì)數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以，因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)的圖像在軸上方且在定義域上單調(diào)遞減，所以，所以，所以：.故選：B.6.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A.1 B. C. D.2【答案】B【解析】由題設(shè)且，則，故，又，則，所以，則.故選：B.7.已知函數(shù)是上的減函數(shù)，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由題意可得，函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)在單調(diào)遞減，且，即有，即，解得.故選：B.8.若，則實(shí)數(shù)（）A. B.2 C.1 D.【答案】C【解析】，即.故.故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列運(yùn)算正確的有（）A. B.C. D.【答案】CD【解析】選項(xiàng)A，，說(shuō)法錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，，說(shuō)法錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，令，則，即，說(shuō)法正確；選項(xiàng)D，，說(shuō)法正確.故選：CD.10.已知的部分圖象如圖所示，則（）A.的最小正周期為B.圖像可由的圖象向左平移個(gè)單位得到C.的對(duì)稱軸為D.在區(qū)間上的最大值為【答案】ABD【解析】根據(jù)函數(shù)的部分圖象，可得，.再根據(jù)五點(diǎn)法作圖可得，，因?yàn)?，，又最大值為，?的最小正周期為，故A正確；的圖像可由的圖象向左平移個(gè)單位得到，故B正確；令，則，所以對(duì)稱軸為，故C不正確；時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，，故D正確.故選：ABD．11.已知函數(shù)是定義在上的以4為周期的函數(shù)，對(duì)任意整數(shù)，區(qū)間．當(dāng)時(shí)，．集合在上有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則（）A. B.是函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心C. D.若，則【答案】ACD【解析】已知函數(shù)的周期為，則.當(dāng)時(shí)，，所以，故，選項(xiàng)A正確.當(dāng)時(shí)，，，所以在上是偶函數(shù)，結(jié)合周期性，易知函數(shù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱，即在R上也是偶函數(shù).又函數(shù)的周期為，則，即不是對(duì)稱中心，選項(xiàng)B錯(cuò)誤.因?yàn)楹瘮?shù)的周期為，所以，由于是偶函數(shù)，所以，選項(xiàng)C正確.當(dāng)時(shí)，，則.在上有兩個(gè)不相等的實(shí)根，即與在上有兩個(gè)不同交點(diǎn).當(dāng)時(shí)，，的圖象是由向右平移4k個(gè)單位得到的.當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，，故要使與在上有兩個(gè)不同交點(diǎn)，則，即，選項(xiàng)D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若，則取值范圍為______．【答案】【解析】由題意，即，根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性可得.13.已知，為銳角，則______．【答案】【解析】因?yàn)闉殇J角，所以，因?yàn)?，所以，所?14.已知正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為______．【答案】6【解析】由題設(shè)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即的最小值為6.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.在平面直角坐標(biāo)系中，角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸非負(fù)半軸重合，點(diǎn)在角的終邊上.（1）求的值；（2）求的值.解：（1）由題知：角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，∴由三角函數(shù)的定義可知.（2）由（1）可知：，.16.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的最小值，及取最小值時(shí)的的值；（2）將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的（縱坐標(biāo)不變），再向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間．解：（1）.所以的最小值為，此時(shí)：，，即，.（2）將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的（縱坐標(biāo)不變），得到的圖象，再將的圖象向右平移個(gè)單位，得到.由，得函數(shù)的最小正周期為.由，，得，，所以，.所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為：，.17.已知函數(shù)．（1）求的定義域；（2）判斷的奇偶性并給予證明；（3）求關(guān)于的不等式的解集．解：（1）由題意知函數(shù)滿足，解得，即函數(shù)的定義域?yàn)?（2）為奇函數(shù)，證明如下：函數(shù)的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，故為奇函數(shù).（3）即，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，有，解得；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，有，解得；故當(dāng)時(shí)，關(guān)于的不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，關(guān)于的不等式的解集為.18.已知函數(shù)．（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若函數(shù)在區(qū)間上有且僅存一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）由條件可得，對(duì)稱軸為：，由開口向上，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.（2），當(dāng)時(shí)，，顯然在區(qū)間上單調(diào)遞增，符合；當(dāng)時(shí)，對(duì)稱軸為：，且開口向上，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，需滿足：，解得：，當(dāng)時(shí)，對(duì)稱軸為：，且開口向下，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，需滿足：，解得：，綜上若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，實(shí)數(shù)的取值范圍.（3）若函數(shù)在區(qū)間上有且僅存一個(gè)零點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，由，解得：，符合；當(dāng)，對(duì)于，若，即時(shí)，方程有一根，符合，若，①，因?yàn)閷?duì)稱軸為：，又，若函數(shù)在區(qū)間上有且僅存一個(gè)零點(diǎn)，需滿足：，即，故：；②，對(duì)稱軸為：，，若函數(shù)在區(qū)間上有且僅存一個(gè)零點(diǎn)，需滿足：，且，即且，解得：；綜上實(shí)數(shù)的取值范圍是.19.固定項(xiàng)鏈的兩端，在重力的作用下項(xiàng)鏈所形成的曲線是懸鏈線．1691年，萊布尼茨等得出“懸鏈線”方程，其中為參數(shù)．當(dāng)時(shí)，就是雙曲余弦函數(shù)，類似的，我們可以定義雙曲正弦函數(shù)，它們與正、余弦函數(shù)有許多類似性質(zhì)．（1）判斷并證明雙曲余弦函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性；（2）（?。┳C明；（ⅱ）類比正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的和（差）角公式，寫出雙曲正弦或雙曲余弦函數(shù)的一個(gè)類似結(jié)論并給出證明；（3）若函數(shù)在上最大值為0，求實(shí)數(shù)的值．解：（1）設(shè)，其定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.計(jì)算：，因?yàn)椋噪p曲余弦函數(shù)是偶函數(shù).設(shè)，計(jì)算的值：，因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，即.當(dāng)時(shí)，，則，即，此時(shí)，即，所以在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，，則，即，此時(shí)，即，所以在上單調(diào)遞增.綜上所得，雙曲余弦函數(shù)是偶函數(shù)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）（?。?，所以.（ⅱ）結(jié)論：.證明：右邊.所以成立.（3）令，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以.因?yàn)?，，所?那么函數(shù).因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，要使在上最大值為，則在上有最小值.函數(shù)的對(duì)稱軸為.當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，則．由，解得.當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則.由，即，此方程無(wú)實(shí)數(shù)解.綜上，實(shí)數(shù)的值為.浙江省杭州市下沙區(qū)杭四吳山2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)、是符合題目要求的.1.集合，則為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，所?故選：B．2.設(shè)，則“”是“”的（）條件．A.充分非必要 B.必要非充分C.充分必要 D.既非充分又非必要【答案】B【解析】因?yàn)椴荒芡瞥?，所以“”不是“”的充分條件；因?yàn)槟芡瞥?，所以“”是“”的必要條件；所以“”是“”的必要條件非充分條件.故選：B．3.如圖所示的冪函數(shù)圖象對(duì)應(yīng)的解析式可能為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】對(duì)于A，，定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，，不符合題意；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，不符合題意；對(duì)于C，，定義域?yàn)椋瘮?shù)為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，符合題意；對(duì)于D，，當(dāng)時(shí)，，不符合題意.故選：C.4.已知函數(shù)是上單調(diào)遞增的奇函數(shù)．若，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】將不等式變形可得，因?yàn)楹瘮?shù)是上單調(diào)遞增的奇函數(shù)，所以不等式等價(jià)于，所以，即的取值范圍為.故選：D.5.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由對(duì)數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以，對(duì)數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以，因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)的圖像在軸上方且在定義域上單調(diào)遞減，所以，所以，所以：.故選：B.6.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A.1 B. C. D.2【答案】B【解析】由題設(shè)且，則，故，又，則，所以，則.故選：B.7.已知函數(shù)是上的減函數(shù)，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由題意可得，函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)在單調(diào)遞減，且，即有，即，解得.故選：B.8.若，則實(shí)數(shù)（）A. B.2 C.1 D.【答案】C【解析】，即.故.故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列運(yùn)算正確的有（）A. B.C. D.【答案】CD【解析】選項(xiàng)A，，說(shuō)法錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，，說(shuō)法錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，令，則，即，說(shuō)法正確；選項(xiàng)D，，說(shuō)法正確.故選：CD.10.已知的部分圖象如圖所示，則（）A.的最小正周期為B.圖像可由的圖象向左平移個(gè)單位得到C.的對(duì)稱軸為D.在區(qū)間上的最大值為【答案】ABD【解析】根據(jù)函數(shù)的部分圖象，可得，.再根據(jù)五點(diǎn)法作圖可得，，因?yàn)?，，又最大值為，?的最小正周期為，故A正確；的圖像可由的圖象向左平移個(gè)單位得到，故B正確；令，則，所以對(duì)稱軸為，故C不正確；時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，，故D正確.故選：ABD．11.已知函數(shù)是定義在上的以4為周期的函數(shù)，對(duì)任意整數(shù)，區(qū)間．當(dāng)時(shí)，．集合在上有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則（）A. B.是函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心C. D.若，則【答案】ACD【解析】已知函數(shù)的周期為，則.當(dāng)時(shí)，，所以，故，選項(xiàng)A正確.當(dāng)時(shí)，，，所以在上是偶函數(shù)，結(jié)合周期性，易知函數(shù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱，即在R上也是偶函數(shù).又函數(shù)的周期為，則，即不是對(duì)稱中心，選項(xiàng)B錯(cuò)誤.因?yàn)楹瘮?shù)的周期為，所以，由于是偶函數(shù)，所以，選項(xiàng)C正確.當(dāng)時(shí)，，則.在上有兩個(gè)不相等的實(shí)根，即與在上有兩個(gè)不同交點(diǎn).當(dāng)時(shí)，，的圖象是由向右平移4k個(gè)單位得到的.當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，，故要使與在上有兩個(gè)不同交點(diǎn)，則，即，選項(xiàng)D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若，則取值范圍為______．【答案】【解析】由題意，即，根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性可得.13.已知，為銳角，則______．【答案】【解析】因?yàn)闉殇J角，所以，因?yàn)?，所以，所?14.已知正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為______．【答案】6【解析】由題設(shè)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即的最小值為6.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.在平面直角坐標(biāo)系中，角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸非負(fù)半軸重合，點(diǎn)在角的終邊上.（1）求的值；（2）求的值.解：（1）由題知：角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，∴由三角函數(shù)的定義可知.（2）由（1）可知：，.16.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的最小值，及取最小值時(shí)的的值；（2）將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的（縱坐標(biāo)不變），再向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間．解：（1）.所以的最小值為，此時(shí)：，，即，.（2）將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的（縱坐標(biāo)不變），得到的圖象，再將的圖象向右平移個(gè)單位，得到.由，得函數(shù)的最小正周期為.由，，得，，所以，.所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為：，.17.已知函數(shù)．（1）求的定義域；（2）判斷的奇偶性并給予證明；（3）求關(guān)于的不等式的解集．解：（1）由題意知函數(shù)滿足，解得，即函數(shù)的定義域?yàn)?（2）為奇函數(shù)，證明如下：函數(shù)的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，故為奇函數(shù).（3）即，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，有，解得；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，有，解得；故當(dāng)時(shí)，關(guān)于的不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，關(guān)于的不等式的解集為.18.已知函數(shù)．（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若函數(shù)在區(qū)間上有且僅存一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）由條件可得，對(duì)稱軸為：，由開口向上，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.（2），當(dāng)時(shí)，，顯然在區(qū)間上單調(diào)遞增，符合；當(dāng)時(shí)，對(duì)稱軸為：，且開口向上，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，需滿足：，解得：，當(dāng)時(shí)，對(duì)稱軸為：，且開口向下，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，需滿足：，解得：，綜上若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，實(shí)數(shù)的取值范圍.（3）若函數(shù)在區(qū)間上有且僅存一個(gè)零點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，由，解得：，符合；當(dāng)