高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省深圳市寶安區(qū)2025屆高三4月模擬測試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】對于集合，將不等式變形為，即.則，所以集合.

對于集合，解不等式，得到，即集合.

所以，即.

故選：A.2.已知，，若，則實數(shù)（）A. B.3 C.6 D.【答案】A【解析】因為，，所以，因為，所以，解得，故A正確.故選：A3.若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由函數(shù)的定義域為，設(shè)，則，又單調(diào)遞增，當(dāng)時，，，無單調(diào)性，不成立；當(dāng)時，在和上單調(diào)遞增，即在和上單調(diào)遞增，所以，則，即；當(dāng)時，在和上單調(diào)遞減，即在和上單調(diào)遞減，不成立；綜上所述，故選：C.4.已知，橢圓與雙曲線的離心率分別為，，若，則雙曲線E的漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】依題意，，，又，所以，整理得，所以，所以雙曲線E的漸近線方程為，即，故選：C.5.從集合中隨機(jī)取出4個不同的數(shù)，并將其從大到小依次排列，則第二個數(shù)是7的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】任取4個不同數(shù)，且從大到小排列可得所有的情況有種，第2個數(shù)為7的情況有，故概率為，故選：D6.在正方體中，是棱上的點，且．平面將此正方體分為兩部分，設(shè)兩部分體積分別為和，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】延長，交的延長線于點，連接，交于點，連接，平面將此正方體分為兩部分，設(shè)兩部分體積分別為和，故臺體體積為，剩余圖形的體積為，設(shè)正方體的棱長為4，則正方體體積為，又，，故，，，臺體的高為，故臺體的體積為，故，所以.故選：D7.已知，函數(shù)在區(qū)間上有且僅有兩個零點，，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，則，函數(shù)在區(qū)間上有且僅有兩個零點，則與在上有兩個交點，則，且，不妨設(shè)，則，則，當(dāng)時，有最小值.則的最小值為.故選：A8.已知函數(shù)滿足：，，，若，則（）A.2022 B.2023 C.2024 D.2025【答案】C【解析】依題意，因為，則，令，則，因為，所以，又因為，則，即，令，則，即，令，則，所以，故得，又；又，所以，即．故選：C．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共計18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分．9.已知為虛數(shù)單位，以下選項正確的是（）A.若，則的充要條件是B.若復(fù)數(shù)滿足，則C.D.若復(fù)數(shù)滿足，則的最大值為6【答案】ACD【解析】對于A，因，則等價于，等價于，即，故A正確；對于B，由可得，當(dāng)時，等式成立，但與不一定相等，故B錯誤；對于C，因?qū)τ?，，則，于是，故C正確；對于D，由可理解為復(fù)平面內(nèi)以原點為圓心的單位圓，而可看成點到該圓上點的距離，易得的最大值即，故D正確.故選：ACD.10.已知常見“對勾函數(shù)”的圖象也是雙曲線，其漸近線分別為與軸，其實軸和虛軸是兩條漸近線的角平分線.設(shè)雙曲線的一條漸近線與雙曲線的實軸夾角為，其離心率為，雙曲線的實軸長為，離心率為，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.點是的一個頂點C. D.【答案】ACD【解析】如圖1，當(dāng)雙曲線為焦點在軸上的標(biāo)準(zhǔn)方程時，過雙曲線的右頂點作軸的垂線交漸近線于點，則，，故A正確；由題意知，雙曲線中，漸近線即，其斜率為，如圖2，它與軸夾角的正切值，解得或（舍），，由A選項可知，，故C正確；頂點是對稱軸（實軸）和雙曲線的交點，，∴對稱軸為，與雙曲線在第一象限交于，，故B不正確，D正確.圖1圖2故選：ACD.11.歐拉函數(shù)是數(shù)論中的一個基本概念，的函數(shù)值等于所有不超過正整數(shù)，且與互質(zhì)的正整數(shù)的個數(shù)（只有公因數(shù)1的兩個正整數(shù)互質(zhì)，且1與所有正整數(shù)（包括1本身）互質(zhì)），例如，因為1，3，5，7均與8互質(zhì)，則（）A. B.數(shù)列單調(diào)遞增C. D.數(shù)列的前項和小于【答案】ACD【解析】A選項，由題可知與4互質(zhì)的數(shù)為1，3，則；與6互質(zhì)的數(shù)為1，5，則；與10互質(zhì)的數(shù)為1，3，7，9，則，故，即A正確；B選項，由A選項可知，，故數(shù)列不是單調(diào)遞增數(shù)列，即B錯誤；C選項，注意到，則從1到100，這100個整數(shù)中，被2整除的有50個，被5整除的有20個，同時被2和5整除的有10個，則從1到100，這100個整數(shù)中，不能被被2或5整除的數(shù)，即與100互質(zhì)的數(shù)的個數(shù)為個，則，故C正確；D選項，由C選項分析可知，與互質(zhì)的數(shù)，就是從1到，這個整數(shù)中去掉所有的2的倍數(shù).其中2的倍數(shù)有個，則，同理可得.則，即為首項為，公比為的等比數(shù)列，其前項和，故D正確.故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共計15分．12.將分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5的5個大小相同的小球放入一個不透明的袋子中，甲，乙兩人分別從袋中摸出一球，互相不知道對方摸出球的數(shù)字.甲先對乙說：“我不能確定咱倆誰的球上面的數(shù)字更大.”乙再對甲說：“我也不能確定咱倆誰的球上面的數(shù)字更大.”若甲，乙兩人所說均為真話，請你推斷乙所摸球上的數(shù)字為________.【答案】3【解析】若甲摸出的球上面的數(shù)字為1或5，則可以推斷兩人摸出球上面數(shù)字的大小，所以甲摸出的球上面的數(shù)字不可能是1或5；同理，乙摸出的球上面的數(shù)字也不可能是1或5；若乙摸出的球上面的數(shù)字為2，甲摸出的球上面的數(shù)字可能為3或4，此時乙可判斷大小；若乙摸出的球上面的數(shù)字為4，甲摸出的球上面的數(shù)字可能為2或3，此時乙可判斷大小，所以乙摸出的球上面的數(shù)字為3.故答案為：3.13.某統(tǒng)計數(shù)據(jù)共有13個樣本，它們依次成公差的等差數(shù)列，若這組數(shù)據(jù)的60百分位數(shù)是26，則它們的平均數(shù)為______．【答案】25【解析】因為數(shù)列為公差為1的等差數(shù)列，且，所以該組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為，由．根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，它們的平均數(shù)為．故答案為：.14.下列函數(shù)的圖象繞坐標(biāo)原點沿逆時針旋轉(zhuǎn)后得到的曲線仍為一個函數(shù)的圖象的有______（寫出對應(yīng)編號）．①；②；③；④．【答案】①③④【解析】利用運動是相對的，函數(shù)的圖象繞坐標(biāo)原點逆時針方向旋轉(zhuǎn)，可以看作坐標(biāo)軸繞坐標(biāo)原點順時針方向旋轉(zhuǎn)，根據(jù)函數(shù)的定義，對于定義域內(nèi)的每一個自變量，都有唯一確定的與之對應(yīng)，逆時針旋轉(zhuǎn)后得到的曲線，如果仍為一個函數(shù)的圖象，則曲線與任意一條垂直于軸的直線最多只有一個交點，所以函數(shù)的圖象與任一斜率為1的直線都最多只有一個交點，結(jié)合函數(shù)圖象可知，對于①，的圖象與直線都只有一個交點，故①正確；對于②，的圖象與直線有兩個交點，，故②錯誤；對于③，，，，所以的圖象在點處的切線方程為，的圖象與直線都最多只有一個交點，故③正確；對于④，的圖象與直線都只有一個交點，故④正確．故答案為：①③④.四、解答題：本大題共5小題，共計77分．解答應(yīng)在答卷的相應(yīng)各題中寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.如圖，在中，的平分線與AB交于點，.（1）求；（2）若，求的值.解：（1）如圖，中，由題意得，設(shè)，則，，則由余弦定理得，因為是的平分線，所以，，由二倍角公式得.（2）由（1）知，易得，所以，由余弦定理得，結(jié)合誘導(dǎo)公式得，在中，由正弦定理得，因為，所以，，由余弦定理得，因，所以，由正弦定理得.16.在直三棱柱中，，為平面與平面交線，為直線上一點．（1）若，求的面積；（2）若平面與平面夾角的余弦值為，求．解：（1）因為，所以為等邊三角形，所以在直三棱柱中，，又平面，平面，所以平面．因為平面，平面平面，所以．又，，所以．（2）解法一：如圖，以的中點為原點建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)，則．所以．設(shè)平面的一個法向量為，則，即，取，所以．因為是平面法向量，所以．解得，所以．解法二：由題意可知，平面與平面夾角，就是銳二面角，如圖，取的中點，因為，所以．因為在直三棱柱中，平面，所以因為，平面，平面，所以平面．過點作的垂線，垂足為，連接，所以為二面角的平面角．因為，為正方形，所以，，又為的中點，，所以；設(shè)，所以．解得，所以．17.已知函數(shù).（1）若時，求曲線在處的切線方程；（2）若時，在區(qū)間上的最小值為，求實數(shù)的值.解：（1）當(dāng)時，且，所以，故切線方程為，即，（2），由，存在，使得，即，當(dāng)時，，此時單調(diào)遞減，當(dāng)時，，此時單調(diào)遞增，故，，故在單調(diào)遞減，又，故18.已知橢圓的右焦點為，直線與相交于、兩點．（1）求直線l被圓所截的弦長；（2）當(dāng)時，．（i）求的方程；（ii）證明：對任意的，的周長為定值．解：（1）由題意得圓的圓心為，到直線的距離，則直線被圓所截弦長為.故直線被圓所截得的弦長為.（2）當(dāng)時，直線的方程為，（i）聯(lián)立，得，所以，又因為，所以，，所以，橢圓的方程為；（ii）設(shè)點、，則，且，所以，，同理可得，因為原點到直線的距離為，過原點作，垂足為點，如下圖所示：所以，，聯(lián)立可得，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，此時點、關(guān)于軸對稱，合乎題意，因為，則，由韋達(dá)定理可得，，故，，所以，，因此，的周長為（定值）.19.已知數(shù)列的首項，當(dāng)時，，數(shù)列滿足，，數(shù)列和的所有項合在一起，按從小到大的順序依次排列構(gòu)成新數(shù)列.（1）求，，的值；（2）記為數(shù)列的前n項和，求使得成立的n的最小值；（3）從數(shù)列的前100項中每次隨機(jī)抽取一項，有放回地抽取20次，設(shè)這20次抽取的項互不相同的概率為P，證明：.附：不等式（，，且）的推廣式（，，?，均大于0，且不全相等）成立.（1）解：數(shù)列的首項，當(dāng)時，，則數(shù)列是以1為首項，公差為2的等差數(shù)列，所以，由得，數(shù)列和的所有項合在一起，按從小到大的順序依次排列構(gòu)成新數(shù)列所以數(shù)列為，所以.（2）解：由（1）知，所以等價于，因為，所以，又，則.當(dāng)時，，不符合題意；當(dāng)時，，不符合題意；當(dāng)時，，不符合題意；當(dāng)時，，符合題意，故的最小值為7.（3）證明：由（1）知數(shù)列的前100項中無重復(fù)的項，所以，所以，設(shè)函數(shù)，則，所以在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，，即.故，則，即，所以.廣東省深圳市寶安區(qū)2025屆高三4月模擬測試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】對于集合，將不等式變形為，即.則，所以集合.

對于集合，解不等式，得到，即集合.

所以，即.

故選：A.2.已知，，若，則實數(shù)（）A. B.3 C.6 D.【答案】A【解析】因為，，所以，因為，所以，解得，故A正確.故選：A3.若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由函數(shù)的定義域為，設(shè)，則，又單調(diào)遞增，當(dāng)時，，，無單調(diào)性，不成立；當(dāng)時，在和上單調(diào)遞增，即在和上單調(diào)遞增，所以，則，即；當(dāng)時，在和上單調(diào)遞減，即在和上單調(diào)遞減，不成立；綜上所述，故選：C.4.已知，橢圓與雙曲線的離心率分別為，，若，則雙曲線E的漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】依題意，，，又，所以，整理得，所以，所以雙曲線E的漸近線方程為，即，故選：C.5.從集合中隨機(jī)取出4個不同的數(shù)，并將其從大到小依次排列，則第二個數(shù)是7的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】任取4個不同數(shù)，且從大到小排列可得所有的情況有種，第2個數(shù)為7的情況有，故概率為，故選：D6.在正方體中，是棱上的點，且．平面將此正方體分為兩部分，設(shè)兩部分體積分別為和，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】延長，交的延長線于點，連接，交于點，連接，平面將此正方體分為兩部分，設(shè)兩部分體積分別為和，故臺體體積為，剩余圖形的體積為，設(shè)正方體的棱長為4，則正方體體積為，又，，故，，，臺體的高為，故臺體的體積為，故，所以.故選：D7.已知，函數(shù)在區(qū)間上有且僅有兩個零點，，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，則，函數(shù)在區(qū)間上有且僅有兩個零點，則與在上有兩個交點，則，且，不妨設(shè)，則，則，當(dāng)時，有最小值.則的最小值為.故選：A8.已知函數(shù)滿足：，，，若，則（）A.2022 B.2023 C.2024 D.2025【答案】C【解析】依題意，因為，則，令，則，因為，所以，又因為，則，即，令，則，即，令，則，所以，故得，又；又，所以，即．故選：C．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共計18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分．9.已知為虛數(shù)單位，以下選項正確的是（）A.若，則的充要條件是B.若復(fù)數(shù)滿足，則C.D.若復(fù)數(shù)滿足，則的最大值為6【答案】ACD【解析】對于A，因，則等價于，等價于，即，故A正確；對于B，由可得，當(dāng)時，等式成立，但與不一定相等，故B錯誤；對于C，因?qū)τ冢?，則，于是，故C正確；對于D，由可理解為復(fù)平面內(nèi)以原點為圓心的單位圓，而可看成點到該圓上點的距離，易得的最大值即，故D正確.故選：ACD.10.已知常見“對勾函數(shù)”的圖象也是雙曲線，其漸近線分別為與軸，其實軸和虛軸是兩條漸近線的角平分線.設(shè)雙曲線的一條漸近線與雙曲線的實軸夾角為，其離心率為，雙曲線的實軸長為，離心率為，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.點是的一個頂點C. D.【答案】ACD【解析】如圖1，當(dāng)雙曲線為焦點在軸上的標(biāo)準(zhǔn)方程時，過雙曲線的右頂點作軸的垂線交漸近線于點，則，，故A正確；由題意知，雙曲線中，漸近線即，其斜率為，如圖2，它與軸夾角的正切值，解得或（舍），，由A選項可知，，故C正確；頂點是對稱軸（實軸）和雙曲線的交點，，∴對稱軸為，與雙曲線在第一象限交于，，故B不正確，D正確.圖1圖2故選：ACD.11.歐拉函數(shù)是數(shù)論中的一個基本概念，的函數(shù)值等于所有不超過正整數(shù)，且與互質(zhì)的正整數(shù)的個數(shù)（只有公因數(shù)1的兩個正整數(shù)互質(zhì)，且1與所有正整數(shù)（包括1本身）互質(zhì)），例如，因為1，3，5，7均與8互質(zhì)，則（）A. B.數(shù)列單調(diào)遞增C. D.數(shù)列的前項和小于【答案】ACD【解析】A選項，由題可知與4互質(zhì)的數(shù)為1，3，則；與6互質(zhì)的數(shù)為1，5，則；與10互質(zhì)的數(shù)為1，3，7，9，則，故，即A正確；B選項，由A選項可知，，故數(shù)列不是單調(diào)遞增數(shù)列，即B錯誤；C選項，注意到，則從1到100，這100個整數(shù)中，被2整除的有50個，被5整除的有20個，同時被2和5整除的有10個，則從1到100，這100個整數(shù)中，不能被被2或5整除的數(shù)，即與100互質(zhì)的數(shù)的個數(shù)為個，則，故C正確；D選項，由C選項分析可知，與互質(zhì)的數(shù)，就是從1到，這個整數(shù)中去掉所有的2的倍數(shù).其中2的倍數(shù)有個，則，同理可得.則，即為首項為，公比為的等比數(shù)列，其前項和，故D正確.故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共計15分．12.將分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5的5個大小相同的小球放入一個不透明的袋子中，甲，乙兩人分別從袋中摸出一球，互相不知道對方摸出球的數(shù)字.甲先對乙說：“我不能確定咱倆誰的球上面的數(shù)字更大.”乙再對甲說：“我也不能確定咱倆誰的球上面的數(shù)字更大.”若甲，乙兩人所說均為真話，請你推斷乙所摸球上的數(shù)字為________.【答案】3【解析】若甲摸出的球上面的數(shù)字為1或5，則可以推斷兩人摸出球上面數(shù)字的大小，所以甲摸出的球上面的數(shù)字不可能是1或5；同理，乙摸出的球上面的數(shù)字也不可能是1或5；若乙摸出的球上面的數(shù)字為2，甲摸出的球上面的數(shù)字可能為3或4，此時乙可判斷大?。蝗粢颐龅那蛏厦娴臄?shù)字為4，甲摸出的球上面的數(shù)字可能為2或3，此時乙可判斷大小，所以乙摸出的球上面的數(shù)字為3.故答案為：3.13.某統(tǒng)計數(shù)據(jù)共有13個樣本，它們依次成公差的等差數(shù)列，若這組數(shù)據(jù)的60百分位數(shù)是26，則它們的平均數(shù)為______．【答案】25【解析】因為數(shù)列為公差為1的等差數(shù)列，且，所以該組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為，由．根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，它們的平均數(shù)為．故答案為：.14.下列函數(shù)的圖象繞坐標(biāo)原點沿逆時針旋轉(zhuǎn)后得到的曲線仍為一個函數(shù)的圖象的有______（寫出對應(yīng)編號）．①；②；③；④．【答案】①③④【解析】利用運動是相對的，函數(shù)的圖象繞坐標(biāo)原點逆時針方向旋轉(zhuǎn)，可以看作坐標(biāo)軸繞坐標(biāo)原點順時針方向旋轉(zhuǎn)，根據(jù)函數(shù)的定義，對于定義域內(nèi)的每一個自變量，都有唯一確定的與之對應(yīng)，逆時針旋轉(zhuǎn)后得到的曲線，如果仍為一個函數(shù)的圖象，則曲線與任意一條垂直于軸的直線最多只有一個交點，所以函數(shù)的圖象與任一斜率為1的直線都最多只有一個交點，結(jié)合函數(shù)圖象可知，對于①，的圖象與直線都只有一個交點，故①正確；對于②，的圖象與直線有兩個交點，，故②錯誤；對于③，，，，所以的圖象在點處的切線方程為，的圖象與直線都最多只有一個交點，故③正確；對于④，的圖象與直線都只有一個交點，故④正確．故答案為：①③④.四、解答題：本大題共5小題，共計77分．解答應(yīng)在答卷的相應(yīng)各題中寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.如圖，在中，的平分線與AB交于點，.（1）求；（2）若，求的值.解：（1）如圖，中，由題意得，設(shè)，則，，則由余弦定理得，因為是的平分線，所以，，由二倍角公式得.（2）由（1）知，易得，所以，由余弦定理得，結(jié)合誘導(dǎo)公式得，在中，由正弦定理得，因為，所以，，由余弦定理得，因，所以，由正弦定理得.16.在直三棱柱中，，為平面與平面交線，為直線上一點．（1）若，求的面積；（2）若平面與平面夾角的余弦值為，求．解：（1）因為，所以為等邊三角形，所以在直三棱柱中，，又平面，平面，所以平面．因為平面，平面平面，所以．又，，所以．（2）解法一：如圖，以的中點為原點建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)，則．所以．設(shè)平面的一個法向量為，則，即，取，所以．因為是平面法向量，所以．解得，所以．解法二：由題意可知，平面與平面夾角，就是銳二面角，如圖，取的中點，因為，所以．因為在直三棱柱中，平面，所以因