高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1吉林省2025屆高三下學(xué)期東北三省高考模擬數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，可得：，，，故選：A．2.設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面上表示的圖形是（）A.直線 B.直線 C.圓 D.拋物線【答案】B【解析】設(shè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面中對應(yīng)的點(diǎn)為，設(shè)，，則的幾何意義為，即點(diǎn)的軌跡為的中垂線，方程為.故選：B3.記為數(shù)列的前項(xiàng)和．下列說法正確的是（）A.數(shù)列成等差數(shù)列的充要條件是對于任意的正整數(shù)，都有B.數(shù)列成等比數(shù)列充分不必要條件是對于任意的正整數(shù)，都有C.已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則數(shù)列是等差數(shù)列的充分不必要條件是實(shí)數(shù)D.已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則數(shù)列是等比數(shù)列的充要條件是【答案】A【解析】是等差數(shù)列，A選項(xiàng)正確；若對都成立，滿足，但不是等比數(shù)列，充分性不成立，B選項(xiàng)錯誤；若是等差數(shù)列，則，，因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，所以，得必要性成立，C選項(xiàng)錯誤；若，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，不適合上式，不是等比數(shù)列，充分性不成立，D選項(xiàng)錯誤，故選：A．4.滿足條件，且的一組為（）A.，， B.，，C.，， D.，，【答案】D【解析】設(shè)，，，，，，結(jié)合選項(xiàng)，ABC不符合，D符合，故選：D．5.函數(shù)最小正周期為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，，，故選：C．6.甲、乙輪流拋一枚均勻硬幣，先拋出正面者獲勝．若甲先拋，則甲獲勝的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)為甲獲勝的概率，，，.故選：C．7.函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由的零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為的零點(diǎn)，因?yàn)榫鶠闇p函數(shù)，在上單調(diào)遞減且，又，，若存在，使得，只需，則即可，存在值，在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，即有且只有一個(gè)零點(diǎn).故選：B8.設(shè)正四棱錐的底面是邊長為2的正方形，高為，若該四棱錐的外接球與內(nèi)切球的球心重合，則外接球半徑與內(nèi)切球半徑之比為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)，分別為該四棱錐外接球、內(nèi)切球半徑，由題可知球心在高上，，，過球心做面垂線，垂足為，則點(diǎn)在的中線上（為中點(diǎn)），且，則，，在中，邊上的高為，所以，，故選：D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知向量，，若，則可能為（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】，以為臨邊的平行四邊形對角線相等，，，，，時(shí)，，故選：ACD．10.設(shè)隨機(jī)變量，且，則（）A. B.C.的方差為 D.若增大，則增大【答案】BC【解析】由結(jié)合正態(tài)曲線的對稱性，可得，則，故?A錯誤；，故B正確；由題意可知，，則，故C正確；越大，數(shù)據(jù)越分散，越小，故D錯誤.故選：BC．11.已知集合，現(xiàn)隨機(jī)選取集合中3個(gè)元素組成子集（簡稱3元子集），記該子集中最小數(shù)為．（）A.的最小取值為1，最大取值為19B.集合中以為最小數(shù)的3元子集共有個(gè)C.取到“集合中以為最小數(shù)的3元子集”的概率為D.【答案】BCD【解析】的最小取值為，最大取值為，故A錯誤；以為最小元的子集只需在中選出2個(gè)數(shù)與共同組成一個(gè)集合，所以有個(gè)，故B選項(xiàng)正確；集合共有個(gè)元子集，由B選項(xiàng)可知概率為，故C正確；隨機(jī)選取集合中4個(gè)元素組成子集共有種，由于，，其中為集合中的最大數(shù)，是集合中的最小數(shù)，則從中任取個(gè)元素有種，從中任取個(gè)元素有種，再取，則從集合中任取個(gè)元素共有種，則，則，故D正確.故選：BCD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知函數(shù)，若，則_____．【答案】【解析】設(shè)，，，當(dāng)時(shí)，，，無解，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，，無解，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，．故答案為：13.展開式中的系數(shù)為_____．【答案】136【解析】展開式中的系數(shù)．故答案為：136.14.平面上的整點(diǎn)（橫縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)）到直線的距離的最小值為_____．【答案】【解析】設(shè)整點(diǎn)，則，，，，，是5的倍數(shù)，，，．故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.在中，已知角，邊，且．（1）證明：；（2）若點(diǎn)在上，且為角平分線，求的長度．（1）證明：由余弦定理可知，，即，又，所以，解得．（2）解：由及，可以解得，再與聯(lián)立解得：或，利用三角形的面積相等公式，即，不妨用代入可得：．16.在四棱錐中，底面為邊長為的菱形，，底面，且，點(diǎn)為中點(diǎn)，點(diǎn)為上靠近點(diǎn)的一個(gè)三等分點(diǎn)，點(diǎn)在線段上的動點(diǎn)．（1）若平面，求出點(diǎn)的位置；（2）求直線與平面所成角的正弦值的最大值．解：（1）假設(shè)為上靠近的三等分點(diǎn)，分別為、的三等分點(diǎn)，，，，又平面，平面，平面，所以為上靠近的三等分點(diǎn)．（2）平面內(nèi)，過點(diǎn)作垂線，底面，，，，平面，平面，以為原點(diǎn)，所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，設(shè)，，，，，且，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，，，設(shè)直線與平面所成角為，則，當(dāng)時(shí)，，．即直線與平面所成角的正弦值的最大值為.17.某游戲有三個(gè)骰子，其面數(shù)如下：骰子：四個(gè)面，分別標(biāo)有數(shù)字1，1，3，4；骰子：四個(gè)面，分別標(biāo)有數(shù)字2，4，5，6；骰子：六個(gè)面，分別標(biāo)有數(shù)字1，3，5，7，9，11；玩家按骰子面數(shù)比例隨機(jī)選擇一個(gè)骰子（即選擇概率等于其面數(shù)占總面數(shù)的比例），然后擲該骰子兩次，記錄兩次結(jié)果的最大值．請解答以下問題：（1）若玩家選擇骰子，求兩次投擲的最大值為4的概率；（2）求兩次投擲的最大值為4的概率；（3）設(shè)獎金為最大值的平方（單位：元），若玩家獲得的獎金超過16元，求玩家選擇骰子的概率．解：（1）骰子的面為1，1，3，4，每個(gè)面出現(xiàn)的概率為，兩次投擲共有16種可能的結(jié)果組合，最大值是4的情況包括至少有一次擲出4，兩次都不出現(xiàn)4的概率為，因此至少有一次出現(xiàn)4的概率為．（2）玩家選擇骰子的概率分別為（骰子）、（骰子）和（骰子）；計(jì)算各骰子最大值為4的概率：骰子：概率為；骰子：兩次投擲共有個(gè)結(jié)果，兩次投擲的最大值為4的情況是兩次結(jié)果都不超過4且至少有一次為4，共有3種情況（（2，4），（4，2），（4，4）），故概率為；骰子：沒有數(shù)字4，因此概率為0．總概率為：．（3）獎金超過16元意味著最大值超過4，計(jì)算各骰子最大值超過4的概率：骰子：不可能超過4，概率為0；骰子：至少有一次擲出5或6共有種，故概率為；骰子：共有個(gè)結(jié)果，至少有一次擲出超過4，共有，故概率為．設(shè)最大值超過4為事件，選擇骰子為事件，計(jì)算全概率：，則．18.已知函數(shù)，其中為常數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；（3）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，求的取值范圍．解：（1）當(dāng)時(shí)，，，，此時(shí)，因此曲線在點(diǎn)處的切線方程為．（2）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，?dāng)，即時(shí)，，令，解得，令得，令得，此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，中，，當(dāng)，即時(shí)，方程在上僅有一個(gè)正根，令得，令得，此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)，即時(shí)，方程在上有兩個(gè)不等正根，分別為，，，故，令得，令得，此時(shí)函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（3）由（2）可知，若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，則，函數(shù)的對稱軸為，且，故，且，解得．19.已知橢圓和雙曲線有共同的焦點(diǎn)，設(shè)橢圓和雙曲線的離心率分別為和．（1）求證：；（2）設(shè)點(diǎn)為橢圓與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)，且，求的最小值，并求此時(shí)與的值；（3）在（2）的條件下，設(shè)點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作雙曲線的兩條漸近線的垂線（點(diǎn)不在兩條漸近線上），垂足分別為和，試問△面積是否有最大值，如果有最大值，求出此時(shí)的值，如果沒有最大值，請說明理由．（1）證明：如圖：已知橢圓與雙曲線有公共的焦點(diǎn)，即，兩邊平方，得，移項(xiàng)，得到．（2）解：設(shè)橢圓和雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為，所以.又，利用余弦定理，得到方程，即，因此，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號成立，因此解得橢圓離心率和雙曲線的離心率．（3）解：設(shè)，漸近線斜率分別為和，不妨設(shè)點(diǎn)在漸近線上，傾斜角為，則，同理，在四邊形中，，，，，，，此時(shí)．吉林省2025屆高三下學(xué)期東北三省高考模擬數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，可得：，，，故選：A．2.設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面上表示的圖形是（）A.直線 B.直線 C.圓 D.拋物線【答案】B【解析】設(shè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面中對應(yīng)的點(diǎn)為，設(shè)，，則的幾何意義為，即點(diǎn)的軌跡為的中垂線，方程為.故選：B3.記為數(shù)列的前項(xiàng)和．下列說法正確的是（）A.數(shù)列成等差數(shù)列的充要條件是對于任意的正整數(shù)，都有B.數(shù)列成等比數(shù)列充分不必要條件是對于任意的正整數(shù)，都有C.已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則數(shù)列是等差數(shù)列的充分不必要條件是實(shí)數(shù)D.已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則數(shù)列是等比數(shù)列的充要條件是【答案】A【解析】是等差數(shù)列，A選項(xiàng)正確；若對都成立，滿足，但不是等比數(shù)列，充分性不成立，B選項(xiàng)錯誤；若是等差數(shù)列，則，，因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，所以，得必要性成立，C選項(xiàng)錯誤；若，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，不適合上式，不是等比數(shù)列，充分性不成立，D選項(xiàng)錯誤，故選：A．4.滿足條件，且的一組為（）A.，， B.，，C.，， D.，，【答案】D【解析】設(shè)，，，，，，結(jié)合選項(xiàng)，ABC不符合，D符合，故選：D．5.函數(shù)最小正周期為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，，，故選：C．6.甲、乙輪流拋一枚均勻硬幣，先拋出正面者獲勝．若甲先拋，則甲獲勝的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)為甲獲勝的概率，，，.故選：C．7.函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由的零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為的零點(diǎn)，因?yàn)榫鶠闇p函數(shù)，在上單調(diào)遞減且，又，，若存在，使得，只需，則即可，存在值，在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，即有且只有一個(gè)零點(diǎn).故選：B8.設(shè)正四棱錐的底面是邊長為2的正方形，高為，若該四棱錐的外接球與內(nèi)切球的球心重合，則外接球半徑與內(nèi)切球半徑之比為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)，分別為該四棱錐外接球、內(nèi)切球半徑，由題可知球心在高上，，，過球心做面垂線，垂足為，則點(diǎn)在的中線上（為中點(diǎn)），且，則，，在中，邊上的高為，所以，，故選：D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知向量，，若，則可能為（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】，以為臨邊的平行四邊形對角線相等，，，，，時(shí)，，故選：ACD．10.設(shè)隨機(jī)變量，且，則（）A. B.C.的方差為 D.若增大，則增大【答案】BC【解析】由結(jié)合正態(tài)曲線的對稱性，可得，則，故?A錯誤；，故B正確；由題意可知，，則，故C正確；越大，數(shù)據(jù)越分散，越小，故D錯誤.故選：BC．11.已知集合，現(xiàn)隨機(jī)選取集合中3個(gè)元素組成子集（簡稱3元子集），記該子集中最小數(shù)為．（）A.的最小取值為1，最大取值為19B.集合中以為最小數(shù)的3元子集共有個(gè)C.取到“集合中以為最小數(shù)的3元子集”的概率為D.【答案】BCD【解析】的最小取值為，最大取值為，故A錯誤；以為最小元的子集只需在中選出2個(gè)數(shù)與共同組成一個(gè)集合，所以有個(gè)，故B選項(xiàng)正確；集合共有個(gè)元子集，由B選項(xiàng)可知概率為，故C正確；隨機(jī)選取集合中4個(gè)元素組成子集共有種，由于，，其中為集合中的最大數(shù)，是集合中的最小數(shù)，則從中任取個(gè)元素有種，從中任取個(gè)元素有種，再取，則從集合中任取個(gè)元素共有種，則，則，故D正確.故選：BCD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知函數(shù)，若，則_____．【答案】【解析】設(shè)，，，當(dāng)時(shí)，，，無解，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，，無解，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，．故答案為：13.展開式中的系數(shù)為_____．【答案】136【解析】展開式中的系數(shù)．故答案為：136.14.平面上的整點(diǎn)（橫縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)）到直線的距離的最小值為_____．【答案】【解析】設(shè)整點(diǎn)，則，，，，，是5的倍數(shù)，，，．故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.在中，已知角，邊，且．（1）證明：；（2）若點(diǎn)在上，且為角平分線，求的長度．（1）證明：由余弦定理可知，，即，又，所以，解得．（2）解：由及，可以解得，再與聯(lián)立解得：或，利用三角形的面積相等公式，即，不妨用代入可得：．16.在四棱錐中，底面為邊長為的菱形，，底面，且，點(diǎn)為中點(diǎn)，點(diǎn)為上靠近點(diǎn)的一個(gè)三等分點(diǎn)，點(diǎn)在線段上的動點(diǎn)．（1）若平面，求出點(diǎn)的位置；（2）求直線與平面所成角的正弦值的最大值．解：（1）假設(shè)為上靠近的三等分點(diǎn)，分別為、的三等分點(diǎn)，，，，又平面，平面，平面，所以為上靠近的三等分點(diǎn)．（2）平面內(nèi)，過點(diǎn)作垂線，底面，，，，平面，平面，以為原點(diǎn)，所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，設(shè)，，，，，且，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，，，設(shè)直線與平面所成角為，則，當(dāng)時(shí)，，．即直線與平面所成角的正弦值的最大值為.17.某游戲有三個(gè)骰子，其面數(shù)如下：骰子：四個(gè)面，分別標(biāo)有數(shù)字1，1，3，4；骰子：四個(gè)面，分別標(biāo)有數(shù)字2，4，5，6；骰子：六個(gè)面，分別標(biāo)有數(shù)字1，3，5，7，9，11；玩家按骰子面數(shù)比例隨機(jī)選擇一個(gè)骰子（即選擇概率等于其面數(shù)占總面數(shù)的比例），然后擲該骰子兩次，記錄兩次結(jié)果的最大值．請解答以下問題：（1）若玩家選擇骰子，求兩次投擲的最大值為4的概率；（2）求兩次投擲的最大值為4的概率；（3）設(shè)獎金為最大值的平方（單位：元），若玩家獲得的獎金超過16元，求玩家選擇骰子的概率．解：（1）骰子的面為1，1，3，4，每個(gè)面出現(xiàn)的概率為，兩次投擲共有16種可能的結(jié)果組合，最大值是4的情況包括至少有一次擲出4，兩次都不出現(xiàn)4的概率為，因此至少有一次出現(xiàn)4的概率為．（2）玩家選擇骰子的概率分別為（骰子）、（骰子）和（骰子）；計(jì)算各骰子最大值為4的概率：骰子：概率為；骰子：兩次投擲共有個(gè)結(jié)果，兩次投擲的最大值為4的情況是兩次結(jié)果都不超過4且至少有一次為4，共有3種情況（（2，4），（4，2），（4，4）），故概率為；骰子：沒有數(shù)字4，因此概率為0．總概率為：．（3）獎金超過16元意味著最大值超過4，計(jì)算各骰子最大值超過4的概率：骰子：不可能超過4，概率為0；骰子：至少有一次擲出5或6共有種，故概率為；骰子：共有個(gè)結(jié)果，至少有一次擲出超過4，共有，故概率為．設(shè)最大值超過4為事件，選擇骰子為事件，計(jì)算全概率：