高級中學名校試卷PAGEPAGE1江西省贛州市2025屆高三二模數學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，則.故選：A2.若復數z滿足，則（）A. B. C. D.10【答案】A【解析】由題設.故選：A3.平面平面的一個充分條件是（）A.存在一條直線B.存在一條直線C.存在兩條平行直線D.存在兩條異面直線【答案】D【解析】對于A，B，C，當平面，相交時，條件仍然成立，故A，B，C錯誤，對于D，存在兩條異面直線，平移后可得，存在兩條相交直線，由面面平行的判定定理可知，平面平面，故D正確，故選：D4.若向量，滿足，，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由投影向量的定義，在上的投影向量為.故選：D5.已知函數是定義在上且周期為的奇函數，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為函數是定義在上且周期為的奇函數，則，又因為，所以，，故，即.故選：B.6.設等比數列的前n項和為，若，，則（）A. B.7 C.63 D.7或63【答案】B【解析】由等比數列片段和的性質知，、、成等比數列，所以，則，所以，則或，等比數列的公比為，若時，則，而，顯然等式不成立；若時，則，滿足題設；所以.故選：B7.若點關于直線對稱的點在圓上，則k的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】顯然在圓上，又直線經過該圓的圓心，所以點關于直線對稱的點在圓上，又點關于直線對稱的點在圓上，所以對稱點為圓和圓的交點，聯立得交點為，所以與兩點所在直線，與垂直，故.故選：D8.若，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由題設，在R上單調遞減，則，在定義域上單調遞增，則，所以，則，即，A，B錯；由在上單調遞增，則，故，對于且，則，所以在上單調遞減，則，所以，C對；當，此時，D錯.故選：C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.設，則（）A. B.C. D.【答案】CD【解析】A：令，則，錯；B：令，則①，又，則，錯；C：由二項式展開式，，所以時，則；時，則；所以，對；D：令，則②，①②得，則，對.故選：CD10.如圖，透明長方體容器內灌入了一些水，邊BC固定在地面．若改變容器的傾斜度（水不溢出），則（）A.水的體積不變 B.水的部分呈棱柱狀C.水面四邊形EFGH的面積不變 D.當E在棱上時，是定值【答案】ABD【解析】A：因為水不溢出，則長方體中水的體積不變，對；B：由水面平行于地面，又邊BC固定在地面，即平面，平面平面，平面，則，又恒為矩形，則，又都垂直于平面，故均垂直于平面，易知水的部分呈棱柱狀，對；C：由題意，旋轉過程中恒為矩形，且，而在傾斜過程中會發(fā)生變化，故面積也會發(fā)生變化，錯；D：當E在棱上時，由B分析，水的體積恒定不變，又長度不變，故也為定值，對.故選：ABD11.設數列的前項和為，，，則（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】對于A選項，因，則，A對；對于B選項，構造函數，其中，則，所以，函數在上單調遞減，則，即，令，其中，則，所以，函數在上單調遞增，因為，則，即，所以，，，以此類推可知，，B錯；對于C選項，令，其中，則對任意的恒成立，所以函數在上單調遞減，故當時，，即，由A選項可知，，，，可知，當時，，所以，，C對；對于D選項，由C選項可知，，所以，，D對.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若隨機變量，，則的值為________．【答案】【解析】因為且，所以，解得.故答案為：13.若函數在區(qū)間上單調，且，則正數的值為________．【答案】2【解析】由函數在上單調，且，所以函數的一條對稱軸，一個對稱點為，且，所以，可得，故正數的值為2.故答案為：214.橢圓的右焦點為F，上頂點為A，直線l與橢圓交于B，C兩點．若，則l的斜率的取值范圍是________．【答案】【解析】令，而，所以，，，又，則，所以，由，作差得，則，顯然的中點在橢圓內，則，可得，即，所以，令，且在上單調遞增，值域為，所以.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.在一次數學測驗中，有單選題（即單項選擇題）和多選題（即多項選擇題）兩種．單選題指四個選項中僅有一個正確，選對得5分，選錯或不選得0分；多選題指四個選項中有兩個或三個正確，全部選對得6分，部分選對得3分，有選錯的或不選得0分．（1）在單選題的測驗中，小明如果不知道答案就隨機猜測．已知小明知道單選題的正確答案的概率是，隨機猜測的概率是，問小明在做某道單選題時，在該道題做對的條件下，求他知道這道單選題正確答案的概率；（2）小明在做多選題時，選擇一個選項的概率為，選擇兩個選項的概率為，選擇三個選項的概率為．已知某個多選題有三個選項是正確的，小明在完全不知道四個選項正誤的情況下，只好根據自己的經驗隨機選擇，記小明做這道多選題所得的分數為X，求X的分布列及數學期望．解：（1）記事件為該單項選擇題回答正確，事件為小明知道該題的正確答案，由題設，，，，故，所以，而，所以，即所求概率為；（2）由題意，的可能值為，設事件表示小明選擇了個選項，事件表示選擇的選項是正確的，則，，，所以的分布列，036所以.16.在中，，．（1）求B；（2）若的平分線AD交BC于點D，的面積為15，求AD．解：（1）由，且，則，故，，又，則；（2）設，，如下圖示，由，且，可得，，由，且，在中，，則，在中，，則，所以，又中邊上高為，則，所以.17.如圖，三棱錐中，是等邊三角形，，E為BC的中點．（1）證明：；（2）若，，，求E到平面ACD的距離．（1）證明：設的中點為，連接，由是等邊三角形，則，由中位線定理知且，則，又平面，故平面，由平面，所以.（2）解：由，則，由題設，則，，由余弦定理，又，，則，由，則，由平面，平面，可得平面平面，在平面內作，則平面，綜上，兩兩垂直，構建如下圖示的空間直角坐標系，所以，而，則，所以，，，設為平面的一個法向量，則，取，則，所以到平面的距離為.18.已知函數，．（1）求函數，的最小值；（2）當時，，求a的取值范圍．解：（1）令，，則，，由，解得或，可得當和時，，當時，，所以在單調遞減，和單調遞增.，又，，，所以函數在上的最小值為（2）設，，則，令，則，令，則，所以上單調遞增，所以，即，，所以，又設，，，當時，，為減函數，當時，，為增函數，所以，即恒成立，所以，所以在上單調遞增，則，當，即時，，，所以在上單調遞增，所以，當，即時，存在，使得，即，由于對任意，都有，即，此時，不符題意，綜上所述，.19.已知點M到點的距離比到y(tǒng)軸的距離大1，M的軌跡為C．點在C上，過作斜率為的直線交C于另一點，設與關于x軸對稱，過作斜率為的直線交C于另一點，設與關于x軸對稱，……，以此類推，設．（1）求C的方程；（2）設數列的前n項和為，證明：；（3）求的面積．（1）解：當在軸左側時，在軸的非正半軸上，的方程為；當在軸右側時，的軌跡是以為焦點，為準線的拋物線，方程為，綜上，C的方程為或；（2）證明：因為在上，所以，可得，依題意，則，所以，故數列是首項為2，公差為4的等差數列，所以，則，，所以，顯然關于單調遞減，則；（3）解：由（2）得，所以，而，所以.江西省贛州市2025屆高三二模數學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，則.故選：A2.若復數z滿足，則（）A. B. C. D.10【答案】A【解析】由題設.故選：A3.平面平面的一個充分條件是（）A.存在一條直線B.存在一條直線C.存在兩條平行直線D.存在兩條異面直線【答案】D【解析】對于A，B，C，當平面，相交時，條件仍然成立，故A，B，C錯誤，對于D，存在兩條異面直線，平移后可得，存在兩條相交直線，由面面平行的判定定理可知，平面平面，故D正確，故選：D4.若向量，滿足，，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由投影向量的定義，在上的投影向量為.故選：D5.已知函數是定義在上且周期為的奇函數，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為函數是定義在上且周期為的奇函數，則，又因為，所以，，故，即.故選：B.6.設等比數列的前n項和為，若，，則（）A. B.7 C.63 D.7或63【答案】B【解析】由等比數列片段和的性質知，、、成等比數列，所以，則，所以，則或，等比數列的公比為，若時，則，而，顯然等式不成立；若時，則，滿足題設；所以.故選：B7.若點關于直線對稱的點在圓上，則k的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】顯然在圓上，又直線經過該圓的圓心，所以點關于直線對稱的點在圓上，又點關于直線對稱的點在圓上，所以對稱點為圓和圓的交點，聯立得交點為，所以與兩點所在直線，與垂直，故.故選：D8.若，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由題設，在R上單調遞減，則，在定義域上單調遞增，則，所以，則，即，A，B錯；由在上單調遞增，則，故，對于且，則，所以在上單調遞減，則，所以，C對；當，此時，D錯.故選：C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.設，則（）A. B.C. D.【答案】CD【解析】A：令，則，錯；B：令，則①，又，則，錯；C：由二項式展開式，，所以時，則；時，則；所以，對；D：令，則②，①②得，則，對.故選：CD10.如圖，透明長方體容器內灌入了一些水，邊BC固定在地面．若改變容器的傾斜度（水不溢出），則（）A.水的體積不變 B.水的部分呈棱柱狀C.水面四邊形EFGH的面積不變 D.當E在棱上時，是定值【答案】ABD【解析】A：因為水不溢出，則長方體中水的體積不變，對；B：由水面平行于地面，又邊BC固定在地面，即平面，平面平面，平面，則，又恒為矩形，則，又都垂直于平面，故均垂直于平面，易知水的部分呈棱柱狀，對；C：由題意，旋轉過程中恒為矩形，且，而在傾斜過程中會發(fā)生變化，故面積也會發(fā)生變化，錯；D：當E在棱上時，由B分析，水的體積恒定不變，又長度不變，故也為定值，對.故選：ABD11.設數列的前項和為，，，則（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】對于A選項，因，則，A對；對于B選項，構造函數，其中，則，所以，函數在上單調遞減，則，即，令，其中，則，所以，函數在上單調遞增，因為，則，即，所以，，，以此類推可知，，B錯；對于C選項，令，其中，則對任意的恒成立，所以函數在上單調遞減，故當時，，即，由A選項可知，，，，可知，當時，，所以，，C對；對于D選項，由C選項可知，，所以，，D對.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若隨機變量，，則的值為________．【答案】【解析】因為且，所以，解得.故答案為：13.若函數在區(qū)間上單調，且，則正數的值為________．【答案】2【解析】由函數在上單調，且，所以函數的一條對稱軸，一個對稱點為，且，所以，可得，故正數的值為2.故答案為：214.橢圓的右焦點為F，上頂點為A，直線l與橢圓交于B，C兩點．若，則l的斜率的取值范圍是________．【答案】【解析】令，而，所以，，，又，則，所以，由，作差得，則，顯然的中點在橢圓內，則，可得，即，所以，令，且在上單調遞增，值域為，所以.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.在一次數學測驗中，有單選題（即單項選擇題）和多選題（即多項選擇題）兩種．單選題指四個選項中僅有一個正確，選對得5分，選錯或不選得0分；多選題指四個選項中有兩個或三個正確，全部選對得6分，部分選對得3分，有選錯的或不選得0分．（1）在單選題的測驗中，小明如果不知道答案就隨機猜測．已知小明知道單選題的正確答案的概率是，隨機猜測的概率是，問小明在做某道單選題時，在該道題做對的條件下，求他知道這道單選題正確答案的概率；（2）小明在做多選題時，選擇一個選項的概率為，選擇兩個選項的概率為，選擇三個選項的概率為．已知某個多選題有三個選項是正確的，小明在完全不知道四個選項正誤的情況下，只好根據自己的經驗隨機選擇，記小明做這道多選題所得的分數為X，求X的分布列及數學期望．解：（1）記事件為該單項選擇題回答正確，事件為小明知道該題的正確答案，由題設，，，，故，所以，而，所以，即所求概率為；（2）由題意，的可能值為，設事件表示小明選擇了個選項，事件表示選擇的選項是正確的，則，，，所以的分布列，036所以.16.在中，，．（1）求B；（2）若的平分線AD交BC于點D，的面積為15，求AD．解：（1）由，且，則，故，，又，則；（2）設，，如下圖示，由，且，可得，，由，且，在中，，則，在中，，則，所以，又中邊上高為，則，所以.17.如圖，三棱錐中，是等邊三角形，，E為BC的中點．（1）證明：；（2）若，，，求E到平面ACD的距離．（1）證明：設的中點為，連接，由是等邊三角形，則，由中位線定理知且，