高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江西省贛州市十八縣（市、區(qū)）二十五校2025屆高三下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若復(fù)數(shù)z滿足，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】由題意可得：，所以復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第一象限.故選：A.2.已知是首項(xiàng)為1，公比為q（）的等比數(shù)列．若數(shù)列的前三項(xiàng)和為2，則q等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題設(shè)，則，所以，可得（負(fù)值舍）.故選：C3.已知，則“向量共線”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.既不充分也不必要條件 D.充要條件【答案】B【解析】若向量共線且，同向共線時(shí)有，反向共線時(shí)有，充分性不成立；若，而，則向量同向共線，必要性成立；所以“向量共線”是“”的必要不充分條件.故選：B4.已知展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為40，則a等于（）A.1 B.2 C. D.【答案】B【解析】對(duì)于可知：，可知展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為，即，解得或（舍去），且，所以.故選：B.5.已知函數(shù)的值域是，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增，且在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，因?yàn)榈闹涤蚴牵?，解得，即?shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C6.已知一圓錐的底面半徑是1，高為，SA為該圓錐的一條母線，B，C是圓錐底面圓周上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則直線SA與BC夾角的余弦值的最大值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如圖，設(shè)圓錐的底面圓圓心為點(diǎn)，分別以直線所在直線為軸，過(guò)點(diǎn)且與垂直的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系.依題意，因點(diǎn)B，C是圓錐底面圓周上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，可設(shè)，其中，則，設(shè)直線SA與BC夾角為，則，因，故當(dāng)時(shí)，取得最大值1，此時(shí)取得最大值.故選：D.7.不等式在區(qū)間上的整數(shù)解的個(gè)數(shù)是（）A.674 B.676 C.1352 D.1348【答案】A【解析】因?yàn)?，由題意可得，可得，因?yàn)榈淖钚≌芷跒?，且，可知滿足在內(nèi)的整數(shù)解為4，5，即一個(gè)最小正周期內(nèi)有2個(gè)整數(shù)解，則不等式在內(nèi)無(wú)整數(shù)解，在有個(gè)整數(shù)解.所以不等式在有個(gè)整數(shù)解.故選：A.8.某籃球隊(duì)參加一項(xiàng)國(guó)際邀請(qǐng)賽，比賽分為兩個(gè)階段．小組賽階段：進(jìn)行3場(chǎng)小組賽，至少贏得2場(chǎng)才能晉級(jí)排名賽，否則淘汰．若晉級(jí)，進(jìn)入排名賽階段：進(jìn)行3場(chǎng)比賽，每贏一場(chǎng)可額外獲得獎(jiǎng)金．已知該籃球隊(duì)小組賽階段每場(chǎng)獲勝的概率均為0.8，若能晉級(jí)，排名賽階段每場(chǎng)比賽獲勝的概率均是0.6．該球隊(duì)參加小組賽能獲得出場(chǎng)費(fèi)50萬(wàn)元，排名賽每贏一場(chǎng)比賽，獲得100萬(wàn)元獎(jiǎng)金．設(shè)該球隊(duì)參加這項(xiàng)賽事獲得的總獎(jiǎng)金為隨機(jī)變量X（單位：萬(wàn)元），則隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望是（）A.166.48 B.211.28 C.216.48 D.230【答案】B【解析】因?yàn)樵摶@球隊(duì)小組賽階段每場(chǎng)獲勝概率均為0.8，所以晉級(jí)排名賽的概率為，設(shè)排名賽該球隊(duì)贏了場(chǎng)，排名賽階段每場(chǎng)比賽獲勝的概率均是0.6，排名賽獲得的獎(jiǎng)金數(shù)為Z（萬(wàn)元），則，，，所以隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望是（萬(wàn)元）.故選：B二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.調(diào)研某工廠的生產(chǎn)投入（生產(chǎn)工時(shí)/天）對(duì)產(chǎn)量（件/天）和每件產(chǎn)品的平均能源消耗（千瓦時(shí)/件）的影響，得到如下數(shù)據(jù)：（生產(chǎn)工時(shí)/天）102030405060（件/天）50101149202248301（千瓦時(shí)/件）19.819.115214.513.09.2現(xiàn)在對(duì)與，與分別進(jìn)行相關(guān)性分析，得到相關(guān)系數(shù)分別為，，則下列判斷正確的是（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】由表格數(shù)據(jù)可知增大也增大，即與呈正相關(guān)，所以，故A正確；因?yàn)樵龃髸r(shí)反而越來(lái)越少，所以與呈負(fù)相關(guān)，所以，故B錯(cuò)誤；因?yàn)槊吭黾樱黾拥牧糠謩e為，，，，，增加的量接近且偏差不大，而每增加，減少的量分別為，，，，，偏差較大，即與的相關(guān)性更強(qiáng)，所以，即，所以，故C正確，D錯(cuò)誤.故選：AC10.尼科梅德斯蚌線（ConchoidofNicomedes）是一種經(jīng)典的曲線，已知一條尼科梅德斯蚌線C的方程為及一條直線，下列判斷正確的是（）A.曲線C關(guān)于x軸對(duì)稱B.曲線C上點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是C.直線l與曲線C一定有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)D.直線l被曲線C截得的線段的中點(diǎn)在定直線上【答案】ACD【解析】對(duì)于A，若點(diǎn)在曲線上，則將點(diǎn)代入方程左式，可得，即點(diǎn)也在曲線上，故A正確；對(duì)于B，對(duì)于C的方程為，當(dāng)時(shí)，顯然不成立，而，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由，消去化簡(jiǎn)得：（*），因，故方程（*）有兩個(gè)實(shí)根，從而直線l與曲線C一定有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，故C正確；對(duì)于D，由C項(xiàng)分析，不妨設(shè)直線l與曲線C交于點(diǎn)，的中點(diǎn)為，則有，故，即點(diǎn)在定直線上，故D正確.故選：ACD.11.已知函數(shù)（a為常數(shù)）有兩個(gè)極值點(diǎn)，且．則下列判斷正確的是（）A. B.C.有最小值 D.有最大值【答案】AC【解析】由題設(shè)有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，令，則在上有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，又，所以，故，所以，又，則，故，A對(duì)，B錯(cuò)，由上，則，，，令且，則，當(dāng)，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)，，在上單調(diào)遞增，所以，時(shí)，時(shí)，所以無(wú)最大值，最小值為，C對(duì)，D錯(cuò).故選：AC三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12已知集合，那么等于_________．【答案】【解析】因?yàn)榧?，且，所?故答案為：.13.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線l與雙曲線右支相交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在第一象限），且，則的面積等于_________．【答案】【解析】因?yàn)?，則，又因?yàn)?，直線l的斜率為，其傾斜角為，即，在中，由余弦定理可得，即，解得或（舍去），即，所以的面積.故答案為：.14.已知正四棱錐的各棱長(zhǎng)均為2，點(diǎn)E是棱SB的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足，則的最小值為_(kāi)________．【答案】【解析】分別取的中點(diǎn)，連接，設(shè)，因?yàn)闉榈冗吶切?，則，且，平面，則平面，可知點(diǎn)平面，又因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，則∥，且點(diǎn)為的中點(diǎn)，可得平面，即點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，則，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為.故答案為：.四、解答題：共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的極值點(diǎn)；（2）若函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，求實(shí)數(shù)a的值．解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，所以?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，所以為的極小值點(diǎn)，無(wú)極大值點(diǎn).（2）當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以在處取得最小值，，不符合題意；當(dāng)，即，此時(shí)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，解得；當(dāng)，即，此時(shí)在上單調(diào)遞減，所以，不符合題意；綜上可得.16.如圖，已知中，，點(diǎn)D是邊BC上一點(diǎn)，且．（1）求AD的長(zhǎng)；（2）求的面積．解：（1）在中，可知，，可得，由正弦定理可得.（2）在中，可知，由余弦定理可得，即，可得，解得或，所以的面積為.17.如圖，已知斜三棱柱的側(cè)面是正方形，側(cè)面是菱形，平面平面，，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱，AC的中點(diǎn)．（1）求證：；（2）設(shè)直線AB與平面的交點(diǎn)為M，求AM的長(zhǎng)；（3）求二面角余弦值．解：（1）取的中點(diǎn)，連接，由題意可知：為等邊三角形，則，又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，可得平面，且，以為坐?biāo)原點(diǎn)，分別為軸，平行于的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，可得，則，所以.（2）設(shè)，則，由（1）可得：，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，可得，由題意可知：，則，解得，所以AM的長(zhǎng)為.（3）因?yàn)?，設(shè)平面（即平面）的法向量為，則，令，則，可得，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，可得，則，由圖可知：二面角為銳二面角，所以二面角的余弦值為.18.已知橢圓和圓的方程分別是，橢圓的離心率，點(diǎn)M，N分別在，上，的最大值為．（1）求，的方程；（2）點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作與橢圓有且只有一個(gè)交點(diǎn)的兩直線，設(shè)直線的斜率分別為，且與x軸分別交于點(diǎn)A，B．（i）求證：為定值；（ii）求的取值范圍．解：（1）圓的圓心為，半徑，則，由題意可得：，解得，所以橢圓和圓的方程分別是.（2）（i）設(shè)直線方程為，聯(lián)立方程，消去y可得，則，整理可得，又因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)，可得，即，則，整理可得，可知是方程的根，則，，且在圓：上，則，即，所以；（ii）由（1）可得：，由直線可得，則，因?yàn)?，令，則，可得，所以的取值范圍為.19.若有窮數(shù)列滿足（d為常數(shù)，），則稱數(shù)列為“項(xiàng)數(shù)為n差為d的極差數(shù)列”．（1）寫出一個(gè)各項(xiàng)為正整數(shù)，的“項(xiàng)數(shù)為4差為3的極差數(shù)列”；（2）“項(xiàng)數(shù)為6差為3的極差數(shù)列”滿足各項(xiàng)均為正整數(shù)，，證明：數(shù)列是等差數(shù)列；（3）從數(shù)1，2，3，…，20任意取出5個(gè)，按由小到大的順序組成數(shù)列，求這個(gè)數(shù)列是“項(xiàng)數(shù)為5差為3的極差數(shù)列”的概率．（1）解：因?yàn)?，且，不妨取，，，，符合題意（答案不唯一）；（2）證明：依題意，，，，，將上述式子相加可得，又，所以，又，所以，，，，，所以是等差為的等差數(shù)列；（3）解：從數(shù)1，2，3，…，20任意取出5個(gè)，按由小到大的順序組成數(shù)列，則所有不同數(shù)列的個(gè)數(shù)為；以下給出一個(gè)確定“項(xiàng)數(shù)為5差為3的極差數(shù)列”方法，把個(gè)相同的小球放進(jìn)編號(hào)分別為，，，，，的六個(gè)箱子中，箱子中的球數(shù)，就是箱子的編號(hào)的值，其中第一個(gè)箱子至少需要放個(gè)小球，第個(gè)箱子中至少需要放個(gè)小球，第個(gè)箱子可以不放球，每一種放法，對(duì)應(yīng)一個(gè)符合條件的數(shù)列，第個(gè)箱子先分別放入個(gè)小球，第個(gè)箱子先借出個(gè)小球，不同放法等價(jià)于個(gè)小球放進(jìn)個(gè)箱子，每個(gè)至少一個(gè)小球，則放法數(shù)為，即“項(xiàng)數(shù)為5差為3的極差數(shù)列”共有個(gè)，所以所求概率.江西省贛州市十八縣（市、區(qū)）二十五校2025屆高三下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若復(fù)數(shù)z滿足，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】由題意可得：，所以復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第一象限.故選：A.2.已知是首項(xiàng)為1，公比為q（）的等比數(shù)列．若數(shù)列的前三項(xiàng)和為2，則q等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題設(shè)，則，所以，可得（負(fù)值舍）.故選：C3.已知，則“向量共線”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.既不充分也不必要條件 D.充要條件【答案】B【解析】若向量共線且，同向共線時(shí)有，反向共線時(shí)有，充分性不成立；若，而，則向量同向共線，必要性成立；所以“向量共線”是“”的必要不充分條件.故選：B4.已知展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為40，則a等于（）A.1 B.2 C. D.【答案】B【解析】對(duì)于可知：，可知展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為，即，解得或（舍去），且，所以.故選：B.5.已知函數(shù)的值域是，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增，且在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，因?yàn)榈闹涤蚴牵?，解得，即?shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C6.已知一圓錐的底面半徑是1，高為，SA為該圓錐的一條母線，B，C是圓錐底面圓周上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則直線SA與BC夾角的余弦值的最大值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如圖，設(shè)圓錐的底面圓圓心為點(diǎn)，分別以直線所在直線為軸，過(guò)點(diǎn)且與垂直的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系.依題意，因點(diǎn)B，C是圓錐底面圓周上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，可設(shè)，其中，則，設(shè)直線SA與BC夾角為，則，因，故當(dāng)時(shí)，取得最大值1，此時(shí)取得最大值.故選：D.7.不等式在區(qū)間上的整數(shù)解的個(gè)數(shù)是（）A.674 B.676 C.1352 D.1348【答案】A【解析】因?yàn)椋深}意可得，可得，因?yàn)榈淖钚≌芷跒?，且，可知滿足在內(nèi)的整數(shù)解為4，5，即一個(gè)最小正周期內(nèi)有2個(gè)整數(shù)解，則不等式在內(nèi)無(wú)整數(shù)解，在有個(gè)整數(shù)解.所以不等式在有個(gè)整數(shù)解.故選：A.8.某籃球隊(duì)參加一項(xiàng)國(guó)際邀請(qǐng)賽，比賽分為兩個(gè)階段．小組賽階段：進(jìn)行3場(chǎng)小組賽，至少贏得2場(chǎng)才能晉級(jí)排名賽，否則淘汰．若晉級(jí)，進(jìn)入排名賽階段：進(jìn)行3場(chǎng)比賽，每贏一場(chǎng)可額外獲得獎(jiǎng)金．已知該籃球隊(duì)小組賽階段每場(chǎng)獲勝的概率均為0.8，若能晉級(jí)，排名賽階段每場(chǎng)比賽獲勝的概率均是0.6．該球隊(duì)參加小組賽能獲得出場(chǎng)費(fèi)50萬(wàn)元，排名賽每贏一場(chǎng)比賽，獲得100萬(wàn)元獎(jiǎng)金．設(shè)該球隊(duì)參加這項(xiàng)賽事獲得的總獎(jiǎng)金為隨機(jī)變量X（單位：萬(wàn)元），則隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望是（）A.166.48 B.211.28 C.216.48 D.230【答案】B【解析】因?yàn)樵摶@球隊(duì)小組賽階段每場(chǎng)獲勝概率均為0.8，所以晉級(jí)排名賽的概率為，設(shè)排名賽該球隊(duì)贏了場(chǎng)，排名賽階段每場(chǎng)比賽獲勝的概率均是0.6，排名賽獲得的獎(jiǎng)金數(shù)為Z（萬(wàn)元），則，，，所以隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望是（萬(wàn)元）.故選：B二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.調(diào)研某工廠的生產(chǎn)投入（生產(chǎn)工時(shí)/天）對(duì)產(chǎn)量（件/天）和每件產(chǎn)品的平均能源消耗（千瓦時(shí)/件）的影響，得到如下數(shù)據(jù)：（生產(chǎn)工時(shí)/天）102030405060（件/天）50101149202248301（千瓦時(shí)/件）19.819.115214.513.09.2現(xiàn)在對(duì)與，與分別進(jìn)行相關(guān)性分析，得到相關(guān)系數(shù)分別為，，則下列判斷正確的是（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】由表格數(shù)據(jù)可知增大也增大，即與呈正相關(guān)，所以，故A正確；因?yàn)樵龃髸r(shí)反而越來(lái)越少，所以與呈負(fù)相關(guān)，所以，故B錯(cuò)誤；因?yàn)槊吭黾樱黾拥牧糠謩e為，，，，，增加的量接近且偏差不大，而每增加，減少的量分別為，，，，，偏差較大，即與的相關(guān)性更強(qiáng)，所以，即，所以，故C正確，D錯(cuò)誤.故選：AC10.尼科梅德斯蚌線（ConchoidofNicomedes）是一種經(jīng)典的曲線，已知一條尼科梅德斯蚌線C的方程為及一條直線，下列判斷正確的是（）A.曲線C關(guān)于x軸對(duì)稱B.曲線C上點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是C.直線l與曲線C一定有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)D.直線l被曲線C截得的線段的中點(diǎn)在定直線上【答案】ACD【解析】對(duì)于A，若點(diǎn)在曲線上，則將點(diǎn)代入方程左式，可得，即點(diǎn)也在曲線上，故A正確；對(duì)于B，對(duì)于C的方程為，當(dāng)時(shí)，顯然不成立，而，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由，消去化簡(jiǎn)得：（*），因，故方程（*）有兩個(gè)實(shí)根，從而直線l與曲線C一定有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，故C正確；對(duì)于D，由C項(xiàng)分析，不妨設(shè)直線l與曲線C交于點(diǎn)，的中點(diǎn)為，則有，故，即點(diǎn)在定直線上，故D正確.故選：ACD.11.已知函數(shù)（a為常數(shù)）有兩個(gè)極值點(diǎn)，且．則下列判斷正確的是（）A. B.C.有最小值 D.有最大值【答案】AC【解析】由題設(shè)有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，令，則在上有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，又，所以，故，所以，又，則，故，A對(duì)，B錯(cuò)，由上，則，，，令且，則，當(dāng)，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)，，在上單調(diào)遞增，所以，時(shí)，時(shí)，所以無(wú)最大值，最小值為，C對(duì)，D錯(cuò).故選：AC三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12已知集合，那么等于_________．【答案】【解析】因?yàn)榧?，且，所?故答案為：.13.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線l與雙曲線右支相交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在第一象限），且，則的面積等于_________．【答案】【解析】因?yàn)椋瑒t，又因?yàn)椋本€l的斜率為，其傾斜角為，即，在中，由余弦定理可得，即，解得或（舍去），即，所以的面積.故答案為：.14.已知正四棱錐的各棱長(zhǎng)均為2，點(diǎn)E是棱SB的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足，則的最小值為_(kāi)________．【答案】【解析】分別取的中點(diǎn)，連接，設(shè)，因?yàn)闉榈冗吶切?，則，且，平面，則平面，可知點(diǎn)平面，又因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，則∥，且點(diǎn)為的中點(diǎn)，可得平面，即點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，則，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為.故答案為：.四、解答題：共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的極值點(diǎn)；（2）若函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，求實(shí)數(shù)a的值．解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，又，所以?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，所以為的極小值點(diǎn)，無(wú)極大值點(diǎn).（2）當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以在處取得最小值，，不符合題意；當(dāng)，即，此時(shí)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，解得；當(dāng)，即，此時(shí)在上單調(diào)遞減，所以，不符合題意；綜上可得.16.如圖，已知中，，點(diǎn)D是邊BC上一點(diǎn)，且．（1）求AD的長(zhǎng)；（2）求的面積．解：（1）在中，可知，，可得，由正弦定理可得.（2）在中，可知，由余弦定理可得，即，可得，解得或，所以的面積為.17.如圖，已知斜三棱柱的側(cè)面是正方形，側(cè)面是菱形，平面平面，，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱，AC的中點(diǎn)．（1）求證：；（2）設(shè)直線AB與平面的交點(diǎn)為M，求AM的長(zhǎng)；（3）求二面角余弦值．解：（1）取的中點(diǎn)，連接，由題意可知：為等邊三角形，則，又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，可得平面，且，以為坐?biāo)原點(diǎn)，分別為軸，平行于的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，可得，則，所以.（2）設(shè)，則，由（1）可得：，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，可得，由題意可知：，則，解得，所以AM的長(zhǎng)為.（3）因?yàn)?，設(shè)平面（即平面）的法向量為，則，令，則，可得，設(shè)平面的法向量為，則，令