高級中學名校試卷PAGEPAGE1江西省南昌市2025屆高三二模數(shù)學試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設是兩個不同的平面，則的一個充分條件是（）A.平行于同一條直線 B.平行于同一個平面C.垂直于同一個平面 D.內有無數(shù)條直線與平行【答案】B【解析】若平行于同一條直線，則與的位置關系是平行或相交，故A選項錯誤；若平行于同一個平面，則與的位置關系是平行，故B正確；若垂直于同一個平面，則與的位置關系是平行或相交，故C選項錯誤；若內有無數(shù)條直線與平行，則與的位置關系是平行或相交，故D選項錯誤；故選：B.2.已知復數(shù)滿足，則（）A. B.2 C.5 D.7【答案】C【解析】已知，即．則．可得．故選：C．3.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】已知集合，根據(jù)絕對值性質，絕對值不等式等價于．可得，即．所以集合．

已知集合，則．解得或．所以集合或．

可得，即．故選：B．4.在中，角對邊分別是，若，則（）A.2 B.3 C. D.【答案】A【解析】因為，由正弦定理，可得，所以，又因為，所以，所以，又由正弦定理，可得，即因為，所以.故選：A.5.如圖是江西省博物館中典藏的元青白釉印花雙鳳紋碗，高，口徑，若將該碗的內表面近似于一個球面的一部分，則這個球的半徑近似于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】已知碗的口徑為，那么碗口所在截面圓的半徑．這是因為口徑是截面圓的直徑，根據(jù)半徑是直徑的一半得到．

設球的半徑為，碗高．由球的截面性質可知，球心到截面圓的距離與球的半徑、截面圓的半徑構成直角三角形，其中球的半徑為斜邊．這里球心到碗口所在截面圓的距離．根據(jù)勾股定理，將，代入可得：．

展開得，解得所以這個球的半徑近似于．故選：D．6.已知、終邊不重合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，所以，即，，所以，，因為、的終邊不重合，則，則，所以，則，所以，因此，.故選：D.7.將雙曲線繞其中心旋轉一個合適的角度，可以得到一些熟悉的函數(shù)圖象，比如反比例函數(shù)，“對勾”函數(shù)，“飄帶”函數(shù)等等，它們的圖象都能由某條雙曲線繞原點旋轉而得.現(xiàn)將雙曲線繞原點旋轉一個合適的角度，得到“飄帶”函數(shù)的圖象，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】“飄帶”函數(shù)的漸近線為與軸，設兩漸近線夾角為（），則，整理得，又，所以，整理得，由，解得.所以旋轉之前雙曲線的一條漸近線斜率為，所以雙曲線的離心率為.故選：B8.已知函數(shù)滿足，且，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】令可得，因為，則，令，可得，解得，令可得，即，令可得，所以，，所以，，，由基本不等式可得，當且僅當時，等號成立，當時，等號成立，所以，的最小值為.故選：C.二?多選題：本題共3小題，每題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分9.人工智能是新一輪科技革命和產業(yè)變革的重要驅動力量，是研究?開發(fā)用于模擬?延伸和擴展人的智能的理論?方法?技術及應用系統(tǒng)的一門新的技術科學.很多學校已經推出基于的人工智能通識課程，幫助學生深入了解人工智能的歷史?關鍵技術及其在科學研究?社會發(fā)展中的高效應用，培養(yǎng)跨學科思維，推動人工智能技術在多領域的深度融合與創(chuàng)新.某探究小組利用解答了50份高考模擬試卷，收集其準確率，整理得到如下頻率分布直方圖，則下列說法正確的是（）A.B.估計準確率的分位數(shù)為C.估計準確率的平均數(shù)為D.估計準確率的中位數(shù)為【答案】ABD【解析】對于A選項，由頻率分布直方圖可得，解得，A對；對于B選項，前兩個矩形的面積之和為，所以估計準確率的分位數(shù)為，B對；對于C選項，估計準確率的平均數(shù)為，C錯；對于D選項，設中位數(shù)為，前三個矩形的面積之和為，所以，則，解得，所以估計準確率的中位數(shù)為，D對.故選：ABD.10.已知.不等式的解集為且，則下列說法中正確的是（）A.函數(shù)的極大值點為1B.函數(shù)的對稱中心為C.過點可作一條直線與曲線相切D.當時，【答案】BCD【解析】A：因為不等式的解集為且，即不等式的解集為且，所以方程的根為和（二重根），得，即，所以，則，得，令，或，所以函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，所以是的極大值點，故A錯誤；B：由選項A知，則，所以，即的一個對稱中心為，故B正確；C：由選項A知，設過點的切線方程為，設切點為，則，，得，整理得，即，解得，此時切點為，不符題意，所以過點只能作一條直線與曲線相切，故C正確；D：令，當時，則，只需.而，由，得，即，所以，故D正確.故選：BCD11.數(shù)學中有許多形狀優(yōu)美的曲線，曲線就是其中之一，下列選項中關于曲線的說法正確的有（）A.當時，曲線與軸有個交點B.曲線的圖象關于對稱C.當時，曲線上的一點到原點距離的最小值小于D.當時，曲線上的一點到原點距離的最小值大于【答案】BCD【解析】對于A選項，當時，在曲線的方程中，令，可得，解得，所以當時，曲線與軸有個交點，A錯；對于B選項，在曲線上任取一點，則點關于直線的對稱點為，因為，即點也在曲線上，所以曲線的圖象關于直線對稱，B對；對于CD選項，當時，在曲線上的一點，則，則，其中，令，其中，則，因為函數(shù)、在上均為增函數(shù)，故函數(shù)在上為增函數(shù)，因為，，所以，存在使得，則，當時，；當時，.所以函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，所以，，因為，所以，則，所以，所以，，且，故，CD都對.故選：BCD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數(shù)，若，則__________.【答案】2【解析】由題意知，當時，，解得；當時，，解得，與矛盾，此時無解.所以.故答案為：213.已知向量，，則的最小值是__________.【答案】【解析】設，則，可得，故，當且僅當時，取最小值.故答案為：.14.某次慶典后，墻壁上的裝飾品需要取下來，如圖，由于材料特性，每次能取一個，且所取的裝飾品只能有個或個相鄰的裝飾品，則不同的取法數(shù)有__________種.【答案】【解析】將這個小球編號如下圖所示：分以下兩種情況討論：第一種，第一步，先取、、號球，第二步，再取、、號球依次取個球，最后一步，從剩余兩球依次摸取，此時不同的抽法種數(shù)為種；第二種，將、、視為三個整體，前三個球從其中一個整體和每支不與號球相鄰的小球中依次摸取，有種，以、、為例，可依次為、、，共種，剩余、、、號球，先從、號球中摸一個，有種情況，比如先取號球，剩余三個相鄰的小球，接下來從、號球中取一個，有種情況，最后剩余兩球摸取的先后順序任意，此時，不同的取法種數(shù)為.綜上所述，不同的取法種數(shù)為種.故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在三棱柱中，側面是邊長為4的正方形，，.（1）求證：平面平面；（2）求二面角的余弦值.（1）證明：因為側面是邊長為4的正方形，所以，因為，則，因為，所以，即，因為平面，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）解：以為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，因為，所以，所以，則，設平面的法向量為，由，可得，令，則，平面的法向量為，所以，又二面角為銳角，所以其余弦值為.16.己知拋物線，過點作斜率大于直線與曲線交于、兩點.原點關于的對稱點為記為點.（1）求證：：（2）當在拋物線上時，求三角形的面積.（1）證明：設、，由題意，設直線的方程為，聯(lián)立直線與拋物線方程得，則，由韋達定理可得，，，，所以.（2）解：設關于直線的對稱點，則，解得，，即，又因為點在拋物線上，則，解得所以，，，所以，所以.17.為宣揚中國文化，某校組織古詩詞知識比賽.比賽分為兩階段，第一階段為基礎知識問答，每位選手都需要回答3個問題，答對其中至少2個問題，進入第二階段，否則被淘汰；第二階段分高分組、和低分組，第一階段3個問題都答對的選手進入高分組，共回答4個問題，每答對一個得20分，答錯不得分；第一階段答對2個問題的選手進入低分組，共回答4個問題，每答對一個得10分，答錯不得分.第一階段，每個問題選手甲答對的概率都是；第二階段，若選手甲進入高分組，每個問題答對的概率都是，若選手甲進入低分組，每個問題答對的概率都是.（1）求選手甲第一階段不被淘汰的概率；（2）求選手甲在該次比賽得分數(shù)為40分概率；（3）已知該次比賽選手甲進入了高分組，記選手甲在該次比賽中得分數(shù)為，求隨機變量的分布列和期望值.解：（1）選手甲第一階段不被淘汰，即甲回答三個問題答對其中2個或3個，其概率為：（2）選手甲在該次比賽得分數(shù)為40分有兩種情況：進入高分組，答對2個問題；進入低分組，答對4個問題.故概率為：（3）的可能取值有，，，，所以分布列為：020406080所以.18.已知.（1）當時，求函數(shù)的單調區(qū)間：（2）當時，求證：；（3）當，試討論函數(shù)的零點個數(shù).（1）解：當時，，，當時，，則在為增函數(shù)；當時，，則在為減函數(shù)；故當時，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間內為.（2）證明：因為，當時，，所以，當時，，所以，所以，設，由（1）可知，所以不等式成立.（3）解法一：，設，此時，則，因為，所以，則在為減函數(shù)，，當時，，結合在為減函數(shù)，當時，在為增函數(shù)；當時，在為減函數(shù)；所以，所以，即在上為減函數(shù)，又因為，所以只有一個零點；②當時，，所以存在，使得，當時，，所以在上增函數(shù)；當時，，所以在上減函數(shù).因為，則，當，使得，所以時，，即，即在為減函數(shù)；當時，，即，即在為增函數(shù)；當時，，即，即在為減函數(shù)；當，又因為，所以.所以使得，在為減函數(shù)，所以，所以存在兩個零點.綜上所述：當時，函數(shù)有1個零點；當函數(shù)有2個零點.解法二：，設，此時，則，設，所以，①當時，此時，則，此時，當時，在為增函數(shù)；當時，在為減函數(shù)；所以，所以，即在上為減函數(shù).又因為，所以只有一個零點；②當，所以，設.因為，因為時，所以存在，使得當時，，即，所以在上增函數(shù)；當時，，即，所以在上減函數(shù).因為，則，當，使得，所以時，，即，即在為減函數(shù)；當時，，即，即在為增函數(shù)；當時，，即，即在為減函數(shù)；當，又因為，所以.所以使得，在為減函數(shù)，所以，所以存在兩個零點.綜上所述：當時，函數(shù)有1個零點；當函數(shù)有2個零點.19.對于共項的等差數(shù)列（公差不為0）各項重新排列得到新數(shù)列，若中的任意兩項的等差中項都不在這兩項所在位置之間，則稱數(shù)列是等差數(shù)列的“無均數(shù)列”.（1）若，寫出等差數(shù)列（公差不為0）的4個不同的“無均數(shù)列”；（2）若，寫出等差數(shù)列（公差不為0）的一個“無均數(shù)列”；（3）若，判斷等差數(shù)列（公差不為0）的“無均數(shù)列”是否存在，并證明你的結論.解：（1）根據(jù)“無均數(shù)列”的定義得：當時，存以下“無均數(shù)列”：；；；；；；；；；，總共10種（寫出其中的4個即可）.（2）當時，存在“無均數(shù)列”：.（3）存在，先證明對時，存在，①當時，由①知存在“無均數(shù)列”，假設時，存在“無均數(shù)列”，則時，數(shù)列分成2組，兩組分別有次項，且從這兩組中各任取一項，得到的兩項的等差中項不是的項，由假設，數(shù)列存在“無均數(shù)列”，設為，數(shù)列存在“無均數(shù)列”，設為，構造數(shù)列：，觀察，每組之間的任意兩個數(shù)的平均數(shù)均不在兩數(shù)位置之間，故只需要考慮每組內部重新排成“無均數(shù)列”，因此數(shù)列：，中任意兩項的等差中項均不在這兩項中間，即時，數(shù)列存“無均數(shù)列”，由①②可知，時，都存在“無均數(shù)列”，所以令，即時，存在“無均數(shù)列”，接下來我們只需要將項去掉，便可得到時，等差數(shù)列存在“無均數(shù)列”.同樣注意到此時每一組是一共8項的等差數(shù)列，令，故由第二問知道，此時只需要把其分為4組這樣排列就能構成“無均”數(shù)列，因此反復執(zhí)行上述操作能把2048項的等差數(shù)列重新排列成一個“無均”數(shù)列，所以當時也能重新排列成一個“無均”數(shù)列.江西省南昌市2025屆高三二模數(shù)學試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設是兩個不同的平面，則的一個充分條件是（）A.平行于同一條直線 B.平行于同一個平面C.垂直于同一個平面 D.內有無數(shù)條直線與平行【答案】B【解析】若平行于同一條直線，則與的位置關系是平行或相交，故A選項錯誤；若平行于同一個平面，則與的位置關系是平行，故B正確；若垂直于同一個平面，則與的位置關系是平行或相交，故C選項錯誤；若內有無數(shù)條直線與平行，則與的位置關系是平行或相交，故D選項錯誤；故選：B.2.已知復數(shù)滿足，則（）A. B.2 C.5 D.7【答案】C【解析】已知，即．則．可得．故選：C．3.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】已知集合，根據(jù)絕對值性質，絕對值不等式等價于．可得，即．所以集合．

已知集合，則．解得或．所以集合或．

可得，即．故選：B．4.在中，角對邊分別是，若，則（）A.2 B.3 C. D.【答案】A【解析】因為，由正弦定理，可得，所以，又因為，所以，所以，又由正弦定理，可得，即因為，所以.故選：A.5.如圖是江西省博物館中典藏的元青白釉印花雙鳳紋碗，高，口徑，若將該碗的內表面近似于一個球面的一部分，則這個球的半徑近似于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】已知碗的口徑為，那么碗口所在截面圓的半徑．這是因為口徑是截面圓的直徑，根據(jù)半徑是直徑的一半得到．

設球的半徑為，碗高．由球的截面性質可知，球心到截面圓的距離與球的半徑、截面圓的半徑構成直角三角形，其中球的半徑為斜邊．這里球心到碗口所在截面圓的距離．根據(jù)勾股定理，將，代入可得：．

展開得，解得所以這個球的半徑近似于．故選：D．6.已知、終邊不重合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，所以，即，，所以，，因為、的終邊不重合，則，則，所以，則，所以，因此，.故選：D.7.將雙曲線繞其中心旋轉一個合適的角度，可以得到一些熟悉的函數(shù)圖象，比如反比例函數(shù)，“對勾”函數(shù)，“飄帶”函數(shù)等等，它們的圖象都能由某條雙曲線繞原點旋轉而得.現(xiàn)將雙曲線繞原點旋轉一個合適的角度，得到“飄帶”函數(shù)的圖象，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】“飄帶”函數(shù)的漸近線為與軸，設兩漸近線夾角為（），則，整理得，又，所以，整理得，由，解得.所以旋轉之前雙曲線的一條漸近線斜率為，所以雙曲線的離心率為.故選：B8.已知函數(shù)滿足，且，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】令可得，因為，則，令，可得，解得，令可得，即，令可得，所以，，所以，，，由基本不等式可得，當且僅當時，等號成立，當時，等號成立，所以，的最小值為.故選：C.二?多選題：本題共3小題，每題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分9.人工智能是新一輪科技革命和產業(yè)變革的重要驅動力量，是研究?開發(fā)用于模擬?延伸和擴展人的智能的理論?方法?技術及應用系統(tǒng)的一門新的技術科學.很多學校已經推出基于的人工智能通識課程，幫助學生深入了解人工智能的歷史?關鍵技術及其在科學研究?社會發(fā)展中的高效應用，培養(yǎng)跨學科思維，推動人工智能技術在多領域的深度融合與創(chuàng)新.某探究小組利用解答了50份高考模擬試卷，收集其準確率，整理得到如下頻率分布直方圖，則下列說法正確的是（）A.B.估計準確率的分位數(shù)為C.估計準確率的平均數(shù)為D.估計準確率的中位數(shù)為【答案】ABD【解析】對于A選項，由頻率分布直方圖可得，解得，A對；對于B選項，前兩個矩形的面積之和為，所以估計準確率的分位數(shù)為，B對；對于C選項，估計準確率的平均數(shù)為，C錯；對于D選項，設中位數(shù)為，前三個矩形的面積之和為，所以，則，解得，所以估計準確率的中位數(shù)為，D對.故選：ABD.10.已知.不等式的解集為且，則下列說法中正確的是（）A.函數(shù)的極大值點為1B.函數(shù)的對稱中心為C.過點可作一條直線與曲線相切D.當時，【答案】BCD【解析】A：因為不等式的解集為且，即不等式的解集為且，所以方程的根為和（二重根），得，即，所以，則，得，令，或，所以函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，所以是的極大值點，故A錯誤；B：由選項A知，則，所以，即的一個對稱中心為，故B正確；C：由選項A知，設過點的切線方程為，設切點為，則，，得，整理得，即，解得，此時切點為，不符題意，所以過點只能作一條直線與曲線相切，故C正確；D：令，當時，則，只需.而，由，得，即，所以，故D正確.故選：BCD11.數(shù)學中有許多形狀優(yōu)美的曲線，曲線就是其中之一，下列選項中關于曲線的說法正確的有（）A.當時，曲線與軸有個交點B.曲線的圖象關于對稱C.當時，曲線上的一點到原點距離的最小值小于D.當時，曲線上的一點到原點距離的最小值大于【答案】BCD【解析】對于A選項，當時，在曲線的方程中，令，可得，解得，所以當時，曲線與軸有個交點，A錯；對于B選項，在曲線上任取一點，則點關于直線的對稱點為，因為，即點也在曲線上，所以曲線的圖象關于直線對稱，B對；對于CD選項，當時，在曲線上的一點，則，則，其中，令，其中，則，因為函數(shù)、在上均為增函數(shù)，故函數(shù)在上為增函數(shù)，因為，，所以，存在使得，則，當時，；當時，.所以函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，所以，，因為，所以，則，所以，所以，，且，故，CD都對.故選：BCD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數(shù)，若，則__________.【答案】2【解析】由題意知，當時，，解得；當時，，解得，與矛盾，此時無解.所以.故答案為：213.已知向量，，則的最小值是__________.【答案】【解析】設，則，可得，故，當且僅當時，取最小值.故答案為：.14.某次慶典后，墻壁上的裝飾品需要取下來，如圖，由于材料特性，每次能取一個，且所取的裝飾品只能有個或個相鄰的裝飾品，則不同的取法數(shù)有__________種.【答案】【解析】將這個小球編號如下圖所示：分以下兩種情況討論：第一種，第一步，先取、、號球，第二步，再取、、號球依次取個球，最后一步，從剩余兩球依次摸取，此時不同的抽法種數(shù)為種；第二種，將、、視為三個整體，前三個球從其中一個整體和每支不與號球相鄰的小球中依次摸取，有種，以、、為例，可依次為、、，共種，剩余、、、號球，先從、號球中摸一個，有種情況，比如先取號球，剩余三個相鄰的小球，接下來從、號球中取一個，有種情況，最后剩余兩球摸取的先后順序任意，此時，不同的取法種數(shù)為.綜上所述，不同的取法種數(shù)為種.故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在三棱柱中，側面是邊長為4的正方形，，.（1）求證：平面平面；（2）求二面角的余弦值.（1）證明：因為側面是邊長為4的正方形，所以，因為，則，因為，所以，即，因為平面，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）解：以為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，因為，所以，所以，則，設平面的法向量為，由，可得，令，則，平面的法向量為，所以，又二面角為銳角，所以其余弦值為.16.己知拋物線，過點作斜率大于直線與曲線交于、兩點.原點關于的對稱點為記為點.（1）求證：：（2）當在拋物線上時，求三角形的面積.（1）證明：設、，由題意，設直線的方程為，聯(lián)立直線與拋物線方程得，則，由韋達定理可得，，，，所以.（2）解：設關于直線的對稱點，則，解得，，即，又因為點在拋物線上，則，解得所以，，，所以，所以.17.為宣揚中國文化，某校組織古詩詞知識比賽.比賽分為兩階段，第一階段為基礎知識問答，每位選手都需要回答3個問題，答對其中至少2個問題，進入第二階段，否則被淘汰；第二階段分高分組、和低分組，第一階段3個問題都答對的選手進入高分組，共回答4個問題，每答對一個得20分，答錯不得分；第一階段答對2個問題的選手進入低分組，共回答4個問題，每答對一個得10分，答錯不得分.第一階段，每個問題選手甲答對的概率都是；第二階段，若選手甲進入高分組，每個問題答對的概率都是，若選手甲進入低分組，每個問題答對的概率都是.（1）求選手甲第一階段不被淘汰的概率；（2）求選手甲在該次比賽得分數(shù)為40分概率；（3）已知該次比賽選手甲進入了高分組，記選手甲在該次比賽中得分數(shù)為，求隨機變量的分布列和期望值.解：（1）選手甲第一階段不被淘汰，即甲回答三個問題答對其中2個或3個，其概率為：（2）選手甲在該次比賽得分數(shù)為40分有兩種情況：進入高分組，答對2個問題；進入低分組，答對4個問題.故概率為：（3）的可能取值有，，，，所以分布列為：020406080所以.18.已知.（1）當時，求函數(shù)的單調區(qū)間：（2）當時，求證：；（3）當，試討論函數(shù)的零點個數(shù).（1）解：當時，，，當時，，則在為增函數(shù)；當時，，則在為減函數(shù)；故當時，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間內為.（2）證明：因為，當時，，所以，當時，，所以，所以，設，由（1）可知，所以不等式成立.（3）解法一：，設，此時，則，因為，所以，則在為減函數(shù)，，當時，，結合在為減函數(shù)，當時，在為增函數(shù)；當時，在為減函數(shù)；所以，所以，即在上為減函數(shù)，又因為，所以只有一個零點；②當時，，所以存在，使得，當時，，