2022年北京大學強基計劃筆試數(shù)學試題備注：數(shù)學一共20道題目1.已知與均為完全平方數(shù)且不超過2022，則正整數(shù)的個數(shù)為___________.2.已知凸四邊形滿足，則符合題意且不相似的凸四邊形的個數(shù)為___________.3.已知正整數(shù)不超過2022且滿足100整除，則這樣的的個數(shù)為___________.4.已知表示不超過的整數(shù)，如.已知，則（）A.321 B.322 C.323 D.以上都不對5.已知六位數(shù)，滿足，則所有滿足條件的六位數(shù)之和為___________.不必為三位數(shù)）6.已知整數(shù)滿足，則的正整數(shù)取值個數(shù)為___________.7.已知凸四邊形滿足：，則其內(nèi)切圓半徑取值范圍為___________.8.已知，當最小時，___________.9.已知復(fù)數(shù)，滿足與實部和虛部均屬于，則在復(fù)平面上形成軌跡的面積為___________.10.在中，，其外接圓半徑，且，則___________.11.在梯形中，在邊上，有，則取值范圍為___________.12.已知，則該方程所有實根個數(shù)與所有實根乘積比值為___________.13.若為十進制數(shù)，，記.已知，則各位數(shù)字的平方和___________200（橫線上填大于，小于或等于）.14.已知數(shù)列滿足，則最接近的整數(shù)為___________.15.已知是二次函數(shù)，，且，則___________.16.已知數(shù)列各項均為正整數(shù)，且中存在一項為3，可能數(shù)列的個數(shù)為___________.17.將不大于12正整數(shù)分為6個兩兩交集為空的二元集合，且每個集合中兩個元素互質(zhì)，則不同的分法有___________種.18.已知為正整數(shù)，.其中的系數(shù)為10，則的系數(shù)的最大可能值與最小可能值之和為___________.19.若三邊長為等差數(shù)列，則的取值范圍是___________.20.內(nèi)接于橢圓菱形周長的最大值和最小值之和是（）A. B. C. D.上述三個選項都不對2023年北京大學強基計劃測試數(shù)學試題考試時間2023年6月29日10：00-11：00，總共20道單選題，時間為1小時1.定義有理復(fù)數(shù)為實部和虛部均為有理數(shù)的復(fù)數(shù)，無理復(fù)數(shù)為實部和虛部為無理數(shù)的復(fù)數(shù)，半有理復(fù)數(shù)為實部和虛部一個是有理數(shù)一個是無理數(shù)的復(fù)數(shù)，已知在復(fù)平面內(nèi)三角形的三個頂點對應(yīng)的復(fù)數(shù)均為半有理復(fù)數(shù)，則三角形的重心對應(yīng)的復(fù)數(shù)是（）A.只能是有理復(fù)數(shù)或半有理復(fù)數(shù)B.只能是無理復(fù)數(shù)或伴有理復(fù)數(shù)C.只能是半有理復(fù)數(shù)D.以上都不對2.方程在上解得個數(shù)為______.3.數(shù)列滿足：，則除以7的余數(shù)為（）A.1B.2C.4D.以上都不對4.集合，則的元素兩兩互素的三元子集個數(shù)為_______.5．函數(shù)在上最大值是_______.6.集合，則的互不相交各元素之和為17的倍數(shù)的二元子集最多有_____個.7.方程的實根個數(shù)為_____.8.十邊形內(nèi)任意三條對角線都不會在其內(nèi)部交于同一點，問這個十邊形所有對角線可以把這個十邊形劃分為______個區(qū)域.9.一個三角形的一條高長為2，另一條高長為4，則這個三角形內(nèi)切圓半徑取值范圍是______.10.表示正整數(shù)除以的余數(shù)之和，則滿足的兩位數(shù)的個數(shù)為______.11.已知正整數(shù)數(shù)列嚴格遞增，，且，則這樣的數(shù)組的個數(shù)為______.12.已知點，延長至使，那么點到距離最大值和最小值之積為______.13.三個互不相等的正整數(shù)最大公約數(shù)為20，最小公倍數(shù)為20000，那么這樣的不同的正整數(shù)組的個數(shù)為______.14.由構(gòu)成的集合元素的個數(shù)為______.15.已知集合，甲蟲第一天在原點,第天從第天位置出發(fā)沿向量移動，其中，用表示第天甲蟲可能在多少個不同的位置上，則______.16.方程解得個數(shù)為______.17.已知均為正整數(shù)，且均為正整數(shù)，則的最大值和最小值之和為______.18.已知，且是的一個排列，則得到的不同數(shù)的個數(shù)為______.19.已知正整數(shù)且，則在取得最大值的情況下，的最大值為______.20.由50個隊伍進行排球單循環(huán)比賽，勝一局積1分，負一局積0分，且任取27支隊伍能找到一個全部戰(zhàn)勝其余26支隊伍和一支全部負于其余26支隊伍的，問這50支隊伍總共最少有______種不同的積分.2023年北京大學強基計劃測試數(shù)學試題解析1.定義有理復(fù)數(shù)為實部和虛部均為有理數(shù)的復(fù)數(shù)，無理復(fù)數(shù)為實部和虛部為無理數(shù)的復(fù)數(shù)，半有理復(fù)數(shù)為實部和虛部一個是有理數(shù)一個是無理數(shù)的復(fù)數(shù)，已知在復(fù)平面內(nèi)三角形的三個頂點對應(yīng)的復(fù)數(shù)均為半有理復(fù)數(shù)，則三角形的重心對應(yīng)的復(fù)數(shù)是（）A.只能是有理復(fù)數(shù)或半有理復(fù)數(shù)B.只能是無理復(fù)數(shù)或伴有理復(fù)數(shù)C.只能是半有理復(fù)數(shù)D.以上都不對解：D重心為有理復(fù)數(shù)的例子：重心為無理復(fù)數(shù)的例子：重心為半有理復(fù)數(shù)的例子：2.方程在上解得個數(shù)為______.解：0設(shè)，則方程為，考慮方程實根，設(shè)其共軛虛根為，得，所以沒有模長為1的根。3.數(shù)列滿足：，則除以7的余數(shù)為（）A.1B.2C.4D.以上都不對解：B設(shè)數(shù)列滿足：,則，進而，所以4.集合，則的元素兩兩互素的三元子集個數(shù)為_______.解：42三個奇數(shù)：兩個奇數(shù)一個偶數(shù)，按照選擇的偶數(shù)分類計算可得答案為5．函數(shù)在上最大值是_______.解：在上等號當且僅當取得。6.集合，則的互不相交各元素之和為17的倍數(shù)的二元子集最多有_____個.解：由，所以答案為7.方程的實根個數(shù)為_____.解：1設(shè)，則所以在上單調(diào)遞增，其次數(shù)為5，只有一個實根.8.十邊形內(nèi)任意三條對角線都不會在其內(nèi)部交于同一點，問這個十邊形所有對角線可以把這個十邊形劃分為______個區(qū)域.解：246設(shè)分成區(qū)域的個數(shù)為，其相當于某個具有個面的多面體的投在其中一個面所在面的投影，則,其中所以.9.一個三角形的一條高長為2，另一條高長為4，則這個三角形內(nèi)切圓半徑取值范圍是______.解：設(shè)三角形的邊為，內(nèi)切圓半徑為，則則，所以.10.表示正整數(shù)除