第16頁（共16頁）2024-2025學(xué)年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)北師大新版八年級(jí)期末必刷?？碱}之分式方程一．選擇題（共7小題）1．（2025?永春縣模擬）分式方程2xA．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝17 D．x＝﹣172．（2025?東莞市二模）解分式方程2xA．x B．x﹣3 C．x（x﹣3） D．x+（x﹣3）3．（2025?羅湖區(qū)校級(jí)模擬）為改善某市森林公園周邊環(huán)境，相關(guān)部門決定對(duì)該森林公園周邊部分路段進(jìn)行維修施工，施工全長(zhǎng)3000米，為了早日方便市民，實(shí)際施工時(shí)，每天施工的長(zhǎng)度比原計(jì)劃增加20%，結(jié)果提前4天完成這一任務(wù)，若設(shè)原計(jì)劃每天施工x米，則可列方程組為（）A．3000xB．3000(1+20%)C．3000xD．30004．（2025?海口一模）方程3xxA．x＝5 B．x＝1 C．x＝﹣1 D．原方程無解5．（2025?汕尾一模）如果分式方程xx-4A．﹣4 B．12 C．2 D．﹣6．（2025?天鎮(zhèn)縣模擬）新建、改造社區(qū)養(yǎng)老工程是2025年山西省政府確定的民生實(shí)事之一．甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)投標(biāo)某社區(qū)養(yǎng)老工程改造建設(shè)任務(wù)，甲隊(duì)單獨(dú)施工比乙隊(duì)單獨(dú)施工完成此項(xiàng)任務(wù)多用10天，且甲隊(duì)單獨(dú)施工45天和乙隊(duì)單獨(dú)施工30天的工作量相同．設(shè)乙隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)任務(wù)需要x天，則可列方程為（）A．45x=30x+10C．45x=30x7．（2025春?上海校級(jí)期中）用換元法解方程3xx-1A．3y2+2y+3＝0 B．3y2+3y+2＝0 C．2y2+3y+3＝0 D．2y2+2y+3＝0二．填空題（共5小題）8．（2025?文成縣二模）若1x+3=12，則x＝9．（2024秋?醴陵市期末）若關(guān)于x的方程2x-mx-1=3的解為正數(shù)，則10．（2025春?江津區(qū)校級(jí)期中）關(guān)于x的方程mx-2+x-1x-2=3的解為非負(fù)整數(shù)，且不等式組3x11．（2024秋?陽新縣期末）若分式方程mx1-x=3-xx-1的解為正整數(shù)，則整數(shù)m12．（2024秋?利津縣期末）若關(guān)于x的方程xx-4+5=a4-x增根，則三．解答題（共3小題）13．（2025?西寧二模）解方程：2x14．（2025?羅湖區(qū)校級(jí)模擬）已知關(guān)于x的方程3-2xx-3+2+解：方程兩邊同乘（x﹣3），得（3﹣2x）﹣（2+mx）＝3﹣x，第一步整理，得（m+1）x＝﹣2第二步當(dāng)x＝3時(shí)，原方程無解，此時(shí)，（m+1）×3＝﹣2，m=-53，因此，你認(rèn)為浩浩的解題過程從第幾步開始出錯(cuò)，請(qǐng)你指出來并改正．15．（2025?深圳二模）“文房四寶”是中國獨(dú)有的書法繪畫工具，即筆、墨、紙、硯，文房四寶之名，起源于南北朝時(shí)期．某中學(xué)為了落實(shí)雙減政策，豐富學(xué)生的課余活動(dòng)，開設(shè)了書法社團(tuán)，計(jì)劃為學(xué)生購買A，B兩種型號(hào)“文房四寶”共40套．已知某文化用品店每套B型號(hào)的“文房四寶”的標(biāo)價(jià)比A型號(hào)的“文房四寶”的標(biāo)價(jià)高30%，若按標(biāo)價(jià)購買共需花費(fèi)4300元，其中購買A型號(hào)“文房四寶”花費(fèi)3000元．（1）求每套A型號(hào)的“文房四寶”的標(biāo)價(jià)．（2）該中學(xué)的課余活動(dòng)進(jìn)行得如火如荼，另一所學(xué)校也打算購入A，B兩種型號(hào)的工具開展相關(guān)活動(dòng)．考慮到購買較多，店主同意該中學(xué)按A型號(hào)“文房四寶”八折，B型號(hào)“文房四寶”滿20套送一套的優(yōu)惠價(jià)，已知A，B兩種型號(hào)的“文房四寶”每套進(jìn)價(jià)分別為50元和105元，學(xué)校購買了A型號(hào)“文房四寶”50套，若通過此單生意，該店獲利不低于2100元，則該校至少買了多少套B型“文房四寶”？

2024-2025學(xué)年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)北師大新版八年級(jí)期末必刷常考題之分式方程參考答案與試題解析一．選擇題（共7小題）題號(hào)1234567答案CCACABB一．選擇題（共7小題）1．（2025?永春縣模擬）分式方程2xA．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝17 D．x＝﹣17【考點(diǎn)】解分式方程．【專題】分式方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】C【分析】利用去分母將原方程化為整式方程，解得x的值后進(jìn)行檢驗(yàn)即可．【解答】解：原方程去分母得：2x+8＝3x﹣9，解得：x＝17，檢驗(yàn)：當(dāng)x＝17時(shí)，（x﹣3）（x+4）≠0，故原方程的解為x＝17，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查解分式方程，熟練掌握解方程的方法是解題的關(guān)鍵．2．（2025?東莞市二模）解分式方程2xA．x B．x﹣3 C．x（x﹣3） D．x+（x﹣3）【考點(diǎn)】解分式方程；整式．【專題】計(jì)算題；運(yùn)算能力．【答案】C【分析】方程兩邊都乘x（x﹣3），可得一個(gè)一元一次方程．【解答】解：方程兩邊都乘x（x﹣3），可得2x＝3（x﹣3），為一個(gè)一元一次方程，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解分式方程，關(guān)鍵是使分式方程兩邊都乘同一個(gè)整式，得到一個(gè)一元一次方程．3．（2025?羅湖區(qū)校級(jí)模擬）為改善某市森林公園周邊環(huán)境，相關(guān)部門決定對(duì)該森林公園周邊部分路段進(jìn)行維修施工，施工全長(zhǎng)3000米，為了早日方便市民，實(shí)際施工時(shí)，每天施工的長(zhǎng)度比原計(jì)劃增加20%，結(jié)果提前4天完成這一任務(wù)，若設(shè)原計(jì)劃每天施工x米，則可列方程組為（）A．3000xB．3000(1+20%)C．3000xD．3000【考點(diǎn)】由實(shí)際問題抽象出分式方程．【專題】分式方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】A【分析】設(shè)原計(jì)劃每天施工x米，則實(shí)際每天施工（1+20%）x米，根據(jù)題意，列出分式方程即可．【解答】解：根據(jù)題意得：3000x故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．4．（2025?海口一模）方程3xxA．x＝5 B．x＝1 C．x＝﹣1 D．原方程無解【考點(diǎn)】解分式方程．【專題】計(jì)算題；分式方程及應(yīng)用．【答案】C【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：3x＝x﹣2，解得：x＝﹣1，經(jīng)檢驗(yàn)x＝﹣1是分式方程的解，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解分式方程，利用了轉(zhuǎn)化的思想，解分式方程注意要檢驗(yàn)．5．（2025?汕尾一模）如果分式方程xx-4A．﹣4 B．12 C．2 D．﹣【考點(diǎn)】分式方程的解．【專題】分式方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】A【分析】關(guān)于x的分式方程xx-4=2+a4-x【解答】解：去分母得：x＝2（x﹣4）﹣a解得：x＝a+8根據(jù)題意得：a+8＝4解得：a＝﹣4．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程無解的條件，是需要識(shí)記的內(nèi)容．分式方程無解，既要考慮分式方程有增根的情形，又要考慮整式方程無解的情形．6．（2025?天鎮(zhèn)縣模擬）新建、改造社區(qū)養(yǎng)老工程是2025年山西省政府確定的民生實(shí)事之一．甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)投標(biāo)某社區(qū)養(yǎng)老工程改造建設(shè)任務(wù)，甲隊(duì)單獨(dú)施工比乙隊(duì)單獨(dú)施工完成此項(xiàng)任務(wù)多用10天，且甲隊(duì)單獨(dú)施工45天和乙隊(duì)單獨(dú)施工30天的工作量相同．設(shè)乙隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)任務(wù)需要x天，則可列方程為（）A．45x=30x+10C．45x=30x【考點(diǎn)】由實(shí)際問題抽象出分式方程．【專題】分式方程及應(yīng)用；應(yīng)用意識(shí)．【答案】B【分析】設(shè)乙隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)任務(wù)需要x天，則甲隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)任務(wù)需要（x+10）天，根據(jù)甲隊(duì)單獨(dú)施工45天和乙隊(duì)單獨(dú)施工30天的工作量相同建立方程即可．【解答】解：根據(jù)題意得：45x故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由實(shí)際問題抽象出分式方程，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，設(shè)出未知數(shù)，找出合適的等量關(guān)系，列方程．7．（2025春?上海校級(jí)期中）用換元法解方程3xx-A．3y2+2y+3＝0 B．3y2+3y+2＝0 C．2y2+3y+3＝0 D．2y2+2y+3＝0【考點(diǎn)】換元法解分式方程．【專題】分式方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】B【分析】把xx-1【解答】解：原方程整理得3x把xx-1整理得：3y2+3y+2＝0．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解分式方程，解題的關(guān)鍵是熟練掌握利用換元法，把一個(gè)式子做為整體進(jìn)行替換，將分式方程化簡(jiǎn)為一元二次方程．二．填空題（共5小題）8．（2025?文成縣二模）若1x+3=12，則x＝【考點(diǎn)】解分式方程．【專題】分式方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】﹣1．【分析】方程兩邊都乘2（x+3），得出2＝x+3，求出方程的解，再進(jìn)行檢驗(yàn)即可．【解答】解：方程兩邊都乘2（x+3），得2＝x+3，解得：x＝﹣1，檢驗(yàn)：當(dāng)x＝﹣1時(shí)，2（x+3）≠0，所以x＝﹣1是原方程的解．故答案為：﹣1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解分式方程，能把分式方程轉(zhuǎn)化成整式方程是解此題的關(guān)鍵．9．（2024秋?醴陵市期末）若關(guān)于x的方程2x-mx-1=3的解為正數(shù)，則m的取值范圍是m＜3【考點(diǎn)】分式方程的解；解一元一次不等式．【專題】分式方程及應(yīng)用；一元一次不等式（組）及應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】m＜3且m≠2．【分析】先解關(guān)于x的分式方程，它的解x用含量m的代數(shù)式表示，再根據(jù)“原分式方程有解”和“方程的解是正數(shù)”建立關(guān)于m的不等式，求解即可．【解答】解：2x解得：x＝3﹣m，∵原分式方程有解，∴x﹣1≠0，即3﹣m≠1（求出使分式方程中令等號(hào)左右兩邊相等且分母不等于0的未知數(shù)的值，這個(gè)值叫方程的解），解得：m≠2，∵方程的解是正數(shù)，∴3﹣m＞0，解得：m＜3，∴m＜3且m≠2，故答案為：m＜3且m≠2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查根據(jù)分式方程的解情況求參數(shù)，根據(jù)“原分式方程的解”和“解是正數(shù)”建立關(guān)于m的不等式是解題的關(guān)鍵．10．（2025春?江津區(qū)校級(jí)期中）關(guān)于x的方程mx-2+x-1x-2=3的解為非負(fù)整數(shù)，且不等式組3x【考點(diǎn)】分式方程的解；解一元一次不等式組．【專題】分式方程及應(yīng)用；一元一次不等式（組）及應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】﹣4．【分析】解分式方程求出x=m+52，再根據(jù)分式方程的解為非負(fù)整數(shù)，進(jìn)而得出m≥﹣5且m≠﹣1，同時(shí)m+5是偶數(shù)，m為奇數(shù)．解不等式組可得m＜4，進(jìn)而得出﹣5≤m＜4且m≠﹣1，【解答】解：mx方程兩邊同時(shí)乘（x﹣2），得m+x﹣1＝3（x﹣2），去括號(hào)，得m+x﹣1＝3x﹣6，解得：x=∵分式方程的解為非負(fù)整數(shù)，∴x≥0且x≠2，即m+52≥0解得：m≥﹣5且m≠﹣1，同時(shí)m+5是偶數(shù)，m為奇數(shù)．解不等式組3x解不等式①，得x≥5，解不等式②，得x＞m+1，∵不等式組的解集為x≥5，∴m+1＜5，解得：m＜4，∴﹣5≤m＜4且m≠﹣1，m為奇數(shù)，∴符合條件的m值為﹣5，﹣3，1，3，∴它們的和為：﹣5+（﹣3）+1+3＝﹣4．故答案為：﹣4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解分式方程，解一元一次不等式組，掌握解分式方程的方法，解一元一次不等式組的方法是解題的關(guān)鍵．11．（2024秋?陽新縣期末）若分式方程mx1-x=3-xx-1的解為正整數(shù)，則整數(shù)m【考點(diǎn)】分式方程的解．【專題】分式方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】﹣1．【分析】先解含有字母參數(shù)m的分式方程，求出x，再根據(jù)分式方程的解為正整數(shù)，列出關(guān)于m的方程，解方程求出m，再判斷m＝1時(shí)分式方程有無意義，從而求出答案即可．【解答】解：mx1-﹣mx＝3（x﹣1）﹣x，﹣mx＝3x﹣3﹣x，﹣mx＝2x﹣3，2x+mx＝3，（2+m）x＝3，x=∵分式方程mx1-∴2+m＝1或3，解得：m＝﹣1或1，∵當(dāng)m＝1時(shí)，x﹣1＝0，分式無意義，∴m≠1，∴整數(shù)m的值為﹣1，故答案為：﹣1．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了分式方程的解，解題關(guān)鍵熟練掌握解分式方程的一般步驟和分式有意義的條件．12．（2024秋?利津縣期末）若關(guān)于x的方程xx-4+5=a4-x增根，則【考點(diǎn)】分式方程的增根．【專題】分式方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】﹣4．【分析】根據(jù)增根概念進(jìn)行計(jì)算．【解答】解：方程兩邊同乘（x﹣4）得：x+5（x﹣4）＝﹣a，由條件可知x﹣4＝0，∴x＝4，由條件可得a＝﹣4，故答案為：﹣4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查分式方程的增根，去分母后確定x的值是求解本題的關(guān)鍵．三．解答題（共3小題）13．（2025?西寧二模）解方程：2x【考點(diǎn)】解分式方程．【專題】分式方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】x＝﹣7.5．【分析】方程兩邊同時(shí)乘（2x+3）（2x﹣3）得整式方程，然后根據(jù)單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則和平方差公式展開，解整式方程求出x，再進(jìn)行檢驗(yàn)即可．【解答】解：方程兩邊同時(shí)乘（2x+3）（2x﹣3）得：2x（2x+3）﹣2（2x﹣3）＝（2x+3）（2x﹣3），4x2+6x﹣4x+6＝4x2﹣9，4x2﹣4x2+6x﹣4x＝﹣9﹣6，2x＝﹣15，x＝﹣7.5，檢驗(yàn)：當(dāng)x＝﹣7.5時(shí)，（2x+3）（2x﹣3）≠0，∴x＝﹣7.5是原分式方程的解．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了解分式方程，解題關(guān)鍵是熟練掌握解分式方程的一般步驟．14．（2025?羅湖區(qū)校級(jí)模擬）已知關(guān)于x的方程3-2xx-3+2+解：方程兩邊同乘（x﹣3），得（3﹣2x）﹣（2+mx）＝3﹣x，第一步整理，得（m+1）x＝﹣2第二步當(dāng)x＝3時(shí)，原方程無解，此時(shí)，（m+1）×3＝﹣2，m=-53，因此，你認(rèn)為浩浩的解題過程從第幾步開始出錯(cuò)，請(qǐng)你指出來并改正．【考點(diǎn)】分式方程的解．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，根據(jù)分式方程無解得到x﹣3＝0，求出x＝3，代入整式方程即可求出m的值．【解答】解：當(dāng)x＝3時(shí)，分式方程去分母得：（3﹣2x）﹣（2+mx）＝3﹣x，由分式方程無解得到x﹣3＝0，即x＝3，代入整式方程得：3（m+1）＝﹣2，即m=-當(dāng)x﹣3≠0時(shí)，原式可化為x=-∵原方程無解，∴m+1＝0，即m＝﹣1．綜上所述，m=-53或m故第三步錯(cuò)誤．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了分式方程的解，注意在任何時(shí)候都要考慮分母不為0．15．（2025?深圳二模）“文房四寶”是中國獨(dú)有的書法繪畫工具，即筆、墨、紙、硯，文房四寶之名，起源于南北朝時(shí)期．某中學(xué)為了落實(shí)雙減政策，豐富學(xué)生的課余活動(dòng)，開設(shè)了書法社團(tuán)，計(jì)劃為學(xué)生購買A，B兩種型號(hào)“文房四寶”共40套．已知某文化用品店每套B型號(hào)的“文房四寶”的標(biāo)價(jià)比A型號(hào)的“文房四寶”的標(biāo)價(jià)高30%，若按標(biāo)價(jià)購買共需花費(fèi)4300元，其中購買A型號(hào)“文房四寶”花費(fèi)3000元．（1）求每套A型號(hào)的“文房四寶”的標(biāo)價(jià)．（2）該中學(xué)的課余活動(dòng)進(jìn)行得如火如荼，另一所學(xué)校也打算購入A，B兩種型號(hào)的工具開展相關(guān)活動(dòng)．考慮到購買較多，店主同意該中學(xué)按A型號(hào)“文房四寶”八折，B型號(hào)“文房四寶”滿20套送一套的優(yōu)惠價(jià)，已知A，B兩種型號(hào)的“文房四寶”每套進(jìn)價(jià)分別為50元和105元，學(xué)校購買了A型號(hào)“文房四寶”50套，若通過此單生意，該店獲利不低于2100元，則該校至少買了多少套B型“文房四寶”？【考點(diǎn)】分式方程的應(yīng)用；一元一次不等式的應(yīng)用．【專題】分式方程及應(yīng)用；一元一次不等式（組）及應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】（1）100元；（2）29套．【分析】（1）設(shè)每套A型號(hào)的“文房四寶”的標(biāo)價(jià)為x元，則每套B型號(hào)的“文房四寶”的標(biāo)價(jià)為（1+30%）x元，根據(jù)購買、兩種型號(hào)“文房四寶”共40套，列出分式方程，解方程即可；（2）設(shè)該校至少買了y套B型“文房四寶”，根據(jù)該店獲利不低于2100元，列出一元一次不等式，解不等式即可．【解答】解：（1）設(shè)每套A型號(hào)的“文房四寶”的標(biāo)價(jià)為x元，則每套B型號(hào)的“文房四寶”的標(biāo)價(jià)為（1+30%）x元，根據(jù)題意得：3000x解得x＝100，經(jīng)檢驗(yàn)：x＝100是分式方程的解，且符合題意，所以每套A型號(hào)的“文房四寶”的標(biāo)價(jià)為100元，答：每套A型號(hào)的“文房四寶”的標(biāo)價(jià)為100元；（2）設(shè)該校至少買了y套B型“文房四寶”，由（1）知每套B型號(hào)的“文房四寶”的標(biāo)價(jià)為（1+30%）×100＝130（元），當(dāng)0＜y＜20時(shí)，根據(jù)題意，得：（100×0.8﹣50）×50+（130﹣105）y≥2100，整理得，25y≥600，解得y≥24（舍去），當(dāng)20≤y＜40時(shí)，根據(jù)題意，得：（100×0.8﹣50）×50+（130﹣105）y﹣105≥2100，整理得，25y≥705，解得y≥∵y為整數(shù)，∴y≥29的整數(shù)；當(dāng)40≤y＜60時(shí)，根據(jù)題意，得：（100×0.8﹣50）×50+（130﹣105）y﹣105×2≥2100，整理得，25y≥810，解得y≥綜上，該校至少買了29套B型“文房四寶”．答：該校至少買了29套B型“文房四寶”．【點(diǎn)評(píng)】本題考查分式方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程；（2）找出數(shù)量關(guān)系，正確列出一元一次不等式．

考點(diǎn)卡片1．整式（1）概念：?jiǎn)雾?xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱為整式．他們都有次數(shù)，但是多項(xiàng)式?jīng)]有系數(shù)，多項(xiàng)式的每一項(xiàng)是一個(gè)單項(xiàng)式，含有字母的項(xiàng)都有系數(shù)．（2）規(guī)律方法總結(jié)：①對(duì)整式概念的認(rèn)識(shí)，凡分母中含有字母的代數(shù)式都不屬于整式，在整式范圍內(nèi)用“+”或“﹣”將單項(xiàng)式連起來的就是多項(xiàng)式，不含“+”或“﹣”的整式絕對(duì)不是多項(xiàng)式，而單項(xiàng)式注重一個(gè)“積”字．②對(duì)于“數(shù)”或“形”的排列規(guī)律問題，用先從開始的幾個(gè)簡(jiǎn)單特例入手，對(duì)比、分析其中保持不變的部分及發(fā)展變化的部分，以及變化的規(guī)律，尤其變化時(shí)與序數(shù)幾的關(guān)系，歸納出一般性的結(jié)論．2．分式方程的解求出使分式方程中令等號(hào)左右兩邊相等且分母不等于0的未知數(shù)的值，這個(gè)值叫方程的解．注意：在解方程的過程中因?yàn)樵诎逊质椒匠袒癁檎椒匠痰倪^程中，擴(kuò)大了未知數(shù)的取值范圍，可能產(chǎn)生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．3．解分式方程（1）解分式方程的步驟：①去分母；②求出整式方程的解；③檢驗(yàn)；④得出結(jié)論．（2）解分式方程時(shí)，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母為0，所以應(yīng)如下檢驗(yàn)：①將整式方程的解代入最簡(jiǎn)公分母，如果最簡(jiǎn)公分母的值不為0，則整式方程的解是原分式方程的解．②將整式方程的解代入最簡(jiǎn)公分母，如果最簡(jiǎn)公分母的值為0，則整式方程的解不是原分式方程的解．所以解分式方程時(shí)，一定要檢驗(yàn)．4．換元法解分式方程1、解數(shù)學(xué)題時(shí)，把某個(gè)式子看成一個(gè)整體，用一個(gè)變量去代替它，從而使問題得到簡(jiǎn)化，這叫換元法．換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對(duì)象，將問題移至新對(duì)象的知識(shí)背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，變得容易處理．2、我們常用的是整體換元法，是在已知或者未知中，某個(gè)代數(shù)式幾次出現(xiàn)，而用一個(gè)字母來代替它從而簡(jiǎn)化問題，當(dāng)然有時(shí)候要通過變形才能發(fā)現(xiàn)．5．分式方程的增根（1）增根的定義：在分式方程變形時(shí)，有可能產(chǎn)生不適合原方程的根，即代入分式方程后分母的值為0或是轉(zhuǎn)化后的整式方程的根恰好是原方程未知數(shù)的允許值之外的值的根，叫做原方程的增根．（2）增根的產(chǎn)生的原因：對(duì)于分式方程，當(dāng)分式中，分母的值為零時(shí)，無意義，所以分式方程，不允許未知數(shù)取哪些使分母的值為零的值，即分式方程本身就隱含著分母不為零的條件．當(dāng)把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程以后，這種限制取消了，換言之，方程中未知數(shù)的值范圍擴(kuò)大了，如果轉(zhuǎn)化后的整式方程的根恰好是原方程未知數(shù)的允許值之外的值，那么就會(huì)出現(xiàn)增根．（3）檢驗(yàn)增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最簡(jiǎn)公分母，看最簡(jiǎn)公分母是否為0，如果為0，則是增根；如果不是0，則是原分式方程的根．6．由實(shí)際問題抽象出分式方程由實(shí)際問題抽象出分式方程的關(guān)鍵是分析題意找出相等關(guān)系．（1）在確定相等關(guān)系時(shí)，一是要理解一些常用的