2025年湖南省初中考試

數(shù)學(xué)

一．選擇題（共10小題）

1.下列四個(gè)數(shù)中，最大的數(shù)是（）

A.3.5B.2C.0D.1

【答案】A

【解析】

【分析】本題主要考查實(shí)數(shù)比較大小，掌握實(shí)數(shù)大小的比較方法是關(guān)鍵.

根據(jù)零大于負(fù)數(shù)，正數(shù)大于零，比較各數(shù)的大小，先排除負(fù)數(shù)與零，再比較正數(shù)的大小.

【詳解】解：1.確定數(shù)的正負(fù)性：

D選項(xiàng)為-1，是負(fù)數(shù)；C選項(xiàng)為0，非正非負(fù)；A選項(xiàng)3.5和B選項(xiàng)2均為正數(shù)，

負(fù)數(shù)一定小于非負(fù)數(shù)，則D和C均小于A和B，

2.比較正數(shù)的大小：

21.414，顯然3.51.414，

故A選項(xiàng)3.5大于B選項(xiàng)2，

故選：A.

2.武術(shù)是我國傳統(tǒng)的體育項(xiàng)目．下列武術(shù)動(dòng)作圖形中，是軸對(duì)稱圖形的是（）

A.B.C.D.

【答案】C

【解析】

【分析】本題主要考查了軸對(duì)稱圖形的識(shí)別，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握軸對(duì)稱圖形的定義．

如果一個(gè)平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形．根據(jù)軸

對(duì)稱圖形的定義進(jìn)行逐一分析判斷即可．

【詳解】解：A、不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；

B、不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；

C、是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；

D、不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意．

故選：C．

3.某校開展了五類社團(tuán)活動(dòng)：舞蹈、籃球、口風(fēng)琴、攝影、戲劇，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取一類社團(tuán)活動(dòng)進(jìn)行展示，

則抽中戲劇類社團(tuán)活動(dòng)的概率是（）

2111

A.B.C.D.

5345

【答案】D

【解析】

【分析】本題主要考查概率公式的計(jì)算，掌握其概率的計(jì)算是關(guān)鍵．

根據(jù)概率的基本公式，計(jì)算抽中戲劇類社團(tuán)的概率．

【詳解】解：共有5類社團(tuán)活動(dòng)（舞蹈、籃球、口風(fēng)琴、攝影、戲?。款惐怀橹械目赡苄韵嗟?，抽中戲

劇類社團(tuán)屬于其中1種可能結(jié)果，

抽中戲劇類的結(jié)果數(shù)1

∴概率為成功事件數(shù)除以總事件數(shù)，即：概率，

總結(jié)果數(shù)5

故選：D．

4.計(jì)算a3a4的結(jié)果是（）

A.2a7B.a7C.2a4D.a12

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查同底數(shù)冪相乘的運(yùn)算規(guī)則，掌握其運(yùn)算法則是關(guān)鍵．

根據(jù)同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加，由此即可求解．

【詳解】解：根據(jù)同底數(shù)冪相乘的法則，底數(shù)不變，指數(shù)相加，

∴a3a4a34a7，

故選：B．

12

5.將分式方程去分母后得到的整式方程為（）

xx1

A.x12xB.x21C.12xD.x2x1

【答案】A

【解析】

【分析】本題考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“轉(zhuǎn)化思想”，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求

解．

將分式方程兩邊同時(shí)乘以最簡公分母，消去分母，轉(zhuǎn)化為整式方程．

12

【詳解】解：．

xx1

方程兩邊同時(shí)乘以xx1，得：x12x．

故選：A．

6.在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)P3,2向右平移3個(gè)單位長度到P1處，則點(diǎn)P1的坐標(biāo)為（）

A.6,2B.0,2C.3,5D.3,1

【答案】B

【解析】

【分析】本題主要考查點(diǎn)的平移，掌握平移規(guī)律是關(guān)鍵．

根據(jù)平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的平移規(guī)律，向右平移時(shí)橫坐標(biāo)增加，縱坐標(biāo)不變，即可解題．

【詳解】解：點(diǎn)P3,2向右平移3個(gè)單位長度，橫坐標(biāo)3需加3，即330，縱坐標(biāo)2保持不變，

∴平移后的點(diǎn)P1坐標(biāo)為0,2，

故選：B．

7.下列調(diào)查中，適合采用全面調(diào)查的是（）

A.了解某班同學(xué)的跳遠(yuǎn)成績B.了解夏季冷飲市場(chǎng)上冰激凌的質(zhì)量情況

C.了解全國中學(xué)生的身高狀況D.了解某批次汽車的抗撞擊能力

【答案】A

【解析】

【分析】本題考查全面調(diào)查與抽樣調(diào)查的適用情況．

全面調(diào)查適用于范圍小、精確度要求高或破壞性小的調(diào)查；抽樣調(diào)查適用于范圍大、具有破壞性或無法全

面調(diào)查的情況．

【詳解】解：選項(xiàng)A：某班同學(xué)人數(shù)有限，進(jìn)行全面調(diào)查容易實(shí)施且能準(zhǔn)確獲取每位同學(xué)的跳遠(yuǎn)成績，適

合全面調(diào)查，符合題意；

選項(xiàng)B：夏季冷飲市場(chǎng)冰激凌數(shù)量龐大，全面調(diào)查成本過高，且檢測(cè)可能破壞產(chǎn)品，適合抽樣調(diào)查，不符

合題意；

選項(xiàng)C：全國中學(xué)生人數(shù)極多，全面調(diào)查耗費(fèi)資源巨大，通常采用抽樣調(diào)查，不符合題意；

選項(xiàng)D：檢測(cè)汽車抗撞擊能力會(huì)破壞被測(cè)車輛，無法對(duì)所有汽車進(jìn)行測(cè)試，必須采用抽樣調(diào)查，不符合題

意；

故選：A．

8.如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD互相垂直平分，AB3，則四邊形ABCD的周長為（）

A.6B.9C.12D.18

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)．

根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，可得四邊形的四條邊長相等，代入已知邊長，計(jì)算周長即可．

【詳解】解：∵在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD互相垂直平分，

∴ABAD，CBCD，BABC，

∴BCCDDAAB，

∵AB3，

∴四邊形ABCD的周長為3412，

故選：C．

2

9.對(duì)于反比例函數(shù)y，下列結(jié)論正確的是（）

x

A.在2,2在該函數(shù)的圖象上

B.該函數(shù)的圖象分別位于第二、第四象限

C.當(dāng)x0時(shí)，y隨x的增大而增大

D.當(dāng)x0時(shí)，y隨x的增大而減小

【答案】D

【解析】

【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，根據(jù)反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)逐一判斷即可，熟練掌

握反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

【詳解】A、當(dāng)x2時(shí)，y1，所以點(diǎn)(2,1)在它的圖象上，故選項(xiàng)不符合題意；

2

B、由y可知20，它的圖象在第一、三象限，故選項(xiàng)不符合題意；

x

C、當(dāng)x0時(shí)，y隨x的增大而減小，故選項(xiàng)不符合題意；

D、當(dāng)x0時(shí)，y隨x的增大而減小，故符合題意；

故選：D．

10.如圖，北京市某處A位于北緯40（即AOC40），東經(jīng)116，三沙市海域某處B位于北緯15（即

BOC15），東經(jīng)116；設(shè)地球的半徑約為R千米，則在東經(jīng)116所在經(jīng)線圈上的點(diǎn)A和點(diǎn)B之間的

劣弧長約為（）

51

A.πR（千米）B.πR（千米）

7212

52

C.πR（千米）D.πR（千米）

369

【答案】C

【解析】

【分析】本題主要考查了求弧長，根據(jù)題意求出AOB的度數(shù)，再根據(jù)弧長公式求解即可．

【詳解】解；由題意得，AOBAOCBOC25，

25R5

∴劣弧AB的長為R千米，

18036

故選：C．

二．填空題（共8小題）

11.如圖，一條排水管連續(xù)兩次轉(zhuǎn)彎后又回到與原來相同的方向，若第一次轉(zhuǎn)彎時(shí)CAB145，則

ABD______．

【答案】145

【解析】

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，運(yùn)用兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等是解題關(guān)鍵．

根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等即可求解．

【詳解】解：由題意得AC∥BD，CAB145，

∴ABDCAB145，

故答案為：145．

12.化簡12______．

【答案】23

【解析】

【分析】本題主要考查了化簡二次根式，利用二次根式性質(zhì)化簡即可．

【詳解】解：123423，

故答案為：23．

13.因式分解：a213a______．

【答案】aa13

【解析】

【分析】本題主要考查了分解因式，直接提取公因式a進(jìn)行分解因式即可．

【詳解】解：a213aaa13，

故答案為：aa13．

x3y

14.約分：______；

xy

【答案】x2

【解析】

【分析】此題考查約分的定義，熟記定義、正確確定分子與分母的公因式是解題的關(guān)鍵．

直接約去分子與分母的公因式即可．

x3y

【詳解】解：x2，

xy

故答案為：x2．

15.甲、乙兩人在一次100米賽跑比賽中，路程s（米）與時(shí)間t（秒）的函數(shù)關(guān)系如圖所示，填______（“甲”

或“乙”）先到終點(diǎn)：

【答案】甲

【解析】

【分析】本題考查函數(shù)圖象的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答問題．

從函數(shù)圖象可知甲乙跑完全程的時(shí)間，即可確定答案．

【詳解】解：根據(jù)圖象可得甲到達(dá)終點(diǎn)用時(shí)12秒，乙到達(dá)終點(diǎn)用時(shí)14秒，

∴甲先到達(dá)終點(diǎn)，

故答案為：甲．

1

16.如圖，在VABC中，BC6，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，分別以點(diǎn)A，B為圓心，以大于AB的長為半徑

2

畫弧，兩弧相交于點(diǎn)M，N，直線MN交AB于點(diǎn)D，連接DE，則DE的長是______．

【答案】3

【解析】

【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)及其尺規(guī)作圖，三角形中位線定理，由作圖方法可得MN垂

1

直平分AB，則點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，據(jù)此可證明DE是VABC的中位線，則可得到DEBC3．

2

【詳解】解：由作圖方法可得MN垂直平分AB，

∴點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，

又∵點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，

∴DE是VABC的中位線，

11

∴DEBC63，

22

故答案為：3．

17.如圖，左圖為傳統(tǒng)建筑中的一種窗格，右圖為其窗框的示意圖，多邊形ABCDEFGH為正八邊形，連接

AC，BD，AC與BD交于點(diǎn)M，AMB______．

【答案】45

【解析】

【分析】本題主要考查了正多邊形內(nèi)角問題，等邊對(duì)等角，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，先根

據(jù)正多邊形內(nèi)角計(jì)算公式求出ABCBCD135，再根據(jù)等邊對(duì)等角和三角形內(nèi)角和定理求出

BCA，CBD的度數(shù)，最后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可得到答案．

【詳解】解：∵八邊形ABCDEFGH是正八邊形，

18082

∴∠ABC∠BCD135，ABBCCD，

8

180∠ABC

∴∠BCA∠BAC22.5，

2

同理可得CBD22.5，

∴∠AMB∠CBD∠BCA45，

故答案為：45．

kk

ab

18.已知，a，b，c是VABC的三條邊長，記t，其中k為整數(shù)．

cc

（1）若三角形為等邊三角形，則t______；

（2）下列結(jié)論正確的是______（寫出所有正確的結(jié)論）

①若k2，t1，則VABC為直角三角形

1

②若k1，ab2，c1，則5t11

2

5

③若k1，t，a，b，c為三個(gè)連續(xù)整數(shù)，且abc，則滿足條件的VABC的個(gè)數(shù)為7

3

【答案】①.2②.①②##②①

【解析】

【分析】本題主要考查了勾股定理的逆定理，解一元一次不等式組，三角形三邊的關(guān)系，等邊三角形的性

質(zhì)等等，熟知相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．

（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得abc，據(jù)此求解即可；

1

（2）當(dāng)k2，t1時(shí)，可證明a2b2c2，由勾股定理的逆定理可判斷①；當(dāng)k1，ab2，c1

2

11

b2b1bb21

322

時(shí)，可得tb2；當(dāng)ab時(shí)，可得，當(dāng)ab時(shí)，可得，則可求出

211

b2bb2b

22

ab5

2b6，據(jù)此求出t的取值范圍即可判斷②；當(dāng)k1時(shí)，則t，則可得到abc；根據(jù)題意

c3

5

不妨設(shè)cn2，則剩下兩個(gè)數(shù)分別為n，n1（n為正整數(shù)），則可得n2nn1n2，解不

3

等式組求出整數(shù)n即可判斷③．

【詳解】解：（1）∵a，b，c是VABC的三條邊長，且VABC是等邊三角形，

∴abc，

kk

ab

∴t

cc

1k1k

11

2，

故答案為；2；

kk

ab

（2）①當(dāng)k2，t1時(shí)，∵t，

cc

22

ab

∴1，

cc

a2b2

∴1，

c2c2

∴a2b2c2，

∴VABC為直角三角形，故①正確；

1

②當(dāng)k1，ab2，c1時(shí)，

2

kk

ab

∵t，

cc

1

b2

∴b3；

t2b2

112

當(dāng)ab時(shí)，

∵abc，

1

b2b1

2

∴，

1

b2b

2

∴2b4；

當(dāng)ab時(shí)，

∵bac，

1

bb21

2

∴，

1

b2b

2

∴4b6，

∴2b6；

3

∵tb2，

2

∴t隨b的增大而增大，

當(dāng)b2時(shí)，t5，

當(dāng)b6時(shí)，t11，

∴5t11，故②正確；

kk

abab

③當(dāng)k1時(shí)，則t，

ccc

5

∵t，

3

ab5

∴，

c3

5

∴abc；

3

∵a、b、c是三個(gè)相鄰的正整數(shù)，abc，

∴不妨設(shè)cn2，則剩下兩個(gè)數(shù)分別為n，n1（n為正整數(shù)），

5

∵cabc，

3

5

∴n2nn1n2，

3

解得1n7，

∴符合題意的n的值有2、3、4、5、6、7，共6個(gè)，

∴符合題意的a、b、c的取值一共有6組，

∴滿足條件的VABC的個(gè)數(shù)為6，故③錯(cuò)誤；

故答案為：①②．

三．解答題（共8小題）

0

19.計(jì)算：20251tan45．

【答案】1

【解析】

【分析】本題主要考查了求特殊角三角函數(shù)值，零指數(shù)冪，先計(jì)算特殊角三角函數(shù)值，再計(jì)算零指數(shù)冪和

絕對(duì)值，最后計(jì)算加減法即可得到答案．

0

【詳解】解：20251tan45

111

1．

20.先化簡，再求值：x2x2x1x，其中x6．

【答案】x4，2

【解析】

【分析】本題考查了整式的混合運(yùn)算，化簡求值，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．

分別利用平方差公式和單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則計(jì)算，再合并，然后代入求值即可．

【詳解】解：x2x2x1x

x24xx2

x4，

當(dāng)x6時(shí)，原式642．

21.如圖，VABC的頂點(diǎn)A，C在O上，圓心O在邊AB上，ACB120°，BC與O相切與點(diǎn)C，

連接OC．

（1）求ACO的度數(shù)；

（2）求證：ACBC．

【答案】（1）30

（2）見解析

【解析】

【分析】本題主要考查了切線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)與判定，熟知相關(guān)知識(shí)是解

題的關(guān)鍵．

（1）由切線的性質(zhì)得到OCB90，據(jù)此根據(jù)角的和差關(guān)系可得答案；

（2）由等邊對(duì)等角得到OACACO30，再由三角形內(nèi)角和定理可得B30，則可證明

AB，進(jìn)而可證明ACBC．

【小問1詳解】

解：∵BC與O相切與點(diǎn)C，

∴OCBC，

∴OCB90，

∵ACB120°，

∴ACO∠ACB∠OCB1209030;

【小問2詳解】

證明：∵OAOC，

∴OACACO30，

∵ACB120°，ABACB180，

∴B30，

∴AB，

∴ACBC．

22.同學(xué)們準(zhǔn)備在勞動(dòng)課上制作艾草香包，需購買A，B兩種香料．已知A種材料的單價(jià)比B種材料的單價(jià)

多3元，且購買4件A種材料與購買6件B種材料的費(fèi)用相等．

（1）求A種材料和B種材料的單價(jià)；

（2）若需購買A種材料和B種材料共50件，且總費(fèi)用不超過360元，則最多能購買A種材料多少件？

【答案】（1）A種材料的單價(jià)為9元，B種材料的單價(jià)為6元；

（2）最多能購買A種材料20件．

【解析】

【分析】本題主要考查二元一次方程組的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用．

（1）設(shè)A種材料的單價(jià)為x元，B種材料的單價(jià)為y元，根據(jù)題意列出二元一次方程組求解即可；

（2）設(shè)最多可以購買A種材料m件，則購買B種材料50m件，根據(jù)題意列出不等式求解即可．

【小問1詳解】

解：設(shè)A種材料的單價(jià)為x元，B種材料的單價(jià)為y元，

xy3

依題意，

4x6y

x9

解得，

y6

答：A種材料的單價(jià)為9元，B種材料的單價(jià)為6元；

【小問2詳解】

解：設(shè)最多可以購買A種材料m件，則購買B種材料50m件，

依題意得：9m650m360．

解得m≤20．

∴m的最大值為20．

答：最多能購買A種材料20件．

23.為了解某校七、八年級(jí)學(xué)生在某段時(shí)間內(nèi)參加公益活動(dòng)次數(shù)（單位：次）的情況，從這兩個(gè)年級(jí)中各隨

機(jī)抽取20名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查．已知這兩個(gè)年級(jí)的學(xué)生人數(shù)均為200人．

對(duì)抽取的七年級(jí)學(xué)生在此段時(shí)間內(nèi)參加公益活動(dòng)次數(shù)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：

平均

方差

數(shù)

6.21.46

同時(shí)對(duì)抽取的八年級(jí)學(xué)生的調(diào)查數(shù)據(jù)進(jìn)行如下統(tǒng)計(jì)分析．

【收集數(shù)據(jù)】從八年級(jí)抽取的學(xué)生在此段時(shí)間內(nèi)參加公益活動(dòng)次數(shù)如下：

98610887367

7584857686

【整理數(shù)據(jù)】結(jié)果如表：

頻

次數(shù)x分組畫記

數(shù)

2x4T2

4x6正一6

6x8正正10

8x10

【分析數(shù)據(jù)】數(shù)據(jù)的平均數(shù)是6.8，方差是2.76．

【解決問題】答下列問題：

（1）請(qǐng)補(bǔ)全頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖；

（2）請(qǐng)估計(jì)該校八年級(jí)學(xué)生在此段時(shí)間內(nèi)參加公益活動(dòng)次數(shù)超過6次的人數(shù)；

（3）請(qǐng)從平均數(shù)、方差兩個(gè)量中任選一個(gè)，比較該校七、八年級(jí)學(xué)生在此段時(shí)間內(nèi)參加公益活動(dòng)次數(shù)的情

況．

【答案】（1）見解析（2）120人

（3）見解析

【解析】

【分析】本題主要考查了頻數(shù)分布表，頻數(shù)分布直方圖，用樣本估計(jì)總體，方差與平均數(shù)，正確理解題意

是解題的關(guān)鍵．

（1）根據(jù)每個(gè)年級(jí)參與調(diào)查的人數(shù)都為20人，可求出8x10這一組的頻數(shù)，再補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖與統(tǒng)計(jì)表即

可；

（2）用200乘以樣本中該校八年級(jí)學(xué)生在此段時(shí)間內(nèi)參加公益活動(dòng)次數(shù)超過6次的人數(shù)占比即可得到答案；

（3）根據(jù)題意可得八年級(jí)的平均數(shù)大于七年級(jí)的平均數(shù)，據(jù)此可得答案．

【小問1詳解】

解：由題意得，8x10這一組的頻數(shù)為2026102，

補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖與統(tǒng)計(jì)表如下：

畫頻

次數(shù)x分組

記數(shù)

2x4T2

正

4x66

一

正

6x810

正

8x10T2

【小問2詳解】

102

解：200120人，

20

答：估計(jì)該校八年級(jí)學(xué)生在此段時(shí)間內(nèi)參加公益活動(dòng)次數(shù)超過6次的人數(shù)為120人；

【小問3詳解】

解；由題意得，七年級(jí)的平均數(shù)為6.2，八年級(jí)的平均數(shù)為6.8，

∵6.86.2，

∴七年級(jí)學(xué)生在此段時(shí)間內(nèi)參加公益活動(dòng)次數(shù)比八年級(jí)學(xué)生的少．

24.如圖，某處有一個(gè)晾衣裝置，固定立柱AB和CD分別垂直地面水平線l于點(diǎn)B，D，AB19分米，

CDAB．在點(diǎn)A，C之間的晾衣繩上有固定掛鉤E，AE13分米，一件連衣裙MN掛在點(diǎn)E處（點(diǎn)M

與點(diǎn)E重合），且直線MNl．

（1）如圖1，當(dāng)該連衣裙下端點(diǎn)N剛好接觸到地面水平線l時(shí)，點(diǎn)E到直線AB的距離EG等于12分米，

求該連衣裙MN的長度；

（2）如圖2，未避免該連衣裙接觸到地面，在另一端固定掛鉤F處再掛一條長褲（點(diǎn)F在點(diǎn)E的右側(cè)），

若BAE76.1，求此時(shí)該連衣裙下端N點(diǎn)到地面水平線l的距離約為多少分米？（結(jié)果保留整數(shù)，參

考數(shù)據(jù)：sin76.10.97，cos76.10.24，tan76.14.04）

【答案】（1）14分米

（2）2分米

【解析】

【分析】本題主要考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，勾股定理，矩形的性質(zhì)與判定，正確作出輔助線構(gòu)造

直角三角形是解題的關(guān)鍵．

（1）可證明四邊形BNEG是矩形，得到ENBG；在Rt△AEG中，利用勾股定理求出AG的長，進(jìn)而

求出BG的長即可得到答案；

（2）過點(diǎn)E作EHAB于H，延長EN交BD于T，則四邊形BTEH是矩形，可得ETBH；解Rt△AEH

求出AH的長，進(jìn)而求出BH的長，據(jù)此求出NT的長即可得到答案．

【小問1詳解】

解：∵EG⊥AB，AB⊥BD，EN⊥BD，

∴四邊形BNEG是矩形，

∴ENBG；

在Rt△AEG中，AE13分米，EG12分米，

∴AGAE2EG21321225分米，

∴BGABAG14分米，

∴EN14分米，

答：該連衣裙MN的長度為14分米；

【小問2詳解】

如圖所示，過點(diǎn)E作EHAB于H，延長EN交BD于T，

∵AB⊥BD，EH⊥AB，ET⊥BD，

∴四邊形BTEH是矩形，

∴ETBH；

在Rt△AEH中，AE13分米，∠HAE76.1，cos76.10.24，

∴AHAEcosHAE13cos76.1130.243.12分米，

AB19分米，

∴BHABAH15.88分米，

∴ET15.88分米，

EN14分米，

∴NTETEN15.88141.882分米；

答：此時(shí)該連衣裙下端N點(diǎn)到地面水平線l的距離約為2分米．

25.【問題背景】

△

如圖1，在平行四邊形紙片ABCD中，過點(diǎn)B作直線lCD于點(diǎn)E，沿直線l將紙片剪開，得到B1C1E1

和四邊形ABED，如圖2所示．

【動(dòng)手操作】

現(xiàn)將三角形紙片B1C1E1和四邊形紙片ABED進(jìn)行如下操作（以下操作均能實(shí)現(xiàn)）

①將三角形紙片B1C1E1置于四邊形紙片ABED內(nèi)部，使得點(diǎn)B1與點(diǎn)B重合，點(diǎn)E1在線段AB上，延長BC1

交線段AD于點(diǎn)F，如圖3所示；

②連接CC1，過點(diǎn)C作直線CNCD交射線EE1于點(diǎn)N，如圖4所示；

③在邊AB上取一點(diǎn)G，分別連接BD，DG，F(xiàn)G，如圖5所示．

【問題解決】

請(qǐng)解決下列問題：

（1）如圖3，填空：AABF______；

△≌△

（2）如圖4，求證：CNMC1E1M；

（3）如圖5．若AB2AD27AF，AGD60，求證：FG∥BD．

【答案】（1）90（2）證明過程見詳解（3）證明過程見詳解

【解析】

【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AC，根據(jù)題意得到BECBED90，

CBEC90，ABFCBE，由此即可求解；

（2）根據(jù)題意得到ABEBEC90，BEBE1,BCBC1,ECE1C1，BEE1是等腰直角三角

形，則BEE1BE1E45，CNE45CEN，CNC1E1，再證明C1E1CN，則

C1E1MCNM，且C1ME1CMN，由此即可求解；

（）根據(jù)題意，設(shè)，則，在中，

3AFaADBC7aBC1,AB27aRtABF

AFa172

sinABF，BFAB2AF227aa233a，

AB27a2714

AFa13

tanABF，如圖所示，過點(diǎn)F作FHAB于點(diǎn)H，過點(diǎn)D作DKAB于

BF33a339

33a

321a7a33aa

點(diǎn)K，可得FH，AH，DK，AK，DK23a，

141422KG

332

a3a

AGAKKG2a，可證AFG∽ADB，得到AFGADB，即可求解．

22

【小問1詳解】

解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴ABCD,AC，

∵直線lCD，

∴BECBED90，

∴CBEC90，

∵將三角形紙片B1C1E1置于四邊形紙片ABED內(nèi)部，使得點(diǎn)B1與點(diǎn)B重合，點(diǎn)E1在線段AB上，延長BC1

交線段AD于點(diǎn)F，

∴ABFCBE，

∴AABFCCBE90，

故答案為：90；

【小問2詳解】

證明：根據(jù)題意，BECBED90,ABDC，

∴ABEBEC90，

∵將三角形紙片B1C1E1置于四邊形紙片ABED內(nèi)部，使得點(diǎn)B1與點(diǎn)B重合，點(diǎn)E1在線段AB上，延長BC1

交線段AD于點(diǎn)F，

≌

∴BECBE1C1，

∴BEBE1,BCBC1,ECE1C1，

∴BEE1是等腰直角三角形，

∴BEE1BE1E45，

∴CEN180BEE1BEC180459045，

∵直線CNCD，即ECN90，

∴CNE45CEN，

∴CECN，

∴CNC1E1，

∵BE1C190，點(diǎn)E1在線段AB上，

∴ABC1E1，

∵ABCD,CNCD，

∴C1E1CN，

∴C1E1MCNM，且C1ME1CMN，

≌

∴CNMC1E1MAAS；

【小問3詳解】

解：∵AABF90，

∴BFAD，

∵AB2AD27AF，

∴設(shè)，則，

AFaADBC7aBC1,AB27a

AFa172

在RtABF中，sinABF，BFAB2AF227aa233a，

AB27a2714

AFa13

∴tanABF，

BF33a339

如圖所示，過點(diǎn)F作FHAB于點(diǎn)H，過點(diǎn)D作DKAB于點(diǎn)K，

FH7FH7

∴FHDK，sinHBFsinABF，即，

BF1433a14

321a

解得，F(xiàn)H，

14

∵AABF90AAFH，

∴AFHABF，

AH7AH7

∴sinAFHsinABF，即，

AF14a14

7a

解得，AH，

14

∵FHDK，

321a7a

AFFHAH

∴，即a1414，

ADDKAK

7aDKAK

33aa

解得，DK，AK，

22

∵DKAB,AGD60，

DK

∴tanAGDtan603，

KG

33a

∴DK3a，

KG2

332

a3a

∴AGAKKG2a，

22

AFa7AG2a7AFAG

∴,，即，且AA，

AD7a7AB27a7ADAB

∴AFG∽ADB，

∴AFGADB，

∴FGBD．

【點(diǎn)睛】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，等邊三

角形的判定和性質(zhì)，含30角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形的計(jì)算，相似三角形的判定

和性質(zhì)，掌握平行四邊形的性質(zhì)，解直角三角形的計(jì)算，相似三角形的判定和性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合分析是關(guān)鍵．

26.如圖，已知二次函數(shù)yaxx4a0的圖象過點(diǎn)A2,2，連接OA點(diǎn)Px1,y1，Qx2,y2，

∥

Rx3,y3，是此二次函數(shù)圖象上的三個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且0x3x1x22，過點(diǎn)P作PBy軸交線段OA于

點(diǎn)B．

（1）求此二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）如圖1，點(diǎn)C、D在線段OA上，且直線QC、RD都平行于y軸，請(qǐng)你從下列兩個(gè)命題中選擇一個(gè)

進(jìn)行解答：

①當(dāng)PBQC時(shí)，求證：x1x22；

②當(dāng)PBRD時(shí)，求證：x1x32；

31y

（3）如圖，若xx，xx，延長PB交x軸于點(diǎn)T，射線QT、TR分別與軸交于點(diǎn)Q1，R，

2213211

連接AP，分別在射線AT、x軸上取點(diǎn)M、N（點(diǎn)N在點(diǎn)T的右側(cè)），且AMNPAO，MN22．記

tR1Q1ON，試探究：當(dāng)x1為何值時(shí)，t有最大值？并求出t的最大值．

1

【答案】（1）yx22x

2

618

（2）見解析（3）x時(shí)，t的最大值為

55

【解析】

【分析】（1）將A2,2代入yaxx4，待定系數(shù)法求解析式，即可求解；

1111

（）根據(jù)題意得出22，2，2，①當(dāng)

2PBx12x1x1x1x1QCx2x2RDx3x3

2222

11

PBQC時(shí)，x2xx2x，因式分解得出xxxx20，根據(jù)xx0得出

211222121212

11

xx2；②當(dāng)PBRD時(shí)，x2xx2x，因式分解得出xxxx20，根據(jù)

122112331313

x1x30，得出x1x32；

∽

（3）延長AP交y軸于點(diǎn)S，過點(diǎn)R,Q分別作x軸的垂線，垂足分別為L,J，證明TRLTR1O，

∽52

QTJQ1TO，得出RQOROQ2RL2QJx8x，進(jìn)而證明OAT≌OASSAS，

1111211

得出PAOTAO，結(jié)合已知可得OATAMN，勾股定理求得OA22MN，進(jìn)而證明

ATO≌MTNSAS，可得OTTNx1，則ON2OT2x2，則

2

525618，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解．

tR1Q1ONx18x12x1x1

2255

【小問1詳解】

解：將A2,2代入yaxx4得，

22a24，

1

解得：a

2

11

∴yxx4x22x

2