高三數(shù)學(xué)第一輪總復(fù)習(xí)考點(diǎn)教學(xué)設(shè)計(jì)數(shù)列歸納法高考命題分析數(shù)學(xué)歸納法在高考試題中常以解答題出現(xiàn)，主要有證明不等式、證明恒等式和整除三個(gè)方面的應(yīng)用，考題又以數(shù)列問(wèn)題為背景。值得注意的是將數(shù)學(xué)歸納法與探索性的問(wèn)題綜合起來(lái)出現(xiàn)一些非常新穎的題型?？键c(diǎn)回顧：1.數(shù)學(xué)歸納法的內(nèi)容：數(shù)學(xué)歸納法是證明與自然數(shù)有關(guān)的命題的一種重要方法，它的內(nèi)容是：（1）驗(yàn)證當(dāng)n取第一個(gè)值時(shí)結(jié)論正確，這一步驟稱為奠基步驟，是歸納的基礎(chǔ)。（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)結(jié)論成立，并以此推出當(dāng)時(shí)結(jié)論成立，這一步驟稱為遞推步驟。2.數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用：在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)要重點(diǎn)掌握以下幾種類型：（1）等式問(wèn)題（2）不等式問(wèn)題（3）數(shù)列問(wèn)題（4）整除問(wèn)題考點(diǎn)訓(xùn)練EG1、自然狀態(tài)下的魚(yú)類是一種可再生資源，為持續(xù)利用這一資源，需從宏觀上考察其再生能力及捕撈強(qiáng)度對(duì)魚(yú)群總量的影響.用xn表示某魚(yú)群在第n年年初的總量，n∈N*，且x1＞0.不考慮其它因素，設(shè)在第n年內(nèi)魚(yú)群的繁殖量及捕撈量都與xn成正比，死亡量與xn2成正比，這些比例系數(shù)依次為正常數(shù)a，b，c.（1）求xn+1與xn的關(guān)系式；（2）猜測(cè)：當(dāng)且僅當(dāng)x1，a，b，c滿足什么條件時(shí)，每年年初魚(yú)群的總量保持不變？（不要求證明）（3）設(shè)a＝2，b＝1，c=1,為保證對(duì)任意x1∈（0,2），都有xn＞0，n∈N*，則捕撈強(qiáng)度b的最大允許值是多少？證明你的結(jié)論.解（1）從第n年初到第n+1年初，魚(yú)群的繁殖量為axn，被捕撈量為bxn，死亡量為（2）若每年年初魚(yú)群總量保持不變，則xn恒等于x1，n∈N*，從而由（*）式得因?yàn)閤1>0，所以a>b.猜測(cè)：當(dāng)且僅當(dāng)a>b，且時(shí)，每年年初魚(yú)群的總量保持不變.（3）若b的值使得xn>0，n∈N*由xn+1=xn(3－b－xn),n∈N*,知0<xn<3－b,n∈N*,特別地，有0<x1<3－b.即0<b<3－x1.而x1∈(0,2)，所以由此猜測(cè)b的最大允許值是1.下證當(dāng)x1∈(0,2)，b=1時(shí)，都有xn∈(0,2),n∈N*①當(dāng)n=1時(shí)，結(jié)論顯然成立.②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)結(jié)論成立，即xk∈(0,2),則當(dāng)n=k+1時(shí)，xk+1=xk(2－xk)>0.又因?yàn)閤k+1=xk(2－xk)=－(xk－1)2+1≤1<2,所以xk+1∈(0,2)，故當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論也成立.由①、②可知，對(duì)于任意的n∈N*，都有xn∈(0,2).綜上所述，為保證對(duì)任意x1∈(0,2),都有xn>0，n∈N*，則捕撈強(qiáng)度b的最大允許值是1.EG2、已知數(shù)列（1）證明（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式an.解：（1）方法一用數(shù)學(xué)歸納法證明：1°當(dāng)n=1時(shí)，∴，命題正確.2°假設(shè)n=k時(shí)有則而又∴時(shí)命題正確.由1°、2°知，對(duì)一切n∈N時(shí)有方法二：用數(shù)學(xué)歸納法證明： 1°當(dāng)n=1時(shí)，∴；2°假設(shè)n=k時(shí)有成立，令，在[0，2]上單調(diào)遞增，所以由假設(shè)有：即也即當(dāng)n=k+1時(shí)成立，所以對(duì)一切（2）下面來(lái)求數(shù)列的通項(xiàng)：所以,又b0=－1，所以EG3、已知函數(shù)設(shè)數(shù)列}滿足，數(shù)列}滿足（Ⅰ）用數(shù)學(xué)歸納法證明；（Ⅱ）證明本小題主要考查數(shù)列、等比數(shù)列、不等式等基本知識(shí)，考查運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法解決有關(guān)問(wèn)題的能力，滿分12分。（Ⅰ）證明：當(dāng)因?yàn)閍1=1，所以………………2分下面用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式（1）當(dāng)n=1時(shí)，b1=，不等式成立，（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，不等式成立，即那么………………6分所以，當(dāng)n=k+1時(shí)，不等也成立。根據(jù)（1）和（2），可知不等式對(duì)任意n∈N*都成立?！?分（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知，所以實(shí)戰(zhàn)訓(xùn)練1、已知某個(gè)命題與正整數(shù)有關(guān),如果當(dāng)時(shí)該命題成立,那么可以推得時(shí)該命題也成立.現(xiàn)已知時(shí)該命題不成立,則(C)A時(shí)該命題成立B時(shí)該命題不成立C時(shí)該命題不成立D時(shí)該命題成立2、用數(shù)學(xué)歸納法證明:時(shí),在證明過(guò)程的第二步從n=k到n=k+1成立時(shí),左邊增加的項(xiàng)數(shù)是.()3、設(shè)平面內(nèi)有n條直線（n≥3），其中有且僅有兩條直線互相平行，任意三直線不過(guò)同一點(diǎn).若用表示這n條直線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，=；當(dāng)n>4時(shí)，=.（用n表示）14．5，4、已知不等式為大于2的整數(shù)，表示不超過(guò)的最大整數(shù).設(shè)數(shù)列的各項(xiàng)為正，且滿足（Ⅰ）證明（Ⅱ）猜測(cè)數(shù)列是否有極限？如果有，寫出極限的值（不必證明）；（Ⅲ）試確定一個(gè)正整數(shù)N，使得當(dāng)時(shí)，對(duì)任意b>0，都有本小題主要考查數(shù)列、極限及不等式的綜合應(yīng)用以及歸納遞推的思想.（Ⅰ）證法1：∵當(dāng)即于是有所有不等式兩邊相加可得由已知不等式知，當(dāng)n≥3時(shí)有，∵證法2：設(shè)，首先利用數(shù)學(xué)歸納法證不等式（i）當(dāng)n=3時(shí)，由知