1.1函數(shù)第一章函數(shù)、極限與連續(xù)

基礎(chǔ)教學(xué)部函數(shù)的概念01函數(shù)的幾種特性02目錄反函數(shù)03初等函數(shù)041.1.1函數(shù)的概念3一、區(qū)間與鄰域區(qū)間是高等數(shù)學(xué)中常用的實(shí)數(shù)集．設(shè)，且，數(shù)集為開區(qū)間，記作；數(shù)集為閉區(qū)間，記作；數(shù)集和

都稱為半開半閉區(qū)間，分別記作和．以上這幾類區(qū)間統(tǒng)稱為有限區(qū)間．1.1.1函數(shù)的概念4一、區(qū)間與鄰域滿足關(guān)系式的全體實(shí)數(shù)的集合記作，這里符號(hào)“”讀作無窮大，“”讀作正無窮大．類似地，我們記其中“”讀作正無窮大．以上這幾類數(shù)集都稱為無限區(qū)間．有限區(qū)間和無限區(qū)間統(tǒng)稱為區(qū)間．1.1.1函數(shù)的概念一、區(qū)間與鄰域表示分別以，為左右端點(diǎn)的開區(qū)間，區(qū)間長(zhǎng)度為2δ

，設(shè)滿足絕對(duì)值不等式的全體實(shí)數(shù)的集合稱為在

中，去掉中心點(diǎn)

得到的實(shí)數(shù)集

稱為點(diǎn)稱為鄰域的中心，

稱為鄰域的半徑．的去心（或空心）鄰域，記作．注意與的差別在于:不包含點(diǎn)．5點(diǎn)的鄰域，記作，即1.1.1函數(shù)的概念6二、函數(shù)的概念例1自由落體運(yùn)動(dòng)．設(shè)物體下落的時(shí)間為，下落的距離為．假定開始下落的時(shí)刻為，那么與之間的依賴關(guān)系由下式給定：其中是重力加速度，假定物體著地時(shí)刻為，那么當(dāng)時(shí)間在閉區(qū)間

上任取一值時(shí)，由上式就可以確定相應(yīng)的值．1.1.1函數(shù)的概念7二、函數(shù)的概念例2普通快件收費(fèi)以“首重+續(xù)重”的方式計(jì)算，不超過1公斤按1公斤計(jì)算，超過1公斤不超過2公斤按2公斤計(jì)算，超過2公斤不超過3公斤按3公斤計(jì)算，以此類推．某快遞官網(wǎng)收費(fèi)為首重1公斤10元，續(xù)重每公斤5元，建立快件重量與快遞費(fèi)的函數(shù)關(guān)系．解當(dāng)時(shí)，運(yùn)費(fèi)；當(dāng)時(shí)，運(yùn)費(fèi)；當(dāng)時(shí)，運(yùn)費(fèi)；于是函數(shù)可以寫成1.1.1函數(shù)的概念8二、函數(shù)的概念定義1設(shè)與是同一變化過程中的兩個(gè)變量，和是兩個(gè)實(shí)數(shù)集．如果對(duì)于任意的一個(gè)，按照對(duì)應(yīng)法則，都有唯一確定的一個(gè)與之對(duì)應(yīng)，那么稱是的函數(shù)，記作稱為該函數(shù)的定義域，稱為自變量，稱為因變量（或函數(shù)）．當(dāng)自變量取數(shù)值時(shí)，與對(duì)應(yīng)的因變量

的值稱為函數(shù)在點(diǎn)處的函數(shù)值，記作或

．當(dāng)自變量取遍內(nèi)所有數(shù)值時(shí)，的因變量的全體組成的數(shù)集稱作這個(gè)函數(shù)的值域．1.1.1函數(shù)的概念9二、函數(shù)的概念確定函數(shù)定義域主要有兩種情況：在研究由公式表達(dá)的函數(shù)時(shí)，函數(shù)的定義域是使函數(shù)表達(dá)式有意義的自變量的一切實(shí)數(shù)值所組成的數(shù)集，也可用區(qū)間表示．而在實(shí)際問題中，函數(shù)的定義域是由實(shí)際意義確定的．例3

求下列函數(shù)的定義域：解(1)要使函數(shù)

有定義，須，即，所以的定義域是．1.1.1函數(shù)的概念10二、函數(shù)的概念例3

求下列函數(shù)的定義域：解(2)要使函數(shù)

有定義，須，即所以的定義域是．1.1.1函數(shù)的概念11二、函數(shù)的概念例4解例5設(shè)函數(shù)，，問它們是否為同一函數(shù)？解的定義域?yàn)?，在點(diǎn)無定義，其定義域?yàn)?/p>

,由于與

的定義域不同，所以它們不是同一個(gè)函數(shù)．1.1.1函數(shù)的概念12三、函數(shù)的表示法解析法用解析表達(dá)式表示一個(gè)函數(shù)的方法稱為函數(shù)的解析法．高等數(shù)學(xué)中討論的函數(shù)，大多由解析法表示．用解析法表示函數(shù)，不一定總是用一個(gè)式子表示，也可以分段用幾個(gè)式子來表示一個(gè)函數(shù)．例如這是用兩個(gè)解析式子給定的一個(gè)函數(shù)，其定義域是

，當(dāng)自變量在區(qū)間內(nèi)取值時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值按

計(jì)算；當(dāng)自變量在區(qū)間內(nèi)取值時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值按

計(jì)算；這種在自變量的不同變化范圍中，對(duì)應(yīng)法則用不同式子來表示的函數(shù)稱為分段函數(shù)．解析法、表格法、圖示法1.1.1函數(shù)的概念13例6設(shè)函數(shù)求三、函數(shù)的表示法解因?yàn)樗岳?給出的函數(shù)稱為符號(hào)函數(shù)，記為其定義域?yàn)橹涤驗(yàn)?.1.1函數(shù)的概念14例7語句“變量是不超過的最大整數(shù)部分”表示了一個(gè)分段函數(shù)，三、函數(shù)的表示法常稱為取整函數(shù)，記為．即若，則，其中為整數(shù)．其數(shù)學(xué)表達(dá)式為其定義域?yàn)橹涤驗(yàn)橐磺姓麛?shù).1.1.1函數(shù)的概念15三、函數(shù)的表示法表格法把自變量所取的值和對(duì)應(yīng)的函數(shù)值列成表，用以表示函數(shù)關(guān)系，稱為函數(shù)的表格法．如對(duì)數(shù)表，三角函數(shù)表，立方表等．解析法、表格法、圖示法圖示法用坐標(biāo)系下的一條或多條曲線表示函數(shù)，稱為函數(shù)的圖示法．例如，函數(shù)可用下列圖形表示函數(shù)的概念01函數(shù)的幾種特性02目錄反函數(shù)03初等函數(shù)041.1.2函數(shù)的幾種特性17一、函數(shù)的有界性設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義，如果存在正數(shù)，使得對(duì)任一，不等式

恒成立，那么稱函數(shù)

在區(qū)間內(nèi)有界．若這樣的不存在，就稱函數(shù)

在區(qū)間內(nèi)無界．如果函數(shù)

在區(qū)間內(nèi)有界，如果函數(shù)

在區(qū)間內(nèi)有界，那么稱

在區(qū)間內(nèi)為有界函數(shù)．如在上有界，因?yàn)閷?duì)任何都成立．注意函數(shù)有界性不僅與函數(shù)有關(guān)，還與自變量的變化范圍有關(guān)．例如，函數(shù)

在區(qū)間(1,2)內(nèi)是有界的，在區(qū)間(0,1)內(nèi)是無界的．1.1.2函數(shù)的幾種特性18二、函數(shù)的單調(diào)性設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義，如果對(duì)于區(qū)間上任意兩點(diǎn)，當(dāng)（或）時(shí)，有則稱函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)增加（或單調(diào)減少）)．1.1.2函數(shù)的幾種特性19三、函數(shù)的奇偶性設(shè)函數(shù)的定義域是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的，即當(dāng)時(shí)，有．如果對(duì)于任意的，均有則稱函數(shù)是偶函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)的函數(shù)稱為非奇非偶函數(shù)．（或）（或奇函數(shù)）．1.1.2函數(shù)的幾種特性20四、函數(shù)的周期性設(shè)函數(shù)

的定義域?yàn)?，如果存在非零常?shù)，使得對(duì)于定義域內(nèi)的任何，也在定義域內(nèi)，且

恒成立，那么函數(shù)叫做周期函數(shù)，稱

為

的周期．周期函數(shù)的周期通常是指它的最小正周期．例如，函數(shù)

及

都是以

為周期的周期函數(shù)；函數(shù)及都是以為周期的周期函數(shù)．周期函數(shù)的圖形呈周期狀，即在其定義域內(nèi)長(zhǎng)度為T的區(qū)間上，函數(shù)圖形具有相同的形狀．函數(shù)的概念01函數(shù)的幾種特性02目錄反函數(shù)03初等函數(shù)041.1.2函數(shù)的幾種特性22定義2設(shè)函數(shù)

的定義域?yàn)椋涤驗(yàn)椋绻麑?duì)于任意一個(gè)，通過關(guān)系式

可惟一確定一個(gè)，那么就是的一個(gè)函數(shù)，記作或反函數(shù)有以下幾個(gè)性質(zhì)：這時(shí)是自變量，是因變量．定義域?yàn)?，值域?yàn)椋瘮?shù)

叫做函數(shù)

的反函數(shù)．習(xí)慣上，我們總是把自變量記作，因變量記作，改寫為或.（1）函數(shù)

與其反函數(shù)互為反函數(shù)．（2）與

的定義域與值域?qū)φ{(diào)．（3）與

的圖像關(guān)于直線

對(duì)稱．函數(shù)的概念01函數(shù)的幾種特性02目錄反函數(shù)03初等函數(shù)041.1.4初等函數(shù)24一、基本初等函數(shù)1．常量函數(shù)

(為常數(shù))2．冪函數(shù)(為常數(shù))3．指數(shù)函數(shù)

(為常數(shù))4．對(duì)數(shù)函數(shù)

(為常數(shù))5．三角函數(shù)

常用的三角函數(shù)有：

．三角函數(shù)還包括正割函數(shù)

，余割函數(shù)，其中基本初等函數(shù)包括：常量函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)和反三角函數(shù)．1.1.4初等函數(shù)25一、基本初等函數(shù)6．反三角函數(shù)

反三角函數(shù)是三角函數(shù)在特定區(qū)間的反函數(shù)．反正弦函數(shù)

是三角函數(shù)在區(qū)間上的反函數(shù)，定義域?yàn)?，值域?yàn)?，它是奇函?shù)，在定義域上單調(diào)增加．反余弦函數(shù)

是三角函數(shù)在區(qū)間上的反函數(shù)，定義域?yàn)?，值域?yàn)?，它是偶函?shù)，在定義域上單調(diào)減少．反正切函數(shù)

是三角函數(shù)在區(qū)間上的反函數(shù)，定義域?yàn)?，值域?yàn)?，它是奇函?shù)，在定義域上單調(diào)增加．1.1.4初等函數(shù)26二、復(fù)合函數(shù)由物理學(xué)知，物體的動(dòng)能是速度的函數(shù)：式中是物體的質(zhì)量．如果考慮物體上拋運(yùn)動(dòng)，把一個(gè)質(zhì)量為的物體以初速度垂直向上拋出，由于地球引力的作用，它就不斷減速，這時(shí)，

，于是物體的動(dòng)能通過速度成為時(shí)間的函數(shù)：是由

和“復(fù)合”而成的．1.1.4初等函數(shù)27二、復(fù)合函數(shù)定義2設(shè)有兩個(gè)

及

，如果對(duì)于所對(duì)應(yīng)的值，函數(shù)其中，是自變量，是因變量，叫做中間變量．有定義，則通過的聯(lián)系也是的函數(shù)，那么稱這個(gè)函數(shù)是由與復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)，記作例如，由

，復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)是

，其定義域是．1.1.4初等函數(shù)28二、復(fù)合函數(shù)不是任何兩個(gè)函數(shù)都可以復(fù)合成一個(gè)復(fù)合函數(shù)．例如，函數(shù)

與

就不能復(fù)合成一個(gè)復(fù)合函數(shù)，因?yàn)閷?duì)于的定義域內(nèi)任何值所對(duì)應(yīng)的值，都不能使

有意義．例11設(shè)

，求，．解

1.1.4初等函數(shù)29二、復(fù)合函數(shù)利用復(fù)合函數(shù)不僅能將若干個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)復(fù)合成一個(gè)函數(shù)，還可以把一個(gè)較復(fù)雜的函數(shù)分解成幾個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)，這對(duì)于今后掌握微積分的運(yùn)算是很重要的．例8

是由，，復(fù)合而成．例9

是由，，復(fù)合而成．例10

是由，，復(fù)合而成．1.1.4初等函數(shù)30三、初等函數(shù)由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算所得到的，并能用一個(gè)解析式表示的函數(shù)，稱為簡(jiǎn)單函數(shù)．由基本初等函數(shù)、簡(jiǎn)單函數(shù)經(jīng)過有限次復(fù)合步驟所構(gòu)成的，并能用一個(gè)解析式表示的函數(shù)，稱為復(fù)合函數(shù)．基本初等函數(shù)、簡(jiǎn)單函數(shù)、復(fù)合函數(shù)統(tǒng)稱初等函數(shù)．例如

都是初等函數(shù)．學(xué)海無涯，祝你成功！1.7函數(shù)的連續(xù)性第一章函數(shù)、極限與連續(xù)

基礎(chǔ)教學(xué)部函數(shù)的連續(xù)性01函數(shù)的間斷點(diǎn)02目錄初等函數(shù)的連續(xù)性03閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)041.7.1函數(shù)的連續(xù)性34對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的差稱為函數(shù)的改變量（或增量），記作設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量由變到時(shí)，差稱為自變量在點(diǎn)的改變量（或增量），記作一般地，可以為正值，可以為負(fù)值，也可以為零．既與點(diǎn)有關(guān)，也與的增量有關(guān)．1.7.1函數(shù)的連續(xù)性35定義1設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，如果在處當(dāng)自變自變量的改變量趨于零時(shí)，對(duì)應(yīng)函數(shù)的改變量也趨于零，即那么函數(shù)在點(diǎn)處是連續(xù)的．稱為函數(shù)的連續(xù)點(diǎn)．定義2設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，如果函數(shù)滿足那么函數(shù)在點(diǎn)處是連續(xù)的．稱為函數(shù)的連續(xù)點(diǎn)．如果，那么稱函數(shù)在點(diǎn)處右連續(xù)．1.7.1函數(shù)的連續(xù)性36例1證明函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)．證函數(shù)在

處的改變量為因?yàn)樗院瘮?shù)在點(diǎn)處連續(xù)．如果，那么稱函數(shù)在點(diǎn)處左連續(xù)；函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)的充分必要條件是函數(shù)在點(diǎn)處既左連續(xù)又右連續(xù)．1.7.1函數(shù)的連續(xù)性37例2討論函數(shù)在點(diǎn)處的連續(xù)性．解

又即函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)．1.7.1函數(shù)的連續(xù)性38如果函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的每一點(diǎn)連續(xù)，那么稱函數(shù)在區(qū)間內(nèi)連續(xù)．如果函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，且在處右連續(xù)，在處左連續(xù)，那么稱在閉區(qū)間上連續(xù)．函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，稱它是上的連續(xù)函數(shù)．可以證明：一切基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的．函數(shù)的連續(xù)性01函數(shù)的間斷點(diǎn)02目錄初等函數(shù)的連續(xù)性03閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)041.7.2函數(shù)的間斷點(diǎn)40如果函數(shù)在點(diǎn)處不連續(xù)，那么稱在點(diǎn)處間斷，點(diǎn)稱為函數(shù)的間斷點(diǎn)．由函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)的定義可知，函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，必須同時(shí)滿足以下三個(gè)條件：（1）在點(diǎn)的某鄰域有定義；（2）存在；（3）．如果上述三條件中任何一個(gè)不滿足，那么點(diǎn)就是函數(shù)的間斷點(diǎn)．1.7.2函數(shù)的間斷點(diǎn)41根據(jù)函數(shù)在間斷點(diǎn)處單側(cè)極限的情況，將間斷點(diǎn)分為兩類：(1)如果點(diǎn)是函數(shù)的間斷點(diǎn)，并且函數(shù)在點(diǎn)處的左極限，右極限都存在，那么稱點(diǎn)是函數(shù)的第一類間斷點(diǎn)．(2)如果點(diǎn)是函數(shù)的間斷點(diǎn)，但不是第一類間斷點(diǎn)，那么稱點(diǎn)是函數(shù)的第二類間斷點(diǎn)．在第一類間斷點(diǎn)中，如果左極限與右極限相等，即存在．那么稱此間斷點(diǎn)為可去間斷點(diǎn)．如果點(diǎn)是函數(shù)可去間斷點(diǎn)，那么我們可以補(bǔ)充定義或者修改的值，由構(gòu)造出一個(gè)在點(diǎn)處連續(xù)的函數(shù)．1.7.2函數(shù)的間斷點(diǎn)42例如，函數(shù)在處無定義，因此是該函數(shù)的間斷點(diǎn)．因?yàn)椋敲丛谔?，為連續(xù)函數(shù)．在第一類間斷點(diǎn)中，如果左極限與右極限不相等，此間斷點(diǎn)稱為跳躍間斷點(diǎn)．如果定義1.7.2函數(shù)的間斷點(diǎn)43在第二類間斷點(diǎn)中，如果當(dāng)或時(shí)，，那么稱為函數(shù)的無窮間斷點(diǎn)．例3求函數(shù)間斷點(diǎn)，并判斷其類型．解令，得函數(shù)的間斷點(diǎn)為，，為函數(shù)的可去間斷點(diǎn)．為函數(shù)的無窮間斷點(diǎn)．1.7.2函數(shù)的間斷點(diǎn)44例4討論函數(shù)，在處的連續(xù)性．解在處，，所以，所以為函數(shù)的可去間斷點(diǎn)．又因?yàn)?，所以在處不連續(xù)，4546函數(shù)的連續(xù)性01函數(shù)的間斷點(diǎn)02目錄初等函數(shù)的連續(xù)性03閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)041.7.3初等函數(shù)的連續(xù)性48定理1（連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算）如果函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，那么證（僅證和的形式）一、連續(xù)函數(shù)和、差、積、商的連續(xù)性在點(diǎn)處連續(xù)．連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商（若分母不為零）都是連續(xù)函數(shù)．因?yàn)樵谔庍B續(xù)，即由極限的四則運(yùn)算法則可得，所以在處連續(xù)．1.7.3初等函數(shù)的連續(xù)性49定理2若函數(shù)在處連續(xù)，又函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，二、復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性且，則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)．因?yàn)樵邳c(diǎn)處連續(xù)，所以，即，又因?yàn)樵邳c(diǎn)處連續(xù)，所以可見，求復(fù)合函數(shù)的極限時(shí)，如果在點(diǎn)處極限存在，又在對(duì)應(yīng)的處連續(xù)，則極限符號(hào)可以與函數(shù)符號(hào)交換．1.7.3初等函數(shù)的連續(xù)性50例5求極限．解函數(shù)可以看成是由和復(fù)合而成．由于，而在處連續(xù)．由定理2知1.7.3初等函數(shù)的連續(xù)性51三、初等函數(shù)的連續(xù)性由初等函數(shù)的定義，基本初等函數(shù)的連續(xù)性，連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算以及復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性，可以得出如下重要結(jié)論：根據(jù)這個(gè)結(jié)論，如果是初等函數(shù)，是其定義域內(nèi)的一點(diǎn)，那么一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的．求時(shí)，只需將代入函數(shù)求其函數(shù)值即可．例6求．解因?yàn)槭浅醯群瘮?shù)的定義域內(nèi)的一點(diǎn)，所以函數(shù)的連續(xù)性01函數(shù)的間斷點(diǎn)02目錄初等函數(shù)的連續(xù)性03閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)041.7.4閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)53定義3設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義，如果存在，使得對(duì)于任意的都有那么稱是函數(shù)在區(qū)間上的最大值（或最小值）；稱為函數(shù)的最大值點(diǎn)（或最小值點(diǎn)）．最大值和最小值統(tǒng)稱最值．定理3（最值定理）如果函數(shù)在閉區(qū)間

上連續(xù)，那么函數(shù)在

上必取得最大值和最小值．1.7.4閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)54定理3（最值定理）如果函數(shù)在閉區(qū)間

上連續(xù)，那么函數(shù)在

上必取得最大值和最小值．注意兩點(diǎn)：（1）若把定理中的閉區(qū)間改成開區(qū)間，定理的結(jié)論不一定成立，例如函數(shù)在

內(nèi)是連續(xù)的，但它在

內(nèi)既無最大值又無最小值．（2）若函數(shù)在閉區(qū)間內(nèi)有間斷點(diǎn)，定理的結(jié)論不一定成立，例如函數(shù)在

間斷，在

上既無最大值也無最小值．1.7.4閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)55定理4（介值定理）若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，，設(shè)是介于與之間任一值，則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)使得幾何意義：平行于軸的直線至少與上的連續(xù)曲線

相交于一點(diǎn)．1.7.4閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)56推論（零點(diǎn)定理）若函數(shù)在

上連續(xù)且，則至少存在一點(diǎn)，使得即方程在內(nèi)至少存在一個(gè)根．幾何意義：如果異號(hào)，那么連續(xù)曲線與軸

至少有一個(gè)交點(diǎn)．1.7.4閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)57例7

證明方程在

內(nèi)至少有一個(gè)根．證設(shè)，則在

上連續(xù)，又，，由零點(diǎn)定理可知，在

內(nèi)至少有一點(diǎn)，使．這表明所給方程在

內(nèi)至少有一個(gè)根．學(xué)海無涯，祝你成功！1.2極限的概念第一章函數(shù)、極限與連續(xù)

基礎(chǔ)教學(xué)部數(shù)列極限的概念01函數(shù)極限的概念02目錄1.2.1數(shù)列的極限61為了求圓的面積，可以先作圓的內(nèi)接正四邊形并用此四邊形面積來作為圓面積的第一次近似．進(jìn)一步可作圓的內(nèi)接正八邊形，并記內(nèi)接正八邊形的面積為，作為圓面積的第二次近似．照此下去，可作圓的一系列內(nèi)接正邊形，依次可得相應(yīng)的面積為，，…，，…，當(dāng)內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)不斷增加時(shí)，其相應(yīng)的面積與圓的面積就越來越近，當(dāng)無限增大時(shí)，圓內(nèi)接正多邊形的面積就無限接近于圓面積．也即當(dāng)無限增大時(shí)，圓內(nèi)接正邊形面積也不斷增大，且在向某個(gè)定數(shù)（圓的面積）不斷接近．若將這一定數(shù)稱為的極限，則可以說：圓內(nèi)接正邊形面積的極限就是圓的面積．1.2.1數(shù)列的極限62一、數(shù)列定義1按一定順序排列起來的無窮多個(gè)數(shù)稱為無窮數(shù)列．記作，通常稱為數(shù)列的第一項(xiàng)，為第2項(xiàng)，…，為第項(xiàng)…．一般地，將數(shù)列的第項(xiàng)稱為通項(xiàng)（或一般項(xiàng)）．例如數(shù)列：1.2.1數(shù)列的極限63二、數(shù)列的極限考察數(shù)列：當(dāng)無限增大時(shí)，趨向于確定的常數(shù)1，或者說數(shù)列收斂于1，并稱1為該數(shù)列的極限．1.2.1數(shù)列的極限64二、數(shù)列的極限定義2如果當(dāng)無限增大時(shí)（記為），無限趨近于一個(gè)確定的常數(shù)，我們就稱是數(shù)列

的極限，或稱趨于，記為當(dāng)時(shí)，如果不趨向于一個(gè)確定的常數(shù)，我們就說數(shù)列沒有極限．通常稱存在極限的數(shù)列為收斂數(shù)列，而不存在極限的數(shù)列為發(fā)散數(shù)列．1.2.1數(shù)列的極限65二、數(shù)列的極限例1討論數(shù)列、的極限．解當(dāng)時(shí)，數(shù)列由的兩側(cè)無限接近于1，因而該數(shù)列的極限為1，即當(dāng)時(shí)，數(shù)列在

與

兩點(diǎn)來回跳動(dòng)，不接近于任何確定的常數(shù)，故數(shù)列為發(fā)散數(shù)列．?dāng)?shù)列極限的概念01函數(shù)極限的概念02目錄1.2.2函數(shù)的極限67極限的一種特殊類型．?dāng)?shù)列可以看作自變量取正整數(shù)的函數(shù)，數(shù)列的極限是函數(shù)（1）當(dāng)自變量的絕對(duì)值無限增大（記作）時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)的變化情形．（2）當(dāng)自變量無限接近（記作）時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)的變化情形．下面討論一般函數(shù)的極限．主要研究?jī)煞N情形：一確定的常數(shù)，就稱當(dāng)時(shí)，函數(shù)以為極限．這樣一個(gè)變化過程中，函數(shù)的函數(shù)值的變化趨勢(shì)；若無限接近某1.2.2函數(shù)的極限68一、時(shí)函數(shù)的極限若取正值且無限增大，記作，讀作“趨于正無窮大”；若取負(fù)值且其絕對(duì)值無限增大，記作，讀作“趨于負(fù)無窮大”；若既能取正值又能取負(fù)值且其絕對(duì)值無限增大，記作，讀作“趨于無窮大”；所謂“當(dāng)時(shí)函數(shù)的極限”，就是討論當(dāng)自變量趨于無窮大1.2.2函數(shù)的極限69一、時(shí)函數(shù)的極限定義3一般地，設(shè)函數(shù)在時(shí)有定義，若當(dāng)時(shí)，函數(shù)無限接近于某個(gè)確定的常數(shù)，則稱函數(shù)當(dāng)時(shí)以為極限，記作例如：當(dāng)時(shí)，，記作；當(dāng)時(shí)，，記作；當(dāng)時(shí)，，記作．1.2.2函數(shù)的極限70一、時(shí)函數(shù)的極限定義4一般地，設(shè)函數(shù)在時(shí)有定義，若當(dāng)時(shí)，函數(shù)無限接近于某個(gè)確定的常數(shù)，則稱函數(shù)當(dāng)時(shí)以為極限，記作例如：當(dāng)時(shí)，，記作；當(dāng)時(shí)，，記作；當(dāng)時(shí)，，記作．1.2.2函數(shù)的極限71一、時(shí)函數(shù)的極限定義5一般地，設(shè)函數(shù)在時(shí)有定義，若當(dāng)時(shí)，函數(shù)無限接近于某個(gè)確定的常數(shù)，則稱函數(shù)當(dāng)時(shí)以為極限，記作定理1的充要條件是．1.2.2函數(shù)的極限72二、時(shí)函數(shù)的極限例2設(shè)，試討論當(dāng)時(shí)函數(shù)的變化情況．x00.90.990.9990.99990.999990.999999…f（x）11.91.991.9991.99991.999991.999999…x21.11.011.0011.00011.000011.000001…f（x）32.12.012.0012.00012.000012.000001…當(dāng)越來越接近1時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)值越來越接近2．容易想到，當(dāng)無限接近于1時(shí)，函數(shù)的相應(yīng)的函數(shù)值將無限地接近于2．1.2.2函數(shù)的極限73二、時(shí)函數(shù)的極限例2設(shè)，試討論當(dāng)時(shí)函數(shù)的變化情況．曲線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)其此種情況，就稱當(dāng)時(shí)，函數(shù)以橫坐標(biāo)無限接近1時(shí)，即時(shí)，點(diǎn)將向定點(diǎn)無限接近，即．2為極限，并記作1.2.2函數(shù)的極限74二、時(shí)函數(shù)的極限例3設(shè)，試討論當(dāng)時(shí)函數(shù)的變化情況．函數(shù)中，，但是，當(dāng)時(shí)，也趨向于2，即函數(shù)當(dāng)時(shí)以2為極限，記作．1.2.2函數(shù)的極限75二、時(shí)函數(shù)的極限若，且趨于，記作；若，且趨于，記作．若和同時(shí)發(fā)生，則記作．定義7若當(dāng)時(shí)，函數(shù)趨于常數(shù)，則稱函數(shù)以為左極限，記作定義8若當(dāng)時(shí)，函數(shù)趨于常數(shù)，則稱函數(shù)以為右極限，記作函數(shù)在點(diǎn)的左極限和右極限也分別記作和．左極限和右極限統(tǒng)稱單側(cè)極限．1.2.2函數(shù)的極限76二、時(shí)函數(shù)的極限定義6設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)去心鄰域內(nèi)有定義，若當(dāng)時(shí)，函數(shù)無限接近于某個(gè)確定的常數(shù)，則稱函數(shù)當(dāng)時(shí)以為極限，記作定理2的充要條件是．1.2.2函數(shù)的極限77二、時(shí)函數(shù)的極限解因?yàn)榧丛邳c(diǎn)的左右極限存在但不相等，因此

不存在．例3考察分段函數(shù)：在點(diǎn)處的極限.1.2.2函數(shù)的極限78二、時(shí)函數(shù)的極限不管數(shù)列還是函數(shù)，都是變量．因此對(duì)于求極限的方式包括，，，，，，等，都是對(duì)變量求極限．所以，以上學(xué)習(xí)的各種極限的定義可以統(tǒng)一于下面的定義之中：在自變量（可以是或）某一變化過程中，如果變量（可以是數(shù)列或函數(shù)）無限地接近于某個(gè)確定的常數(shù)，就稱變量以為極限，記為1.2.2函數(shù)的極限79三、函數(shù)極限的性質(zhì)函數(shù)極限的唯一性如果存在，則極限是唯一的．函數(shù)極限的局部有界性如果存在，則存在和，使得當(dāng)時(shí)，有．函數(shù)極限的局部保號(hào)性如果，而（或），那么存在，使得當(dāng)時(shí)，有或．說明以上性質(zhì)對(duì)其它類型的極限都適用．學(xué)海無涯，祝你成功！1.3無窮小量與無窮大量第一章函數(shù)、極限與連續(xù)

基礎(chǔ)教學(xué)部無窮大量01無窮小量02目錄無窮大量與無窮小量的關(guān)系03無窮小量的運(yùn)算性質(zhì)04無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系051.3.1無窮大量83為當(dāng)時(shí)的無窮大量，簡(jiǎn)稱無窮大．記作定義1當(dāng)時(shí)，如果的絕對(duì)值無限地增大，那么稱函數(shù)例如，當(dāng)時(shí)，是一個(gè)無窮大量，記作．如果當(dāng)時(shí)，只取正值且無限變大（或只取負(fù)值而絕對(duì)值無限變大），那么稱為正無窮大量（或負(fù)無窮大量），記作無窮大定義中的可以換成，，，，．無窮大量01無窮小量02目錄無窮大量與無窮小量的關(guān)系03無窮小量的運(yùn)算性質(zhì)04無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系051.3.2無窮小量85時(shí)的無窮小量，簡(jiǎn)稱無窮小，記作定義2當(dāng)時(shí)，如果函數(shù)的極限為零，那么稱為當(dāng)無窮小定義中的可以換成，，，，．例1因?yàn)?，所以函?shù)當(dāng)時(shí)是無窮小．因?yàn)?，所以函?shù)當(dāng)時(shí)是無窮小．注意

(1)無窮小量是在某一過程中，以零為極限的變量，而不是絕對(duì)值很小的數(shù)．0是可以作為無窮小量的唯一的一個(gè)數(shù)．(2)要指明自變量的變化趨勢(shì)．無窮大量01無窮小量02目錄無窮大量與無窮小量的關(guān)系03無窮小量的運(yùn)算性質(zhì)04無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系051.3.3無窮大量與無窮小量的關(guān)系87定理1如果為無窮大，則為無窮??；反之，如果為無窮小，且，則為無窮大．例2求解

由于由定理1得無窮大量01無窮小量02目錄無窮大量與無窮小量的關(guān)系03無窮小量的運(yùn)算性質(zhì)04無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系051.3.4無窮小量的運(yùn)算性質(zhì)89定理2有限個(gè)無窮小的代數(shù)和為無窮?。ɡ?有限個(gè)無窮小之積為無窮?。ɡ?有界函數(shù)與無窮小的乘積為無窮?。ɡ?常量與無窮小之積為無窮?。?求解即時(shí)是無窮小量且即時(shí)是有界變量時(shí)是無窮小量，即無窮大量01無窮小量02目錄無窮大量與無窮小量的關(guān)系03無窮小量的運(yùn)算性質(zhì)04無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系051.3.5無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系91定理6(極限基本定理)的充分必要條件是：其中是當(dāng)時(shí)的無窮小，即定理6中的可以換成，，，，．學(xué)海無涯，祝你成功！1.4極限的四則運(yùn)算第一章函數(shù)、極限與連續(xù)

基礎(chǔ)教學(xué)部1.4極限的四則運(yùn)算94定理如果，那么其中自變量的趨勢(shì)可以是等各種情形．1.4極限的四則運(yùn)算95例1求．解．例2求．解1.4極限的四則運(yùn)算96一般地，設(shè)多項(xiàng)式（有理整函數(shù)）那么即1.4極限的四則運(yùn)算97設(shè)有理分式函數(shù)（有理整函數(shù)與有理分式函數(shù)統(tǒng)稱為有理函數(shù)）即其中與都是多項(xiàng)式，當(dāng)時(shí)，有對(duì)于有理函數(shù)求關(guān)于的極限時(shí)，如果有理函數(shù)在有定義，其極限值就是在點(diǎn)處的函數(shù)值，以后可以當(dāng)做公式使用．1.4極限的四則運(yùn)算98例3求．解．例4求．解因?yàn)楹瘮?shù)的分子、分母當(dāng)時(shí)極限都為0，所以不能直接帶入.

可以先將分子分解因式，約公因式，再求極限.

1.4極限的四則運(yùn)算99例5求．解當(dāng)時(shí)，兩個(gè)分式皆無極限，可以先通分．1.4極限的四則運(yùn)算100例6求．解當(dāng)時(shí)，分子、分母極限都為0，應(yīng)先將分子有理化．例7求．解將分子分母同時(shí)除以，再求極限．1.4極限的四則運(yùn)算101例8求．解將分子分母同時(shí)除以，再求極限．一般地，當(dāng)時(shí)，有，其中為正整數(shù)．補(bǔ)充：N次方差公式學(xué)海無涯，祝你成功！1.5兩個(gè)重要極限第一章函數(shù)、極限與連續(xù)

基礎(chǔ)教學(xué)部極限存在的準(zhǔn)則01兩個(gè)重要極限02目錄1.5.1極限存在的準(zhǔn)則105定義設(shè)數(shù)列

，如果滿足，那么稱是遞增數(shù)列，如果滿足，那么稱是遞減數(shù)列．遞增數(shù)列和遞減數(shù)列統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列．對(duì)于數(shù)列

，如果存在一個(gè)正數(shù)，使對(duì)一切都有，那么稱

是有界數(shù)列，否則稱

是無界數(shù)列．準(zhǔn)則Ⅰ（單調(diào)有界準(zhǔn)則）單調(diào)有界數(shù)列必有極限．準(zhǔn)則Ⅰ告訴我們：如果數(shù)列不僅有界，而且單調(diào)，那么這個(gè)數(shù)列一定是收斂的．1.5.1極限存在的準(zhǔn)則106如果函數(shù)

，，在點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi)有定義，且滿足：那么數(shù)列收斂，并且．類似地，有關(guān)于函數(shù)極限的夾逼準(zhǔn)則：準(zhǔn)則Ⅱ（夾逼準(zhǔn)則）如果數(shù)列

，，

滿足下列條件：那么極限存在的準(zhǔn)則01兩個(gè)重要極限02目錄1.5.2兩個(gè)重要極限108一、．證函數(shù)對(duì)于一切都有定義．作單位圓，不妨設(shè)，在單位圓上取圓心角（弧度），點(diǎn)處的切線與的延長(zhǎng)線相交于，于是因?yàn)樗约?.5.2兩個(gè)重要極限109一、．兩邊除以，得即即因?yàn)?/p>