《基本不等式：SKIPIF1<0》教案《普通高中課程標準實驗教科書·數(shù)學》必修5（人教A版）第三章3.4節(jié)一．教學目標①知識與技能目標：學會推導并掌握基本不等式，理解基本不等式的幾何意義，并掌握式子中取等號的條件，會用基本不等式解決簡單的數(shù)學問題。②過程方法與能力目標：通過類比、直覺、發(fā)散等探索性思維的培養(yǎng)，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，進一步培養(yǎng)學生的解題能力，創(chuàng)新能力，勇于探索的精神。③情感、態(tài)度與價值觀目標：通過本節(jié)的學習，體會數(shù)學來源于生活并用于生活，增強學生應用數(shù)學的意識，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣。讓學生享受學習數(shù)學帶來的情感體驗和成功喜悅。二．教學重點、難點教學重點：創(chuàng)設代數(shù)與幾何背景理解基本不等式，并從不同角度探索基本不等式SKIPIF1<0。教學難點：理解“當且僅當SKIPIF1<0時取“SKIPIF1<0”號”的數(shù)學內(nèi)涵，基本不等式的簡單應用。三、教學方法與手段本節(jié)課采用啟發(fā)引導，講練結(jié)合，自主探究的互動式教學方法。以學生為主體，以基本不等式為主線，從實際問題出發(fā)，讓學生探究思索。以多媒體作為教學輔助手段，加深學生對基本不等式的理解。四、教學過程設計教學環(huán)節(jié)問題設計意圖師生活動設置情景，導入新課1．圖中的面積有哪些相等和不等的關(guān)系？2．正方形SKIPIF1<0的面積肯定大于SKIPIF1<0個直角三角形的面積和嗎？有沒有相等的情況呢？SKIPIF1<01．讓學生觀察常見的圖形，目的是調(diào)動學生的學習興趣，讓學生感受到數(shù)學來源于生活，從而激發(fā)他們的學習動機。2．借助《幾何畫板》動態(tài)演示和數(shù)據(jù)驗算讓學生更容易理解“當且僅當SKIPIF1<0時取“=”號”的數(shù)學內(nèi)涵，突破一個難點。教師利用多媒體展示問題情景：1．（投影出）在北京召開的第SKIPIF1<0屆國際數(shù)學家大會的會標——風車。2．讓學生直觀觀察（多媒體動畫演示,“當正方形SKIPIF1<0縮為一個點時，它們的面積相等”。）自主探究，從而歸納出：“正方形SKIPIF1<0的面積不小于SKIPIF1<0個直角三角形的面積和”。教學環(huán)節(jié)問題設計意圖師生活動探索求知，得出結(jié)論3．如圖,正方形ABCD和直角三角形的面積各是什么?4．根據(jù)前面得到的面積關(guān)系的結(jié)論，可得出什么關(guān)系式？5．結(jié)論中等號何時成立？是否僅僅當SKIPIF1<0時等號才成立？6．你能用代數(shù)的方法對不等式SKIPIF1<0進行證明嗎”。1．通過面積的直觀比較，利用數(shù)形結(jié)合抽象出不等式SKIPIF1<0。2、發(fā)揮學生自主能動性，讓學生在證明過程中體會式子SKIPIF1<0中的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0可取任意數(shù)，并再次理解“當且僅當SKIPIF1<0時取“SKIPIF1<0”號”的數(shù)學內(nèi)涵。突破了一個難點。教師引導學生：設直角三角形的兩條直角邊長分別為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，學生動手分別求正方形SKIPIF1<0的面積與SKIPIF1<0個直角三角形的面積和。學生自己總結(jié)得出結(jié)論：SKIPIF1<0（當且僅當SKIPIF1<0時取“SKIPIF1<0”號）教師板書：“SKIPIF1<0（當且僅當SKIPIF1<0時取“SKIPIF1<0”號）”學生自己用代數(shù)的方法對不等式SKIPIF1<0進行證明。認識基本不等式7．如果用SKIPIF1<0、SKIPIF1<0去替換不等式SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,前提是什么？能得到什么結(jié)論?8．你能用代數(shù)的方法完成基本不等式的證明？9．請用語言文字表述基本不等式？從數(shù)列的角度又如何描述呢？SKIPIF1<010．你們能利用這個圖形說說基本不等式的幾何意義嗎？SKIPIF1<01、讓學生先體會分析法的證明思想，為以后學習不等式的證明作準備；2、從代數(shù)、幾何的不同角度理解不等式，開拓了學生的思維空間3．利用多媒體作為輔助手段，目的是讓學生從直觀、動態(tài)的角度加深基本不等式的認識和理解，培養(yǎng)學生數(shù)形結(jié)合的思想方法，多方面思考問題的能力。學生歸納得出基本不等式：SKIPIF1<0當且僅當SKIPIF1<0時取“SKIPIF1<0”號）教師板書基本不等式：SKIPIF1<0當且僅當SKIPIF1<0時取“SKIPIF1<0”號）學生自己填空教材第98頁基本不等式的證明。教師指明：“SKIPIF1<0”稱為兩個正數(shù)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的算術(shù)平均數(shù)，“SKIPIF1<0”稱為兩個正數(shù)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的幾何平均數(shù)。教師多媒體動畫演示教材第98頁的“探究”中左圖的變化過程，學生觀察SKIPIF1<0與半徑SKIPIF1<0的關(guān)系。并計算SKIPIF1<0的長度與半徑SKIPIF1<0？思考等號何時成立？剖析基本不等式11．公式兩邊具有何種運算結(jié)構(gòu)？12．回憶一下你所學的知識中，有哪些地方出現(xiàn)過“和”與“積”的結(jié)構(gòu)？基本不等式的簡單應用是這一節(jié)課的又一個難點，為了突破這一難點，師生先一起分析基本不等式的特征，以便學生記憶和應用，師生一起分析基本不等式的特征SKIPIF1<0SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（當且僅當SKIPIF1<0時取“SKIPIF1<0”號）教學環(huán)節(jié)問題設計意圖師生活動例題講解，強化應用練習：=1\*GB3①試判斷SKIPIF1<0與2的大小關(guān)系？若將條件SKIPIF1<0去掉,上述結(jié)論是否仍然成立②已知SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0=時，SKIPIF1<0的值最?。孔钚≈凳?。=3\*GB3③已知SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時,SKIPIF1<0的值最大？最大值是。2．講解例題例1：（1）用籬笆圍一個面積為SKIPIF1<0的矩形菜園，問這個矩形的長、寬各為多少時，所用的籬笆最短，最短的籬笆是多少？（2）一段長為SKIPIF1<0的籬笆圍成一個矩形菜園，問這個矩形的長、寬各為多少時，菜園的面積最大，最大面積是多少？①在講解例題前先設計了三小題練習，直接用公式就可以求解。目的是先讓學生初步體會“積是定值，可以求和的最小值；和是定值，可以求積的最大值”。為講解教材的例題作準備。=2\*GB3②利用多媒體顯示解答過程，對學生規(guī)范表達起個示范作用。同時也有利于增加課堂容量，提高課堂效率。=3\*GB3③通過例題讓學生明確基本不等式的應用。教師引導學生分析：練習（1）（2）用SKIPIF1<0，練習（3）直接用SKIPIF1<0。例1第（1）小題實際上是已知SKIPIF1<0，求當SKIPIF1<0=；SKIPIF1<0=時，SKIPIF1<0的值最?。康冢?）小題實際上是已知SKIPIF1<0，求當SKIPIF1<0=；SKIPIF1<0=時，SKIPIF1<0的值最大？最大值是?教師利用多媒體顯示解答過程；教師引導學生進行歸納總結(jié)，將求解思路一般化：對于兩個正數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（1）如果積SKIPIF1<0是定值SKIPIF1<0，那么當SKIPIF1<0時，和SKIPIF1<0有最小值SKIPIF1<0；（2）如果和SKIPIF1<0是定值SKIPIF1<0，那么當SKIPIF1<0時，積SKIPIF1<0有最大值SKIPIF1<0。（3）注意“一正二定三相等”的條件。鞏固練習，加深理解（1）已知SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時,函數(shù)SKIPIF1<0的值最??？最小值是。（2）已知直角三角形的面積等于SKIPIF1<0，兩條直角邊各為多少時，兩條直角邊的和最小，最小值是多少？（3）用SKIPIF1<0長的鐵絲折成一個面積最大的矩形，應當怎樣折？例題處理后，設計的這一組練習是突破難點的關(guān)鍵，也是作為對知識應用的實時檢測，給學生提供進一步比較、類比、歸納的機會，為熟練使用新知解決問題打下基礎(chǔ)。學生練習，教師邊巡視學生邊個別輔導，對學生解答中的亮點進行表揚，不足之處，指出后及時鼓勵，使學生愛數(shù)學，愿意學數(shù)學。教師簡單點評，指出要注意“一正二定三相等”的條件教學環(huán)節(jié)問題設計意圖師生活動回顧整理，歸納小結(jié)（1）你學到了什么知識？（2）你知道了哪些方法？知識性內(nèi)容的總結(jié)，可以把課堂教學傳授的知識盡快地轉(zhuǎn)化為學生的素質(zhì)，從而培養(yǎng)學生概括歸納的能力；讓學生發(fā)表自己的看法，有哪些收獲，教師對學生作出肯定，并對知識方法進一步完善。任務后延，布置作業(yè)作業(yè)：課本第100頁第1、2題。課后思考：=1\*GB3①當SKIPIF1<0時，函數(shù)SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<0嗎？=2\*GB3②求函數(shù)SKIPIF1<0的值域？=3\*GB3③已知SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0取什么值時,SKIPIF1<0的值最??？最小值是多少？在布置作業(yè)時設計了課后探究題，為下一個課時作準備。同時也照顧了程度不同的學生。五、板書設計板書設計方面主要板書兩個不等式和應用不等式求最值的問題，例題及練習則利用多媒體課件展現(xiàn)，這樣有利增加課堂容量，提高課堂效率。課題：§3.4基本不等式1．重要不等式SKIPIF1<0（當且僅當SKIPIF1<0時取“SKIPIF1<0”號）2．基本不等式SKIPIF1<0（當且僅當SKIPIF1<0時取“SKIPIF1<0”號）SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（當且僅當SKIPIF1<0時取“SKIPIF1<0”號）文字表述：兩個正數(shù)的幾何平均數(shù)不大于它們的算術(shù)平均數(shù)。數(shù)列解釋：兩個正數(shù)的正的等比中項不大于它們的等差中項。幾何解釋：同圓的半弦不大于半徑。應用基本不等式求最值問題：對于兩個正數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0