平面向量的數(shù)量積及運(yùn)算律（2）教學(xué)目的：1掌握平面向量數(shù)量積運(yùn)算規(guī)律；2能利用數(shù)量積的5個(gè)重要性質(zhì)及數(shù)量積運(yùn)算規(guī)律解決有關(guān)問題；3掌握兩個(gè)向量共線、垂直的幾何判斷，會(huì)證明兩向量垂直，以及能解決一些簡(jiǎn)單問題教學(xué)重點(diǎn)：平面向量數(shù)量積及運(yùn)算規(guī)律教學(xué)難點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的應(yīng)用授課類型：新授課課時(shí)安排：1課時(shí)教具：多媒體、實(shí)物投影儀內(nèi)容分析：

啟發(fā)學(xué)生在理解數(shù)量積的運(yùn)算特點(diǎn)的基礎(chǔ)上，逐步把握數(shù)量積的運(yùn)算律，引導(dǎo)學(xué)生注意數(shù)量積性質(zhì)的相關(guān)問題的特點(diǎn)，以熟練地應(yīng)用數(shù)量積的性質(zhì)

教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入：1．兩個(gè)非零向量夾角的概念已知非零向量ａ與ｂ，作＝ａ，＝ｂ，則∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ與ｂ的夾角C2．平面向量數(shù)量積（內(nèi)積）的定義：已知兩個(gè)非零向量ａ與ｂ，它們的夾角是θ，則數(shù)量|a||b|cos叫ａ與ｂ的數(shù)量積，記作ab，即有ab=|a||b|cos，C（０≤θ≤π）并規(guī)定0與任何向量的數(shù)量積為03．“投影”的概念：作圖定義：|b|cos叫做向量b在a方向上的投影投影也是一個(gè)數(shù)量，不是向量；當(dāng)為銳角時(shí)投影為正值；當(dāng)為鈍角時(shí)投影為負(fù)值；當(dāng)為直角時(shí)投影為0；當(dāng)=0時(shí)投影為|b|；當(dāng)=180時(shí)投影為|b|4．向量的數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積ab等于a的長(zhǎng)度與b在a方向上投影|b|cos的乘積5．兩個(gè)向量的數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)a、b為兩個(gè)非零向量，e是與b同向的單位向量1ea=ae=|a|cos；2abab=03當(dāng)a與b同向時(shí)，ab=|a||b|；當(dāng)a與b反向時(shí)，ab=|a||b|特別的aa=|a|2或4cos=；5|ab|≤|a||b|7．判斷下列各題正確與否：1若a=0，則對(duì)任一向量b，有ab=0(√)2若a0，則對(duì)任一非零向量b，有ab0(×)3若a0，ab=0，則b=0(×)4若ab=0，則a、b至少有一個(gè)為零(×)5若a0，ab=ac，則b=c(×)6若ab=ac，則b=c當(dāng)且僅當(dāng)a0時(shí)成立(×)7對(duì)任意向量a、b、c，有(ab)ca(bc)(×)8對(duì)任意向量a，有a2=|a|2(√)二、講解新課：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律1．交換律：ab=ba證：設(shè)a，b夾角為，則ab=|a||b|cos，ba=|b||a|cos∴ab=ba2．?dāng)?shù)乘結(jié)合律：(a)b=(ab)=a(b)證：若>0，(a)b=|a||b|cos，(ab)=|a||b|cos，a(b)=|a||b|cos，若<0，(a)b=|a||b|cos()=|a||b|(cos)=|a||b|cos，(ab)=|a||b|cos，a(b)=|a||b|cos()=|a||b|(cos)=|a||b|cos3．分配律：(a+b)c=ac+bc在平面內(nèi)取一點(diǎn)O，作=a,=b，=c，∵a+b（即）在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和，即|a+b|cos=|a|cos1+|b|cos2∴|c||a+b|cos=|c||a|cos1+|c||b|cos2∴c(a+b)=ca+cb即：(a+b)c=ac+bc說明：（1）一般地，(ａ·ｂ)с≠ａ（ｂ·с）（2）ａ·с＝ｂ·с，с≠0ａ＝ｂ（3）有如下常用性質(zhì)：ａ２＝｜ａ｜２，（ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ(ａ＋ｂ)２＝ａ２＋２ａ·ｂ＋ｂ２三、講解范例：例1已知a、b都是非零向量，且a+3b與7a5b垂直，a4b與7a2b垂直，求a與解：由(a+3b)(7a5b)=07a2+16ab15b2=0①(a4b)(7a2b)=07a230ab+8b2=0②兩式相減：2ab=b2代入①或②得：a2=b2設(shè)a、b的夾角為，則cos=∴=60例2求證：平行四邊形兩條對(duì)角線平方和等于四條邊的平方和解：如圖：ABCD中，，，=∴||2=而=∴||2=∴||2+||2=2=例3四邊形ABCD中，＝ａ，＝ｂ，＝с，＝ｄ，且ａ·ｂ＝ｂ·с＝с·ｄ＝ｄ·ａ，試問四邊形ABCD是什么圖形?分析：四邊形的形狀由邊角關(guān)系確定，關(guān)鍵是由題設(shè)條件演變、推算該四邊形的邊角量解：四邊形ABCD是矩形，這是因?yàn)椋阂环矫妫骸撸幔猓悖洌?，∴ａ＋ｂ＝－（с＋ｄ），∴(ａ＋ｂ)２＝（с＋ｄ）２即｜ａ｜２＋２ａ·ｂ＋｜ｂ｜２＝｜с｜２＋２с·ｄ＋｜ｄ｜２由于ａ·ｂ＝с·ｄ，∴｜ａ｜２＋｜ｂ｜２＝｜с｜２＋｜ｄ｜２①同理有｜ａ｜２＋｜ｄ｜２＝｜с｜２＋｜ｂ｜２②由①②可得｜ａ｜＝｜с｜，且｜ｂ｜＝｜ｄ｜即四邊形ABCD兩組對(duì)邊分別相等∴四邊形ABCD是平行四邊形另一方面，由ａ·ｂ＝ｂ·с，有ｂ（ａ－с）＝０，而由平行四邊形ABCD可得ａ＝－с，代入上式得ｂ·(2ａ)＝０即ａ·ｂ＝０，∴ａ⊥ｂ也即AB⊥BC綜上所述，四邊形ABCD是矩形評(píng)述：(1)在四邊形中，，，，是順次首尾相接向量，則其和向量是零向量，即ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0，應(yīng)注意這一隱含條件應(yīng)用；(2)由已知條件產(chǎn)生數(shù)量積的關(guān)鍵是構(gòu)造數(shù)量積，因?yàn)閿?shù)量積的定義式中含有邊、角兩種關(guān)系四、課堂練習(xí)：1下列敘述不正確的是（）A向量的數(shù)量積滿足交換律B向量的數(shù)量積滿足分配律C向量的數(shù)量積滿足結(jié)合律Da·b是一個(gè)實(shí)數(shù)2已知|a|=6,|b|=4,a與b的夾角為６０°，則(a+2b)·(a-3b)等于（）A72B-72C36D-363|a|=3,|b|=4,向量a+b與a-b的位置關(guān)系為（）A平行B垂直C夾角為D不平行也不垂直4已知|a|=3,|b|=4,且a與b的夾角為150°，則(a+b)２＝5已知|a|=2,|b|=5,a·b=-3,則|a+b|=______,|a-b|=6設(shè)|a|=3,|b|=5,且a+λb與a－λb垂直，則λ＝參考答案：1C2B3B4２５－１+256±五、小結(jié)通過本節(jié)學(xué)習(xí)，要求大家掌握平面向量數(shù)量積的運(yùn)算規(guī)律，掌握兩個(gè)向量共線、垂直的幾何判斷，能利用數(shù)量積的5個(gè)重要性質(zhì)解決相關(guān)問題六、課后作業(yè)1已知|a|=1,|b|=,且(a-b)與a垂直，則a與b的夾角是（）A60°B30°C135°D４５°2已知|a|=2,|b|=1,a與b之間的夾角為，那么向量m=a-4b的模為（）A2B2C6D123已知a、b是非零向量，則|a|=|b|是(a+b)與(a-b)垂直的（）A充分但不必要條件B必要但不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件4已知向量a、b的夾角為，|a|=2,|b|=1,則|a+b|·|a-b|=5已知a+b=2i-8j,a-b=-8i+16j,其中i、j是直角坐標(biāo)系中x軸、y軸正方向上的單位向量，那么a·b=6已知a⊥b、c與a、b的夾角均為60°，且|a|=1,|b|=2,|c|=3,則(a+2b-c)２＝______7已知|a|=1,|b|=,(1)若a∥b,求a·b;(2)若a、b的夾角為６０°，求|a+b|；(3)若a-b與a垂直，求a與b的夾角8設(shè)m、n是兩個(gè)單位向量，其夾角為６０°，求向量a=2m+n與b=2n-3m9對(duì)于兩個(gè)非零向量a、b，求使|a+tb|最小時(shí)的t值，并求此時(shí)b與a+tb的夾角參考答案：1D2B3C45–636117(1)-(2)(3)45°8120°990°七、板書設(shè)計(jì)（略）八、課后記及備用資料：1常用數(shù)量積運(yùn)算公式在數(shù)量積運(yùn)算律中，有兩個(gè)形似實(shí)數(shù)的完全平方和(差)公式在解題中的應(yīng)用較為廣泛即(a＋b)２＝a２＋２a·b＋b２，（a－b）２＝a２－２a·b＋b２上述兩公式以及(a＋b)(a－b)＝a２－b２這一類似于實(shí)數(shù)平方差的公式在解題過程中可以直接應(yīng)用2應(yīng)用舉例［例1］已知｜a｜＝２，｜b｜＝５，a·b＝－３，求｜a＋b｜，｜a－b｜解：∵｜a＋b｜２＝（a＋b）２＝a２＋２a·b＋b２＝２２＋２×