88.解析幾何中設(shè)點運算的七種常見類型一．目錄1.點差法2.拋物線弦的兩點式方程3.斜率和積的點代計算4.旋轉(zhuǎn)設(shè)點法5.定比點差法6.三點共線與軸點差7.設(shè)點解點二．基本原理1.點差法橢圓中的點差法：設(shè)直線與橢圓相交于點兩點，其中設(shè)點()，() 由于兩點均在橢圓上，代入橢圓的方程可得：∴①，②，①-②得：，進(jìn)一步，則，即，則（其中為中點，為原點）.類似的，若Mx0,y0為雙曲線x2a2?y2b2.拋物線的兩點式拋物線方程為，是拋物線上任意的兩個點，則直線的方程為：.證明：，則的方程為，整理可得：，即可得的方程為：.或者可如此證明：由韋達(dá)定理，則直線的方程為：，進(jìn)一步代入即可得.特別地，若直線過拋物線焦點，代入直線方程一定有：.3.斜率和積的點代計算設(shè)為橢圓上的定點，是橢圓上一條動弦，直線的斜率分別為；（1）若，則有，（2）若，則直線過定點，（3）若，則有，（4）若，則直線過定點.證明：此處用點代法證明結(jié)論（3），其余的類似證明，請讀者自行嘗試.已知橢圓在第一象限內(nèi)有一點，過點作兩條傾斜角互補的直線分別交橢圓于另一點，則有.解析設(shè)，其中.所以依題意得，所以，從而同理，有兩式相減，得所以，證畢.4.旋轉(zhuǎn)設(shè)點法在解析幾何中，我們會遇到等腰直角三角形這樣的幾何結(jié)構(gòu)，這種情況下，利用向量來處理是很方便的，比如，那么或者與的關(guān)系是：，且，這就是旋轉(zhuǎn)設(shè)點法的基本原理.利用這個方法，我們可以很方便的解決有關(guān)問題.5.三點共線的坐標(biāo)表示與軸點差當(dāng)直線過坐標(biāo)軸上某個定點時，熟悉下面的結(jié)論會對運算起到至關(guān)重要的作用：若是橢圓上不同的兩點，且直線經(jīng)過點，則由三點共線可得：，整理可得：（凌晨講數(shù)學(xué)）①.①式的特點是出現(xiàn)了輪換結(jié)構(gòu)，下面構(gòu)造的對偶式，計算它們的乘積，得到從而得到②.這樣就可得到三點共線的兩個基本形式：，進(jìn)一步聯(lián)立消元可解得6.定比點差法1.定比分點的坐標(biāo)形式：若則稱點為的定比分點，若，則點的坐標(biāo)為：.2.橢圓上的定比點差形式：設(shè)點，在橢圓，且點滿足，則，將上述式子整理可得：，進(jìn)一步整理有：，由定比點差：，，聯(lián)立消元后即可用與定分比表示.（凌晨講數(shù)學(xué)）7.設(shè)點解點利用直線與曲線方程聯(lián)立去解點坐標(biāo).不重合的兩點，則.所以我們在解決與斜率有關(guān)的問題時，第一個最樸素的想法就是解點，然后利用斜率公式解決.或者聯(lián)立兩直線方程解出點的坐標(biāo).二．典例分析例1.（2018年全國三卷）已知斜率為的直線與橢圓交于，兩點，線段的中點為．（1）證明：；（2）設(shè)為的右焦點，為上一點，且．證明：，，成等差數(shù)列，并求該數(shù)列的公差．解析：（1）設(shè)，則.兩式相減，并由得.由題設(shè)知，于是.①由題設(shè)得，故.（2）該數(shù)列的公差為或.例2.（2022全國甲卷）設(shè)拋物線的焦點為F，點，過F的直線交C于M，N兩點．當(dāng)直線MD垂直于x軸時，．（1）求C的方程；（凌晨講數(shù)學(xué)）（2）設(shè)直線與C的另一個交點分別為A，B，記直線的傾斜角分別為．當(dāng)取得最大值時，求直線AB的方程．解析：（1）拋物線的準(zhǔn)線為，當(dāng)與x軸垂直時，點M的橫坐標(biāo)為p，此時，所以，所以拋物線C的方程為.（2）設(shè)，由于直線過點，則由基本原理可知：①，且，同理可得：.另一方面，由于與三點共線，則，整理可得：②.由①，②可得：.于是，.（凌晨講數(shù)學(xué)），又因為直線MN，AB的傾斜角分別為，所以，若要使最大，則，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立，所以當(dāng)最大時，，設(shè)直線，代入拋物線方程可得，，所以，所以直線.例3.（2022新高考1卷）已知點在雙曲線上，直線交于，兩點，直線，的斜率之和為0．（1）求的斜率；（2）若，求的面積．解析：（1）設(shè)，由點都在雙曲線上，得，，所以，結(jié)合斜率公式，相減后變形，可得：，.因為直線的斜率之和為，即，所以，由得.②由得.③由②-③，得，從而，即的斜率為.例4.（2020山東卷）已知橢圓C：的離心率為，且過點．（1）求的方程：（2）點，在上，且，，為垂足．證明：存在定點，使得為定值．解析：（1）由題意可得：，解得：，故橢圓方程為：.（2）設(shè)，依題意知，因為，所以，整理得同理得相減可得即直線恒過定點.又，D在以為直徑的圓上．的中點即為圓心Q．經(jīng)檢驗，直線垂直于x軸時也成立．故存在，使得．例5.（2020年全國3卷）．已知橢圓的離心率為，，分別為的左、右頂點．（1）求的方程；（2）若點在上，點在直線上，且，，求的面積．解析：（1），，根據(jù)離心率，解得或(舍)，的方程為：，即．（2）（旋轉(zhuǎn)設(shè)點法）由于，設(shè)，則由且，限則或故或由于點作橢圓上，代入得或解得.由對稱性，只只考慮或時，面積即可.此時，或，則或若．則．（其中）．若．同理，．（其中），綜上，的面積為．例6.（2018年北京文科）已知橢圓的離心率為，焦距為.斜率為的直線與橢圓有兩個不同的交點（1）求橢圓的方程；（2）若，求的最大值；（3）設(shè)，直線與橢圓的另一個交點為，直線與橢圓的另一個交點為.若、和點共線，求.解析：（1）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）的最大值為；（3）三點共線的坐標(biāo)形式設(shè)，由得：，即:①，②所以③，由①，③得：，即，所以.同理，由于，所以，即，所以.方法2：定比點差法設(shè)點，同時設(shè)，則可得，.由點在橢圓上得，兩式作差得，即，亦即于是，解方程組可得同理，可得從而，①.因為易知，又由和點共線得，所以，即，（凌晨講數(shù)學(xué)）化簡得②.從而，根據(jù)①②即得，故所求.例7.（2023年乙卷）已知橢圓的離心率為，點在上.(1)求的方程(2)點的直線交于點兩點，直線與軸的交點分別為，證明：線段的中點為定點解析：（2）設(shè)點，點代入橢圓得:.由三點共線得:，所以，所以.由三點共線得:；由三點共線得:.所以，所以線段的中點是定點.例8.（2024年全國甲卷）設(shè)橢圓的右焦點為，點在上，且軸.（1）求的方程；（2）過點的直線交于兩點，為線段的中點，直線交直線于點.證明:軸.解析：（1）橢圓的方程為：（2）設(shè)．由題意，，所以．所以，即，令，所以．因為A，B，P三點共線，所以，即①由因為A，B在上，所以，所以②②減①即可得．欲證軸，只需要證明，即證明．而，故軸．例9.（2020全國1卷）已知分別為橢圓的左右頂點，為的上頂點，，點為直線上的動點，與的另一個交點為，與的另一個交點為.（1）求的方程；（2）證明：直線過定點.解析.（1）的方程為.（2）（設(shè)點法）假設(shè).則由及三點共線可得：將上面兩式相除，再平方可得：①，由于均在橢圓上，故滿足：②，將②代入①可得：，整理可得：③，假設(shè)直線的方程為代入橢圓方程得：將代入③中，可得：，于是，直線的方程為，故其過定點.三．習(xí)題演練1.已知橢圓的離心率為，右焦點，上頂點為，左頂點為，且.求橢圓的方程；已知，點在橢圓上，直線分別與橢圓交于另一點，若，求證：為定值.（凌晨講數(shù)學(xué)）解析：（1）橢圓的方程為.（2）設(shè)，.由，，得，，，，①，又點，，均在橢圓上，由且得，.②同理，由且得，③，聯(lián)立②③得④，聯(lián)立①④得，為定值.2.（2021全國甲卷）（凌晨講數(shù)學(xué)）拋物線C的頂點為坐標(biāo)原點O．焦點在x軸上，直線l：交C于P，Q兩點，且．已知點，且與l相切．（1）求C，的方程；（