高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1陜西省渭南市臨渭區(qū)2025屆高三下學(xué)期質(zhì)量檢測（三模）數(shù)學(xué)試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知，若（為虛數(shù)單位）是純虛數(shù)，則（）A. B. C.1 D.2【答案】D【解析】因?yàn)椋樘摂?shù)單位）是純虛數(shù)，所以，解得.故選：D2.已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】集合的不等式為：，可求解為.所以集合.從而集合的并集為：.故選：B.3.設(shè)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由可知，或，，此時(shí)，即“”“”；但當(dāng)時(shí)，取，，此時(shí)，即“”“”，綜上所述，“”是“”的充分不必要條件.故選：A.4.已知非零向量在向量上的投影向量為，則（）A. B.2 C. D.1【答案】C【解析】非零向量在向量上的投影向量為，可得，即，又，所以，所以.故選：C5.《孔雀東南飛》中曾敘“十三能織素，十四學(xué)裁衣，十五彈箜篌，十六誦詩書.”箜篌歷史悠久、源遠(yuǎn)流長，音域?qū)拸V、音色柔美清撤，表現(xiàn)力強(qiáng).如圖是箜篌的一種常見的形制，對(duì)其進(jìn)行繪制，發(fā)現(xiàn)近似一扇形，在圓弧的兩個(gè)端點(diǎn)A，B處分別作切線相交于點(diǎn)，測得切線，，，根據(jù)測量數(shù)據(jù)可估算出該圓弧所對(duì)圓心角的余弦值為（）A.0.62 B.0.56 C. D.【答案】A【解析】如圖所示，設(shè)弧AB對(duì)應(yīng)圓心是O，根據(jù)題意可知，，，則，因?yàn)?，，，則在△ACB中，，所以.故選：A.6.自然界中，大多數(shù)生物存在著世代重疊現(xiàn)象，它們?cè)谏钍分袝?huì)持續(xù)不斷地繁殖后代，且有時(shí)不同的世代能在同一時(shí)間進(jìn)行繁殖.假定某類生物的生長發(fā)育不受密度制約時(shí)，其增長符合模型：，其中為種群起始個(gè)體數(shù)量，為增長系數(shù)，為時(shí)刻的種群個(gè)體數(shù)量.當(dāng)時(shí)，種群個(gè)體數(shù)量是起始個(gè)體數(shù)量的2倍.若，則（）A.300 B.450 C.600 D.750【答案】C【解析】因?yàn)槟Ｐ停?，其中為種群起始個(gè)體數(shù)量，為增長系數(shù)，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，種群個(gè)體數(shù)量是起始個(gè)體數(shù)量的2倍.所以，所以，若，則.故選：C.7.已知函數(shù)，其中，，其圖象關(guān)于直線對(duì)稱，對(duì)滿足的，，有，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是A. B.C. D.【答案】B【解析】已知函數(shù)，其中，，其圖像關(guān)于直線對(duì)稱，對(duì)滿足的，，有，∴.再根據(jù)其圖像關(guān)于直線對(duì)稱，可得，.∴，∴.將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長度得到函數(shù)的圖像.令，求得，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，，故選B.8.如圖，在圓錐中，為底面圓的直徑，過的中點(diǎn)與平行作平面截圓錐，得到截面與圓錐側(cè)面的交線是雙曲線的一部分.若，則該雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)，該曲線與圓錐的底面圓交于點(diǎn)、，因?yàn)?，所以，即為等邊三角形，又為的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)，過作，交直線于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，以直線為軸，為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)雙曲線方程為，所以，又，所以，則點(diǎn)，所以，解得（負(fù)值舍去），所以雙曲線的離心率.故選：C二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.甲?乙兩個(gè)體育社團(tuán)小組成員的某次立定跳遠(yuǎn)成績（單位：厘米）如下：甲組：239，241，243，245，245，247，248，249，251，252乙組：244，245，245，246，248，251，251，253，254，255，257，263則下列說法正確的是（）A.甲組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)是249B.乙組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是251C.從甲?乙兩組各隨機(jī)選取一個(gè)成員，兩人跳遠(yuǎn)成績均在250厘米以上的概率是D.乙組中存在這樣的成員，將他調(diào)派到甲組后，甲?乙兩組的跳遠(yuǎn)平均成績都有提高【答案】BCD【解析】由題意得甲組數(shù)據(jù)共有10個(gè)數(shù)字，而，則甲組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)是第8個(gè)數(shù)和第9個(gè)數(shù)的平均數(shù)，即甲組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)是，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；乙組數(shù)據(jù)共有12個(gè)數(shù)字，故乙組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是第6個(gè)數(shù)和第7個(gè)數(shù)的平均數(shù)，即乙組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是，故選項(xiàng)B正確；設(shè)“從甲組抽取的人跳遠(yuǎn)成績?cè)?50厘米以上”為事件，∵甲組中跳遠(yuǎn)成績?cè)?50厘米以上的有2人，∴；設(shè)“從乙組抽取的人跳遠(yuǎn)成績?cè)?50厘米以上”為事件，∵乙組中跳遠(yuǎn)成績?cè)?50厘米以上的有7人，∴，而從甲，乙兩組各隨機(jī)選取一個(gè)成員，則事件，事件相互獨(dú)立，所以由獨(dú)立事件的概率乘法公式可知：“兩人跳遠(yuǎn)成績均在250厘米以上”概率為，故選項(xiàng)C正確；甲組的跳遠(yuǎn)平均成績?yōu)椋医M的跳遠(yuǎn)平均成績?yōu)?，則將乙組中跳遠(yuǎn)成績?yōu)?48厘米的成員調(diào)派到甲組后，甲，乙兩組的跳遠(yuǎn)平均成績都有提高，故選項(xiàng)D正確.故選：BCD.10.如圖，已知正四棱柱的底面邊長為2，側(cè)棱長為4，點(diǎn)，分別為的中點(diǎn)，則（）A.B.平面平面C.三棱錐的體積為D.四面體的外接球的表面積為【答案】BD【解析】如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在方向分別為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，對(duì)A，不是0，所以A不正確；對(duì)B，設(shè)平面的法向量為，，所以，令，則.設(shè)平面的法向量為，，所以，令，則.所以，所以平面平面，故B正確；對(duì)于C：，故C不正確；對(duì)于D：三棱錐的外接球球心為，由，四面體

的外接球的表面積為，故D正確.故選：BD.11.已知函數(shù)，下列說法正確的有（）A.存在實(shí)數(shù)使得為偶函數(shù)B.的導(dǎo)函數(shù)滿足C.函數(shù)存兩個(gè)極小值點(diǎn)D.方程存在個(gè)不同的實(shí)根且【答案】AC【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)?，所以函?shù)為偶函數(shù)，A正確；由選項(xiàng)知，所以，B錯(cuò)誤；，，由且，得，由，得，由，得，所以有兩個(gè)極小值點(diǎn)，C正確；令，則，于是或，當(dāng)時(shí)，由得存在兩個(gè)不同實(shí)根，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，由，知存在異于，的兩個(gè)實(shí)根，且，所以方程存在個(gè)不同的實(shí)根且，D錯(cuò)誤．故選：AC．三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)是，則實(shí)數(shù)的值為__________.【答案】【解析】∵橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)是,∴，，∴，，，∴.故答案為：.13.已知，則__________.【答案】【解析】由，可得，由，可得：，即，聯(lián)立可得：，所以，故答案：14.若一個(gè)三位數(shù)中十位上的數(shù)字比百位上的數(shù)字和個(gè)位上的數(shù)字都大，則稱這個(gè)數(shù)為“凸數(shù)”，如360，253等都是“凸數(shù)”．用0，1，2，3，4這五個(gè)數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，則在組成的三位數(shù)中“凸數(shù)”的個(gè)數(shù)為________．（用數(shù)字作答）【答案】14【解析】將這些“凸數(shù)”分為兩類：①含數(shù)字0，則0一定在個(gè)位上，有種；②不含數(shù)字0，則有種，所以在組成的三位數(shù)中，“凸數(shù)”的個(gè)數(shù)為.故答案為：14四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1），當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，且滿足上式，所以.（2），，數(shù)列的前項(xiàng)和為.16.已知函數(shù)在處有極大值.（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）若函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）由函數(shù)，求導(dǎo)可得，由函數(shù)在處取極大值，則，解得或，當(dāng)時(shí)，可得，易知當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，則此時(shí)函數(shù)在處取得極小值，不符合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，可得，易知當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，則此時(shí)函數(shù)在處取得極大值，符合題意.綜上所述，.（2）由（1）可得函數(shù)，求導(dǎo)可得，令，解得或，可得下表：單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以函數(shù)的極大值為，極小值為，函數(shù)存在三個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于函數(shù)圖象與直線存在三個(gè)交點(diǎn)，如下圖：由圖可得，則.17.如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，，，，為線段的中點(diǎn).（1）證明：直線平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.（1）證明：連接BD交AC于點(diǎn)H，連接HE因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，根據(jù)正方形對(duì)角線性質(zhì)，可知H是BD的中點(diǎn).又因?yàn)镋為線段PD的中點(diǎn)，在△PBD中，可得.由于平面ACE，平面ACE，所以直線平面ACE.（2）解：因?yàn)榈酌鍭BCD是邊長為2的正方形，所以AB⊥AD.又因?yàn)锳B⊥PD，AD∩PD=D，且AD、PD?平面PAD，所以AB⊥平面PAD.在平面PAD內(nèi)作Ax⊥AP，分別以Ax，AP，AB為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)?xyz.又底面ABCD為邊長為2的正方形，，則，，；；設(shè)平面PAC的一個(gè)法向量為，則，即，令，得，設(shè)直線AE與平面PAC所成角為θ，，即直線AE與平面PAC所成角正弦值為.18.有一項(xiàng)高輻射的危險(xiǎn)任務(wù)需要工作人員去完成，每次只進(jìn)入一人，且每人只進(jìn)入一次，在規(guī)定安全時(shí)間內(nèi)未完成任務(wù)則撤出，換下一個(gè)人進(jìn)入，但最多派三人執(zhí)行任務(wù)．現(xiàn)在一共有A、B、C三個(gè)人可參加這項(xiàng)任務(wù)，他們各自能完成任務(wù)的概率分別為，且互不相等，他們?nèi)齻€(gè)人能否完成任務(wù)的事件相互獨(dú)立．（1），如果按照A、B、C的順序先后進(jìn)入；①求任務(wù)能被完成的概率；②求所需派出人員數(shù)目X分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）假定，試分析以怎樣的先后順序派出A、B、C三個(gè)人，可使所需派出的人員數(shù)目X的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最小.解：（1）①設(shè)按照A、B、C的順序先后進(jìn)入，任務(wù)被完成為事件，則，②可取1，2，3，，，，所以其分布列為X123P數(shù)學(xué)期望.（2）若按照某一指定順序派人，A、B、C三人各自能完成任務(wù)的概率依次為，，，其中，，是，，的一個(gè)排列，結(jié)合（1）②知，由，得要使X最小，前兩人應(yīng)從A和B中選，C最后派出，若先派A，再派B，最后派C，則；若先派B，再派A，最后派C，則，而，所以先派A，再派B，最后派C時(shí)，派出人員數(shù)目X的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最小.19.已知點(diǎn)，直線，動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離與它到直線的距離相等，記點(diǎn)的軌跡為曲線.（1）指出曲線是什么曲線，并求曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）過點(diǎn)的動(dòng)直線交曲線于兩點(diǎn)，且點(diǎn)在第一象限，.①求的面積的最小值.②是否存在垂直于軸的定直線被以為直徑的圓所截得的弦長為定值？如果存在，求出直線的方程；如果不存在，說明理由.解：（1）由題意，點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與它到定直線的距離相等，由拋物線的定義知，點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，即曲線是拋物線.由題意知，拋物線開口向右，且，所以，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）過①設(shè).由題意知，直線的傾斜角不為0，設(shè)直線的方程為.由消去，化簡得.，則，所以.因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的面積的最小值是32.②假設(shè)存在直線滿足題意.設(shè)以為直徑的圓為圓，則.如圖，過點(diǎn)作，垂足為.設(shè)圓與直線的一個(gè)交點(diǎn)為，連接，則.又，所以當(dāng)時(shí)，，此時(shí)直線被以為直徑的圓截得的弦長為定值.因此存在直線滿足題意陜西省渭南市臨渭區(qū)2025屆高三下學(xué)期質(zhì)量檢測（三模）數(shù)學(xué)試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知，若（為虛數(shù)單位）是純虛數(shù)，則（）A. B. C.1 D.2【答案】D【解析】因?yàn)椋樘摂?shù)單位）是純虛數(shù)，所以，解得.故選：D2.已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】集合的不等式為：，可求解為.所以集合.從而集合的并集為：.故選：B.3.設(shè)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由可知，或，，此時(shí)，即“”“”；但當(dāng)時(shí)，取，，此時(shí)，即“”“”，綜上所述，“”是“”的充分不必要條件.故選：A.4.已知非零向量在向量上的投影向量為，則（）A. B.2 C. D.1【答案】C【解析】非零向量在向量上的投影向量為，可得，即，又，所以，所以.故選：C5.《孔雀東南飛》中曾敘“十三能織素，十四學(xué)裁衣，十五彈箜篌，十六誦詩書.”箜篌歷史悠久、源遠(yuǎn)流長，音域?qū)拸V、音色柔美清撤，表現(xiàn)力強(qiáng).如圖是箜篌的一種常見的形制，對(duì)其進(jìn)行繪制，發(fā)現(xiàn)近似一扇形，在圓弧的兩個(gè)端點(diǎn)A，B處分別作切線相交于點(diǎn)，測得切線，，，根據(jù)測量數(shù)據(jù)可估算出該圓弧所對(duì)圓心角的余弦值為（）A.0.62 B.0.56 C. D.【答案】A【解析】如圖所示，設(shè)弧AB對(duì)應(yīng)圓心是O，根據(jù)題意可知，，，則，因?yàn)?，，，則在△ACB中，，所以.故選：A.6.自然界中，大多數(shù)生物存在著世代重疊現(xiàn)象，它們?cè)谏钍分袝?huì)持續(xù)不斷地繁殖后代，且有時(shí)不同的世代能在同一時(shí)間進(jìn)行繁殖.假定某類生物的生長發(fā)育不受密度制約時(shí)，其增長符合模型：，其中為種群起始個(gè)體數(shù)量，為增長系數(shù)，為時(shí)刻的種群個(gè)體數(shù)量.當(dāng)時(shí)，種群個(gè)體數(shù)量是起始個(gè)體數(shù)量的2倍.若，則（）A.300 B.450 C.600 D.750【答案】C【解析】因?yàn)槟Ｐ停?，其中為種群起始個(gè)體數(shù)量，為增長系數(shù)，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，種群個(gè)體數(shù)量是起始個(gè)體數(shù)量的2倍.所以，所以，若，則.故選：C.7.已知函數(shù)，其中，，其圖象關(guān)于直線對(duì)稱，對(duì)滿足的，，有，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是A. B.C. D.【答案】B【解析】已知函數(shù)，其中，，其圖像關(guān)于直線對(duì)稱，對(duì)滿足的，，有，∴.再根據(jù)其圖像關(guān)于直線對(duì)稱，可得，.∴，∴.將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長度得到函數(shù)的圖像.令，求得，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，，故選B.8.如圖，在圓錐中，為底面圓的直徑，過的中點(diǎn)與平行作平面截圓錐，得到截面與圓錐側(cè)面的交線是雙曲線的一部分.若，則該雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)，該曲線與圓錐的底面圓交于點(diǎn)、，因?yàn)椋?，即為等邊三角形，又為的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)，過作，交直線于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，以直線為軸，為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)雙曲線方程為，所以，又，所以，則點(diǎn)，所以，解得（負(fù)值舍去），所以雙曲線的離心率.故選：C二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.甲?乙兩個(gè)體育社團(tuán)小組成員的某次立定跳遠(yuǎn)成績（單位：厘米）如下：甲組：239，241，243，245，245，247，248，249，251，252乙組：244，245，245，246，248，251，251，253，254，255，257，263則下列說法正確的是（）A.甲組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)是249B.乙組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是251C.從甲?乙兩組各隨機(jī)選取一個(gè)成員，兩人跳遠(yuǎn)成績均在250厘米以上的概率是D.乙組中存在這樣的成員，將他調(diào)派到甲組后，甲?乙兩組的跳遠(yuǎn)平均成績都有提高【答案】BCD【解析】由題意得甲組數(shù)據(jù)共有10個(gè)數(shù)字，而，則甲組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)是第8個(gè)數(shù)和第9個(gè)數(shù)的平均數(shù)，即甲組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)是，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；乙組數(shù)據(jù)共有12個(gè)數(shù)字，故乙組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是第6個(gè)數(shù)和第7個(gè)數(shù)的平均數(shù)，即乙組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是，故選項(xiàng)B正確；設(shè)“從甲組抽取的人跳遠(yuǎn)成績?cè)?50厘米以上”為事件，∵甲組中跳遠(yuǎn)成績?cè)?50厘米以上的有2人，∴；設(shè)“從乙組抽取的人跳遠(yuǎn)成績?cè)?50厘米以上”為事件，∵乙組中跳遠(yuǎn)成績?cè)?50厘米以上的有7人，∴，而從甲，乙兩組各隨機(jī)選取一個(gè)成員，則事件，事件相互獨(dú)立，所以由獨(dú)立事件的概率乘法公式可知：“兩人跳遠(yuǎn)成績均在250厘米以上”概率為，故選項(xiàng)C正確；甲組的跳遠(yuǎn)平均成績?yōu)?，乙組的跳遠(yuǎn)平均成績?yōu)椋瑒t將乙組中跳遠(yuǎn)成績?yōu)?48厘米的成員調(diào)派到甲組后，甲，乙兩組的跳遠(yuǎn)平均成績都有提高，故選項(xiàng)D正確.故選：BCD.10.如圖，已知正四棱柱的底面邊長為2，側(cè)棱長為4，點(diǎn)，分別為的中點(diǎn)，則（）A.B.平面平面C.三棱錐的體積為D.四面體的外接球的表面積為【答案】BD【解析】如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在方向分別為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，對(duì)A，不是0，所以A不正確；對(duì)B，設(shè)平面的法向量為，，所以，令，則.設(shè)平面的法向量為，，所以，令，則.所以，所以平面平面，故B正確；對(duì)于C：，故C不正確；對(duì)于D：三棱錐的外接球球心為，由，四面體

的外接球的表面積為，故D正確.故選：BD.11.已知函數(shù)，下列說法正確的有（）A.存在實(shí)數(shù)使得為偶函數(shù)B.的導(dǎo)函數(shù)滿足C.函數(shù)存兩個(gè)極小值點(diǎn)D.方程存在個(gè)不同的實(shí)根且【答案】AC【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)?，所以函?shù)為偶函數(shù)，A正確；由選項(xiàng)知，所以，B錯(cuò)誤；，，由且，得，由，得，由，得，所以有兩個(gè)極小值點(diǎn)，C正確；令，則，于是或，當(dāng)時(shí)，由得存在兩個(gè)不同實(shí)根，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，由，知存在異于，的兩個(gè)實(shí)根，且，所以方程存在個(gè)不同的實(shí)根且，D錯(cuò)誤．故選：AC．三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)是，則實(shí)數(shù)的值為__________.【答案】【解析】∵橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)是,∴，，∴，，，∴.故答案為：.13.已知，則__________.【答案】【解析】由，可得，由，可得：，即，聯(lián)立可得：，所以，故答案：14.若一個(gè)三位數(shù)中十位上的數(shù)字比百位上的數(shù)字和個(gè)位上的數(shù)字都大，則稱這個(gè)數(shù)為“凸數(shù)”，如360，253等都是“凸數(shù)”．用0，1，2，3，4這五個(gè)數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，則在組成的三位數(shù)中“凸數(shù)”的個(gè)數(shù)為________．（用數(shù)字作答）【答案】14【解析】將這些“凸數(shù)”分為兩類：①含數(shù)字0，則0一定在個(gè)位上，有種；②不含數(shù)字0，則有種，所以在組成的三位數(shù)中，“凸數(shù)”的個(gè)數(shù)為.故答案為：14四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1），當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，且滿足上式，所以.（2），，數(shù)列的前項(xiàng)和為.16.已知函數(shù)在處有極大值.（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）若函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）由函數(shù)，求導(dǎo)可得，由函數(shù)在處取極大值，則，解得或，當(dāng)時(shí)，可得，易知當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，則此時(shí)函數(shù)在處取得極小值，不符合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，可得，易知當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，則此時(shí)函數(shù)在處取得極大值，符合題意.綜上所述，.（2）由（1）可得函數(shù)，求導(dǎo)可得，令，解得或，可得下表：單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以函數(shù)的極大值為，極小值為，函數(shù)存在三個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于函數(shù)圖象與直線存在三個(gè)交點(diǎn)，如下圖：由圖可得，則.17.如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，，，，為線段的中點(diǎn).（1）證明：直線平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.（1）證明：連接BD交AC于點(diǎn)H，連接HE因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，根據(jù)正方形對(duì)角線性質(zhì)，可知H是BD的中點(diǎn).又因?yàn)镋為線段PD的中點(diǎn)，在△PBD中，可得.由于平面ACE，平面ACE，所以直線平面ACE.（2）解：因?yàn)榈酌鍭BCD是邊長為2的正方形，所以AB⊥AD.又因?yàn)锳B⊥PD，AD∩PD=D，且AD、PD?平面PAD，所以AB⊥平面PAD.在平面PAD內(nèi)作Ax⊥AP，分別以Ax，AP，AB為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)?xyz.又底面ABCD為邊長為2的正方形，，則，，；；設(shè)平面PAC的一個(gè)法向量為，則，即，令，得，設(shè)直線AE與平面PAC所成角