高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1四川省達(dá)州市2025屆高三第二次診斷性測試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.集合，則的元素個(gè)數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】因?yàn)?，，所以?個(gè)元素.故選：D2.若復(fù)數(shù)的實(shí)部為0，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B.0 C.1 D.2【答案】C【解析】依題意，由的實(shí)部為0，，得.故選：C3.向量，若，則（）A. B. C.5 D.【答案】A【解析】，，故，解得，所以，所以.故選：A4.已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，則（）A.4 B.8 C.16 D.32【答案】B【解析】在等差數(shù)列中，，，又，則，解得，則公差，所以.故選：B5.相交直線都在平面內(nèi)，直線在平面內(nèi)，則“且”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由相交直線都在平面內(nèi)，且，得，而直線在平面內(nèi)，因此，故充分性成立；反之，若，直線在平面內(nèi)，則直線在平面內(nèi)，或平行于平面，或與平面相交，所以直線與平面也不一定垂直，即直線不一定垂直平面的所有直線，所以直線l不一定都與相交直線垂直，故必要性不成立.故選：A6.已知為雙曲線的右焦點(diǎn)，圓上的動(dòng)點(diǎn)到雙曲線漸近線的距離最小值為，則該雙曲線的離心率為（）A. B. C.2 D.【答案】A【解析】對(duì)于雙曲線，其漸近線方程為，即．

已知圓，其圓心坐標(biāo)為，半徑．則圓心到漸近線的距離．因?yàn)樵陔p曲線中有，所以．

因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)在圓上，所以動(dòng)點(diǎn)到雙曲線漸近線的距離最小值為圓心到漸近線的距離減去圓的半徑，即．已知?jiǎng)狱c(diǎn)到雙曲線漸近線的距離最小值為，所以，移項(xiàng)可得．

且，把代入可得：，兩邊同時(shí)開方得．所以離心率．

該雙曲線的離心率為．故選：A．7.三棱錐各個(gè)頂點(diǎn)均在球表面上，，外接圓的半徑為，點(diǎn)在平面的射影為中點(diǎn)，且與平面所成的角為，則球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】取中點(diǎn)，連接，點(diǎn)在平面的射影為點(diǎn)，又因?yàn)?，所以外接圓圓心為，所以O(shè)必在直線上，因?yàn)?，外接圓的半徑為，所以是外接圓的圓心，，因?yàn)槠矫?，與平面所成的角為，則，從而，設(shè)球O的半徑為R，在中，，則，解得，所以球O的表面積為.故選：B．8.關(guān)于的不等式的整數(shù)解個(gè)數(shù)為時(shí)，，設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，，設(shè)，，，，顯然，，，其中在處的切線斜率為，在處的切線斜率為，若，時(shí)，的圖象在的上方，不等式無解，則的整數(shù)解個(gè)數(shù)為0，不合要求，所以，當(dāng)時(shí)，需滿足，解得，當(dāng)時(shí)，需滿足，解得，當(dāng)?shù)恼麛?shù)解個(gè)數(shù)為時(shí)，需滿足，解得，所以，所以，所以，故故選：C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.某同學(xué)根據(jù)的5組數(shù)據(jù)，繪制了散點(diǎn)圖（圖1），并進(jìn)行回歸分析，若在這5組數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上又增加了2組數(shù)據(jù)（圖2），重新進(jìn)行回歸分析，則下列敘述正確的是（）A.決定系數(shù)變大 B.樣本相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值更趨近于0C.殘差的平方和變大 D.解釋變量與響應(yīng)變量的相關(guān)性變強(qiáng)【答案】BC【解析】由圖可知：增加2組數(shù)據(jù)后，回歸效果變差，所以決定系數(shù)變小，線性相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值變小，殘差的平方和變大，解釋變量與響應(yīng)變量的相關(guān)性變?nèi)?故選：BC10.已知函數(shù)，則（）A.函數(shù)為偶函數(shù) B.函數(shù)在上單調(diào)遞增C.函數(shù)在上有4個(gè)極大值點(diǎn) D.函數(shù)的最大值為3【答案】AC【解析】對(duì)A：因?yàn)?，所以函?shù)為偶函數(shù)，故A正確；對(duì)B：當(dāng)時(shí)，，所以，由，即；由.所以函數(shù)在上遞增，在上遞減，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：當(dāng)時(shí)，，，由；由.所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.結(jié)合B的結(jié)論，在上，函數(shù)有和兩個(gè)極大值點(diǎn)，又函數(shù)為偶函數(shù)，所以函數(shù)在上有4個(gè)極大值點(diǎn)，故C正確；對(duì)D：當(dāng)時(shí)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，在上，因?yàn)椋?，所以函?shù)的最大值為，當(dāng)時(shí)，，所以；當(dāng)時(shí)，，所以.所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為.又時(shí)，.所以時(shí)，函數(shù)的最大值為.又函數(shù)為偶函數(shù)，所以在上，函數(shù)的最大值為.故D錯(cuò)誤.故選：AC11.已知二次曲線，為坐標(biāo)原點(diǎn)，下列說法正確的是（）A.的圖象關(guān)于軸對(duì)稱B.若，則存在實(shí)數(shù)，使得圓與恰好有3個(gè)公共點(diǎn)C.若在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸圍成圖形的面積最大值為8D.點(diǎn)為上動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為【答案】ABD【解析】對(duì)于A，設(shè)點(diǎn)滿足方程，那么也滿足方程，即的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，故A正確；對(duì)于B，，聯(lián)立，得，即，若存實(shí)數(shù)，使得圓與恰好有3個(gè)公共點(diǎn)，首先關(guān)于的一元二次方程必定有兩個(gè)不同的根，必然要滿足才行，不妨設(shè)這三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)前面的表述可知，，從而有，即，注意到，從而，若，此時(shí)，若，此時(shí)，所以無論如何，若，總存在實(shí)數(shù)或，使得圓與恰好有3個(gè)公共點(diǎn)，故B正確；對(duì)于C，，對(duì)求導(dǎo)得，，所以在點(diǎn)處的切線的方程為，它與坐標(biāo)軸的兩個(gè)交點(diǎn)依次為，故所求面積表達(dá)式為，注意到，從而，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，如下圖，注意到拋物線頂點(diǎn)，故可設(shè)準(zhǔn)線方程為，從而有，整理得，解得，對(duì)比，可得，解得，從而點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，故，其中當(dāng)且僅當(dāng)重合；當(dāng)時(shí)，同理，如下圖所示，有，其中當(dāng)且僅當(dāng)重合；綜上所述，點(diǎn)為上動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.的展開式中項(xiàng)的系數(shù)為______．（用數(shù)字作答）【答案】【解析】的展開式中項(xiàng)的系數(shù)為.故答案為：.13.已知函數(shù)在上存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的最小值為______．【答案】【解析】由可得，其中，令，其中，所以，實(shí)數(shù)的取值范圍即為函數(shù)在上的值域，則實(shí)數(shù)的最小值即為函數(shù)在上最小值.則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，，因此，實(shí)數(shù)的最小值為.故答案為：.14.新高考數(shù)學(xué)試卷共有3道多項(xiàng)選擇題，每題有個(gè)選項(xiàng)，每題正確選項(xiàng)有2個(gè)或3個(gè)．得分規(guī)則如下：每道題滿分為6分，全部選對(duì)得滿分，有錯(cuò)選或者不選得0分，答案選項(xiàng)為2個(gè)的，只選一個(gè)正確選項(xiàng)得3分，答案選項(xiàng)為3個(gè)的，每選一個(gè)正確選項(xiàng)得2分．現(xiàn)甲，乙，丙，丁四位同學(xué)的作答和總得分情況如下表，則丁同學(xué)的總得分情況為______．甲乙丙丁9題10題11題得分10910【答案】0或12【解析】根據(jù)乙的得分，可知：第9題正確答案有兩個(gè)選項(xiàng)，包含A.第10或11，乙有一個(gè)題選對(duì)，另一題有錯(cuò)選.假設(shè)第10題的答案是ACD，則第11題的答案應(yīng)該不含C或D.此時(shí)：甲和丙在第10題各得4分.若第9題的答案為AB，第11題答案為BC，則甲、乙、丙的得分滿足條件，此時(shí)丁第9、11兩題正確，第10題有錯(cuò)誤選項(xiàng)，共得12分；若第9題答案為AC，第11題答案為AB，則甲、乙、丙的得分滿足條件，此時(shí)丁3個(gè)題都有錯(cuò)誤選項(xiàng)，得0分；假設(shè)第11題正確答案為CD，則甲、并第11題均不得分，此時(shí)甲、并的得分不可能都是10分.故不滿足題意.綜上可得：丁的得分為0或12.故答案為：0或12四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫文字說明，證明過程或演算步驟.15.某學(xué)校對(duì)高中生體質(zhì)健康調(diào)研，隨機(jī)抽取100名學(xué)生的體重（單位：kg）得到如下頻數(shù)分布表：分組頻數(shù)525402010（1）估計(jì)樣本的中位數(shù)；（2）從樣本和中按分層抽樣抽取學(xué)生6人，再從這6人中隨機(jī)抽取3人，其中體重在，的人數(shù)分別為，記，求的分布列及期望．解：（1），，故樣本的中位數(shù)落在內(nèi)，又，故中位數(shù)為；（2）和的人數(shù)比為，分層抽樣抽取學(xué)生6人中，和的人數(shù)分別為和，故這6人中隨機(jī)抽取3人，的可能取值為3,2,1，對(duì)應(yīng)的的取值為，所以的可能取值為，，，，故分布列為31-1期望為.16.如圖，在三棱柱中，、分別為、的中點(diǎn)，、均為等邊三角形，平面平面，（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值．（1）證明：取線段的中點(diǎn)，連接、，如下圖所示：因?yàn)椤⒎謩e為、的中點(diǎn)，所以，，在三棱柱中，，，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，，故，，所以四邊形為平行四邊形，故，因平面，平面，所以平面.（2）解：取線段的中點(diǎn)，連接、，因?yàn)?、均為等邊三角形，且為的中點(diǎn)，所以，，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則、、、、、、，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，，則，取，可得，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，，則，取，可得，所以，，因此，平面與平面夾角的余弦值為.17.已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為為中點(diǎn)，．（1）證明：為等腰三角形；（2）若的面積，求；（3）若，求周長的最小值．（1）證明：根據(jù)正弦定理：.再由余弦定理：，所以，所以或即.因?yàn)椴怀闪?，所以只?所以為等腰三角形.（2）解：如圖：設(shè)，則，所以，又，所以，又為銳角，所以.所以.（3）解：由題意，.所以的周長為：，因?yàn)?，在上均為增函?shù)，所以，即周長的最小值為：.18.函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍；（3）證明：當(dāng)時(shí)，．（1）解：因?yàn)?，所?若，則在上恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；若，由；由.所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.綜上：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）解：當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，上式恒成立，即；當(dāng)時(shí)，.設(shè)，，則.設(shè)，，則在上恒成立，即在上單調(diào)遞增，又，所以在上恒成立.所以由，由.所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以.所以.綜上可知：的取值范圍為：.（3）證明：時(shí)，要證，即.設(shè)，則，.設(shè)，，則在上恒成立.所以在上單調(diào)遞增.又，，則方程只有一解，設(shè)為，且，.當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，.所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以因?yàn)?，所以，，，所?即.所以在上恒成立.從而原命題成立.19.橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，過的直線交于兩點(diǎn)（點(diǎn)位于軸上方），為坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）若，求的值；（2）已知二次曲線在點(diǎn)處的切線方程為，現(xiàn)過兩點(diǎn)作的兩條切線相交于點(diǎn)，切線與圓分別交于和，其中分別位于點(diǎn)的左側(cè)．（?。┳C明：三點(diǎn)共線；（ⅱ）求面積的最小值．解：（1）注意到三點(diǎn)共線，從而，即，所以，解得；（2）（?。┯深}意可知直線斜率不為0，且注意到直線過點(diǎn)，故可設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線的方程與橢圓的方程，得，整理得，，設(shè)，由題意點(diǎn)位于軸上方，由求根公式可得，畫出圖形如下，觀察并猜想，根據(jù)題目所要證明的結(jié)論，我們不妨設(shè)直線的方程為，其中是直線與圓的交點(diǎn)，且其中分別位于點(diǎn)的左側(cè)，那么顯然滿足三點(diǎn)共線，下面我們只需要證明三點(diǎn)共線，且三點(diǎn)共線即可得到重合，重合，也就是說此時(shí)命題可以得證，要證明三點(diǎn)共線，只需證明，聯(lián)立與，解得，由題意直線的方程為，同理直線的方程為，要證明，只需證明，只需證明，只需證明，由的根是可知，，從而只需證明，只需證明，只需證明，而根據(jù)前面的假設(shè)可知，，從而，故三點(diǎn)共線，同理也三點(diǎn)共線，這就說明重合，重合，也就是說此時(shí)命題已經(jīng)得證；（ⅱ）聯(lián)立直線的方程與直線的方程，解得，設(shè)為點(diǎn)到直線的距離，從而，而，從而，設(shè)，則，求導(dǎo)得，從而函數(shù)在上單調(diào)遞增，故面積的最小值為.四川省達(dá)州市2025屆高三第二次診斷性測試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.集合，則的元素個(gè)數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】因?yàn)?，，所以?個(gè)元素.故選：D2.若復(fù)數(shù)的實(shí)部為0，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B.0 C.1 D.2【答案】C【解析】依題意，由的實(shí)部為0，，得.故選：C3.向量，若，則（）A. B. C.5 D.【答案】A【解析】，，故，解得，所以，所以.故選：A4.已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，則（）A.4 B.8 C.16 D.32【答案】B【解析】在等差數(shù)列中，，，又，則，解得，則公差，所以.故選：B5.相交直線都在平面內(nèi)，直線在平面內(nèi)，則“且”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由相交直線都在平面內(nèi)，且，得，而直線在平面內(nèi)，因此，故充分性成立；反之，若，直線在平面內(nèi)，則直線在平面內(nèi)，或平行于平面，或與平面相交，所以直線與平面也不一定垂直，即直線不一定垂直平面的所有直線，所以直線l不一定都與相交直線垂直，故必要性不成立.故選：A6.已知為雙曲線的右焦點(diǎn)，圓上的動(dòng)點(diǎn)到雙曲線漸近線的距離最小值為，則該雙曲線的離心率為（）A. B. C.2 D.【答案】A【解析】對(duì)于雙曲線，其漸近線方程為，即．

已知圓，其圓心坐標(biāo)為，半徑．則圓心到漸近線的距離．因?yàn)樵陔p曲線中有，所以．

因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)在圓上，所以動(dòng)點(diǎn)到雙曲線漸近線的距離最小值為圓心到漸近線的距離減去圓的半徑，即．已知?jiǎng)狱c(diǎn)到雙曲線漸近線的距離最小值為，所以，移項(xiàng)可得．

且，把代入可得：，兩邊同時(shí)開方得．所以離心率．

該雙曲線的離心率為．故選：A．7.三棱錐各個(gè)頂點(diǎn)均在球表面上，，外接圓的半徑為，點(diǎn)在平面的射影為中點(diǎn)，且與平面所成的角為，則球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】取中點(diǎn)，連接，點(diǎn)在平面的射影為點(diǎn)，又因?yàn)?，所以外接圓圓心為，所以O(shè)必在直線上，因?yàn)?，外接圓的半徑為，所以是外接圓的圓心，，因?yàn)槠矫?，與平面所成的角為，則，從而，設(shè)球O的半徑為R，在中，，則，解得，所以球O的表面積為.故選：B．8.關(guān)于的不等式的整數(shù)解個(gè)數(shù)為時(shí)，，設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，，設(shè)，，，，顯然，，，其中在處的切線斜率為，在處的切線斜率為，若，時(shí)，的圖象在的上方，不等式無解，則的整數(shù)解個(gè)數(shù)為0，不合要求，所以，當(dāng)時(shí)，需滿足，解得，當(dāng)時(shí)，需滿足，解得，當(dāng)?shù)恼麛?shù)解個(gè)數(shù)為時(shí)，需滿足，解得，所以，所以，所以，故故選：C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.某同學(xué)根據(jù)的5組數(shù)據(jù)，繪制了散點(diǎn)圖（圖1），并進(jìn)行回歸分析，若在這5組數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上又增加了2組數(shù)據(jù)（圖2），重新進(jìn)行回歸分析，則下列敘述正確的是（）A.決定系數(shù)變大 B.樣本相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值更趨近于0C.殘差的平方和變大 D.解釋變量與響應(yīng)變量的相關(guān)性變強(qiáng)【答案】BC【解析】由圖可知：增加2組數(shù)據(jù)后，回歸效果變差，所以決定系數(shù)變小，線性相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值變小，殘差的平方和變大，解釋變量與響應(yīng)變量的相關(guān)性變?nèi)?故選：BC10.已知函數(shù)，則（）A.函數(shù)為偶函數(shù) B.函數(shù)在上單調(diào)遞增C.函數(shù)在上有4個(gè)極大值點(diǎn) D.函數(shù)的最大值為3【答案】AC【解析】對(duì)A：因?yàn)椋院瘮?shù)為偶函數(shù)，故A正確；對(duì)B：當(dāng)時(shí)，，所以，由，即；由.所以函數(shù)在上遞增，在上遞減，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：當(dāng)時(shí)，，，由；由.所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.結(jié)合B的結(jié)論，在上，函數(shù)有和兩個(gè)極大值點(diǎn)，又函數(shù)為偶函數(shù)，所以函數(shù)在上有4個(gè)極大值點(diǎn)，故C正確；對(duì)D：當(dāng)時(shí)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，在上，因?yàn)?，，所以函?shù)的最大值為，當(dāng)時(shí)，，所以；當(dāng)時(shí)，，所以.所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為.又時(shí)，.所以時(shí)，函數(shù)的最大值為.又函數(shù)為偶函數(shù)，所以在上，函數(shù)的最大值為.故D錯(cuò)誤.故選：AC11.已知二次曲線，為坐標(biāo)原點(diǎn)，下列說法正確的是（）A.的圖象關(guān)于軸對(duì)稱B.若，則存在實(shí)數(shù)，使得圓與恰好有3個(gè)公共點(diǎn)C.若在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸圍成圖形的面積最大值為8D.點(diǎn)為上動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為【答案】ABD【解析】對(duì)于A，設(shè)點(diǎn)滿足方程，那么也滿足方程，即的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，故A正確；對(duì)于B，，聯(lián)立，得，即，若存實(shí)數(shù)，使得圓與恰好有3個(gè)公共點(diǎn)，首先關(guān)于的一元二次方程必定有兩個(gè)不同的根，必然要滿足才行，不妨設(shè)這三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)前面的表述可知，，從而有，即，注意到，從而，若，此時(shí)，若，此時(shí)，所以無論如何，若，總存在實(shí)數(shù)或，使得圓與恰好有3個(gè)公共點(diǎn)，故B正確；對(duì)于C，，對(duì)求導(dǎo)得，，所以在點(diǎn)處的切線的方程為，它與坐標(biāo)軸的兩個(gè)交點(diǎn)依次為，故所求面積表達(dá)式為，注意到，從而，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，如下圖，注意到拋物線頂點(diǎn)，故可設(shè)準(zhǔn)線方程為，從而有，整理得，解得，對(duì)比，可得，解得，從而點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，故，其中當(dāng)且僅當(dāng)重合；當(dāng)時(shí)，同理，如下圖所示，有，其中當(dāng)且僅當(dāng)重合；綜上所述，點(diǎn)為上動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.的展開式中項(xiàng)的系數(shù)為______．（用數(shù)字作答）【答案】【解析】的展開式中項(xiàng)的系數(shù)為.故答案為：.13.已知函數(shù)在上存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的最小值為______．【答案】【解析】由可得，其中，令，其中，所以，實(shí)數(shù)的取值范圍即為函數(shù)在上的值域，則實(shí)數(shù)的最小值即為函數(shù)在上最小值.則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，，因此，實(shí)數(shù)的最小值為.故答案為：.14.新高考數(shù)學(xué)試卷共有3道多項(xiàng)選擇題，每題有個(gè)選項(xiàng)，每題正確選項(xiàng)有2個(gè)或3個(gè)．得分規(guī)則如下：每道題滿分為6分，全部選對(duì)得滿分，有錯(cuò)選或者不選得0分，答案選項(xiàng)為2個(gè)的，只選一個(gè)正確選項(xiàng)得3分，答案選項(xiàng)為3個(gè)的，每選一個(gè)正確選項(xiàng)得2分．現(xiàn)甲，乙，丙，丁四位同學(xué)的作答和總得分情況如下表，則丁同學(xué)的總得分情況為______．甲乙丙丁9題10題11題得分10910【答案】0或12【解析】根據(jù)乙的得分，可知：第9題正確答案有兩個(gè)選項(xiàng)，包含A.第10或11，乙有一個(gè)題選對(duì)，另一題有錯(cuò)選.假設(shè)第10題的答案是ACD，則第11題的答案應(yīng)該不含C或D.此時(shí)：甲和丙在第10題各得4分.若第9題的答案為AB，第11題答案為BC，則甲、乙、丙的得分滿足條件，此時(shí)丁第9、11兩題正確，第10題有錯(cuò)誤選項(xiàng)，共得12分；若第9題答案為AC，第11題答案為AB，則甲、乙、丙的得分滿足條件，此時(shí)丁3個(gè)題都有錯(cuò)誤選項(xiàng)，得0分；假設(shè)第11題正確答案為CD，則甲、并第11題均不得分，此時(shí)甲、并的得分不可能都是10分.故不滿足題意.綜上可得：丁的得分為0或12.故答案為：0或12四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫文字說明，證明過程或演算步驟.15.某學(xué)校對(duì)高中生體質(zhì)健康調(diào)研，隨機(jī)抽取100名學(xué)生的體重（單位：kg）得到如下頻數(shù)分布表：分組頻數(shù)525402010（1）估計(jì)樣本的中位數(shù)；（2）從樣本和中按分層抽樣抽取學(xué)生6人，再從這6人中隨機(jī)抽取3人，其中體重在，的人數(shù)分別為，記，求的分布列及期望．解：（1），，故樣本的中位數(shù)落在內(nèi)，又，故中位數(shù)為；（2）和的人數(shù)比為，分層抽樣抽取學(xué)生6人中，和的人數(shù)分別為和，故這6人中隨機(jī)抽取3人，的可能取值為3,2,1，對(duì)應(yīng)的的取值為，所以的可能取值為，，，，故分布列為31-1期望為.16.如圖，在三棱柱中，、分別為、的中點(diǎn)，、均為等邊三角形，平面平面，（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值．（1）證明：取線段的中點(diǎn)，連接、，如下圖所示：因?yàn)?、分別為、的中點(diǎn)，所以，，在三棱柱中，，，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，，故，，所以四邊形為平行四邊形，故，因平面，平面，所以平面.（2）解：取線段的中點(diǎn)，連接、，因?yàn)椤⒕鶠榈冗吶切?，且為的中點(diǎn)，所以，，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則、、、、、、，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，，則，取，可得，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，，則，取，可得，所以，，因此，平面與平面夾角的余弦值為.17.已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為為中點(diǎn)，．（1）證明：為等腰三角形；（2）若的面積，求；（3）若，求周長的最小值．（1）證明：根據(jù)正弦定理：.再由余弦定理：，所以，所以或即.因?yàn)椴怀闪ⅲ灾挥?所以為等腰三角形.（2）解：如圖：設(shè)，則，所以，又，所以，又為銳角，所以.所以.（3