高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1天津市河西區(qū)2025屆高三下學(xué)期總復(fù)習(xí)質(zhì)量調(diào)查二(二模)數(shù)學(xué)試題一.選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】集合，，則.故選：B.2.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】易知不等式的解集為，不等式的解集也為，所以“”是“”的充分必要條件.故選：C3.設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】易知，即；而，即；又，因此，所以.故選：D4.某大型企業(yè)開發(fā)了一款新產(chǎn)品，投放市場(chǎng)后供不應(yīng)求，為了達(dá)到產(chǎn)量最大化，決定增加生產(chǎn)線．經(jīng)過一段時(shí)間的生產(chǎn)，統(tǒng)計(jì)得該款新產(chǎn)品的生產(chǎn)線條數(shù)與月產(chǎn)量（件）之間的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：4681030406070由數(shù)據(jù)可知，線性相關(guān)，且滿足回歸直線方程，則當(dāng)該款新產(chǎn)品的生產(chǎn)線為12條時(shí)，預(yù)計(jì)月產(chǎn)量為（）A.73件 B.79件 C.85件 D.90件【答案】C【解析】依題意可得，，因?yàn)榛貧w直線方程必過樣本中心點(diǎn)，即，解得，所以，當(dāng)時(shí)，故當(dāng)該款新產(chǎn)品的生產(chǎn)線為12條時(shí)，預(yù)計(jì)月產(chǎn)量為85件.故選：C5.記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和．若，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由得，可得，所以，，所以，.故選：C.6.已知函數(shù)是偶函數(shù)，且，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，且，則，故.故選：D.7.已知、是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，且的最小值為，若將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后得到的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)的解析式可能是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由題意可知，函數(shù)的最小正周期為，所以，所以，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后得到的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，可得出函數(shù)為奇函數(shù)，所以，，解得，A選項(xiàng)合乎題意.故選：A.8.已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過作直線分別交雙曲線的左、右兩支于，兩點(diǎn)，滿足，且，，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，得，即，又，得為的中點(diǎn)，則，又，于是為等邊三角形，設(shè)的邊長(zhǎng)為，由雙曲線定義知，，，則，，又，則，解得，在中，由余弦定理得，即，得，，，所以雙曲線的漸近線方程為.故選：A9.在正四棱錐中，底面四邊形是邊長(zhǎng)為的正方形，當(dāng)該正四棱錐的外接球半徑與內(nèi)切球半徑之比最小時(shí)，則該正四棱錐的體積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)正四棱錐的高為，設(shè)，連接，則平面，設(shè)該正四棱錐的外接球球心為，則在直線上，取的中點(diǎn)，連接、，對(duì)外接球，解得：，對(duì)內(nèi)切球：，故四棱錐表面積，由體積法：，所以，令，則，進(jìn)而，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取最小值，此時(shí).因此，該正四棱錐的體積為.故選：B.二.填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.試題中包含兩個(gè)空的，答對(duì)1個(gè)的給3分，全部答對(duì)的給5分.10.是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則______.【答案】【解析】由條件可知，.故答案為：11.在的展開式中，偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為128，則常數(shù)項(xiàng)為______.【答案】【解析】由條件可知，，則，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，令，得，所以常數(shù)項(xiàng)為.故答案為：12.已知拋物線的焦點(diǎn)為，圓：，過點(diǎn)作直線與圓交于兩點(diǎn)，且為的中點(diǎn)，則直線的方程為______.【答案】【解析】易知拋物線的焦點(diǎn)為，將圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程，圓心，半徑，如下圖所示：若為的中點(diǎn)，結(jié)合圓的性質(zhì)可知，易知，所以直線的斜率為，因此直線的方程為，即.故答案為：13.已知甲袋中裝有個(gè)紅球，個(gè)白球；乙袋中裝有個(gè)紅球，個(gè)白球，兩個(gè)袋子均不透明，其中的小球除顏色外完全一致.現(xiàn)從兩袋中各隨機(jī)取出一個(gè)球，若兩個(gè)球同色，則將取出的兩個(gè)球全部放入甲袋中；若兩個(gè)球不同色，則將取出的兩個(gè)球全部放入乙袋中，每次取球互不影響.按上述方法操作一次，在甲袋中恰有個(gè)小球的條件下，當(dāng)時(shí)從甲袋中取出的是紅球的概率是______；按上述方法重復(fù)操作兩次后，乙袋中恰有個(gè)小球的概率是______.【答案】①.②.【解析】記住事件甲袋中恰有個(gè)小球，事件從甲袋中取出的是紅球，則，，由條件概率公式可得；根據(jù)題意，若乙袋中恰有個(gè)小球，則兩次操作后，取出的兩球是同色的，有種情況：（i）第一次都取出紅球，第二次都取出紅球，其概率為；（ii）第一次都取出紅球，第二次都取出白球，其概率為；（iii）第一次都取出白球，第二次都取出紅球，其概率為；（iv）第一次都取出白球，第二次都取出白球，其概率為.因此，重復(fù)操作兩次后，乙袋中恰好有個(gè)小球的概率為.故答案為：；.14.在平行四邊形中，，，，四邊形面積為6，則的最小值為______；當(dāng)在上的投影向量為時(shí)，______.【答案】①.②.【解析】由條件可知，,，所以，所以，，，，，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為；在上的投影向量為，則，即,因?yàn)?，所以，得，，則.故答案為：；.15.已知函數(shù)有四個(gè)不同的零點(diǎn)，且，則的取值范圍是______.【答案】【解析】由題意可知，由可得，可得，所以，直線與函數(shù)的圖象有四個(gè)交點(diǎn)，如下圖所示：由可得或，結(jié)合圖象可知，、為方程的兩根，即方程的兩根，，由韋達(dá)定理可得，，因?yàn)?，則，、為方程的兩根，即方程的兩根，，可得，故，由韋達(dá)定理可得，，因?yàn)?，所以，所以，令，，所以，?duì)任意的，，則，即對(duì)任意的恒成立，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，，故當(dāng)時(shí)，，因此，的取值范圍是.故答案為：.三、解答題：本大題共5小題，共75分、解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.16.在三角形中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知（1）求；（2）若（i）求；（ii）求.解：（1）因?yàn)椋杂烧叶ɡ淼?，即，又，則，所以.（2）（i）由（1）可得，若，則由正弦定理得即，所以.（ii）因?yàn)?，，，所以，故，所以，所?17.如圖，在五面體中，平面，，，，，，，，分別為，的中點(diǎn)，連接，，.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的大?。唬?）線段上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，求點(diǎn)到平面的距離；若不存在，說明理由.（1）證明：如圖，以為原點(diǎn)，分別以，，方向?yàn)檩S、軸、軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，由題意可得，，，，，，，，，因?yàn)?，，所以，又，分別為，的中點(diǎn)，所以，，，，四點(diǎn)共面，設(shè)平面的一個(gè)法向量，，，由，即，令，，，所以，，易知，所以平面.（2）解：易知，由（1）知平面的法向量，設(shè)直線與平面所成角為，則，又，∴，所以直線與平面所成角的大小為.（3）解：設(shè)，，所以，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量，，，由，即，令，，，所以，則，因?yàn)槠矫?，所以，解得，所以，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，，，則，所以點(diǎn)到平面的距離為.18.已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)和兩個(gè)頂點(diǎn)四點(diǎn)共圓，且與直線相切.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)作斜率為的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，線段的垂直平分線交軸于點(diǎn)為，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，若四邊形為正方形，求的值.解：（1）因?yàn)闄E圓的兩個(gè)焦點(diǎn)和兩個(gè)頂點(diǎn)四點(diǎn)共圓，所以，則，所以橢圓的方程為，由消去，得，因?yàn)闄E圓與直線相切，所以令，解得，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，的中點(diǎn)為，聯(lián)立消去，得，，由韋達(dá)定理得，，所以，代入，解得，故線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以線段的垂直平分線的方程為，令，解得，即，因?yàn)榫€段和線段互相垂直平分，所以四邊形為菱形，要使四邊形為正方形，需滿足，所以,即，解得，則的值為.19.已知數(shù)列為等差數(shù)列或等比數(shù)列，前項(xiàng)和為，且滿足，.（1）當(dāng)數(shù)列為等差數(shù)列時(shí)，求的通項(xiàng)公式及；（2）當(dāng)在單調(diào)遞增時(shí)，設(shè)，求的值；（3）當(dāng)數(shù)列為等比數(shù)列且為擺動(dòng)數(shù)列時(shí)，設(shè)，求的最大值和最小值.解：（1）假設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意得，所以，所以，.（2）當(dāng)數(shù)列為等差數(shù)列時(shí)，由（1）知，顯然在不單調(diào)；當(dāng)數(shù)列為等比數(shù)列時(shí)，假設(shè)公比為，，解得或，當(dāng)時(shí)，，易知單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，易知在不單調(diào)，所以，所以，.（3）當(dāng)數(shù)列為等比數(shù)列時(shí)，由（2）知或，又為擺動(dòng)數(shù)列，所以，，所以，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，單調(diào)遞減，，當(dāng)時(shí)取得最大值1，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，單調(diào)遞增，，當(dāng)時(shí)取得最小值，所以的最大值為1，最小值為.20.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；（2）討論的單調(diào)性；（3）已知，證明：（其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.（1）解：當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，切線方程為，整理得，所以曲線在處的切線方程為.（2）解：函數(shù)的定義域?yàn)椋?，?duì)于關(guān)于的方程，有，當(dāng)時(shí)，，則恒成立，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，方程有兩根，，若，則，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減；若，則，當(dāng)和時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；即在與上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在與上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（3）證明：要證，即證，因?yàn)?，，所以，?dāng)時(shí)，不等式顯然成立；當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，則，所以只需證，即證，令，，則，由得；由，得，則在上為單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故；令，，則，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上為單調(diào)遞減，在上為單調(diào)遞增，所以，所以恒成立，即.天津市河西區(qū)2025屆高三下學(xué)期總復(fù)習(xí)質(zhì)量調(diào)查二(二模)數(shù)學(xué)試題一.選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】集合，，則.故選：B.2.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】易知不等式的解集為，不等式的解集也為，所以“”是“”的充分必要條件.故選：C3.設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】易知，即；而，即；又，因此，所以.故選：D4.某大型企業(yè)開發(fā)了一款新產(chǎn)品，投放市場(chǎng)后供不應(yīng)求，為了達(dá)到產(chǎn)量最大化，決定增加生產(chǎn)線．經(jīng)過一段時(shí)間的生產(chǎn)，統(tǒng)計(jì)得該款新產(chǎn)品的生產(chǎn)線條數(shù)與月產(chǎn)量（件）之間的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：4681030406070由數(shù)據(jù)可知，線性相關(guān)，且滿足回歸直線方程，則當(dāng)該款新產(chǎn)品的生產(chǎn)線為12條時(shí)，預(yù)計(jì)月產(chǎn)量為（）A.73件 B.79件 C.85件 D.90件【答案】C【解析】依題意可得，，因?yàn)榛貧w直線方程必過樣本中心點(diǎn)，即，解得，所以，當(dāng)時(shí)，故當(dāng)該款新產(chǎn)品的生產(chǎn)線為12條時(shí)，預(yù)計(jì)月產(chǎn)量為85件.故選：C5.記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和．若，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由得，可得，所以，，所以，.故選：C.6.已知函數(shù)是偶函數(shù)，且，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，且，則，故.故選：D.7.已知、是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，且的最小值為，若將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后得到的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)的解析式可能是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由題意可知，函數(shù)的最小正周期為，所以，所以，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后得到的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，可得出函數(shù)為奇函數(shù)，所以，，解得，A選項(xiàng)合乎題意.故選：A.8.已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過作直線分別交雙曲線的左、右兩支于，兩點(diǎn)，滿足，且，，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，得，即，又，得為的中點(diǎn)，則，又，于是為等邊三角形，設(shè)的邊長(zhǎng)為，由雙曲線定義知，，，則，，又，則，解得，在中，由余弦定理得，即，得，，，所以雙曲線的漸近線方程為.故選：A9.在正四棱錐中，底面四邊形是邊長(zhǎng)為的正方形，當(dāng)該正四棱錐的外接球半徑與內(nèi)切球半徑之比最小時(shí)，則該正四棱錐的體積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)正四棱錐的高為，設(shè)，連接，則平面，設(shè)該正四棱錐的外接球球心為，則在直線上，取的中點(diǎn)，連接、，對(duì)外接球，解得：，對(duì)內(nèi)切球：，故四棱錐表面積，由體積法：，所以，令，則，進(jìn)而，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取最小值，此時(shí).因此，該正四棱錐的體積為.故選：B.二.填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.試題中包含兩個(gè)空的，答對(duì)1個(gè)的給3分，全部答對(duì)的給5分.10.是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則______.【答案】【解析】由條件可知，.故答案為：11.在的展開式中，偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為128，則常數(shù)項(xiàng)為______.【答案】【解析】由條件可知，，則，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，令，得，所以常數(shù)項(xiàng)為.故答案為：12.已知拋物線的焦點(diǎn)為，圓：，過點(diǎn)作直線與圓交于兩點(diǎn)，且為的中點(diǎn)，則直線的方程為______.【答案】【解析】易知拋物線的焦點(diǎn)為，將圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程，圓心，半徑，如下圖所示：若為的中點(diǎn)，結(jié)合圓的性質(zhì)可知，易知，所以直線的斜率為，因此直線的方程為，即.故答案為：13.已知甲袋中裝有個(gè)紅球，個(gè)白球；乙袋中裝有個(gè)紅球，個(gè)白球，兩個(gè)袋子均不透明，其中的小球除顏色外完全一致.現(xiàn)從兩袋中各隨機(jī)取出一個(gè)球，若兩個(gè)球同色，則將取出的兩個(gè)球全部放入甲袋中；若兩個(gè)球不同色，則將取出的兩個(gè)球全部放入乙袋中，每次取球互不影響.按上述方法操作一次，在甲袋中恰有個(gè)小球的條件下，當(dāng)時(shí)從甲袋中取出的是紅球的概率是______；按上述方法重復(fù)操作兩次后，乙袋中恰有個(gè)小球的概率是______.【答案】①.②.【解析】記住事件甲袋中恰有個(gè)小球，事件從甲袋中取出的是紅球，則，，由條件概率公式可得；根據(jù)題意，若乙袋中恰有個(gè)小球，則兩次操作后，取出的兩球是同色的，有種情況：（i）第一次都取出紅球，第二次都取出紅球，其概率為；（ii）第一次都取出紅球，第二次都取出白球，其概率為；（iii）第一次都取出白球，第二次都取出紅球，其概率為；（iv）第一次都取出白球，第二次都取出白球，其概率為.因此，重復(fù)操作兩次后，乙袋中恰好有個(gè)小球的概率為.故答案為：；.14.在平行四邊形中，，，，四邊形面積為6，則的最小值為______；當(dāng)在上的投影向量為時(shí)，______.【答案】①.②.【解析】由條件可知，,，所以，所以，，，，，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為；在上的投影向量為，則，即,因?yàn)椋?，得，，則.故答案為：；.15.已知函數(shù)有四個(gè)不同的零點(diǎn)，且，則的取值范圍是______.【答案】【解析】由題意可知，由可得，可得，所以，直線與函數(shù)的圖象有四個(gè)交點(diǎn)，如下圖所示：由可得或，結(jié)合圖象可知，、為方程的兩根，即方程的兩根，，由韋達(dá)定理可得，，因?yàn)?，則，、為方程的兩根，即方程的兩根，，可得，故，由韋達(dá)定理可得，，因?yàn)?，所以，所以，令，，所以，?duì)任意的，，則，即對(duì)任意的恒成立，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，，故當(dāng)時(shí)，，因此，的取值范圍是.故答案為：.三、解答題：本大題共5小題，共75分、解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.16.在三角形中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知（1）求；（2）若（i）求；（ii）求.解：（1）因?yàn)椋杂烧叶ɡ淼?，即，又，則，所以.（2）（i）由（1）可得，若，則由正弦定理得即，所以.（ii）因?yàn)?，，，所以，故，所以，所?17.如圖，在五面體中，平面，，，，，，，，分別為，的中點(diǎn)，連接，，.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的大??；（3）線段上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，求點(diǎn)到平面的距離；若不存在，說明理由.（1）證明：如圖，以為原點(diǎn)，分別以，，方向?yàn)檩S、軸、軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，由題意可得，，，，，，，，，因?yàn)?，，所以，又，分別為，的中點(diǎn)，所以，，，，四點(diǎn)共面，設(shè)平面的一個(gè)法向量，，，由，即，令，，，所以，，易知，所以平面.（2）解：易知，由（1）知平面的法向量，設(shè)直線與平面所成角為，則，又，∴，所以直線與平面所成角的大小為.（3）解：設(shè)，，所以，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量，，，由，即，令，，，所以，則，因?yàn)槠矫?，所以，解得，所以，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，，，則，所以點(diǎn)到平面的距離為.18.已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)和兩個(gè)頂點(diǎn)四點(diǎn)共圓，且與直線相切.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)作斜率為的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，線段的垂直平分線交軸于點(diǎn)為，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，若四邊形為正方形，求的值.解：（1）因?yàn)闄E圓的兩個(gè)焦點(diǎn)和兩個(gè)頂點(diǎn)四點(diǎn)共圓，所以，則，所以橢圓的方程為，由消去，得，因?yàn)闄E圓與直線相切，所以令，解得，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，的中點(diǎn)為，聯(lián)立消去，得，，由韋達(dá)定理得，，