高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1天津市南開區(qū)2025屆高三二模數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，，所以．故選：B2.已知，則“”是“”的（）．A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】，即，，解得或；故當(dāng)時，可以推出；當(dāng)，推不出；故“”是“”的充分不必要條件.故選：A.3.函數(shù)的部分圖象大致為（）．A. B.C. D.【答案】D【解析】的定義域為，則，所以為奇函數(shù)，故排除BC，令，則或，則或，解得：或，所以當(dāng)時，的最小為1，則，故A錯誤，D正確.故選：D.4.已知，則（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】由，，所以滿足，故選：C.5.某中學(xué)三個不同選課組合的學(xué)生在一次高三質(zhì)量監(jiān)測的數(shù)學(xué)平均分分別為，若按不同選課組合采用分層抽樣的方法抽取了一個120人的樣本，抽到三個不同選課組合的學(xué)生人數(shù)分別為20，40，60，則估計這三個不同選課組合學(xué)生的數(shù)學(xué)平均分為（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】因為三個不同選課組合的學(xué)生人數(shù)分別為20，40，60，所以三個不同選課組合的學(xué)生的人數(shù)的比列分別為：，所以估計這三個不同選課組合學(xué)生的數(shù)學(xué)平均分為.故選：C.6.函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的單調(diào)遞增區(qū)間為（）．A. B.C. D.【答案】A【解析】由圖可得：周期，所以，代入最低點得：，可得：，解得，所以有，再由，解得，故函數(shù)的增區(qū)間為，故選：A.7.若數(shù)列滿足，且則的前2025項的和為（）．A.1350 B.1352 C.2025 D.2026【答案】B【解析】由題意可得，因為，所以，因為，所以，因為，所以，因為，所以，，所以數(shù)列從第二項起是以1，1，0為周期的數(shù)列，則.故選：B8.已知雙曲線的兩個焦點分別為是漸近線上一點，當(dāng)取最小值時，，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根據(jù)題意如圖：點，其中一條漸近線為即，所以的最小值為點到直線的距離，所以，因為為直角三角形，所以，在中，，即，∵，∴，∴，即的離心率為，故選：D.9.如圖所示，體積為的半圓柱的軸截面為平面是圓柱底面的直徑，為底面的圓心，為一條母線，點為棱的中點，且和的弧長為．則三棱錐的體積為（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)中點為，中點為，以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖：由題：，又弧長為，所以，所以，設(shè)平面的法向量為，則即，令，則，取，則E到面距離為，又，所以三棱錐的體積為，故選：C.二、填空題：本大題共6個小題，每小題5分，共30分.試題中包含兩個空的，答對1個的給3分，全部答對的給5分.10.是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)滿足，則_____．【答案】【解析】∵，∴，故答案為：.11.在的展開式中，的系數(shù)為_____．【答案】15【解析】展開式通項公式為，令，解得，，故的系數(shù)為15.故答案為：1512.已知拋物線的焦點為，傾斜角為的直線過點．若與相交于兩點，則以為直徑的圓被軸截得的弦長為_____．【答案】【解析】因為拋物線的焦點為，所以，解得，則拋物線，直線的方程為，由，則，顯然，所以，故，所以以為直徑的圓的圓心的縱坐標(biāo)為，半徑為，故以為直徑的圓被軸截得的弦長為.故答案為：13.甲、乙兩個袋子中各有10個除顏色外完全相同的小球，其中甲袋中有7個紅球，3個黃球，乙袋中有8個紅球，2個黃球．若從兩個袋子中各任取1個球，則都取到紅球的概率為_____；若從兩個袋子中各任取1個球，兩球顏色不同的條件下，乙袋中取出黃球的概率為_____．【答案】①.②.【解析】設(shè)事件表示“從甲袋中取到紅球”，事件表示“從乙袋中取到紅球”，甲袋中有個紅球，個球，所以；乙袋中有個紅球，個球，所以.因為從甲、乙兩袋中取球相互獨立，所以“都取到紅球”即與同時發(fā)生，根據(jù)相互獨立事件的概率乘法公式可得.設(shè)事件表示“兩球顏色不同”，事件表示“乙袋中取出黃球”.先求：兩球顏色不同有“甲紅乙黃”和“甲黃乙紅”兩種情況.“甲紅乙黃”的概率；“甲黃乙紅”的概率.根據(jù)互斥事件概率加法公式，.“兩球顏色不同且乙袋中取出黃球”即“甲紅乙黃”，.根據(jù)條件概率公式，可得.故答案為：；.14.在梯形中，，，，記，，用和表示_____；若點為上一動點，則的最大值為_____．【答案】①.②.【解析】因為，所以，；因為，，又，即可得，設(shè)，則，，當(dāng)時有最大值，故答案為：；.15.已知函數(shù)的圖象與直線有三個交點，則實數(shù)的取值范圍是_____．【答案】【解析】，即，當(dāng)，，，所以不是交點橫坐標(biāo)；當(dāng)時，，即，令，則，所以的圖象與有3個交點，即函數(shù)與的圖象有3個交點，函數(shù)恒過點，當(dāng)，即，，即，解得或，當(dāng)，解得或，所以函數(shù)與相切時的最小值為或，由圖象可知當(dāng)（1）時，即；（2），即時函數(shù)與的圖象有3個交點，綜上：當(dāng)時，的圖象與有3個交點，故答案為：.三、解答題：本大題共5題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.16.在中，角的對邊分別為．已知．（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值．解：（1）因為，由正弦定理可得，整理得，由余弦定理可得，又，故．（2）由（1）知，又，得，由正弦定理可得，又，解得．（3）因為，所以，故．所以．所以．17.如圖，在幾何體中，四邊形為邊長為2正方形，四邊形和四邊形為矩形，且為棱上一點．（1）求證：；（2）當(dāng)點為棱的中點時，求點到平面的距離；（3）當(dāng)時，求平面與平面夾角的余弦值．（1）證明：由題設(shè)可知，，平面，所以平面．以為坐標(biāo)原點，所在直線分別為，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則．設(shè)，則，又，有，故，所以．（2）解：依題意，，，，，設(shè)為平面的一個法向量，則由得令，則，從而．設(shè)點到平面的距離為，則．（3）當(dāng)時，，設(shè)為平面的一個法向量，則由得令，則，從而．顯然平面的一個法向量為，設(shè)平面與平面夾角為，則．18.已知等差數(shù)列的前項和為．（1）求的通項公式；（2）記，其中為二項式系數(shù)．（?。┣髷?shù)列的前項和；（ⅱ）求．解：（1）設(shè)首項為，公差為，由題意得解得，所以．（2）（?。┯桑?）知，因為，所以，所以．所以，所以．（ⅱ）因為，所以．19.已知橢圓的左、右焦點分別是為上一點，且在中，．（1）求橢圓的方程；（2）過點直線與橢圓交于兩點（點在點的上方），線段上存在點，使得，求的最小值．解：（1）設(shè)，依題意，，解得，從而，因此，由勾股定理可得．所以，可得．所以求橢圓的方程為.（2）設(shè)，當(dāng)直線的斜率存在時，，由，可得，解得．（*）設(shè)直線，聯(lián)立整理可得，由，整理可得：，解得或，且，代入（*）整理可得，代入直線的方程，得，可得．當(dāng)直線的斜率不存在時，，則，由，得，也滿足方程，所以點在直線（在橢圓內(nèi)部）上．設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為，則解得，所以，此時點在橢圓內(nèi)，符合題意，所以的最小值為.20.已知函數(shù).（1）求曲線在處的切線方程；（2）若恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（3）解關(guān)于的不等式（其中為的導(dǎo)數(shù)）.解：（1），可得，又，所以曲線在點處的切線方程為.（2）當(dāng)時，，，所以，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，令，因為，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，所以在上單調(diào)遞增，所以，若恒成立，則，整理得，解得或.（3）由得，即，當(dāng)時，，不等式成立；當(dāng)時，，不等式化為，當(dāng)時，不等式的左邊右邊，所以，①當(dāng)時，令，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，即，令，則單調(diào)遞減；單調(diào)遞增，所以，所以，故，②當(dāng)時，不等式化為，令，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，由，得，所以不等式成立，綜上，不等式的解集為.天津市南開區(qū)2025屆高三二模數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，，所以．故選：B2.已知，則“”是“”的（）．A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】，即，，解得或；故當(dāng)時，可以推出；當(dāng)，推不出；故“”是“”的充分不必要條件.故選：A.3.函數(shù)的部分圖象大致為（）．A. B.C. D.【答案】D【解析】的定義域為，則，所以為奇函數(shù)，故排除BC，令，則或，則或，解得：或，所以當(dāng)時，的最小為1，則，故A錯誤，D正確.故選：D.4.已知，則（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】由，，所以滿足，故選：C.5.某中學(xué)三個不同選課組合的學(xué)生在一次高三質(zhì)量監(jiān)測的數(shù)學(xué)平均分分別為，若按不同選課組合采用分層抽樣的方法抽取了一個120人的樣本，抽到三個不同選課組合的學(xué)生人數(shù)分別為20，40，60，則估計這三個不同選課組合學(xué)生的數(shù)學(xué)平均分為（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】因為三個不同選課組合的學(xué)生人數(shù)分別為20，40，60，所以三個不同選課組合的學(xué)生的人數(shù)的比列分別為：，所以估計這三個不同選課組合學(xué)生的數(shù)學(xué)平均分為.故選：C.6.函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的單調(diào)遞增區(qū)間為（）．A. B.C. D.【答案】A【解析】由圖可得：周期，所以，代入最低點得：，可得：，解得，所以有，再由，解得，故函數(shù)的增區(qū)間為，故選：A.7.若數(shù)列滿足，且則的前2025項的和為（）．A.1350 B.1352 C.2025 D.2026【答案】B【解析】由題意可得，因為，所以，因為，所以，因為，所以，因為，所以，，所以數(shù)列從第二項起是以1，1，0為周期的數(shù)列，則.故選：B8.已知雙曲線的兩個焦點分別為是漸近線上一點，當(dāng)取最小值時，，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根據(jù)題意如圖：點，其中一條漸近線為即，所以的最小值為點到直線的距離，所以，因為為直角三角形，所以，在中，，即，∵，∴，∴，即的離心率為，故選：D.9.如圖所示，體積為的半圓柱的軸截面為平面是圓柱底面的直徑，為底面的圓心，為一條母線，點為棱的中點，且和的弧長為．則三棱錐的體積為（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)中點為，中點為，以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖：由題：，又弧長為，所以，所以，設(shè)平面的法向量為，則即，令，則，取，則E到面距離為，又，所以三棱錐的體積為，故選：C.二、填空題：本大題共6個小題，每小題5分，共30分.試題中包含兩個空的，答對1個的給3分，全部答對的給5分.10.是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)滿足，則_____．【答案】【解析】∵，∴，故答案為：.11.在的展開式中，的系數(shù)為_____．【答案】15【解析】展開式通項公式為，令，解得，，故的系數(shù)為15.故答案為：1512.已知拋物線的焦點為，傾斜角為的直線過點．若與相交于兩點，則以為直徑的圓被軸截得的弦長為_____．【答案】【解析】因為拋物線的焦點為，所以，解得，則拋物線，直線的方程為，由，則，顯然，所以，故，所以以為直徑的圓的圓心的縱坐標(biāo)為，半徑為，故以為直徑的圓被軸截得的弦長為.故答案為：13.甲、乙兩個袋子中各有10個除顏色外完全相同的小球，其中甲袋中有7個紅球，3個黃球，乙袋中有8個紅球，2個黃球．若從兩個袋子中各任取1個球，則都取到紅球的概率為_____；若從兩個袋子中各任取1個球，兩球顏色不同的條件下，乙袋中取出黃球的概率為_____．【答案】①.②.【解析】設(shè)事件表示“從甲袋中取到紅球”，事件表示“從乙袋中取到紅球”，甲袋中有個紅球，個球，所以；乙袋中有個紅球，個球，所以.因為從甲、乙兩袋中取球相互獨立，所以“都取到紅球”即與同時發(fā)生，根據(jù)相互獨立事件的概率乘法公式可得.設(shè)事件表示“兩球顏色不同”，事件表示“乙袋中取出黃球”.先求：兩球顏色不同有“甲紅乙黃”和“甲黃乙紅”兩種情況.“甲紅乙黃”的概率；“甲黃乙紅”的概率.根據(jù)互斥事件概率加法公式，.“兩球顏色不同且乙袋中取出黃球”即“甲紅乙黃”，.根據(jù)條件概率公式，可得.故答案為：；.14.在梯形中，，，，記，，用和表示_____；若點為上一動點，則的最大值為_____．【答案】①.②.【解析】因為，所以，；因為，，又，即可得，設(shè)，則，，當(dāng)時有最大值，故答案為：；.15.已知函數(shù)的圖象與直線有三個交點，則實數(shù)的取值范圍是_____．【答案】【解析】，即，當(dāng)，，，所以不是交點橫坐標(biāo)；當(dāng)時，，即，令，則，所以的圖象與有3個交點，即函數(shù)與的圖象有3個交點，函數(shù)恒過點，當(dāng)，即，，即，解得或，當(dāng)，解得或，所以函數(shù)與相切時的最小值為或，由圖象可知當(dāng)（1）時，即；（2），即時函數(shù)與的圖象有3個交點，綜上：當(dāng)時，的圖象與有3個交點，故答案為：.三、解答題：本大題共5題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.16.在中，角的對邊分別為．已知．（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值．解：（1）因為，由正弦定理可得，整理得，由余弦定理可得，又，故．（2）由（1）知，又，得，由正弦定理可得，又，解得．（3）因為，所以，故．所以．所以．17.如圖，在幾何體中，四邊形為邊長為2正方形，四邊形和四邊形為矩形，且為棱上一點．（1）求證：；（2）當(dāng)點為棱的中點時，求點到平面的距離；（3）當(dāng)時，求平面與平面夾角的余弦值．（1）證明：由題設(shè)可知，，平面，所以平面．以為坐標(biāo)原點，所在直線分別為，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則．設(shè)，則，又，有，故，所以．（2）解：依題意，，，，，設(shè)為平面的一個法向量，則由得令，則，從而．設(shè)點到平面的距離為，則．（3）當(dāng)時，，設(shè)為平面的一個法向量，則由得令，則，從而．顯然平面的一個法向量為，設(shè)平面與平面夾角為，則．18.已知等差數(shù)列的前項和為．（1）求的通項公式；（2）記，