高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1浙江省強(qiáng)基聯(lián)盟2025屆高三三模數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，因函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則則，又，則.故選：A2.若復(fù)數(shù)z滿足，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題可得，則.故選：C.3.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，，則（）A.17 B.21 C.23 D.27【答案】D【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意得，解得，所以.故選：D.4.設(shè)，則的值為（）A.20 B.－20 C.160 D.－160【答案】D【解析】因?yàn)榈耐?xiàng)為：，令，則，故選：D.5.如圖是函數(shù)的圖象，則的值為（）A. B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】由三角函數(shù)對(duì)稱性可得，因此，故選：C.6.在棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)P，Q分別為棱，上的動(dòng)點(diǎn)（可與端點(diǎn)重合），若面，則線段的長(zhǎng)度為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如圖在中，，又平面，平面，所以面，因?yàn)辄c(diǎn)P，Q分別為棱，上的動(dòng)點(diǎn)（可與端點(diǎn)重合），面，所以即為，因此，故選：B.7.已知A，B，C是函數(shù)圖象上的三點(diǎn)，A在x軸上，且軸，若，則的值為（）A.0 B.－1 C.－107 D.82【答案】C【解析】令，即，得，所以.設(shè)，（），因軸，所以.又，且遞增，所以，即，根據(jù)運(yùn)算法則得，所以.已知，則.，，.展開(kāi).由，把，代入得，因，所以.則.由，，解方程組，得，.，.所以.故選：C.8.若數(shù)軸上有一個(gè)質(zhì)點(diǎn)位于處，每次運(yùn)動(dòng)它都等可能地向左或向右移動(dòng)一個(gè)單位，已知它在第10次運(yùn)動(dòng)后首次到達(dá)處，則它在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中沒(méi)有重返過(guò)原點(diǎn)的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)第i次向右運(yùn)動(dòng)賦值為，第i次向左運(yùn)動(dòng)賦值為.則10次運(yùn)動(dòng)路徑可以表示為有序數(shù)組，其中，.記10次運(yùn)動(dòng)后首次到達(dá)處的路徑為，則，且，可得且，而故，.由得，不可能全為－1，而，恒成立，因此共有種不同路徑.記10次運(yùn)動(dòng)后首次到達(dá)處且過(guò)程中沒(méi)有重返原點(diǎn)的路徑為，同理可得共有種不同路徑.所以題中所求概率為，故選:B.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知為銳角，若，則下列說(shuō)法正確的有（）A.的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn) B.C. D.若，則【答案】ACD【解析】對(duì)于A，，又為銳角，則，則，則的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，取，則的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，故A正確；對(duì)于B，因，又為銳角，則，則，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，又，則，則，故C正確；對(duì)于D，，故D正確.故選：ACD.10.已知定義在上的可導(dǎo)函數(shù)滿足：，若單調(diào)遞增數(shù)列滿足：則（）A.的通項(xiàng)公式是 B.函數(shù)是增函數(shù)C.可能是等比數(shù)列 D.若，則【答案】BCD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)：若，則，即.但，與題給條件矛盾，故A錯(cuò)誤；求導(dǎo)，單調(diào)遞增，B正確；當(dāng)，時(shí)，滿足所有條件，故C正確；由B可知為增函數(shù)，且為遞增數(shù)列，故，即，得，因此，得，D正確.故選：BCD.11.如圖所示，某游戲闖關(guān)者需從區(qū)域Ⅰ內(nèi)的定點(diǎn)P快速移動(dòng)至區(qū)域Ⅱ內(nèi)的定點(diǎn)Q.兩區(qū)域以直線l為分界線，已知P，Q兩點(diǎn)到直線l的距離分別為1，2，且向量在直線l的方向向量上的投影向量的模長(zhǎng)為3，考慮到兩區(qū)域通行環(huán)境差異，設(shè)定闖關(guān)者在區(qū)域Ⅰ的移動(dòng)速率為a，在區(qū)域Ⅱ中的移動(dòng)速率為b，線段與直線l相交于點(diǎn)A，若圖示折線路徑是耗時(shí)最短的闖關(guān)路線.則下列說(shuō)法正確的有（）A.存在實(shí)數(shù)，使得B.若，則C.D.【答案】ABD【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)辄c(diǎn)A在線段上，所以存在這樣的實(shí)數(shù)，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，分別過(guò)點(diǎn)P，Q作直線l的垂線，垂是分別為C，D，則，，，因此，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)D:設(shè)，顯然只需考慮，闖關(guān)時(shí)間，，而為單調(diào)遞增函數(shù)，因此為單調(diào)遞減函數(shù)，故單調(diào)遞增，由于，,故在上存在唯一零點(diǎn)即為的極小值點(diǎn)，即當(dāng)時(shí)闖關(guān)用時(shí)最短，此時(shí)，可得，即，故D正確；對(duì)于選項(xiàng)C：當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)A右側(cè)時(shí)可得，因此，故C錯(cuò)誤.故選:ABD.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數(shù)為奇函數(shù)，則______.【答案】【解析】因，則，由于有意義，結(jié)合為奇函數(shù)，則，因此，故，則.故答案為：13.設(shè)直線與拋物線C：相交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)F為拋物線C的焦點(diǎn).若，則點(diǎn)F的坐標(biāo)為_(kāi)_____.【答案】【解析】已知直線方程，則.將代入拋物線方程可得：，展開(kāi)并化簡(jiǎn)得：，即.設(shè)，，由韋達(dá)定理可得，.由拋物線的焦半徑公式可知，.已知，則，即.對(duì)進(jìn)行變形可得：，即，即，則.因?yàn)椋?，解?可得焦點(diǎn)的坐標(biāo)為.故答案為：.14.圓臺(tái)內(nèi)有一個(gè)球，與圓臺(tái)的上下底面及所有母線均相切，則圓臺(tái)與球的體積比的取值范圍為_(kāi)_____.【答案】【解析】設(shè)圓臺(tái)軸截面如圖，等腰梯形底角為，上底面半徑為r，下底面半徑為R，高為h，球的半徑為，則圓臺(tái)體積，球體積，已知，.由，得，把代入，，所以.則..則，化簡(jiǎn)得.令，.當(dāng)，；靠近時(shí)，變得很大，趨近正無(wú)窮，所以范圍是，即.故答案為：.四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及演算步驟.15.已知在中，角A，B，C所對(duì)的邊記為a，b，c，設(shè)其外心為O.若.（1）求角A的大小；（2）若，求的面積.解：（1），，由正弦定理得，，由于A，B，，因此（舍去）或，即，又，故.（2）因?yàn)镺是的外心，所以（R為外接圓半徑），，.所以.16.如圖，已知四棱臺(tái)的體積為，底面為等腰梯形，，，，平面，且與相交于點(diǎn)E.（1）證明：；（2）求平面與平面的夾角的余弦值.（1）證明：在等腰梯形中，，由等腰梯形的幾何性質(zhì)可知，所以，，因?yàn)?，由余弦定理可得，即，可得，故，所以，故，又因?yàn)槠矫?，平面，故，因?yàn)?，、平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?（2）解：設(shè)，由（1）可知，且，故，則，所以，，易知梯形梯形，且相似比為，故，由題可知棱臺(tái)的體積為，解得.取的中點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)在平面內(nèi)作，垂足為點(diǎn)，連接，如下圖所示：因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)?，、平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)?，，、平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，故即為平面與平面的夾角.由等腰梯形的幾何性質(zhì)可知，，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，故，，所以，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，故，所以，又因?yàn)椋?，因?yàn)槠矫?，平面，所以，則，所以.因此，平面與平面的夾角的余弦值為.17.如圖，橢圓C：的離心率為，左右焦點(diǎn)分別為，，左右頂點(diǎn)分別為A，B，橢圓上有一動(dòng)點(diǎn)D（異于A，B），點(diǎn)E為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn).直線與直線相交于點(diǎn)M.已知面積有最大值為.（1）當(dāng)點(diǎn)M坐標(biāo)為時(shí)，求；（2）證明：.（1）解：由題意得，，，解得，，故橢圓C的方程為.當(dāng)點(diǎn)M坐標(biāo)為時(shí)，，設(shè)，則.代入橢圓方程得解得或0（舍去），即，又，故.（2）證明：設(shè)直線AD：，與橢圓C方程聯(lián)立得，，又，故，則，，又，故直線的斜率，所以，故.18.在一個(gè)不透明的袋子中放有n個(gè)除顏色外完全相同的小球，其中有m個(gè)紅色球與個(gè)白色球（滿足且n，）.現(xiàn)設(shè)計(jì)如下試驗(yàn)流程：每次從袋中隨機(jī)摸取一球，若為紅色球則定義為“成功”事件，每次“成功”后將對(duì)應(yīng)紅球永久移除；若抽取為白色球則將其放回袋中并重新?lián)u勻，試驗(yàn)持續(xù)至袋中無(wú)紅色球時(shí)終止.（1）當(dāng)，時(shí)，求前兩次摸取過(guò)程中恰發(fā)生一次“成功”事件的概率；（2）設(shè)，若第X次摸取時(shí)試驗(yàn)首次出現(xiàn)“成功”事件，記隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為，試比較與的大?。唬?）基于隨機(jī)變量可加性原理，當(dāng)，時(shí)，設(shè)試驗(yàn)終止時(shí)的累計(jì)抽取次數(shù)為.證明：.（1）解：設(shè)事件第一次摸球“成功”且第二次摸球未“成功”為A，事件第一次摸球未“成功”且第二次摸球“成功”為B.由題意得，，因此.（2）解：，由題意得..（3）證明：設(shè)第次摸球時(shí)試驗(yàn)首次“成功”，且從第次成功后又進(jìn)行了次摸球恰好達(dá)到第k次“成功”，（）可知，記4個(gè)階段內(nèi)每次摸到紅球的概率分別為，，，，則，，，.由（2）可知，，，.因此.19.若連續(xù)函數(shù)滿足在定義域內(nèi)恒成立，則稱為“T函數(shù)”.（1）判斷以下函數(shù)是否為“T函數(shù)”，請(qǐng)說(shuō)明理由.（?。?；（ⅱ）；（ⅲ）.（2）若非常值函數(shù)存在二階導(dǎo)數(shù)，證明：為“T函數(shù)”的充要條件是為常值函數(shù).（3）已知非常值函數(shù)為“T函數(shù)”，且.記為不超過(guò)x的最大整數(shù)，討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性.解：（1）（?。?，故不是“T函數(shù)”；（ii）不恒為0，故不是“T函數(shù)”；（iii）恒成立，故是“T函數(shù)”.（2）由為非常值函數(shù)，得不恒為0.是常值函數(shù)恒成立恒成立為“T函數(shù).（3）由（2）設(shè)（r為正常數(shù)），令，，其中為關(guān)于x的函數(shù)，記為，因此，故恒成立即（c為常數(shù)），因此，，又，得，進(jìn)而解得，故.因此所以函數(shù)可得函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.浙江省強(qiáng)基聯(lián)盟2025屆高三三模數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，因函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則則，又，則.故選：A2.若復(fù)數(shù)z滿足，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題可得，則.故選：C.3.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，，則（）A.17 B.21 C.23 D.27【答案】D【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意得，解得，所以.故選：D.4.設(shè)，則的值為（）A.20 B.－20 C.160 D.－160【答案】D【解析】因?yàn)榈耐?xiàng)為：，令，則，故選：D.5.如圖是函數(shù)的圖象，則的值為（）A. B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】由三角函數(shù)對(duì)稱性可得，因此，故選：C.6.在棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)P，Q分別為棱，上的動(dòng)點(diǎn)（可與端點(diǎn)重合），若面，則線段的長(zhǎng)度為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如圖在中，，又平面，平面，所以面，因?yàn)辄c(diǎn)P，Q分別為棱，上的動(dòng)點(diǎn)（可與端點(diǎn)重合），面，所以即為，因此，故選：B.7.已知A，B，C是函數(shù)圖象上的三點(diǎn)，A在x軸上，且軸，若，則的值為（）A.0 B.－1 C.－107 D.82【答案】C【解析】令，即，得，所以.設(shè)，（），因軸，所以.又，且遞增，所以，即，根據(jù)運(yùn)算法則得，所以.已知，則.，，.展開(kāi).由，把，代入得，因，所以.則.由，，解方程組，得，.，.所以.故選：C.8.若數(shù)軸上有一個(gè)質(zhì)點(diǎn)位于處，每次運(yùn)動(dòng)它都等可能地向左或向右移動(dòng)一個(gè)單位，已知它在第10次運(yùn)動(dòng)后首次到達(dá)處，則它在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中沒(méi)有重返過(guò)原點(diǎn)的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)第i次向右運(yùn)動(dòng)賦值為，第i次向左運(yùn)動(dòng)賦值為.則10次運(yùn)動(dòng)路徑可以表示為有序數(shù)組，其中，.記10次運(yùn)動(dòng)后首次到達(dá)處的路徑為，則，且，可得且，而故，.由得，不可能全為－1，而，恒成立，因此共有種不同路徑.記10次運(yùn)動(dòng)后首次到達(dá)處且過(guò)程中沒(méi)有重返原點(diǎn)的路徑為，同理可得共有種不同路徑.所以題中所求概率為，故選:B.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知為銳角，若，則下列說(shuō)法正確的有（）A.的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn) B.C. D.若，則【答案】ACD【解析】對(duì)于A，，又為銳角，則，則，則的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，取，則的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，故A正確；對(duì)于B，因，又為銳角，則，則，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，又，則，則，故C正確；對(duì)于D，，故D正確.故選：ACD.10.已知定義在上的可導(dǎo)函數(shù)滿足：，若單調(diào)遞增數(shù)列滿足：則（）A.的通項(xiàng)公式是 B.函數(shù)是增函數(shù)C.可能是等比數(shù)列 D.若，則【答案】BCD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)：若，則，即.但，與題給條件矛盾，故A錯(cuò)誤；求導(dǎo)，單調(diào)遞增，B正確；當(dāng)，時(shí)，滿足所有條件，故C正確；由B可知為增函數(shù)，且為遞增數(shù)列，故，即，得，因此，得，D正確.故選：BCD.11.如圖所示，某游戲闖關(guān)者需從區(qū)域Ⅰ內(nèi)的定點(diǎn)P快速移動(dòng)至區(qū)域Ⅱ內(nèi)的定點(diǎn)Q.兩區(qū)域以直線l為分界線，已知P，Q兩點(diǎn)到直線l的距離分別為1，2，且向量在直線l的方向向量上的投影向量的模長(zhǎng)為3，考慮到兩區(qū)域通行環(huán)境差異，設(shè)定闖關(guān)者在區(qū)域Ⅰ的移動(dòng)速率為a，在區(qū)域Ⅱ中的移動(dòng)速率為b，線段與直線l相交于點(diǎn)A，若圖示折線路徑是耗時(shí)最短的闖關(guān)路線.則下列說(shuō)法正確的有（）A.存在實(shí)數(shù)，使得B.若，則C.D.【答案】ABD【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)辄c(diǎn)A在線段上，所以存在這樣的實(shí)數(shù)，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，分別過(guò)點(diǎn)P，Q作直線l的垂線，垂是分別為C，D，則，，，因此，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)D:設(shè)，顯然只需考慮，闖關(guān)時(shí)間，，而為單調(diào)遞增函數(shù)，因此為單調(diào)遞減函數(shù)，故單調(diào)遞增，由于，,故在上存在唯一零點(diǎn)即為的極小值點(diǎn)，即當(dāng)時(shí)闖關(guān)用時(shí)最短，此時(shí)，可得，即，故D正確；對(duì)于選項(xiàng)C：當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)A右側(cè)時(shí)可得，因此，故C錯(cuò)誤.故選:ABD.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數(shù)為奇函數(shù)，則______.【答案】【解析】因，則，由于有意義，結(jié)合為奇函數(shù)，則，因此，故，則.故答案為：13.設(shè)直線與拋物線C：相交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)F為拋物線C的焦點(diǎn).若，則點(diǎn)F的坐標(biāo)為_(kāi)_____.【答案】【解析】已知直線方程，則.將代入拋物線方程可得：，展開(kāi)并化簡(jiǎn)得：，即.設(shè)，，由韋達(dá)定理可得，.由拋物線的焦半徑公式可知，.已知，則，即.對(duì)進(jìn)行變形可得：，即，即，則.因?yàn)?，所以，解?可得焦點(diǎn)的坐標(biāo)為.故答案為：.14.圓臺(tái)內(nèi)有一個(gè)球，與圓臺(tái)的上下底面及所有母線均相切，則圓臺(tái)與球的體積比的取值范圍為_(kāi)_____.【答案】【解析】設(shè)圓臺(tái)軸截面如圖，等腰梯形底角為，上底面半徑為r，下底面半徑為R，高為h，球的半徑為，則圓臺(tái)體積，球體積，已知，.由，得，把代入，，所以.則..則，化簡(jiǎn)得.令，.當(dāng)，；靠近時(shí)，變得很大，趨近正無(wú)窮，所以范圍是，即.故答案為：.四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及演算步驟.15.已知在中，角A，B，C所對(duì)的邊記為a，b，c，設(shè)其外心為O.若.（1）求角A的大小；（2）若，求的面積.解：（1），，由正弦定理得，，由于A，B，，因此（舍去）或，即，又，故.（2）因?yàn)镺是的外心，所以（R為外接圓半徑），，.所以.16.如圖，已知四棱臺(tái)的體積為，底面為等腰梯形，，，，平面，且與相交于點(diǎn)E.（1）證明：；（2）求平面與平面的夾角的余弦值.（1）證明：在等腰梯形中，，由等腰梯形的幾何性質(zhì)可知，所以，，因?yàn)?，由余弦定理可得，即，可得，故，所以，故，又因?yàn)槠矫?，平面，故，因?yàn)?，、平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所?（2）解：設(shè)，由（1）可知，且，故，則，所以，，易知梯形梯形，且相似比為，故，由題可知棱臺(tái)的體積為，解得.取的中點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)在平面內(nèi)作，垂足為點(diǎn)，連接，如下圖所示：因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，因?yàn)椋?、平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)椋?，、平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，故即為平面與平面的夾角.由等腰梯形的幾何性質(zhì)可知，，因?yàn)椋?，因?yàn)?，故，因?yàn)?，所以，故，，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以，故，所以，又因?yàn)?，故，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，則，所以.因此，平面與平面的夾角的余弦值為.17.如圖，橢圓C：的離心率為，左右焦點(diǎn)分別為，，左右頂點(diǎn)分別為A，B，橢圓上有一動(dòng)點(diǎn)D（異于A，B），點(diǎn)E為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn).直線與直線相交于點(diǎn)M.已知面積有最大值為.（1）當(dāng)點(diǎn)M坐標(biāo)為時(shí)，求；（2）證明：.（1）解：由題意得，，，解得，，故橢圓C的方程為.當(dāng)點(diǎn)M坐標(biāo)為時(shí)，，設(shè)，則.代入橢圓方程得解得或0（舍去），即，又，故.（2）證明：設(shè)直線AD：，與橢圓C方程聯(lián)立得，，又，故，則，，又，故直線的斜率，所以，故.