高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1遼寧省名校聯(lián)盟2025年高考模擬卷押題卷數(shù)學(xué)（二）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，得，所以．故選：A．2.已知集合，，且，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由已知解得：，因?yàn)樗裕蔬x：D．3.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的解析式可能是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由圖象可知的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，即為偶函數(shù)，選項(xiàng)中函數(shù)的定義域都是，對(duì)于A項(xiàng)，，為偶函數(shù)，對(duì)于B項(xiàng)，，為奇函數(shù)，對(duì)于C項(xiàng)，，為偶函數(shù)，對(duì)于D項(xiàng)，，為偶函數(shù)，排除B項(xiàng)；由圖可知，對(duì)于A項(xiàng)，，不符合題意；對(duì)于C項(xiàng)，，符合題意；對(duì)于D項(xiàng)，，不符合題意．故選：C．4.某醫(yī)療研究機(jī)構(gòu)為了解某種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦纳盍?xí)慣（生活習(xí)慣分良好和不夠良好）的關(guān)系，現(xiàn)從該地區(qū)隨機(jī)抽取名居民，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下：生活習(xí)慣合計(jì)良好不夠良好患有該疾病居民0.6n1.4n2n未患有該疾病居民1.2n0.8n2n合計(jì)1.8n2.2n4n若根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析發(fā)現(xiàn)居民是否患有該疾病與生活習(xí)慣有關(guān)聯(lián)，則從該地區(qū)抽取居民人數(shù)至少為（）附：，．A.60 B.76 C.80 D.100【答案】C【解析】，又，所以，且，，，均為整數(shù)，所以的最小值為20，則從該地區(qū)抽取居民人數(shù)至少為80．故選：C5.已知橢圓的焦距為，，，是上三個(gè)不同的點(diǎn)，，關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，且直線與直線的斜率之積為（是的離心率），則的方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】設(shè)，，則，，所以，，兩式相減得，則．由，得，因?yàn)?，所?，則，所以的方程為．故選：B．6.已知是上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，若，則的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因?yàn)槭巧系钠婧瘮?shù)，所以，解得．易知當(dāng)時(shí)，因?yàn)樵趨^(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，又為奇函數(shù)，所以在上單調(diào)遞減．因?yàn)椋?，所以不等式可化為，即，則，又，所以，則，由函數(shù)的單調(diào)性可知，解得或．故選：A．7.已知在四棱錐中，平面，，，為等邊三角形，則平面與三棱錐的外接球球面的交線長(zhǎng)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，又平面，平面，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以，則為三棱錐的外接球的直徑，平面，平面，所以，，由勾股定理得．取為的中點(diǎn)，過(guò)作，為垂足，，平面，平面，所以，又，平面，故平面，因?yàn)闉榈冗吶切危遥瑒t，所以到平面的距離，故平面與三棱錐的外接球球面的交線為圓，且圓的半徑滿足，解得，故其周長(zhǎng)為故選：B8.已知，，，則，，的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】令，則，令，則，令，則，故在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，故，即，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，當(dāng)時(shí)，由，得，所以，則，即．令，則，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，即，即，所以ln217+1>2×217故選：D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知等邊三角形的邊長(zhǎng)為，，，交于點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則為的中點(diǎn)【答案】AB【解析】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，故A項(xiàng)正確；對(duì)于B，由，知此時(shí)為的重心，所以，分別是和的中點(diǎn)，所以，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，，則，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，設(shè)，由，，三點(diǎn)共線，得，解得，故D項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：AB．10.已知函數(shù)的最小正周期為，則下列說(shuō)法正確的是（）A.B.若直線是圖象的一條漸近線，則C.不存在，使為圖象的一個(gè)對(duì)稱中心D.若在區(qū)間內(nèi)單調(diào)，則的取值范圍是【答案】ABD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期為，故，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，由A選項(xiàng)可得，令，，解得，，因?yàn)?，所以，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，若點(diǎn)為圖象的對(duì)稱中心，則，，即，，當(dāng)時(shí)，，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，若在區(qū)間內(nèi)單調(diào)，由可得，所以，，則，，即，，記，，則，又所以的取值范圍，D對(duì).故選：ABD.11.2025年春節(jié)假期期間，某超市舉辦了購(gòu)物抽獎(jiǎng)活動(dòng)，設(shè)置有甲、乙兩個(gè)抽獎(jiǎng)箱，甲箱中有9張獎(jiǎng)券，其中6張寫著“謝謝惠顧”，3張寫著“金額50元”；乙箱中有8張獎(jiǎng)券，6張寫著“謝謝惠顧”，2張寫著“金額100元”（設(shè)兩箱內(nèi)獎(jiǎng)券大小一樣，無(wú)區(qū)分）．現(xiàn)有三種抽獎(jiǎng)方案供選擇：方案—：從甲箱中隨機(jī)抽取一張獎(jiǎng)券，若抽到“金額50元”獎(jiǎng)券，則停止抽獎(jiǎng)，若抽到“謝謝惠顧“獎(jiǎng)券，再?gòu)囊蚁鋬?nèi)隨機(jī)抽取一張獎(jiǎng)券，無(wú)論抽獎(jiǎng)結(jié)果如何，都停止抽獎(jiǎng)，按抽到的獎(jiǎng)券金額領(lǐng)獎(jiǎng)；方案二：從乙箱中隨機(jī)抽取一張獎(jiǎng)券，若抽到“金額100元”獎(jiǎng)券，則停止抽獎(jiǎng)，若抽到“謝謝惠顧”獎(jiǎng)券，再?gòu)募紫鋬?nèi)隨機(jī)抽取一張獎(jiǎng)券，無(wú)論抽獎(jiǎng)結(jié)果如何，都停止抽獎(jiǎng)，按抽到的獎(jiǎng)券金額領(lǐng)獎(jiǎng)；方案三：從甲、乙箱內(nèi)各隨機(jī)抽取一張獎(jiǎng)券，按單張獎(jiǎng)券上最高金額領(lǐng)獎(jiǎng)．某顧客有一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，他等可能地選擇三種抽獎(jiǎng)方案中的一種，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若該顧客選擇方案三，則他抽到有獎(jiǎng)獎(jiǎng)券的概率為B.該顧客抽到“金額100元”獎(jiǎng)券的概率，只有方案三最大C.該顧客領(lǐng)取的獎(jiǎng)券金額為50元的概率小于D.根據(jù)領(lǐng)取的獎(jiǎng)券金額的期望值越大越有利，該顧客應(yīng)選擇方案二或方案三【答案】ACD【解析】A選項(xiàng)，從甲箱中隨機(jī)抽取一張獎(jiǎng)券，是“謝謝惠顧”獎(jiǎng)券的概率為，是“金額50元”獎(jiǎng)券的概率為；從乙箱中隨機(jī)抽取一張獎(jiǎng)券，是“謝謝惠顧”獎(jiǎng)券的概率為”，是“金額100元”獎(jiǎng)券的概率為，已知該顧客選擇方案三，則他抽到有獎(jiǎng)獎(jiǎng)券的概率，A項(xiàng)正確；B選項(xiàng)，當(dāng)該顧客選擇方案三時(shí)，抽到“金額100元”獎(jiǎng)券的概率，當(dāng)該顧客選擇方案一時(shí)，抽到“金額100元”獎(jiǎng)券的概率；當(dāng)該顧客選擇方案二時(shí)，抽到“金額100元”獎(jiǎng)券的概率．，B項(xiàng)錯(cuò)誤．C選項(xiàng)，當(dāng)該顧客選擇方案一時(shí)，領(lǐng)取的獎(jiǎng)券金額為50元的概率；當(dāng)該顧客選擇方案二時(shí)，領(lǐng)取的獎(jiǎng)券金額為50元的概率；當(dāng)該顧客選擇方案三，領(lǐng)取的獎(jiǎng)券金額為50元的概率，所以該顧客領(lǐng)取的獎(jiǎng)券金額為50元的概率為，C項(xiàng)正確．D選項(xiàng)，對(duì)于方案一，設(shè)該顧客領(lǐng)取的獎(jiǎng)券金額為，則的可能取值為0，50，100，則，，，所以；對(duì)于方案二，設(shè)該顧客領(lǐng)取的獎(jiǎng)券金額為，則的可能取值為0，50，100，則，，，所以；對(duì)于方案三，設(shè)該顧客領(lǐng)取的獎(jiǎng)券金額為，則的可能取值為，，，則，，，所以．因?yàn)?，所以根?jù)領(lǐng)取的獎(jiǎng)券金額的期望值越大越有利，該顧客應(yīng)選擇方案二或方案三，D項(xiàng)正確．故選：ACD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知命題“，”的否定為真命題，則的取值范圍為______．【答案】【解析】由題意得“，”為真命題，所以在區(qū)間內(nèi)有解，又知在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，所以，故的取值范圍為．故答案為：13.已知函數(shù)，若，，則______；若，，，則______．【答案】①.②.【解析】（1）由，得，即，即0，因?yàn)?，所以，所以，即，所?（2）若，則，即，其中，，，所以或，，則或，，因，，故，，所以．故答案為：；.14.美麗的廣州塔以其曼妙的姿態(tài)被廣州人民稱為“小蠻腰”，它的建筑結(jié)構(gòu)是由一根根斜向鋼管交叉而成，形成一幅“兩條異面直線中的一條繞另一條旋轉(zhuǎn)”的動(dòng)態(tài)圖，數(shù)學(xué)上稱為雙曲面．根據(jù)廣州塔的建筑原理，我們研究以下的雙曲面模型，已知在正四棱柱中，，，空間四邊形繞旋轉(zhuǎn)得到一封閉容器，該容器中，，旋轉(zhuǎn)而成的面分別稱為頂面、側(cè)面、底面，容器內(nèi)恰可放置一球，該球與頂面、側(cè)面、底面都有公共點(diǎn)，則______．【答案】【解析】如圖，設(shè)為上任意一點(diǎn)，作，垂足為，作，垂足為，連接，則為矩形，下面先求旋轉(zhuǎn)成的側(cè)面被平面截得的曲線方程，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，方向?yàn)檩S正方向，方向?yàn)檩S正方向，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)成的圓與平面的交點(diǎn)坐標(biāo)為，則，，所以，即，代入中，得，即，可知側(cè)面被平面截得的曲線為雙曲線的一部分，其中，封閉容器內(nèi)可放置一球，軸截面圖形如圖所示：則圓心為，半徑，雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)距離的最小值為，即的最小值為．設(shè)，，因?yàn)椋缘淖钚≈禐?，解得或（舍）．故答案為：．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．15.如圖，在平面四邊形中，，，，．（1）求；（2）求；（3）若為上一點(diǎn)，且的面積為，求．解：（1）在中，由余弦定理得，①在中，由余弦定理得，②又，所以，③由①②③得，所以，又，所以；（2）由（1）可知，又，所以，在中，由正弦定理得，即，解得，所以，所以．（3）由的面積為，得，解得．16.如圖，已知拋物線，，過(guò)的焦點(diǎn)且與垂直的直線交于，兩點(diǎn)，．（1）求的方程；（2）直線，分別交于點(diǎn)，，，，其中，在軸的上方，記四邊形PQST的面積為．（ⅰ）求的解析式；（ⅱ）當(dāng)取何值時(shí)，取到最大值？并求出該最大值．解：（1）設(shè)直線方程為，，，聯(lián)立整理得，所以，又，，易知，所以，即，所以，又，所以，解得，故的方程為．（2）（?。⒋耄?，將代入，得，故四邊形PQST的面積，所以()．（ⅱ）令，則，，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，取得最大值為，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值為．17.如圖，在平面四邊形中，，，，，，為的中點(diǎn)，將沿翻折至的位置，連接，，使與平面所成角的正弦值為．（1）證明：平面；（2）求的長(zhǎng)．（1）證明：連接，因?yàn)?，，所以，在中，，，，由余弦定理得，所以，則，所以，在中，，，，由余弦定理得，所以，則，所以，又，所以，所以，，又，，平面，所以平面．（2）解：在直線上取一點(diǎn)，使得，由（1）知平面，又平面，所以，所以，，兩兩互相垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，所在直線分別為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，所以，，．設(shè)平面的法向量為，則，取，則．設(shè)與平面所成角為，則，整理得，即，解得或．又，所以，則，則，故．18.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求的圖象在處的切線方程；（2）若在區(qū)間內(nèi)存在極值點(diǎn)，求的取值范圍；（3）證明：當(dāng)時(shí)，在區(qū)間內(nèi)有且僅有3個(gè)零點(diǎn)．參考數(shù)據(jù)：．（1）解：由題意得，則，，故的圖象在處的切線方程為．（2）解：由題意得在區(qū)間內(nèi)有解，當(dāng)時(shí)，，所以，又因?yàn)?，所以，即在區(qū)間內(nèi)沒有零點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，令，則，可得，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，因?yàn)?，，為了滿足在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，則必有，解得，故的取值范圍是．（3）證明：由（2）知在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋栽趨^(qū)間內(nèi)有唯一零點(diǎn)．因，所以由（2）知在區(qū)間內(nèi)有解，可知在區(qū)間內(nèi)先增后減，又因?yàn)閒π2=a所以在區(qū)間內(nèi)不存在零點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，令，則h'所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，又因?yàn)?，，所以存在唯一，使得，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，又，所以存在唯一，使得，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，因?yàn)?，，所以存在唯一，使得．?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，又因?yàn)?，f3π所以根據(jù)零點(diǎn)存在定理，在時(shí)僅有1個(gè)零點(diǎn)．綜上，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間內(nèi)有且僅有3個(gè)零點(diǎn)．19.設(shè)為正整數(shù)，數(shù)列，，…，的各項(xiàng)均為正整數(shù)，若該數(shù)列滿足下列性質(zhì)：①，，，都有且，②，則稱該數(shù)列是—特性數(shù)列．（1）若數(shù)列是－特性數(shù)列，求與的最小值；（2）若數(shù)列是—特性數(shù)列，是否存在數(shù)列是—特性數(shù)列？若存在，請(qǐng)給出證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）從，，，…，中一次任取四個(gè)不同數(shù)，記抽取的四個(gè)數(shù)組成的數(shù)列是—特性數(shù)列的概率為，求．（1）解：由②可知，所以，又?jǐn)?shù)列，，，的各項(xiàng)均為正整數(shù)，所以．由①可知且，所以，則，當(dāng)時(shí)，，不滿足性質(zhì)②；當(dāng)時(shí)，因?yàn)榍遥?，所以．?dāng)時(shí)，，，滿足性質(zhì)①②．所以的最小值為3．當(dāng)時(shí)，數(shù)列2，3，4；2，3，5；2，4，5；3，4，5均不滿足性質(zhì)②，所以的最小值為6．（2）存在數(shù)列是—特性數(shù)列．證明如下：因?yàn)閿?shù)列是一特性數(shù)列，由上可知，所以，又，，則，由定義可知，數(shù)列，，…，，，，，，，…，，…，是—特性數(shù)列；故存在數(shù)列是—特性數(shù)列．（3）解：若數(shù)列是—特性數(shù)列，則，，由上可知，當(dāng)時(shí)，，矛盾，所以，故．又，所以，因?yàn)?，所以，則．當(dāng)時(shí)，，則，所以，則，又，所以，則，即，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，18；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，（舍去）．當(dāng)時(shí)，同理，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，（舍去）．當(dāng)時(shí)，同理，又，所以，又，所以（舍去）．經(jīng)驗(yàn)證，從1，2，3，…，20中一次任取四個(gè)不同的數(shù)，數(shù)列是—特性數(shù)列，有，，，，共4個(gè)，故．遼寧省名校聯(lián)盟2025年高考模擬卷押題卷數(shù)學(xué)（二）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，得，所以．故選：A．2.已知集合，，且，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由已知解得：，因?yàn)樗裕蔬x：D．3.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的解析式可能是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由圖象可知的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，即為偶函數(shù)，選項(xiàng)中函數(shù)的定義域都是，對(duì)于A項(xiàng)，，為偶函數(shù)，對(duì)于B項(xiàng)，，為奇函數(shù)，對(duì)于C項(xiàng)，，為偶函數(shù)，對(duì)于D項(xiàng)，，為偶函數(shù)，排除B項(xiàng)；由圖可知，對(duì)于A項(xiàng)，，不符合題意；對(duì)于C項(xiàng)，，符合題意；對(duì)于D項(xiàng)，，不符合題意．故選：C．4.某醫(yī)療研究機(jī)構(gòu)為了解某種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦纳盍?xí)慣（生活習(xí)慣分良好和不夠良好）的關(guān)系，現(xiàn)從該地區(qū)隨機(jī)抽取名居民，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下：生活習(xí)慣合計(jì)良好不夠良好患有該疾病居民0.6n1.4n2n未患有該疾病居民1.2n0.8n2n合計(jì)1.8n2.2n4n若根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析發(fā)現(xiàn)居民是否患有該疾病與生活習(xí)慣有關(guān)聯(lián)，則從該地區(qū)抽取居民人數(shù)至少為（）附：，．A.60 B.76 C.80 D.100【答案】C【解析】，又，所以，且，，，均為整數(shù)，所以的最小值為20，則從該地區(qū)抽取居民人數(shù)至少為80．故選：C5.已知橢圓的焦距為，，，是上三個(gè)不同的點(diǎn)，，關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，且直線與直線的斜率之積為（是的離心率），則的方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】設(shè)，，則，，所以，，兩式相減得，則．由，得，因?yàn)?，所?，則，所以的方程為．故選：B．6.已知是上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，若，則的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因?yàn)槭巧系钠婧瘮?shù)，所以，解得．易知當(dāng)時(shí)，因?yàn)樵趨^(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，又為奇函數(shù)，所以在上單調(diào)遞減．因?yàn)?，，所以不等式可化為，即，則，又，所以，則，由函數(shù)的單調(diào)性可知，解得或．故選：A．7.已知在四棱錐中，平面，，，為等邊三角形，則平面與三棱錐的外接球球面的交線長(zhǎng)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)椋?，又平面，平面，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以，則為三棱錐的外接球的直徑，平面，平面，所以，，由勾股定理得．取為的中點(diǎn)，過(guò)作，為垂足，，平面，平面，所以，又，平面，故平面，因?yàn)闉榈冗吶切?，且，則，所以到平面的距離，故平面與三棱錐的外接球球面的交線為圓，且圓的半徑滿足，解得，故其周長(zhǎng)為故選：B8.已知，，，則，，的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】令，則，令，則，令，則，故在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，故，即，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，當(dāng)時(shí)，由，得，所以，則，即．令，則，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，即，即，所以ln217+1>2×217故選：D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知等邊三角形的邊長(zhǎng)為，，，交于點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則為的中點(diǎn)【答案】AB【解析】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，故A項(xiàng)正確；對(duì)于B，由，知此時(shí)為的重心，所以，分別是和的中點(diǎn)，所以，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，，則，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，設(shè)，由，，三點(diǎn)共線，得，解得，故D項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：AB．10.已知函數(shù)的最小正周期為，則下列說(shuō)法正確的是（）A.B.若直線是圖象的一條漸近線，則C.不存在，使為圖象的一個(gè)對(duì)稱中心D.若在區(qū)間內(nèi)單調(diào)，則的取值范圍是【答案】ABD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期為，故，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，由A選項(xiàng)可得，令，，解得，，因?yàn)?，所以，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，若點(diǎn)為圖象的對(duì)稱中心，則，，即，，當(dāng)時(shí)，，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，若在區(qū)間內(nèi)單調(diào)，由可得，所以，，則，，即，，記，，則，又所以的取值范圍，D對(duì).故選：ABD.11.2025年春節(jié)假期期間，某超市舉辦了購(gòu)物抽獎(jiǎng)活動(dòng)，設(shè)置有甲、乙兩個(gè)抽獎(jiǎng)箱，甲箱中有9張獎(jiǎng)券，其中6張寫著“謝謝惠顧”，3張寫著“金額50元”；乙箱中有8張獎(jiǎng)券，6張寫著“謝謝惠顧”，2張寫著“金額100元”（設(shè)兩箱內(nèi)獎(jiǎng)券大小一樣，無(wú)區(qū)分）．現(xiàn)有三種抽獎(jiǎng)方案供選擇：方案—：從甲箱中隨機(jī)抽取一張獎(jiǎng)券，若抽到“金額50元”獎(jiǎng)券，則停止抽獎(jiǎng)，若抽到“謝謝惠顧“獎(jiǎng)券，再?gòu)囊蚁鋬?nèi)隨機(jī)抽取一張獎(jiǎng)券，無(wú)論抽獎(jiǎng)結(jié)果如何，都停止抽獎(jiǎng)，按抽到的獎(jiǎng)券金額領(lǐng)獎(jiǎng)；方案二：從乙箱中隨機(jī)抽取一張獎(jiǎng)券，若抽到“金額100元”獎(jiǎng)券，則停止抽獎(jiǎng)，若抽到“謝謝惠顧”獎(jiǎng)券，再?gòu)募紫鋬?nèi)隨機(jī)抽取一張獎(jiǎng)券，無(wú)論抽獎(jiǎng)結(jié)果如何，都停止抽獎(jiǎng)，按抽到的獎(jiǎng)券金額領(lǐng)獎(jiǎng)；方案三：從甲、乙箱內(nèi)各隨機(jī)抽取一張獎(jiǎng)券，按單張獎(jiǎng)券上最高金額領(lǐng)獎(jiǎng)．某顧客有一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，他等可能地選擇三種抽獎(jiǎng)方案中的一種，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若該顧客選擇方案三，則他抽到有獎(jiǎng)獎(jiǎng)券的概率為B.該顧客抽到“金額100元”獎(jiǎng)券的概率，只有方案三最大C.該顧客領(lǐng)取的獎(jiǎng)券金額為50元的概率小于D.根據(jù)領(lǐng)取的獎(jiǎng)券金額的期望值越大越有利，該顧客應(yīng)選擇方案二或方案三【答案】ACD【解析】A選項(xiàng)，從甲箱中隨機(jī)抽取一張獎(jiǎng)券，是“謝謝惠顧”獎(jiǎng)券的概率為，是“金額50元”獎(jiǎng)券的概率為；從乙箱中隨機(jī)抽取一張獎(jiǎng)券，是“謝謝惠顧”獎(jiǎng)券的概率為”，是“金額100元”獎(jiǎng)券的概率為，已知該顧客選擇方案三，則他抽到有獎(jiǎng)獎(jiǎng)券的概率，A項(xiàng)正確；B選項(xiàng)，當(dāng)該顧客選擇方案三時(shí)，抽到“金額100元”獎(jiǎng)券的概率，當(dāng)該顧客選擇方案一時(shí)，抽到“金額100元”獎(jiǎng)券的概率；當(dāng)該顧客選擇方案二時(shí)，抽到“金額100元”獎(jiǎng)券的概率．，B項(xiàng)錯(cuò)誤．C選項(xiàng)，當(dāng)該顧客選擇方案一時(shí)，領(lǐng)取的獎(jiǎng)券金額為50元的概率；當(dāng)該顧客選擇方案二時(shí)，領(lǐng)取的獎(jiǎng)券金額為50元的概率；當(dāng)該顧客選擇方案三，領(lǐng)取的獎(jiǎng)券金額為50元的概率，所以該顧客領(lǐng)取的獎(jiǎng)券金額為50元的概率為，C項(xiàng)正確．D選項(xiàng)，對(duì)于方案一，設(shè)該顧客領(lǐng)取的獎(jiǎng)券金額為，則的可能取值為0，50，100，則，，，所以；對(duì)于方案二，設(shè)該顧客領(lǐng)取的獎(jiǎng)券金額為，則的可能取值為0，50，100，則，，，所以；對(duì)于方案三，設(shè)該顧客領(lǐng)取的獎(jiǎng)券金額為，則的可能取值為，，，則，，，所以．因?yàn)?，所以根?jù)領(lǐng)取的獎(jiǎng)券金額的期望值越大越有利，該顧客應(yīng)選擇方案二或方案三，D項(xiàng)正確．故選：ACD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知命題“，”的否定為真命題，則的取值范圍為______．【答案】【解析】由題意得“，”為真命題，所以在區(qū)間內(nèi)有解，又知在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，所以，故的取值范圍為．故答案為：13.已知函數(shù)，若，，則______；若，，，則______．【答案】①.②.【解析】（1）由，得，即，即0，因?yàn)?，所以，所以，即，所?（2）若，則，即，其中，，，所以或，，則或，，因，，故，，所以．故答案為：；.14.美麗的廣州塔以其曼妙的姿態(tài)被廣州人民稱為“小蠻腰”，它的建筑結(jié)構(gòu)是由一根根斜向鋼管交叉而成，形成一幅“兩條異面直線中的一條繞另一條旋轉(zhuǎn)”的動(dòng)態(tài)圖，數(shù)學(xué)上稱為雙曲面．根據(jù)廣州塔的建筑原理，我們研究以下的雙曲面模型，已知在正四棱柱中，，，空間四邊形繞旋轉(zhuǎn)得到一封閉容器，該容器中，，旋轉(zhuǎn)而成的面分別稱為頂面、側(cè)面、底面，容器內(nèi)恰可放置一球，該球與頂面、側(cè)面、底面都有公共點(diǎn)，則______．【答案】【解析】如圖，設(shè)為上任意一點(diǎn)，作，垂足為，作，垂足為，連接，則為矩形，下面先求旋轉(zhuǎn)成的側(cè)面被平面截得的曲線方程，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，方向?yàn)檩S正方向，方向?yàn)檩S正方向，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)成的圓與平面的交點(diǎn)坐標(biāo)為，則，，所以，即，代入中，得，即，可知側(cè)面被平面截得的曲線為雙曲線的一部分，其中，封閉容器內(nèi)可放置一球，軸截面圖形如圖所示：則圓心為，半徑，雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)距離的最小值為，即的最小值為．設(shè)，，因?yàn)椋缘淖钚≈禐?，解得或（舍）．故答案為：．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．15.如圖，在平面四邊形中，，，，．（1）求；（2）求；（3）若為上一點(diǎn)，且的面積為，求．解：（1）在中，由余弦定理得，①在中，由余弦定理得，②又，所以，③由①②③得，所以，又，所以；（2）由（1）可知，又，所以，在中，由正弦定理得，即，解得，所以，所以．（3）由的面積為，得，解得．16.如圖，已知拋物線，，過(guò)的焦點(diǎn)且與垂直的直線交于，兩點(diǎn)，．（1）求的方程；（2）直線，分別交于點(diǎn)，，，，其中，在軸的上方，記四邊形PQST的面積為．（ⅰ）求的解析式；（ⅱ）當(dāng)取何值時(shí)，取到最大值？并求出該最大值．解：（1）設(shè)直線方程為，，，聯(lián)立整理得，所以，又，，易知，所以，即，所以，又，所以，解得，故的方程為．（2）（?。⒋耄?，將代入，得，故四邊形PQST的面積，所以()．（ⅱ）令，則，，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，取得最大值為，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值為．17.如圖，在平面四邊形中，，，，，，為的中點(diǎn)，將沿翻折至的位置，連接，，使與平面所成角的正弦值為．（1）證明：平面；（2）求的長(zhǎng)．（1）證明：連接，因?yàn)?，，所以，在中，，，，由余弦定理得，所以，則，所以，在中，，，，由余弦定理得，所以，則，所以，又，所以，所以，，又，，平面，所以平面．（2）解：在直線上取一點(diǎn)，使得，由（1）知平面，又平面，所以，所以，，兩兩互相垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，所在直線分別為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，所以，，．設(shè)平面的法向量為，則，取，則．設(shè)與平面所成角為，則，整理得，即，解得