第1頁/共1頁2021-2025北京高考真題物理匯編壓軸計算題一、解答題1．（2025北京高考真題）如圖1所示，金屬圓筒A接高壓電源的正極，其軸線上的金屬線B接負極。(1)設兩極間電壓為U，求在B極附近電荷量為Q的負電荷到達A極過程中靜電力做的功W。(2)已知筒內距離軸線r處的電場強度大小，其中k為靜電力常量，為金屬線B單位長度的電荷量。如圖2所示，在圓筒內橫截面上，電荷量為q、質量為m的粒子繞軸線做半徑不同的勻速圓周運動，其半徑為和時的總能量分別為和。若，推理分析并比較與的大小。(3)圖1實為某種靜電除塵裝置原理圖，空氣分子在B極附近電離，筒內塵埃吸附電子而帶負電，在電場作用下最終被A極收集。使分子或原子電離需要一定條件。以電離氫原子為例。根據(jù)玻爾原子模型，定態(tài)氫原子中電子在特定軌道上繞核做圓周運動，處于特定能量狀態(tài)，只有當原子獲得合適能量才能躍遷或電離。若氫原子處于外電場中，推導說明外電場的電場強度多大能將基態(tài)氫原子電離。（可能用到：元電荷，電子質量，靜電力常量，基態(tài)氫原子軌道半徑和能量）2．（2024北京高考真題）我國“天宮”空間站采用霍爾推進器控制姿態(tài)和修正軌道。圖為某種霍爾推進器的放電室（兩個半徑接近的同軸圓筒間的區(qū)域）的示意圖。放電室的左、右兩端分別為陽極和陰極，間距為d。陰極發(fā)射電子，一部分電子進入放電室，另一部分未進入。穩(wěn)定運行時，可視為放電室內有方向沿軸向向右的勻強電場和勻強磁場，電場強度和磁感應強度大小分別為E和；還有方向沿半徑向外的徑向磁場，大小處處相等。放電室內的大量電子可視為處于陽極附近，在垂直于軸線的平面繞軸線做半徑為R的勻速圓周運動（如截面圖所示），可與左端注入的氙原子碰撞并使其電離。每個氙離子的質量為M、電荷量為，初速度近似為零。氙離子經過電場加速，最終從放電室右端噴出，與陰極發(fā)射的未進入放電室的電子剛好完全中和。已知電子的質量為m、電荷量為；對于氙離子，僅考慮電場的作用。（1）求氙離子在放電室內運動的加速度大小a；（2）求徑向磁場的磁感應強度大小；（3）設被電離的氙原子數(shù)和進入放電室的電子數(shù)之比為常數(shù)k，單位時間內陰極發(fā)射的電子總數(shù)為n，求此霍爾推進器獲得的推力大小F。3．（2023北京高考真題）螺旋星系中有大量的恒星和星際物質，主要分布在半徑為R的球體內，球體外僅有極少的恒星。球體內物質總質量為M，可認為均勻分布，球體內外的所有恒星都繞星系中心做勻速圓周運動，恒星到星系中心的距離為r，引力常量為G。（1）求區(qū)域的恒星做勻速圓周運動的速度大小v與r的關系；（2）根據(jù)電荷均勻分布的球殼內試探電荷所受庫侖力的合力為零，利用庫侖力與萬有引力的表達式的相似性和相關力學知識，求區(qū)域的恒星做勻速圓周運動的速度大小v與r的關系；（3）科學家根據(jù)實測數(shù)據(jù)，得到此螺旋星系中不同位置的恒星做勻速圓周運動的速度大小v隨r的變化關系圖像，如圖所示，根據(jù)在范圍內的恒星速度大小幾乎不變，科學家預言螺旋星系周圍（）存在一種特殊物質，稱之為暗物質。暗物質與通常的物質有引力相互作用，并遵循萬有引力定律，求內暗物質的質量。

4．（2022北京高考真題）指南針是利用地磁場指示方向的裝置，它的廣泛使用促進了人們對地磁場的認識。現(xiàn)代科技可以實現(xiàn)對地磁場的精確測量。（1）如圖1所示，兩同學把一根長約10m的電線兩端用其他導線連接一個電壓表，迅速搖動這根電線。若電線中間位置的速度約10m/s，電壓表的最大示數(shù)約2mV。粗略估算該處地磁場磁感應強度的大小B地；（2）如圖2所示，一矩形金屬薄片，其長為a，寬為b，厚為c。大小為I的恒定電流從電極P流入、從電極Q流出，當外加與薄片垂直的勻強磁場時，M、N兩電極間產生的電壓為U。已知薄片單位體積中導電的電子數(shù)為n，電子的電荷量為e。求磁感應強度的大小B；（3）假定（2）中的裝置足夠靈敏，可用來測量北京地區(qū)地磁場磁感應強度的大小和方向，請說明測量的思路。5．（2021北京高考真題）秋千由踏板和繩構成，人在秋千上的擺動過程可以簡化為單擺的擺動，等效“擺球”的質量為m，人蹲在踏板上時擺長為，人站立時擺長為。不計空氣阻力，重力加速度大小為g。（1）如果擺長為，“擺球”通過最低點時的速度為v，求此時“擺球”受到拉力T的大小。（2）在沒有別人幫助的情況下，人可以通過在低處站起、在高處蹲下的方式使“擺球”擺得越來越高。a.人蹲在踏板上從最大擺角開始運動，到最低點時突然站起，此后保持站立姿勢擺到另一邊的最大擺角為。假定人在最低點站起前后“擺球”擺動速度大小不變，通過計算證明。b.實際上人在最低點快速站起后“擺球”擺動速度的大小會增大。隨著擺動越來越高，達到某個最大擺角后，如果再次經過最低點時，通過一次站起并保持站立姿勢就能實現(xiàn)在豎直平面內做完整的圓周運動，求在最低點“擺球”增加的動能應滿足的條件。

參考答案1．(1)(2)(3)【詳解】（1）在B極附近電荷量為Q的負電荷到達A極過程中靜電力做的功（2）粒子在半徑為處繞軸線做勻速圓周運動，其向心力由電場力提供，根據(jù)向心力公式又聯(lián)立可得解得粒子的動能設無窮遠處電勢能為0，粒子從無窮遠處移動到半徑為r處，電場力做功其中代入可得根據(jù)可得粒子在半徑為r處的電勢能粒子的總能量粒子的總能量則，根據(jù)數(shù)學知識可知對數(shù)函數(shù)在（0，）是增函數(shù)，且的二階導數(shù)所以是凹函數(shù)，已知，即是與的等差中項，根據(jù)凹函數(shù)的性質移項可得又因為可得（3）方法一：電子繞核做圓周運動，庫侖力提供向心力，即電子的動能聯(lián)立可得根據(jù)庫侖定律，電子與原子核之間的庫侖力電子從基態(tài)軌道半徑a處運動到無窮遠處，克服庫侖力做功積分可得則電子在基態(tài)軌道半徑a處的電勢能根據(jù)能量守恒定律，將基態(tài)氫原子電離所需的能量等于電子的動能與基態(tài)氫原子的勢能之和，即設外電場的電場強度為，電子在電場力作用下獲得能量，當電子獲得的能量等于將基態(tài)氫原子電離所需的能量時，氫原子被電離。電子在電場力作用下獲得的能量聯(lián)立可得代入數(shù)據(jù)解得方法二：根據(jù)功能關系可得代入數(shù)據(jù)可得2．（1）；（2）；（3）【詳解】（1）對于氙離子，僅考慮電場的作用，則氙離子在放電室時只受電場力作用，由牛頓第二定律解得氙離子在放電室內運動的加速度大?。?）電子在陽極附近在垂直于軸線的平面繞軸線做半徑做勻速圓周運動，則軸線方向上所受電場力與徑向磁場給的洛侖茲力平衡，沿著軸線方向的勻強磁場給的洛侖茲力提供向心力，即，解得徑向磁場的磁感應強度大小為（3）單位時間內陰極發(fā)射的電子總數(shù)為n，被電離的氙原子數(shù)和進入放電室的電子數(shù)之比為常數(shù)k，設單位時間內進入放電室的電子數(shù)為，則未進入的電子數(shù)為，設單位時間內被電離的氙離子數(shù)為,則有已知氙離子數(shù)從放電室右端噴出后與未進入放電室的電子剛好完全中和，則有聯(lián)立可得單位時間內被電離的氙離子數(shù)為氙離子經電場加速，有時間內氙離子所受到的作用力為，由動量定理有解得由牛頓第三定律可知，霍爾推進器獲得的推力大小則3．（1）；（2）；（3）【詳解】（1）由萬有引力定律和向心力公式有解得（2）在內部，星體質量由萬有引力定律和向心力公式有解得（3）對處于R球體邊緣的恒星，由萬有引力定律和向心力公式有對處于r=nR處的恒星，由萬有引力定律和向心力公式有解得4．（1）T；（2）；（3）見解析【詳解】（1）電線中間位置速度約為，則整體平均速度約為，由可估算得該處地磁場磁感應強度B地的大小為T。（2）設導電電子定向移動的速率為v，t時間內通過橫截面的電量為q，有導電電子定向移動過程中，在方向受到的電場力與洛倫茲力平衡，有得（3）如答圖3建立三維直角坐標系Oxyz設地磁場磁感應強度在三個方向的分量為Bx、By、Bz。把金屬薄片置于xOy平面內，M、N兩極間產生電壓Uz僅取決于Bz。由（2）得由Uz的正負（M、N兩極電勢的高低）和電流I的方向可以確定Bz的方向。同理，把金屬薄片置于xOz平面內，可得By的大小和方向；把金屬薄片置于yOz平面內，可得Bx的大小和方向，則地磁場的磁感應強度的大小為根據(jù)Bx、By、Bz的大小和方向可確定此處地磁場的磁感應強度的方向。5．（1）；（2）a.見解