角（提高）知識(shí)講解責(zé)編：康紅梅【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．掌握角的概念及角的表示方法，并能進(jìn)行角度的互換；2.借助三角尺畫一些特殊角，掌握角大小的比較方法；3．會(huì)利用角平分線的意義進(jìn)行有關(guān)表示或計(jì)算；4.掌握角的和、差、倍、分關(guān)系，并會(huì)進(jìn)行有關(guān)計(jì)算.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、角的概念角的定義：（1）定義一：有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角，這個(gè)公共端點(diǎn)是角的頂點(diǎn)，這兩條射線是角的兩條邊．如圖1所示，角的頂點(diǎn)是點(diǎn)O，邊是射線OA、OB．圖2圖1圖2圖1（2）定義二：一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成的圖形，射線旋轉(zhuǎn)時(shí)經(jīng)過的平面部分是角的內(nèi)部．如圖2所示，射線OA繞它的端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到OB的位置時(shí)，形成的圖形叫做角，起始位置OA是角的始邊，終止位置OB是角的終邊．要點(diǎn)詮釋：（1）兩條射線有公共端點(diǎn)，即角的頂點(diǎn)；角的邊是射線；角的大小與角的兩邊的長短無關(guān)．（2）平角與周角：如圖1所示射線OA繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，當(dāng)終止位置OB和起始位置OA成一條直線時(shí)，所形成的角叫做平角，如圖2所示繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，OB和OA重合時(shí)，所形成的角叫做周角．2.角的表示法：角的幾何符號(hào)用“∠”表示，角的表示法通常有以下四種：要點(diǎn)詮釋：用數(shù)字或小寫希臘字母表示角時(shí)，要在靠近角的頂點(diǎn)處加上弧線，且注上阿拉伯?dāng)?shù)字或小寫希臘字母．3.角的畫法（1）用三角板可以畫出30°、45°、60°、90°等特殊角．（2）用量角器可以畫出任意給定度數(shù)的角．（3）利用尺規(guī)作圖可以畫一個(gè)角等于已知角．要點(diǎn)二、角度制及其換算角的度量單位是度、分、秒，把一個(gè)周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的為1分，記作“1′”，1′的為1秒，記作“1″”．這種以度、分、秒為單位的角的度量制，叫做角度制．1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″．要點(diǎn)詮釋：在進(jìn)行有關(guān)度分秒的計(jì)算時(shí)，要按級(jí)進(jìn)行，即分別按度、分、秒計(jì)算，不夠減，不夠除的要借位，從高一位借的單位要化為低位的單位后再進(jìn)行運(yùn)算，在相乘或相加時(shí)，當(dāng)?shù)臀坏脭?shù)大于60時(shí)要向高一位進(jìn)位．要點(diǎn)三、角的比較與運(yùn)算1.角的比較角的大小比較與線段的大小比較相類似，方法有兩種．方法1：度量比較法．先用量角器量出角的度數(shù)，然后比較它們的大?。椒?：疊合比較法．把其中的一個(gè)角移到另一個(gè)角上作比較．如比較∠AOB和∠A′O′B′的大小：如下圖，由圖（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由圖(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由圖(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．2.角的和、差運(yùn)算如圖所示，∠AOB是∠1與∠2的和，記作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB與∠2的差，記作：∠1＝∠AOB∠2．要點(diǎn)詮釋：(1)用量角器量角和畫角的一般步驟：①對(duì)中(角的頂點(diǎn)與量角器的中心對(duì)齊)；②重合(一邊與刻度尺上的零度線重合)；③讀數(shù)(讀出另一邊所在線的度數(shù))．(2)利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根據(jù)角的和、差關(guān)系，還可以畫出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角．3.角平分線從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成相等的兩個(gè)角的射線，叫做這個(gè)角的平分線．如圖所示，OC是∠AOB的角平分線，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC=∠AOB．要點(diǎn)詮釋：由角平分線的概念產(chǎn)生的合情推理其思維框架與線段中點(diǎn)的思維框架一樣．要點(diǎn)四、方位角在航行和測繪等工作中，經(jīng)常要用到表示方向的角．例如，圖中射線OA的方向是北偏東60°；射線OB的方向是南偏西30°．這里的“北偏東60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角．要點(diǎn)詮釋：（1）正東，正西，正南，正北4個(gè)方向不需要用角度來表示．（2）方位角必須以正北和正南方向作為“基準(zhǔn)”，“北偏東60°”一般不說成“東偏北30°”．（3）在同一問題中觀察點(diǎn)可能不止一個(gè)，在不同的觀測點(diǎn)都要畫出表示方向的“十字線”，確定其觀察點(diǎn)的正東、正西、正南、正北的方向．（4）圖中的點(diǎn)O是觀測點(diǎn)，所有方向線(射線)都必須以O(shè)為端點(diǎn)．要點(diǎn)五、鐘表上有關(guān)夾角問題鐘表中共有12個(gè)大格，把周角12等分、每個(gè)大格對(duì)應(yīng)30°的角，分針1分鐘轉(zhuǎn)6°，時(shí)針每小時(shí)轉(zhuǎn)30°，時(shí)針1分鐘轉(zhuǎn)0.5°，利用這些關(guān)系，可幫助我們解決鐘表中角度的計(jì)算問題．【典型例題】類型一、角的概念1.利用一副三角板上的角，能畫出多少個(gè)小于180°的角，試一一畫出來．【思路點(diǎn)撥】首先發(fā)現(xiàn)一副三角板上有30°，45°，60°，90°這樣4個(gè)不相等的角，利用這些角進(jìn)行一次和差，可得小于180°的所有角．解：除了可以畫30°，45°，60°，90°外，還可畫15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的七個(gè)度數(shù)的角，畫法如圖所示．【總結(jié)升華】利用一副三角板共可以畫出11個(gè)度數(shù)的角，分別是：30°，45°，60°，90°，15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°．舉一反三：【變式】（2015春?成武縣期末）下列說法中，正確的是（）A．兩條射線組成的圖形叫做角B．有公共端點(diǎn)的兩條線段組成的圖形叫做角C．角可以看做是由一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成的圖形D．角可以看做是由一條線段繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成的圖形【答案】C．類型二、角度制的換算2.計(jì)算下列各題：(1)152°49′12″+20.18°；(2)82°36°42′15″；(3)35°36′47″×9；(4)41°37′÷3．【答案與解析】解：(1)解法一：∵20.18°＝20°10′48″即：152°49′12″+20.18°＝173°．解法二：∵152°49′12″＝152.82°，∴152.82°+20.18°＝173°．即：152°49′12″+20.18°＝173°．(2)將82°化為81°59′60″，則∴82°36°42′15″＝45°17′45″．423″＝7′3″，324′+7′＝5°31′，∴35°36′47″×9＝320°31′3″．∴41°37′÷3=13°52′20″．【總結(jié)升華】在角度的和、差運(yùn)算中應(yīng)先統(tǒng)一單位，都化成度或分、秒表示，然后進(jìn)行計(jì)算；在進(jìn)行乘法運(yùn)算時(shí)，往往先把度、分、秒分別乘以倍數(shù)，將結(jié)果滿60″進(jìn)1′，滿60′進(jìn)1°；對(duì)于除法運(yùn)算則是從度開始除，將余數(shù)化為分和以前的分?jǐn)?shù)相加再除，將余數(shù)再化成秒和以前的秒數(shù)相加再除，若除不盡往往四舍五入．舉一反三：【變式】計(jì)算：(1)23°45′36″+66°14′24″；(2)180°98°24′30″；(3)15°50′42″×3；(4)88°14′48″÷4．【答案】(1)23°45′36″+66°14′24″＝90°；(2)180°98°24′30″＝81°35′30″；(3)15°50′42″×3＝47°32′6″；(4)88°14′48″÷4＝22°3′42″．類型三、角的比較與運(yùn)算3.如圖所示表示兩塊三角板．(1)用疊合法比較∠1，∠α，∠2的大小；(2)量出圖中各角的度數(shù)，并把圖中的6個(gè)角從小到大排列，然后用“＜”或“＝”連接．【答案與解析】解：(1)如圖所示，把兩塊三角板疊在一起，可得∠1＞∠α，用同樣的方法，可得∠α＜∠2．所以∠2＝∠1＞∠α．(2)用量角器量出圖中各個(gè)角的度數(shù)，分別是∠1＝∠2＝45°，∠3＝90°，∠α＝30°，∠β＝60°，∠γ＝90°，把它們從小到大排列，有∠α＜∠1＝∠2＜∠β＜∠3＝∠γ．【總結(jié)升華】比較角的大小有疊合法和度量法兩種：①先將兩個(gè)角的頂點(diǎn)與頂點(diǎn)重合，一條邊與一條邊重合再比較．②先量出每個(gè)角的度數(shù)，然后按它們的度數(shù)來比較．舉一反三：【變式】如圖，∠AOB的平分線OM,ON為∠MOA內(nèi)的一條射線，OG為∠AOB外的一條射線.某同學(xué)經(jīng)過認(rèn)真分析，得到一個(gè)關(guān)系式是∠MON＝（∠BON－∠AON），你認(rèn)為這個(gè)同學(xué)得到的關(guān)系式正確嗎？若正確，請(qǐng)把得到這個(gè)結(jié)論的過程寫出來.【答案】解：正確，理由如下：∵∠AOB的平分線OM，∴∠AOM＝∠MOB又∵∠MON＝∠AOM－∠AON=∠MOB－∠AON=(∠BON－∠MON)－∠AON即有∠MON＝∠BON－∠MON－∠AON∴2∠MON＝∠BON－∠AON∴∠MON＝（∠BON－∠AON）4.(武漢武昌區(qū)期末調(diào)研考試)已知點(diǎn)O是直線AB上的一點(diǎn)，∠COE＝90°，OF是∠AOE的平分線．(1)當(dāng)點(diǎn)C、E、F在直線AB的同側(cè)(如圖①所示)時(shí)．試說明∠BOE＝2∠COF；(2)當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)E、F在直線AB的兩旁(如圖②所示)時(shí)(1)中的結(jié)論是否仍然成立?請(qǐng)給出你的結(jié)論并說明理由；【思路點(diǎn)撥】由于本題中涉及角的數(shù)量關(guān)系，故可以選擇代數(shù)的方法來說明理由．【答案與解析】解：(1)如圖①，設(shè)∠COF＝α，則∠EOF＝90°α因?yàn)镺F是∠AOE的平分線所以∠AOF＝90°α所以∠AOC＝(90°α)α＝90°2α∠BOE＝180°∠COE∠AOC＝180°90°(90°2α)＝2α即∠BOE＝2∠COF(2)成立．如圖2∠BOE＝180°∠AOE＝180°(90°β)＝90°+β所以∠BOE＝2∠COF(3)因?yàn)椤螪OE＝180°∠AOE∠BOD【總結(jié)升華】根據(jù)角平分線，互余及互補(bǔ)的定義，進(jìn)行有關(guān)角的計(jì)算．有一定的綜合性和代表性，主要培養(yǎng)分析問題和解決問題的能力．【高清課堂：角397364角的有關(guān)計(jì)算例4】舉一反三：【變式】如圖，已知O是直線AC上一點(diǎn)，OD平分AOB，OE在BOC內(nèi)，且BOE＝EOC，DOE＝70°，求EOC的度數(shù).【答案】解：設(shè)∠EOC=°，則BOE＝EOC＝°，根據(jù)題意可得：EOC＝2BOE＝80°.類型四、方位角5.（2015?浦東新區(qū)三模）已知小島A位于基地O的東南方向，貨船B位于基地O的北偏東50°方向，那么∠AOB的度數(shù)等于．【答案】85°．【解析】解：如圖：∵∠2=50°，∴∠3=40°，∵∠1=45°，∴∠AOB=∠1+∠3=45°+40°=85°，故答案為：85°．【總結(jié)升華】本題主要考查了方位角的概念，根據(jù)方位角的概念，畫圖正確表示出A，B的方位，注意東南方向是45度是解答此題的關(guān)鍵．類型五、鐘表上有關(guān)夾角問題6.在7時(shí)到7時(shí)10分之間的什么時(shí)刻，時(shí)針與分針成一條直線?【答案與解析】解：設(shè)7時(shí)x分鐘，時(shí)針與分針成一條直線，由題意得：答：7時(shí)分鐘時(shí)針與分針成一條直線．【總結(jié)升華】時(shí)鐘上的分針與時(shí)針繞