6.2.3

向量的數(shù)乘運(yùn)算第六章

6.2

平面向量的運(yùn)算學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解向量數(shù)乘的概念.2.理解并掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算律，會(huì)運(yùn)用向量數(shù)乘的運(yùn)算律進(jìn)行向量運(yùn)算.3.理解并掌握向量共線(xiàn)定理及其判定方法.NEIRONGSUOYIN內(nèi)容索引知識(shí)梳理題型探究隨堂演練1知識(shí)梳理PARTONE實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)

，這種運(yùn)算叫做向量的

，記作

，其長(zhǎng)度與方向規(guī)定如下：(1)|λa|＝

.(2)λa(a≠0)的方向特別地，當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝

.當(dāng)λ＝－1時(shí)，(－1)a＝－a.知識(shí)點(diǎn)一向量數(shù)乘的定義當(dāng)

時(shí)，與a的方向相同；當(dāng)

時(shí)，與a的方向相反.向量數(shù)乘λa|λ||a|λ>0λ<001.(1)λ(μa)＝

.(2)(λ＋μ)a＝

.(3)λ(a＋b)＝

.特別地，(－λ)a＝－λa＝

，λ(a－b)＝

.2.向量的線(xiàn)性運(yùn)算向量的

、

、

運(yùn)算統(tǒng)稱(chēng)為向量的線(xiàn)性運(yùn)算，對(duì)于任意向量a，b，以及任意實(shí)數(shù)λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝

.知識(shí)點(diǎn)二向量數(shù)乘的運(yùn)算律(λμ)aλa＋μaλa＋λbλ(－a)λa－λb加減數(shù)乘λμ1a±λμ2b向量a(a≠0)與b共線(xiàn)的充要條件是：存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使

.知識(shí)點(diǎn)三向量共線(xiàn)定理b＝λa思考向量共線(xiàn)定理中為什么規(guī)定a≠0?答案若將條件a≠0去掉，即當(dāng)a＝0時(shí)，顯然a與b共線(xiàn).(1)若b≠0，則不存在實(shí)數(shù)λ，使b＝λa.(2)若b＝0，則對(duì)任意實(shí)數(shù)λ，都有b＝λa.思考辨析判斷正誤SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU1.若向量b與a共線(xiàn)，則存在唯一的實(shí)數(shù)λ使b＝λa.(

)提示當(dāng)b＝0，a＝0時(shí)，實(shí)數(shù)λ不唯一.2.若b＝λa，則a與b共線(xiàn).(

)3.若λa＝0，則a＝0.(

)提示若λa＝0，則a＝0或λ＝0.4.|λa|＝λ|a|.(

)提示|λa|＝|λ|·|a|.×√××2題型探究PARTTWO例1

(1)若a＝2b＋c，化簡(jiǎn)3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)等于A(yíng).－a

B.－bC.－c

D.以上都不對(duì)一、向量的線(xiàn)性運(yùn)算√解析原式＝3a＋6b－6b－2c－2a－2b＝a－2b－2c＝2b＋c－2b－2c＝－c.(2)若3(x＋a)＋2(x－2a)－4(x－a＋b)＝0，則x＝________.解析由已知，得3x＋3a＋2x－4a－4x＋4a－4b＝0，所以x＋3a－4b＝0，所以x＝4b－3a.4b－3a反思感悟向量線(xiàn)性運(yùn)算的基本方法(1)類(lèi)比法：向量的數(shù)乘運(yùn)算類(lèi)似于代數(shù)多項(xiàng)式的運(yùn)算，例如，實(shí)數(shù)運(yùn)算中的去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)、提取公因式等變形手段在數(shù)與向量的乘積中同樣適用，但是這里的“同類(lèi)項(xiàng)”、“公因式”是指向量，實(shí)數(shù)看作是向量的系數(shù).(2)方程法：向量也可以通過(guò)列方程來(lái)解，把所求向量當(dāng)作未知數(shù)，利用解方程的方法求解，同時(shí)在運(yùn)算過(guò)程中多注意觀(guān)察，恰當(dāng)?shù)倪\(yùn)用運(yùn)算律，簡(jiǎn)化運(yùn)算.跟蹤訓(xùn)練1

計(jì)算：(a＋b)－3(a－b)－8a.解(a＋b)－3(a－b)－8a＝(a－3a)＋(b＋3b)－8a＝－2a＋4b－8a＝－10a＋4b.二、用已知向量表示其他向量√解析因?yàn)镋是BC的中點(diǎn)，反思感悟用已知向量表示其他向量的兩種方法(1)直接法(2)方程法當(dāng)直接表示比較困難時(shí)，可以首先利用三角形法則和平行四邊形法則建立關(guān)于所求向量和已知向量的等量關(guān)系，然后解關(guān)于所求向量的方程.√解析示意圖如圖所示，三、向量共線(xiàn)的判定及應(yīng)用例3

設(shè)a，b是不共線(xiàn)的兩個(gè)向量.＝a＋2b，∴A，B，C三點(diǎn)共線(xiàn).(2)若8a＋kb與ka＋2b共線(xiàn)，求實(shí)數(shù)k的值.解∵8a＋kb與ka＋2b共線(xiàn)，∴存在實(shí)數(shù)λ，使得8a＋kb＝λ(ka＋2b)，即(8－λk)a＋(k－2λ)b＝0，解得λ＝±2，∴k＝2λ＝±4.反思感悟(1)證明或判斷三點(diǎn)共線(xiàn)的方法一般來(lái)說(shuō)，要判定A，B，C三點(diǎn)是否共線(xiàn)，只需看是否存在實(shí)數(shù)λ，使得

即可.(2)利用向量共線(xiàn)求參數(shù)的方法已知向量共線(xiàn)求λ，常根據(jù)向量共線(xiàn)的條件轉(zhuǎn)化為相應(yīng)向量系數(shù)相等求解.A，B，D∴A，B，D三點(diǎn)共線(xiàn).核心素養(yǎng)之邏輯推理HEXINSUYANGZHILUOJITUILI三點(diǎn)共線(xiàn)的常用結(jié)論A.1 B.2C.3 D.4√解析連接AO(圖略)，∵O是BC的中點(diǎn)，素養(yǎng)提升(1)本題主要是應(yīng)用判斷三點(diǎn)共線(xiàn)的一個(gè)常用結(jié)論：若A，B，C三點(diǎn)共線(xiàn)，O為直線(xiàn)外一點(diǎn)?存在實(shí)數(shù)x，y，使

，且x＋y＝1.(2)應(yīng)用時(shí)一定注意O是共同的起點(diǎn)，主要是培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理的核心素養(yǎng).3隨堂演練PARTTHREE123451.下列運(yùn)算正確的個(gè)數(shù)是①(－3)·2a＝－6a；②2(a＋b)－(2b－a)＝3a；③(a＋2b)－(2b＋a)＝0.A.0 B.1C.2 D.3√解析根據(jù)向量數(shù)乘運(yùn)算和加減運(yùn)算規(guī)律知①②正確；③(a＋2b)－(2b＋a)＝a＋2b－2b－a＝0，是零向量，而不是0，所以該運(yùn)算錯(cuò)誤.所以運(yùn)算正確的個(gè)數(shù)為2.12345√12345√123454.化簡(jiǎn)4(a－3b)－6(－2b－a)＝______.解析4(a－3b)－6(－2b－a)＝4a－12b＋12b＋6a＝10a.10a解析因?yàn)锳，B，D三點(diǎn)共線(xiàn)，＝(3－k)e1－