保密★使用前保密★使用前泉州市2025屆高中畢業(yè)班質(zhì)量監(jiān)測（三）2025.03本試卷共19題，滿分150分，共8頁?？荚囉脮r120分鐘。一、選擇題答案：二、選擇題答案：9.AD10.BCD11.ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。3四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。1513分）（1）若MF‖平面ABC，求λ;若，求平面PAB與平面MAC夾角的正弦值．【命題意圖】本題考查空間點、直線與平面間的位置關(guān)系等知識；考查推理論證、運算求解等能力；考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想等；體現(xiàn)應(yīng)用性、創(chuàng)新性、綜合性，導(dǎo)向?qū)χ庇^想象、數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng)的關(guān)注.解法一1）依題意得,△PAC為正三角形，取PA中點N，又因為E為PC的中點，所以F為PN中點，則因為MF∥平面ABC，MF平面PAB，由可知BC2=AB2+AC2，則△ABC為等腰直角三角形，AB丄AC，△PAB為等腰直角三角形，M為斜邊PB中點，則△PAM也為等腰直角三角形，取AM中點H，則NH丄AM，且，連結(jié)CH，AM丄平面CNH，在Rt△CHN中解法二：（1）同解法一；由可知BC2=AB2+AC2，則△ABC為等腰直角三角形，AB丄AC，取AC中點O，連結(jié)PO，則PO丄AC，取BC中點Q，連結(jié)OQ，則OQ∥AB，所以O(shè)Q，OC，OP兩兩相互垂直，以O(shè)為原點，OQ，OC，OP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.A(0,-1,0)，B(2,-1,0)，C(0,1,0)設(shè)平面MAC的一個法向量n=(x,y,z)，則n.AM=0，n.AC=0，即記平面PAB與平面MAC夾角為解法三：（1）因為EF丄平面PAB，所以EF丄AB，2+AC2，則△ABC為等腰直角三角形，AB丄AC，△PAC為正三角形，取AC中點O，連結(jié)PO，則PO丄AC，取BC中點Q，連結(jié)OQ，則OQ∥AB，又因為EF與AC相交于平面PAC，所以O(shè)Q，OC，OP兩兩相互垂直，以O(shè)為原點，OQ，OC，OP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.A(0,-1,0)，B(2,-1,0)，C(0,1,0)因為MF∥平面ABC，MF平面PAB，因為所以補充說明：第一小題利用坐標(biāo)法解答得9分，其中證明AB丄平面PAC得3分，請把這3分的分值寫到第二小題的得分欄。設(shè)平面MAC的一個法向量n=(x,y,z)，則n.AM=0，n.AC=0，即記平面PAB與平面MAC夾角為解法四：(1)同解法一；(2)設(shè)點C在平面PAB的射影為N，則CN丄平面PAB，過點N做NH丄AM，垂足為H，連結(jié)CH，AM丄平面CNH，則AM丄CH，上CHN為PAMC的平面角，由可知BC2=AB2+AC2，則△ABC為等腰直角三角形，AB丄AC，△PAC為正三角形，取AC中點O，連結(jié)PO，則PO丄AC，因為ACB，則△△ABC.PO，所以在△PBC中，在△MCA中△MCA∽△PBC（12分）1615分）淄博燒烤、哈爾濱冬日冰雪、山河四省夢幻聯(lián)動、鄂了贛飯真湘……，2023年全國各地的文旅部門在網(wǎng)絡(luò)上掀起了一波花式創(chuàng)意宣傳，帶火了各地的文旅市場，很好地推動國內(nèi)旅游業(yè)的發(fā)展．已知某旅游景區(qū)在手機APP上推出游客競答的問卷，題型為單項選擇題，每題均有4個選項，其中有且只有一項是正確選項．對于游客甲，在知道答題涉及的內(nèi)容的條件下，可選出唯一的正確選項；在不知道答題涉及的內(nèi)容的條件下，則隨機選擇一個選項．已知甲知道答題涉及內(nèi)容的題數(shù)占問卷總題數(shù)的．（1）求甲任選一題并答對的概率；（2）若問卷答題以題組形式呈現(xiàn)，每個題組由2道單項選擇題構(gòu)成，每道選擇題答對得2分，答錯扣1分，放棄作答得0分．假設(shè)對于任意一道題，甲選擇作答的概率均為，且兩題是否選擇作答及答題情況互不影響，記每組答題總得分為X．（i）求P(X=4)和P(X=-2)；（ii）求E(X)．【命題意圖】本小題主要考查全概率、獨立事件、分布列、數(shù)學(xué)期望、等基礎(chǔ)知識，考查運算求解、推理論證、數(shù)據(jù)處理能力，體現(xiàn)綜合性、創(chuàng)新性、應(yīng)用性，導(dǎo)向?qū)Πl(fā)展數(shù)學(xué)運算、邏輯推理、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)的關(guān)注．【試題簡析】（1）記“甲任選一道題并答對”為事件M，“甲知道答題涉及內(nèi)容”為事件A．依題意P(MA)=1，分因為事件MA與MA互斥，所以P(M)=P(MA+MA)=P(MA)+P(MA)（沒說明互斥不扣分）3分本小題答對任意一個2分，答對兩個3分）8分 1715分）已知求的最大值與最小值；（2）若關(guān)于x的不等式lnx>ax2-1存在唯一的整數(shù)解，求實數(shù)a的取值范圍．【命題意圖】本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、不等式等基礎(chǔ)知識，考查運算求解、推理論證、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化化歸等能力，體現(xiàn)綜合性、創(chuàng)新性，導(dǎo)向?qū)Πl(fā)展數(shù)學(xué)運算、邏輯推理、直觀想象等核心素養(yǎng)的關(guān)注．【試題簡析】f'(x)，f(x)的變化情況如下表所示.xf'(x)+0-f(x)單調(diào)遞增單調(diào)遞減········································································································4分所以，f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.當(dāng)有極大值，也是f(x)的最大值.·································5分又因為（2）解法一：因為x>0，所以不等式lnx>ax2-1可化為分由（1）可知在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.因為f(x)的最大值，f(1)=1，·············································9分*，x所以不等式lnx>ax2-1即a<f(x)存在唯一的整數(shù)解只能為1，（整步只提供圖形沒有解釋扣2分）11分解法二：令g(x)=lnx—ax2+1(x>0)，由題意可知g(x)>0有唯一整數(shù)解，·················8分而g(1)=1a>0，所以g(2)>g(1)>0，與題意矛盾；································9分所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以取最大值為，·····································10分若由在單調(diào)遞增知0<g(1)<g(2)≥0，矛盾1817分）（1）求φ(2),φ(3),φ(6)；（i）求φ(6n)；設(shè)數(shù)列的前n項和為Tn，證明：．【命題意圖】本小題主要考查等比數(shù)列的通項公式與數(shù)列求和等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程、化歸與轉(zhuǎn)化等思想，體現(xiàn)基礎(chǔ)性，導(dǎo)向?qū)Πl(fā)展數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng)的關(guān)注．【試題解析】（1）依題可得φ(m)表示所有不超過正整數(shù)m，且與m互質(zhì)的正整數(shù)的個數(shù)，因為與2互質(zhì)的數(shù)為1，所以φ(2)=1；····················································1分因為與3互質(zhì)的數(shù)為1,2，所以φ(3)=2；·················································2分（2）①因為[1,2n]中與2n互質(zhì)的正整數(shù)只有奇數(shù)，n1）中與3n互質(zhì)的正整數(shù)只有3k2與3k1兩········································································································7分所以φ(6n)=φ(2n)φ(3n)=2.6n—1.·····························································9分令因為,所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列.···································14分所以數(shù)列的前n項和分所以又因為所以．·································17分又因為所以分所以所以分1917分）已知中心在原點、焦點在x軸上的圓錐曲線E的離心率為2，過E的右焦點F作垂直于x軸的直線，該直線被E截得的弦長為6．（1）求E的方程；（2）若面積為3的△ABC的三個頂點均在E上，邊BC過F，邊AB過原點，求直線BC的方程；（3）已知M(1,0)，過點的直線l與E在y軸的右側(cè)交于不同的兩點P,Q，l上是否存在點S滿足TP.SQ=PS.TQ，且|SM|+|SF|=請說明理由.【命題意圖】本小題主要考查雙曲線的定義，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與雙曲線的位置關(guān)系等知識；考查運算求解、邏輯推理等能力；考查數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等思想；體現(xiàn)基礎(chǔ)性、綜合性與創(chuàng)新性，導(dǎo)向?qū)χ庇^想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng)的關(guān)注．【試題解析】（1）圓錐曲線E的離心率為2，故E為雙曲線，·············································1分因為E中心在原點、焦點在x軸上，所以設(shè)E的方程為，【說明：指出曲線為雙曲線，或正確寫出曲線的方程形式，均可得1分，但不累計得分】令x=c，解得所以有......①·······································2分又由離心率為......②,··················································3分由①②解得··········································································4分所以雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程是．··················································4分解法一2）設(shè)B(x1,y1),C(x2,y2)，由已知，得F(2,0)，根據(jù)直線AB過原點及對稱性，22解得，........8分【到此可得第8分】所以直線BC的方程是或分解法二：（2）設(shè)B(x1,y1),C(x2,y2)，由已知，得F(2,0)，根據(jù)直線AB過原點及對稱性，知其中d為原點O到直線BC的距離 ········································································································5分22所以又因為于是 所以直線BC的方程是或8分解法一3）若直線l斜率不存在，此時直線l與雙曲線右支無交點，不合題意，設(shè)直線l方程聯(lián)立方程，得化簡整理，得因為恒成立，所以k2-3>0，故k2-4k>0，x2,y2)，則由韋達定理，得EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up6(-),S)將代入，解得分線段（不含線段端點S1,S2·····························································14分】故3x014=4(y02)，即點S的軌跡為定直線l1:3x4y6=0上的一段