多維隨機變量及其分布

n（元）維隨機變量（向量）

稱同一個樣本空間

上的

n個隨機變量X1，X2，…，Xn

構成的n維向量(X1,X2,…,Xn)為

上的n維隨機變量

(向量)。

注：一維隨機變量即為上一節(jié)介紹的隨機變量，二維及二維以上的隨機變量稱為多維隨機變量.分布函數(shù)n元實函數(shù)F(x1,x2,…,xn)=P{X1≤x1,X2≤x2,…,Xn≤xn}(x1,x2,…,xn)∈Rn

稱為n維隨機變量(X1,X2,…,Xn)的分布函數(shù)。特別:二維隨機向量(X,Y)的分布函數(shù)為F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}(x,y)∈R2注意:X1≤x1,X2≤x2,…,Xn≤xn

均表示事件,{X1≤x1,X2≤x2,…,Xn≤xn}表示這幾個事件同時發(fā)生.或稱為X與Y的聯(lián)合分布函數(shù)第3.1節(jié)二維隨機變量XYxyX≤xY≤y{,}二維聯(lián)合分布函數(shù)區(qū)域演示圖:(x,y)一、二維離散型隨機變量⒈二維離散型隨機變量的概念如果二維隨機變量（X,Y）的全部取值(數(shù)對）為有限個或無限可列個，則稱隨機變量（X,Y）為離散型的。易見，二維隨機變量(X,Y)為離散型的等價于它的每個分量X與Y分別都是一維離散型的。⒉概率分布及其性質(zhì)稱pij=P{X=xi,Y=yj},(i,j=1,2,...,)為(X,Y)的概率分布(分布律）,其中{(xi,yj),i,j=1,2,...}為(X,Y)的取值集合,表格形式如下:Xx1x2…xi…y1y2…yj…

p11p12…p1j…p21p22…p2j………………pi1pi2…pij………………Y

(2)∑∑pij=1;

(3)P{(X,Y)∈D}=概率分布性質(zhì):

(1)pij≥0;i,j=1,2,…(4)F(x,y)=例3.1.1.將一枚均勻的硬幣拋擲4次,X表示正面向上的次數(shù),Y表示反面朝上次數(shù),求(X,Y)的概率分布.解:X的所有可能取值為0,1,2,3,4,Y的所有可能取值為0,1,2,3,4,

因為X+Y=4,所以(X,Y)概率非零的數(shù)值對為:XY0413223140P{X=0,Y=4}=P{X=2,Y=2}==1/4=6/16P{X=3,Y=1}==1/4P{X=4,Y=0}=0.54=1/16X01234Y01234聯(lián)合概率分布表為:

00001/160001/40006/160001/40001/160000P{X=1,Y=3}=0.54=1/16

離散型二維隨機向量聯(lián)合概率分布確定方法:

1.找出隨機變量X和Y的所有取值結果,得到(X,Y)的所有取值數(shù)對;2.利用古典概型或概率的性質(zhì)計算每個數(shù)值對的概率;3.列出聯(lián)合概率分布表.例3.1.2.二維隨機向量(X,Y)的概率分布為:X-101Y012

0.050.10.10.10.20.1a0.20.05求:(1)常數(shù)a的取值;(2)P{X≥0,Y≤1};(3)P{X≤1,Y≤1}解:(1)由∑pij=1得:a=0.1(2)由P{(X,Y)∈D}=得P{X≥0,Y≤1}=P{X=0,Y=0}+P{X=0,Y=1}+P{X=1,Y=0}+P{X=1,Y=1}=0.1+0.2+0.1+0.2=0.6(3)P{X≤1,Y≤1}=P{X=-1,Y=0}+P{X=-1,Y=1}+P{X=0,Y=0}

+P{X=0,Y=1}+P{X=1,Y=0}+P{X=1,Y=1}=0.753、離散型隨機變量的邊緣分布

邊緣分布列（律）對于離散型隨機變量(X,Y),分量X,Y的分布列（律）稱為邊緣分布列（律）。若(X,Y)的概率分布為pij=P{X=xi,Y=yj),i,j=1,2,...,則

P{X=xi}=(i=1,2,...)同理:一般地,記:P{X=xi}P{Y=yj}(j=1,2,...)分布表如下:XY.三、隨機變量的相互獨立性1.定義:稱隨機變量X,Y相互獨立,若對任意的x,y都有特別:若X與Y相互獨立，則它們的連續(xù)函數(shù)g(X)與h(Y)也相互獨立。特別有:aX+b與cY+d相互獨立.2.性質(zhì):例3.1.3.設(X,Y)的聯(lián)合概率分布表為:Pi.0.250.40.0.35X-101Y012

0.050.10.10.10.20.10.10.20.05p.j0.250.50.25求:(1)X,Y的邊緣分布;(2)X+Y的概率分布.解:(1)由分析得:X-101P0.250.40.35Y012P0.250.50.25(2)X+Y的取值為-1,0,1,2,3,P{X+Y=-1}=P{X=-1,Y=0}=0.05P{X+Y=0}=P{X=0,Y=0}+P{X=-1,Y=1}=0.2P{X+Y=1}=P{X=0,Y=1}+P{X=1,Y=0}同理,P{X+Y=2}=0.3,+P{X=-1,Y=2}=0.4X+Y-10123P0.050.20.40.30.05P{X+Y=3}=0.05例3.1.4.(X,Y)的聯(lián)合概率分布為:X01Y01

0.30.40.20.1(1)求X,Y的邊緣分布;(2)判斷X,Y是否獨立.解:(1)X,Y的概率分布分別為:X01P0.70.3Y01P0.50.5(2)P{X=0,Y=0}=0.3P{X=0}P{Y=0}=0.35X,Y不獨立.注意:X,Y獨立時,需對所有的(xi,yj)一一驗證.=0.7×0.5

2.（895）已知隨機變量X和Y的聯(lián)合概率分布為

(x,y)(0,0)(0,1)(1,0)(1,1)(2,0)(2,1)P{X=x,Y=y}0.100.150.250.200.15

A求：常數(shù)A；概率P{X≤1,Y≤1}；X、Y及X+Y的概率分布。

1.設隨機變量X在1，2，3,4四個整數(shù)中等可能地取值，另一個隨機變量Y在1—X中等可能地取一整數(shù)值。試求（X，Y）的聯(lián)合概率分布。課堂練習:3.甲.乙二人獨立地各進行兩次射擊,假設甲.乙的命中率分別為0.2,0.5,以X,Y表示甲.乙的命中次數(shù),求X,Y的聯(lián)合概率分布.解:X~B(2,0.2),Y~B(2,0.5),概率分布表為:X012P0.640.320.04Y012P0.250.50.25由X.Y的獨立性得(X,Y)的聯(lián)合概率分布為X012Y012

0.160.320.60.080.160.080010.020.01例3.1.5.若(X,Y)～

試求:(1)常數(shù)A;(2)P{X<2,Y<1};(3)

P{X≤x,Y≤y}.解:(1)所以,A=6=A/6=1(4)P{(X,Y)∈D},其中D為2x+3y≤6.XY0所以,P{X<2,Y<1}21{X<2,Y<1}(3)xXY0y所以,當x≥0,y≥0時,即:(4)P{(X,Y)∈D},其中D為2x+3y≤6.322x+3y=6XY0(1)P{(X,Y)∈D},其中D為y=-x+1,y=x+1,y=0所圍區(qū)域.XY0y=-x+1y=x+111練習:P{(X,Y)∈D}第3.2節(jié)邊緣分布一、邊緣分布函數(shù)對二維隨機變量（X，Y），稱分量X（或Y）的分布函數(shù)為（X，Y）關于X（或Y）的邊緣分布函數(shù)。

注意：由聯(lián)合分布可以決定邊緣分布，反過來，由邊緣分布決定不了聯(lián)合分布。但當分量獨立時就可以決定。聯(lián)合分布可以確定邊緣分布二、離散型隨機變量的邊緣分布

(2)邊緣分布列（律）對于離散型隨機變量(X,Y),分量X,Y的分布列（律）稱為邊緣分布列（律）。若(X,Y)的概率分布為pij=P{X=xi,Y=yj),i,j=1,2,...,則

P{X=xi}=(i=1,2,...)同理:一般地,記:P{X=xi}Pi.P{Y=yj}P.j(j=1,2,...)分布表如下:XY.三、連續(xù)型隨機變量的邊緣概率密度對于連續(xù)型隨機變量(X,Y)～f(x,y)，分量X,Y的概率密度稱為(X,Y)關于X，Y的邊緣概率密度。已知聯(lián)合概率密度，容易求出邊緣概率密度。事實上,(1)fX(x)≥0,(2)所以,fX(x)是X的概率密度,同理可證fY(y).例3.2.1.設(X,Y)的聯(lián)合概率分布表為:Pi.0.250.40.0.35X-101Y012

0.050.10.10.10.20.10.10.20.05p.j0.250.50.25求:(1)X,Y的邊緣分布;(2)X+Y的概率分布.解:(1)由分析得:X-101P0.250.40.35Y012P0.250.50.25(2)X+Y的取值為-1,0,1,2,3,P{X+Y=-1}=P{X=-1,Y=0}=0.05P{X+Y=0}=P{X=0,Y=0}+P{X=-1,Y=1}=0.2P{X+Y=1}=P{X=0,Y=1}+P{X=1,Y=0}同理,P{X+Y=2}=0.3,+P{X=-1,Y=2}=0.4X+Y-10123P0.050.20.40.30.05P{X+Y=3}=0.05例3.2.2.設隨機向量(X,Y)服從區(qū)域D上的均勻分布,其中

D={(x,y),x2+y2≤1},求X,Y的邊緣密度函數(shù)fX(x)和fY(y).解:(1)由題意得:XY-11當|x|>1時,f(x,y)=0,所以,fX(x)=0當|x|≤1時,所以,同理,注意:均勻分布的邊緣密度不再是一維均勻分布例3.2.3（924）設二維隨機變量（X，Y）的概率密度為⑴求隨機變量X的密度函數(shù)；⑵求概率P{X+Y≤1}.解:(1)x≤0時,fX(x)=0;x>0時,fX(x)=所以,⑵P{X+Y≤1}=y=xx+y=11/2

二維正態(tài)分布定義:如果(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為其中σ1,σ2為正數(shù).則稱(X,Y)服從參數(shù)為的二維正態(tài)分布,簡記為

性質(zhì):邊緣分布分別為X~N(μ1,σ12),Y~N(μ2,σ22);第3.3節(jié)、條件分布一、條件分布律設（X，Y）是離散型隨機變量，對于固定的j,P{Y=yj}>0,則稱為Y=yj條件下X的條件分布律，記為P{X|Y=yj}同理，可有P{Y|X=xi}1、定義2、性質(zhì)（1）P{X|Y=yj}0（2）

二、條件概率密度設（X，Y）是二維連續(xù)型型隨機變量，其概率密度為f(x,y)。對于固定的y，若fY(y)>0,則稱為Y=y條件下X的條件概率密度。1、定義2、性質(zhì)（1）（2）三、條件分布函數(shù)定義：對給定的y，設對于任意固定的正數(shù)

，有則切對于任意實數(shù)x,若極限存在，則稱此極限為在Y=y下X的條件分布函數(shù)，記作類似地可定義離散型：連續(xù)型：第3.4節(jié)、相互獨立的隨機變量1.定義:稱隨機變量X,Y相互獨立,若對任意的x,y都有特別:若X與Y相互獨立，則它們的連續(xù)函數(shù)g(X)與h(Y)也相互獨立。特別有:aX+b與cY+d相互獨立.2.性質(zhì):例3.4.1.設(X,Y)服從區(qū)域D上的均勻分布,判斷X,Y的獨立性,其中:(1)D={(x,y),|x|≤1,|y|≤1};(2)D={(x,y),x2+y2≤1}fX(x)=|x|≤1|x|>10fY(y)=解:(1)同理,所以,X,Y獨立.(2)所以,X,Y不獨立.例3.4.2（941）設隨機變量X，Y是相互獨立的，且X,Y等可能地取0，1為值，求隨機變量Z=max(X,Y)的分布列。解:X01P1/21/2Y01P1/21/2(X,Y)的取值數(shù)對為(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),Z=max(X,Y)的取值為:0,1P{Z=0}=P{X=0,Y=0}=P{X=0}P{Y=0}=1/4P{Z=1}==3/4所以,Z的分布列為Z01P1/43/4P{X=0,Y=1}+P{X=1,Y=0}+P{X=1,Y=1}例3.4.3

已知隨機向量(X,Y)的聯(lián)合密度為

(1)問X與Y是否獨立？(2)求概率P{X<Y}.解:(1)(2)P{X<Y}=所以,X,Y獨立.3.n個隨機變量獨立性的概念與性質(zhì)離散型隨機變量X1,X2,…，Xn相互獨立等價于聯(lián)合概率分布等于邊緣概率分布的乘積。連續(xù)型隨機變量X1,X2,…，Xn相互獨立等價于聯(lián)合密度函數(shù)等于邊緣密度函數(shù)的乘積。定義:稱n個隨機變量X1,X2,…，Xn相互獨立,若對任意

xi(i=1,2,…，n),有

F(x1,x2,…,xn)=FX1(x1)…FXn(xn)特別:若n個隨機變量X1,X2,…,Xn相互獨立,則它們中的任意m(1<m≤n)個隨機變量Xi1,Xi2,…,Xim也相互獨立.4、隨機變量序列獨立性的概念定義:

稱隨機變量序列X1,X2,…,Xn,…為相互獨立的,如果它們中任意n(n=2,3,…)個隨機變量都是相互獨立的.

特別若每個Xi(i=1,2,…)的分布相同,則稱之為獨立同分布(i.i.d)序列。

例3.5.1、