成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析

【考試要求】1.了解樣本相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計含義.2.理解一元線性回歸模型和2X2列聯(lián)表.會運

用這些方法解決簡單的實際問題.3.會利用統(tǒng)計軟件進(jìn)行數(shù)據(jù)分析.

■落實主干知識

【知識梳

1.變量的相關(guān)關(guān)系

(1)相關(guān)關(guān)系：兩個變量有去蜜，但又沒有確切到可由其中的一個去精確地決定另一個的程度,

這種關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系.

(2)相關(guān)關(guān)系的分類：正柱關(guān)和負(fù)相關(guān).

(3)線性相關(guān)：一般地，如果兩個變最的取值呈現(xiàn)正相關(guān)或負(fù)相關(guān)，而且散點落在一條直線附

近，我們稱這兩個變量線性相關(guān).

2.樣本相關(guān)系數(shù)

/="1X-xy>—y

(1)r=//■:

y二埼一二、二匕-72

(2)當(dāng)力0時，稱成對樣本數(shù)據(jù)陰聯(lián)；當(dāng)*0時，稱成對樣本數(shù)據(jù)負(fù)相關(guān).

(3))|W1；當(dāng)|r|越接近1時，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強(qiáng)；當(dāng)行越接近0時，成對

樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越嵬.

3.一元線性回歸模型

⑴我們將尸嘛為F關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程，

,——

-z：.XLX匕一y

b=~2，

其中1工％一X

a=y-bx.

(2)殘差：觀測值減去預(yù)測值,稱為殘差.

4.列聯(lián)表與獨立性檢驗

⑴關(guān)于分類變最才和V的抽樣數(shù)據(jù)的2X2列聯(lián)表:

Y合計

K=0r=i

/=3aba+b

X=\cdc+d

合計a+cb+d〃=a+6+c+d

⑵計算隨機(jī)變量/=a+b第Fb+d，利用力的取值推斷分類變量X

和了是否獨立的方法稱為一獨立性檢驗.

a0.100.050.0100.0050.001

x?2.7063.8416.6357.87910.828

【常用結(jié)論】

1.經(jīng)驗回歸直線過點（；，7）.

n____

〃xy

2.求方時，常用公式5=-----------.

n_

十22

工Xi-nx

7-i

3.回歸分析和獨立性檢驗都是基于成對樣本觀測數(shù)據(jù)進(jìn)行估計或推斷，得出的結(jié)論都可能犯

錯誤.

【思考沙析】

判斷下列結(jié)論是否正確（請在括號中打“J”或“X”）

（1）散點圖是判斷兩個變量相關(guān)關(guān)系的一種重要方法和手段.（J）

⑵經(jīng)驗回歸直線y=8*+a至少經(jīng)過點（乂，y）,（照，㈤，…，（乂，卜）中的一個點.（X）

（3）樣本相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近1,成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強(qiáng).（J）

（4）若分類變量XV關(guān)系越密切，則由觀測數(shù)據(jù)計算得到的八二的觀測值越小.（X）

【教材改編題】

1.實驗測得四組（必力的值為（1,2）,（2,3）,（3,4）,（4,5）,則y與x之間的經(jīng)驗回歸方程

為（）

A.y=x+lB.y=x+2

C.y=2x+1D.y=x~1

答案A

—

解析由已知可得X=-X(14-24-3+4)=2.5,

一1

y=-X（2+3+4+5）=3.5,

所以經(jīng)驗回歸直線過點（2.5,3.5）,

所以把點⑵5,3.5）代入四個選項中驗證，可得只有y=x+l成立.

2.（多選）下列關(guān)于成對樣本數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析的判斷中正確的有（）

A.若樣本相關(guān)系數(shù)r=0,則說明成對樣本數(shù)據(jù)沒有相關(guān)性

B.樣本相關(guān)系數(shù)「越大，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)性越強(qiáng)

C.用最小二乘法求得的一元線性回歸模型的殘差和一定是0

D,決定系數(shù)〃越大，殘差平方和越小，模型的擬合效果越好

答案CD

解析對于A,當(dāng)時.只表明成對樣本數(shù)據(jù)間沒有線性相關(guān)關(guān)系，但是不排除它們之間

有其他相關(guān)關(guān)系，故A錯誤；

對于B,樣本相關(guān)系數(shù)r|越大，成對樣木數(shù)據(jù)的線性相關(guān)性越強(qiáng)，故B錯誤；

對于C,殘差和為

n

"（%—%）=￡［力—（6為+。）］

/=1/=.

n*n

=￡匕-/%一

i=li=\/"1

=ny-nbx-na

=n（y—bx—a）=0,故C正確；

對于一D,決定系數(shù)〃越大，表示殘差平方和越小，即模型的擬合效果越好，故D正確.

3.（多選）為了解閱讀量多少與幸福感強(qiáng)弱之間的關(guān)系，一個調(diào)查機(jī)構(gòu)根據(jù)所得到的數(shù)據(jù)，繪

制了如下所示的2X2列聯(lián)表（個別數(shù)據(jù)暫用字母表示）：

幸福感強(qiáng)幸福感弱合計

閱讀量多m1872

閱袤量少36n78

合計9060150

計算得：/比12.981,參照下表:

U0.100.050.0250.0100.0050.001

X。2.7G63.8415.0246.6357.87910.828

對于下面的選項，正確的為（）

A.根據(jù)小概率值。=0.010的獨立性檢驗，可以認(rèn)為“閱讀量多少與幸福感強(qiáng)弱無關(guān)”

B.力=54

C.根據(jù)小概率值。=（）.（）05的獨立性檢驗，可以在犯錯誤的概率不超過0.5%的前提下認(rèn)為

“閱讀量多少與幸福感強(qiáng)弱有關(guān)”

D.〃=52

答案BC

解析V八一981>7.879>6.635,

，根據(jù)小概率值。=0.01。的獨立性檢驗，可以在犯錯誤的概率不超過戰(zhàn)的前提下認(rèn)為“閱

讀量多少與幸福感強(qiáng)弱有關(guān)”，

根據(jù)小概率值。=0.005的獨立性檢驗，可以在犯錯誤的概率不超過0.5%的前提下認(rèn)為“閱

讀量多少與幸福感強(qiáng)弱有關(guān)”，

；?A錯,C對，

??5+36=90,18+77=60,

??m—549〃=42,

，B對，D錯.

■探究核心題型

題型一成對數(shù)據(jù)的相關(guān)性

例1（1）對變量X,y有觀測數(shù)據(jù)（％,y>）（7=1,2,10）,得散點圖如圖1,對變量u,/

有觀測數(shù)據(jù)（a,KZ）（7-1,2,…，10）,得散點圖如圖2.由這兩個散點圖可以判斷（）

v

5()

40

3()

10,

°01234567

圖1圖2

A.變量x與y正相關(guān)，〃與『正相關(guān)

B.變量x與y正相關(guān)，〃與/負(fù)相關(guān)

C.變量x與y負(fù)相關(guān)，〃與『正相關(guān)

D.變最x與y負(fù)相關(guān)，〃與P負(fù)相關(guān)

答案C

解析由題圖可得兩組數(shù)據(jù)均線性相關(guān)，且圖1的經(jīng)驗回歸直線的斜率為負(fù)，圖2的經(jīng)驗回

歸直線的斜率為正，則由散點圖可判斷變量x與y負(fù)相關(guān)，u與口正相關(guān).

（2）（多選）下列有關(guān)經(jīng)驗回歸分析的說法中正確的有（）

A.經(jīng)驗回歸直線必過點（x,y）

B.經(jīng)驗回歸直線就是散點圖中經(jīng)過樣本數(shù)據(jù)點最多的那條直線

C.當(dāng)樣本相關(guān)系數(shù)力0時，兩個變最正相關(guān)

D.如果兩個變量的相關(guān)性越弱，則|r|就越接近于0

答案ACD

解析對于A,經(jīng)驗回歸直線必過點（二，7）,故A正確；

對于B,經(jīng)驗回歸直線在散點圖中可能不經(jīng)過任一樣本數(shù)據(jù)點，故B不正確；

對于C,當(dāng)樣本相關(guān)系數(shù)時，則兩個變量正相關(guān)，故C正確；

對于D,如果兩個變量的相關(guān)性越弱，則|川就越接近于0,故D正確.

【教師備選】

1.在一組樣本數(shù)據(jù)（汨，兄，（如㈤，…，（X”%）（〃22,小，才2,…，也不全相等）的散點

圖中，若所有樣本點（必，匕）（了=1,2,…，〃）都在直線尸上，則這組樣本數(shù)據(jù)的樣

本相關(guān)系數(shù)為（）

A.-IB.0C.1D.1

答案I）

解析所有樣本點均在同一條斜率為正數(shù)的直線.匕則樣本相關(guān)系數(shù)最大，為1.

2.（多選）下列選項中正確的是（）

A.經(jīng)驗回歸分析中，川的值越大，說明殘差平方和越小

B.若一組觀測數(shù)據(jù)（加，必），（而，》），…，（Xn,%）滿足■=-[+a+d（/=1,2,…，〃），

若&恒為0,則〃=1

C.經(jīng)驗回歸分析是對具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量進(jìn)行統(tǒng)計分析的一種常用方法

D.畫殘差圖時，縱坐標(biāo)為殘差，橫坐標(biāo)一定是編號

答案ABC

解析對于A,經(jīng)驗回歸分析中，川的值越大，說明模型的擬合效果越好，則殘差平方和越

小，A對；

對于B,若一組觀測數(shù)據(jù)（小，y）,（而，㈤，…，（無，后）滿足卜=魴+々+8（了=1,2一??，

〃），若8恒為0,則川=1,B對；

對于C,經(jīng)驗回歸分析是對具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量進(jìn)行統(tǒng)計分析的一種常用方法，C對；

對于D,殘差圖中橫坐標(biāo)可以是樣本編號，也可以是身高數(shù)據(jù)，還可以是體重的估計值等，D

錯.

思維升華判定兩個變量相關(guān)性的方法

（D畫散點圖：點的分布從左下角到右上角，兩個變量正相關(guān)；點的分布從左上角到右下角，

兩個變量負(fù)相關(guān).

(2)樣本相關(guān)系數(shù)：當(dāng)上0時，正相關(guān)；當(dāng)*0時，負(fù)相關(guān)：1/'越接近于1,相關(guān)性越強(qiáng).

(3)經(jīng)驗回歸方程：當(dāng)力0時，正相關(guān)；當(dāng)從0時，負(fù)相關(guān).

跟蹤訓(xùn)練1(1)己知變量x和y滿足關(guān)系尸一0.1%+1,變量y與z正相關(guān).下列結(jié)論中正

確的是()

A.x與y正相關(guān)，x與z負(fù)相關(guān)B.x與y正相關(guān)，x與z正相關(guān)

C.x與y負(fù)相關(guān)，A■與z負(fù)相關(guān)D.x與/負(fù)相關(guān)，x與ziE相關(guān)

答案C

解析因為y=-0.1%+1的斜率小于0,故*與y負(fù)相關(guān).因為y與z正相關(guān)，可設(shè)

+&6>0,則z=0y+a=—0.">+〃+$故x與/負(fù)相關(guān).

⑵對四組數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計，獲得如圖所示的散點圖，關(guān)于其樣本相關(guān)系數(shù)的比較，正確的是

()

樣本相關(guān)系數(shù)為。樣本相關(guān)系數(shù)為心

(1)(2)

樣本相關(guān)系數(shù)為G樣本相關(guān)系數(shù)為小

(4)

A.z^<ri<0<r3<?'iB.z：i<^<0<ri<?'3

C.n<72<0<r3<riD.Z2<rt<0<ri<n

答案A

解析由散點圖知圖⑴與圖⑶是正相關(guān)，故八>0,r3>C,圖(2)與圖⑷是負(fù)相關(guān)，故及(0,

水0,且圖⑴與圖⑵的樣本點集中在一條直線附近，因此水水0<水工

題型二回歸模型

命題點1一元線性回歸模型

例2(2022?廣州模擬)2021年2月25日，在全國脫貧攻堅總結(jié)表彰大會上，習(xí)近平總書記

莊嚴(yán)宣告：我國脫貧攻堅戰(zhàn)取得全面勝利.目前，河南省53個貧困縣已經(jīng)全部脫貧摘帽，退

出貧困縣序列.2016年起，我省某貧困地區(qū)創(chuàng)新開展產(chǎn)業(yè)扶貧，響應(yīng)第三產(chǎn)業(yè)的扶貧攻堅政

策，經(jīng)濟(jì)收入逐年增加.該地的經(jīng)濟(jì)收入變化及構(gòu)成比例如圖所示：

年份2016年2017年2018年2019年2020年

年份代號X12345

經(jīng)濟(jì)收入y(單位：百萬元)59141720

2020年經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例

(1)根據(jù)以上圖表，試分析：與2016年相比，2020年第三產(chǎn)業(yè)與種植業(yè)收入變化情況；

(2)求經(jīng)濟(jì)收入y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程，并預(yù)測2025年該地區(qū)的經(jīng)濟(jì)收入.

解(1)①與2016年相比，2020年第三產(chǎn)業(yè)的收入占比大幅度增加；

②201G年第三產(chǎn)業(yè)的收入為0.3百萬元，2020年第三產(chǎn)業(yè)的收入為G百萬元，收入大幅度增

加；

③與2016年相比，種植業(yè)收入占比減少，但種植業(yè)收入依然保持增長.

(2)由表格中的數(shù)據(jù)可知，

-1+2+3+4+5

x-z=3,

5

—5+9+14+17+20

-------5-------=⑶

X^=12+224-32+424-52=55,

Zx,y=lX5+2X9+3><14+4X17+5X20=233,

5____

5￡*,匕-5xy

-/=1XLXy>—y

則加=---------

5x

233-5X3X13

=-55-5X3」-=3*8，

所以a=y~bx=1.6,

故經(jīng)濟(jì)收入y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程為

y=3.8x+l.6,

當(dāng)x=10時，y=39.6,貝!預(yù)測2025年該地區(qū)的經(jīng)濟(jì)收入為39.6百萬元.

命題點2非線性回歸模型

例3（2022?吉林模擬）全球化時代，中國企業(yè)靠什么在激烈的競爭中成為世界一流企業(yè)

呢？由人民日報社指導(dǎo)，《中國經(jīng)濟(jì)周刊》主辦的第十八屆中國經(jīng)濟(jì)論壇在人民FI報社舉行,

就中國企業(yè)如何提升全球行業(yè)競爭力進(jìn)行了研討.數(shù)據(jù)顯示，某企業(yè)近年加大了科技研發(fā)資

金的投入，其科技投入*（百萬元）與收益y（百萬元）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下：

科技投入X1234567

收益y19202231405070

根據(jù)數(shù)據(jù)特點，甲認(rèn)為樣本點分布在指數(shù)型曲線尸的周圍，據(jù)此他勸數(shù)據(jù)進(jìn)行了一些

初步處理.如下表：

7

9%匕*-7)2

7ExiZi/=1

/=!/=17=1

514012391492134130

其中Zi=log2y>,z

?:一1

（1）請根據(jù)表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于/的經(jīng)驗回歸方程（系數(shù)精確到0.1）；

（2）①乙認(rèn)為樣本點分布在直線尸m的周圍，并計算得經(jīng)驗回歸方程為y=8.25x+3,以

及該回歸模型的決定系數(shù)應(yīng)=0.893,試比較甲、乙兩人所建立的模型，誰的擬合效果更好？

②由①所得的結(jié)論，計算該企業(yè)欲使收益達(dá)到1億元，科技投入的費用至少要多少百萬元？

（精確到0.1）

V-Vi

附：決定系數(shù)：〃=1

參考數(shù)據(jù)：1。?5弋2.3.

解（1）將y=2"L"兩邊取對數(shù)得log2_r=bx+a,令z=log2y?

^Az=bx+a,

???彳二%???根據(jù)最小二乘估計可知，

7____

￡xiZi—7xz

*7-

J-1

：.a=~z-bx=5-0.32X4=3.72^3.7,

，經(jīng)驗回歸方程為z=0.3、+3.7,即尸2。".

（2）①甲建立的回歸模型的

^=1-7777^0.939>必.=0.893.

，甲建立的回歸模型擬合效果更好.

②由①知，甲建立的問歸模型擬合效果更好.

設(shè)203*37-100,

解得0.3^+3.7^1ogJ00=2+21og>5,

解得x29.7.

???科技投入的費用至少要9.7百萬元，下一年的收益才能達(dá)到1億元.

【教師備選】

1.（2022?湖北九師聯(lián)盟聯(lián)考）下表是關(guān)于某設(shè)備的使用年限x（單位：年）和所支出的維修費

用y（單位：萬元）的統(tǒng)計表.

X23456

y3.44.25.15.56.8

由上表可得經(jīng)驗回歸方程尸0.81x+a,若規(guī)定：維修費用y不超過10萬元，一旦大于10

萬元時，該設(shè)備必須報廢.據(jù)此模型預(yù)測，該設(shè)備使用年限的最大值約為（）

A.7B.8C.91）.10

答案D

解析由表格，得

--1

X=TX(2+3+4+5+6)=4,

□

—1

y=rX(3.4+4.2+5.1+5.5+6.8)=5,

b

因為經(jīng)驗回歸直線恒過點匚7,7),

巨斤以5=0,RIX4+/?,

解得石=1.76,

所以經(jīng)驗回歸方程為y=0.81『H.76,

由j<10，得0.8期+1.76《10,

824

解得r^-rr-^lO.17,

O1

由于x￡N\所以據(jù)此模型預(yù)測，該設(shè)備使用年限的最大值約為10.

2.用模型尸典""擬合一組數(shù)據(jù)時，為了求出經(jīng)驗回歸方程，設(shè)z=lny,其變換后得到經(jīng)驗

回歸方程為z=0.5>+2,則c等于()

A.0.5B.e05C.2D.e2

答案D

解析因為兩邊取對數(shù)得，

Iny=ln(ce4')=lnc+lneAv=kx+Inc,

則z=A*+lnc,而z=0.5x+2,

于是得lnc=2,BPc=e2.

思維升華求經(jīng)驗回歸方程的步驟

L-------------------------------------------------------------r

(步驟一:計算出x,y,取與次或\<)(.V,T)J

―4￡*,-1)2的值\

(步.二卜［利用公式計算系數(shù)工時

(步金三卜!寫出經(jīng)臉回歸方程y=Bx+aj

跟蹤訓(xùn)練2為實施鄉(xiāng)村振興，科技興農(nóng)，某村建起了日園綜合體，并從省城請來專家進(jìn)行

技術(shù)指導(dǎo).根據(jù)統(tǒng)計，該田園綜合體西紅柿畝產(chǎn)量的增加量爪千克)與某種液體肥料每畝使

用量x(千克)之間的對應(yīng)數(shù)據(jù)如下.

*千克)24568

八千克)300400400400500

(1)由上表數(shù)據(jù)可知,可用經(jīng)驗回歸模型擬合y與x的關(guān)系,請計算樣本相關(guān)系數(shù)r并加以說

明（若|r|>0.75,則線性把關(guān)程度很高,可用經(jīng)驗回歸模型擬合）；

（2）求y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程，并預(yù)測當(dāng)液體肥料每畝使用量為15千克時，西紅柿畝產(chǎn)量

的增加量約為多少千克？

參考數(shù)據(jù)：寸歷-3.16.

解（1）由已知數(shù)據(jù)可得

—2+4+54-6+8廠

x=u=5,

□

—300+400+400+400+500

y=-------------------;-------------------=400,

o

所以5（為一：）（%一7）=（—3）X（-100）+（-1）X0+0X0+1X0+3X100=600,

/=!

3xT2=y1-32+-124-02+12+32=2^,

222222

，二（y-~=yj-100+04-04-0+100=]0（胞,

y--y

6003

所以樣本相關(guān)系數(shù)「2小X10研一皿~°，9d

x-x小%一7

因為|廣|〉0.75,所以可用經(jīng)驗回歸模型擬合y與4的關(guān)系.

5x—xy-y

*/=!600

⑵Q-----------------^―

Io-=30,a=400-5X30=250,

5Xi-x-

/=i

所以經(jīng)驗回歸方程為y=30x+250.

當(dāng)x=15時，7=30X15+250=700,

即當(dāng)液體肥料每畝使用量為15千克時，西紅柿畝產(chǎn)量的增加量約為700千克.

題型三列聯(lián)表與獨立性檢驗

例4（2021?全國甲卷改編）甲、乙兩臺機(jī)床生產(chǎn)同種產(chǎn)品，產(chǎn)品按質(zhì)量分為一級品和二級

品，為了比較兩臺機(jī)床產(chǎn)品的質(zhì)量，分別用兩臺機(jī)床各生產(chǎn)了200件產(chǎn)品，產(chǎn)品的質(zhì)量情況

統(tǒng)計如下表：

一級品二級品合計

甲機(jī)床15050200

乙機(jī)床12080200

合計270130400

(1)甲機(jī)床、乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級品的頻率分別是多少？

(2)依據(jù)小概率值。=0.01的獨立性檢驗，能否以此推斷甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品

質(zhì)量有差異？

15()

解(1)根據(jù)題表中數(shù)據(jù)知，甲機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級品的頻率是麗=0.75,乙機(jī)床生產(chǎn)的

產(chǎn)品中-?級品的頻率是麗=0.6.

(2)零假設(shè)為〃：甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量無差異.根據(jù)2X2列聯(lián)表，可得

22

x2------------n---a-d---b-e-------------=-4-0-0-X----1-5-0--X-8-0---5--0-X--1-2-0--

a+bc+da+cb+d270X130X200X200

Q10.256>6.635=Ab.oi.

根據(jù)小概率值。=().01的獨立性檢驗，我們推斷笈不成立，即認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙

機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異.

【教師備選】

1.為了解某大學(xué)的學(xué)生是否愛好體育鍛煉，用簡單隨機(jī)抽樣方法在校園內(nèi)遍宜了12()位學(xué)生,

得到如下2義2列聯(lián)表：

男女合計

愛好ab73

不愛好C25

合計74

則a—6一。等于()

A.7B.8C.9D.10

答案C

解析根據(jù)題意，可得。=120—73—25=22,日=74—22=52,6=73—52=21,

:.a—b—c=52—21—22=9.

2.(多選)某醫(yī)療研究機(jī)構(gòu)為了了解免疫與注射疫苗的關(guān)系，進(jìn)行一次抽樣調(diào)查，得到數(shù)據(jù)如

表1.

免疫不免投合計

注射疫苗101020

未注射疫苗63440

合計164460

俵1)

70.100.0500.0100.001

2.7063.8416.63510.828

（表2）

則下列說法中正確的是（）

A.爐Q8.35

B.P（X2^6.635）^0.001

C.依據(jù)小概率值。=0.01的獨立性檢驗，我們認(rèn)為免疫與注射疫苗有關(guān)系

D.依據(jù)小概率值。=0.0D1的獨立性檢驗，我們認(rèn)為免疫與注射疫苗有關(guān)系

答案AC

解析由表中數(shù)據(jù)，

260X10X34—6X10?

得x=20X40X16X44

28.352*8.35,所以A正確；

因為尸（1》6.635）-0.01,所以B錯誤；

x'%8.352>6.635=Ab.oi,

依據(jù)小概率值。=0.01的獨立性檢驗，我們認(rèn)為免疫與注射疫苗有關(guān)系，所以C正確；

352<10.828—Ao.ooi>

依據(jù)小概率值。=0.001的獨立性檢驗，我們認(rèn)為免疫與注射疫苗沒有關(guān)系，故D錯誤.

思維升華獨立性檢驗的一般步驟

（1）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成2X2列聯(lián)表.

⑵根據(jù)公式/=——_〃-:-——--ifM.

a+ba+cb-\-dc+d

（3）比較x?與臨界值的大小關(guān)系，作統(tǒng)計推斷.

跟蹤訓(xùn)練3（2022?太原模擬）為進(jìn)一步保護(hù)環(huán)境，加強(qiáng)治理空氣污染，某市環(huán)保監(jiān)測部門

對市區(qū)空氣質(zhì)量進(jìn)行調(diào)研，隨機(jī)抽查了市區(qū)100天的空氣質(zhì)量等級與當(dāng)天空氣中sofn濃度

（單位：Pg/m3）,整理數(shù)據(jù)得到下表：

SO2的濃度

空氣質(zhì)量凝[0,50](50,150](150,475]

1（優(yōu)）2862

2(良)578

3（輕度污染）389

4（中度污染）11211

若某天的空氣質(zhì)量等級為1或2,則稱這天“空氣質(zhì)量好”；若某天的空氣質(zhì)量等級為3或4,

則稱這天“空氣質(zhì)量不好”，根據(jù)上述數(shù)據(jù)，回答以下問題.

(1)估計事件“該市一天的空氣質(zhì)量好，且S0?的濃度不超過150”的概率；

⑵完成下面的2X2列聯(lián)表，

S02的濃度

空氣質(zhì)鼠[0,150](150,475]合計

空氣質(zhì)量好

空氣質(zhì)量不好

合計

(3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表，依據(jù)小概率值。=0.01的獨立性檢驗，能否據(jù)此推斷該市一天的空

氣質(zhì)量與當(dāng)天SO」的濃度有關(guān)？

解(1)由表格可知，該市一天的空氣質(zhì)量好，且S0?的濃度不超過150的天數(shù)為28+6+5

46

+7=46,則“該市一天的空氣質(zhì)量好，且S0：的濃度不超過150”的概率Q礪=0.46.

(2)由表格數(shù)據(jù)可得列聯(lián)表如下，

SO?的濃度

空氣質(zhì)鼠[0,150](150,475]合計

空氣質(zhì)量好461056

空氣質(zhì)量不好242044

合計7030100

(3)零假設(shè)為打：該市一天的空氣質(zhì)量與當(dāng)天S0?的濃度無關(guān).

-C、*2100X46X20-24X102

由⑵知『=-70X30X5(5X44—

亡8.936>6.635=加0,

根據(jù)小概率值。=().()1的獨立性檢驗，我們推斷笈不成立，即認(rèn)為該市一天的空氣質(zhì)量與

當(dāng)天Sth的濃度有關(guān).

課時精練

立基礎(chǔ)保分練

1.如表是2X2列聯(lián)表，則表中的a,。的值分別為()

7172合計

X\a835

X2113445

合計b4280

A.27,38B.28,38C.27,37D.28,37

答案A

解析a=35-8=27.力=#+11=27+11=38.

2.（2022?湘豫名校模擬）根據(jù)如表樣本數(shù)據(jù)：

X23456

y42.5—0.5-2-3

得到的經(jīng)驗I可歸方程為y="+a,貝N）

A.GO,￡>0B.a>0,灰0C.水0,a0D.a<0,ZXO

答案B

解析由表中的數(shù)據(jù)可得，變量y隨著x的增大而減小，則叢0,

—24-3+4+5+6

x=------;------=4,

□

—4+2.5-0.5-2-3…

y=5=02

又經(jīng)驗回歸方程bx-\r逐過點（4,0.2）,可得&>0.

3.某種產(chǎn)品的廣告費支出x與銷售額近單位：萬元）之間的關(guān)系如表:

X24568

y3040605070

y與x的經(jīng)驗回歸方程為尸6.5x+17.5,當(dāng)廣告支出6萬元時，隨機(jī)誤差的殘差為（）

A.—5B.—5.5

C.-6D.-6.5

答案D

解析由題意結(jié)合經(jīng)驗回歸方程的預(yù)測作用可得，當(dāng)x=6時，7=6.5X6+17.5=56.5,則

隨機(jī)誤差的殘差為50-56.5=-6.5.

4.（2022?泉州模擬）蟋蟀鳴叫可以說是大自然優(yōu)美、和諧的音樂，殊不知蟋蟀鳴叫的頻率

火每分鐘鳴叫的次數(shù)）與氣溫y（單位：°C）存在著較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系.某地觀測人員根據(jù)如

表的觀測數(shù)據(jù)，建立了y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程y=0.25《+A,則下列說法不正確的是（）

X（次數(shù)/分鐘）2030405060

7(℃)2527.52932.536

A.4的值是20

B.變量x,y呈正相關(guān)關(guān)系

C.若/的值增加1,則y的值約增加0.25

D.當(dāng)蟋蟀52次/分鳴叫時，該地當(dāng)時的氣溫預(yù)測值為33.5℃

答案D

解析由題意，得

--1

x=TX（20+30+40+50+60）=40,

□

—1

y（25+27.5+29+32.5+36）=30,

=ToX

則a=7-0.25：=30-0.25X40=20,

故A正確；

由經(jīng)驗回歸方程可知，b=0.25X）,

變量x,y呈正相關(guān)關(guān)系，故B正確；

若x的值增加1,則p的值約增加0.25,

故C正確；

當(dāng)>=52時.，y=0.25X52+20=33,

故D不正確.

5.（多選）下列說法正確的是（）

A.設(shè)有一個經(jīng)驗回歸方程尸3—5x,變量x增加一個單位時，y平均增加5個單位

B.若兩個具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的相關(guān)性越強(qiáng)，則樣本相關(guān)系數(shù)r的值越接近于1

C.在殘差圖中，殘差點分布的水平帶狀區(qū)域越窄，說明模型的擬合精度越高

D.在一元線性回歸模型中，決定系數(shù)〃越接近于1,說明回歸的效果越好

答案CD

解析A選項，因為尸3—5筋所以變量x增加一個單位時，y平均減少5個單位，故A錯誤；

B選項，線性相關(guān)性具有正負(fù)，相關(guān)性越強(qiáng)，則樣本相關(guān)系數(shù)1?的絕對值越接近于1,故B

錯誤；

C選項，在殘差圖中，殘差點分布的水平帶狀區(qū)域越窄，說明波動越小，即模型的擬合精度

越高，故C正確；

I）選項，在一元線性回歸模型中，決定系數(shù)片越接近于1,說明模型擬合的精度越高，即回

歸的效果越好，故D正確.

6.（多選）2021年5月18□,《佛山市第七次全國人口普杳公報》發(fā)布.公報顯示，傷山市

常住人口為9498863人.為了進(jìn)一步分析數(shù)據(jù)特征，某數(shù)學(xué)興趣小組先將近五次人口普查數(shù)

據(jù)作出散點圖（橫坐標(biāo)為人口普查的序號，第三次普查記為1,…，第七次普查記為5,縱坐

標(biāo)為當(dāng)次人口普杳佛山市人口數(shù)（單位：萬人），再利用不同的函數(shù)模型作出回歸分析，如圖，

以下說法正確的是（）

12(N)

()123456

A.佛山市人口數(shù)與普查序號呈正相關(guān)關(guān)系

B.散點的分布呈現(xiàn)出很強(qiáng)的線性相關(guān)特征

C.經(jīng)驗回歸方程2的擬合效果更好

D.應(yīng)用經(jīng)驗回歸方程1可以預(yù)測第八次人口普查時佛山市人口會超過1400萬人

答案AC

解析對于A,散點圖中的點的分布從左下方至右上方，故呈正相關(guān)關(guān)系，故A正確；

對于B,利用模型1,樣本點基本分布在直線的兩側(cè)，故具有較強(qiáng)的線性相關(guān)特征，故B錯誤；

對于C,因為0.9794>0.9726,所以經(jīng)驗回歸方程2的擬合效果更好，故C正確：

對于D,利用模型1,當(dāng)k6時，y=183.5X6-1.7=1099.3<1400,故D錯誤.

7.（2022?廣州模擬）某車間為了提高工作效率，需要測試加工零件所花費的時間，為此進(jìn)行

了5次試驗，這5次試驗的數(shù)據(jù)如下表：

零件數(shù)x（個）1020304050

加工時間y（min）62a758189

若用最小二乘法求得經(jīng)驗回歸方程為y=0.67x+54.9,則a的值為—

答案68

10+20+30+40+50M

解析由已知才=r—30,

—62+^+75+81+89…，2+a

y=5=6i+=,

2+a

所以61+「r^=0.67X30+54.9,解得a=68.

D

8.（2022?青島模擬）某駕駛員培訓(xùn)學(xué)校為對比了解“科Fl二”的培訓(xùn)過程采用大密度集中培

訓(xùn)與周末分散培訓(xùn)兩種方式的效果，調(diào)查了105名學(xué)員，統(tǒng)計結(jié)果為：接受大密度集中培訓(xùn)

的55個學(xué)員中有45名學(xué)員一次考試通過，接受周末分散培訓(xùn)的學(xué)員一次考試通過的有30

個.根據(jù)統(tǒng)計結(jié)果，認(rèn)為“能否一次考試通過與是否集中培訓(xùn)有關(guān)”犯錯誤的概率不超過

附：一:t+c一汴廠’其中〃=a+6+c+d；

70.050.0250.0100.001

Xa3.8415.0246.63510.828

答案0.025

解析由題意可得列聯(lián)表如下,

集中培訓(xùn)分散培訓(xùn)合計

一次考過453075

一次未考過102030

合計5550105

105X45X20—10X30

~6.109>5.024=A(I,(I25.

55X50X75X30

9.（2022?河南九師聯(lián)盟聯(lián)考）機(jī)動車行經(jīng)人行橫道時，應(yīng)當(dāng)減速慢行：遇行人正在通過人行

橫道，應(yīng)當(dāng)停車讓行，俗稱“禮讓行人”.如表是某市一主干路口監(jiān)控設(shè)備所抓拍的1-5

月份駕駛員不“禮讓行人”行為統(tǒng)計數(shù)據(jù)：

月份12345

違章駕駛員人數(shù)1201051009580

（1）請利用所給數(shù)據(jù)求違章人數(shù)P與月份x之間的經(jīng)驗回歸方程并預(yù)測該路口10

月份的不“禮讓行人”違章駕駛員人數(shù)；

（2）交警從這5個月內(nèi)通過該路口的駕駛員中隨機(jī)抽查70人，調(diào)查駕駛員不“禮讓行人”行

為與駕齡的關(guān)系，如表所示：

不禮讓行人禮讓行人

駕齡不超過1年2416

駕齡1年以上1614

依據(jù)小概率值。=（）.1的獨立性檢驗,能否據(jù)此判斷“禮計行人”行為與駕齡有關(guān)？

解（1）由表中的數(shù)據(jù)可知，：=1+2+?+1+5=3,

—120+105+100+95+80

y=-----------:-----------------=100,

□

￡必必一5xy

1410—1500

所以8=------------------―55-45-

匯4一5x

/=!

故a=7-//7=100—（-9）X3=127,

所以所求的經(jīng)驗回歸方程為尸一9刀+127；

令x=10,則尸一9X10+127=37.

（2）零假設(shè)為屈“禮讓行人”行為與駕齡無關(guān)，

由表中的數(shù)據(jù)可得

70X24X14-16X16214

x2=------------------------=一

40X30X40X3045

^0.311<2.706=Ab.i,

根據(jù)小概率值。=0.1的獨立性檢驗，沒有充分證據(jù)推斷〃不成立，因此可以認(rèn)為4成立，

即依據(jù)小概率值。=0.1的獨立性檢驗，不能判斷“禮讓行人”行為與駕齡有關(guān).

10.現(xiàn)代物流成為繼勞動力、自然資源外影響企業(yè)生產(chǎn)成本及利潤的重要因素.某企業(yè)去年

前八個月的物流成本和企業(yè)利潤的數(shù)據(jù)（單位：萬元）如表所示：

月份12345678

物流成本X8383.58086.58984.57986.5

利潤y114116106122132114m132

殘差e二%一切0.20.61.8-3-1—4.6-1

根據(jù)最小二乘法估計公式求得經(jīng)驗回歸方程為尸3.2x-151.8.

(1)求加的值，并利用己知的經(jīng)驗回歸方程求出8月份對應(yīng)的殘差值爾

(2)請先求出一元線性回歸模型y=3.2x—151.8的決定系數(shù)〃(精確到0.0001)；若根據(jù)非線

性回歸模型y=267.761nz-1069.2求得解釋變量(物流成本)對于響應(yīng)變量(利潤)的決定系

數(shù)席=0.9057,請說明以上兩種模型哪種模型擬合效果更好？

(3)通過殘差分析，懷疑殘差絕對值最大的那組數(shù)據(jù)有誤，經(jīng)再次核實后發(fā)現(xiàn)其真正利潤應(yīng)該

為116萬元.請重新根據(jù)最小二乘法的思想與公式，求日新的經(jīng)驗回歸方程.

附(修正前的參考數(shù)據(jù))：￡第凹=78880,

Z舅=56528,x=84,"=904.

解(1)因為y—3.2*—151.8,x-84,

所以7=3.2X84-151.8=117,

114+116+106+122+132+114+/H-132

=117X8,

解得/戶10(),

所以8月份對應(yīng)的殘差值

③=132—3.2X86.5+151.8=7.

(2)由已知公式得8(匕一%)2=022+0.62+1.82+(-3)2+(-1)2+(-4.6)2+(-1)2+72=

/=!

84.8,

!y-y>~

_/=,84.8,，

『=1一------=—=1——^0.9062〉芯,

,8y2904

所以一元線性回歸模型y=3.2X-151.8擬合效果更好.

(3)第八組數(shù)據(jù)的利潤應(yīng)為116萬元，

此時1＞沙=78880-86.5X16=77496,

8__

又￡片=56528,x=84,

y=117--=115,

o

8xy

-7=1

所以0:--------------

gW—8x2

/=i

77496—8X84X115-

56528-8X842=z'7，

a=115—2.7X84=—111.8,所以重新采集數(shù)據(jù)后，經(jīng)驗回歸方程為尸2.7x—111.8.

立技能提升練

11.某中學(xué)調(diào)查了高一年級學(xué)生的選科傾向，隨機(jī)抽取300人，其中選考物理的有22。人,

選考?xì)v史的有80人，統(tǒng)計各選科人數(shù)如表，則下列說法正確的是（）

選擇科目

思想政治地理化學(xué)生物

選考類別

物理類80100145115

歷史類50453035

a0.100.050.0250.0100.0050.001

Xa2.7063.8415.0246.6357.87910.828

A.物理類的學(xué)生中選擇政治的比例比歷史類的學(xué)生中選擇政治的比例高

B.物理類的學(xué)生中選擇地理的比例比歷史類的學(xué)生中選擇地理的比例高

C.根據(jù)小概率值。=0.1的獨立性檢驗，我們認(rèn)為選擇生物與選考類別無關(guān)

D.根據(jù)小概率值。=0.1的獨立性檢驗，我們認(rèn)為選擇生物與選考類別有關(guān)

答案C

解析對丁A,物理類的學(xué)生中選擇政治的比例為黑=1,

歷史類的學(xué)生中選擇政治的比例為u=l,

舄5

因8-故選項A不正確;

對于B,物理類的學(xué)生中選擇地理的比例為

1005

礪=TT

歷史類的學(xué)生中選擇地理的比例為4S就=七Q

oU10

因為（■〈卷，故選項B不正確;

對于C和D,零假設(shè)為及：選擇生物與選考類別無關(guān).

根據(jù)已知數(shù)據(jù)可得2X2列聯(lián)表如表：