第十一章

4單擺學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.理解單擺模型和單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的條件，知道單擺振動(dòng)時(shí)回復(fù)力的來(lái)源.2.了解影響單擺周期的因素，掌握單擺的周期公式.3.掌握用單擺測(cè)定重力加速度的原理和方法.內(nèi)容索引知識(shí)探究題型探究達(dá)標(biāo)檢測(cè)知識(shí)探究一、單擺的回復(fù)力一陣風(fēng)吹過(guò)，大廳里的吊燈，微微擺動(dòng)起來(lái)，久久不停……(模型如圖1)，試著用所學(xué)知識(shí)證明吊燈的往復(fù)運(yùn)動(dòng)是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng).導(dǎo)學(xué)探究圖1答案答案

吊燈在擺動(dòng)過(guò)程中的受力如圖所示，繩子的拉力F′與重力的分力G2都與吊燈的運(yùn)動(dòng)方向垂直，對(duì)吊燈運(yùn)動(dòng)速度的大小及速度向左還是向右都沒(méi)有影響，其合力提供了吊燈做圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力，而重力G沿圓弧切線方向的分力G1＝mgsinθ提供了使吊燈振動(dòng)的回復(fù)力，即F＝mgsinθ，當(dāng)偏角很小時(shí)，sinθ≈，所以吊燈的回復(fù)力為F＝

(式中x表示吊燈偏離平衡位置的位移，負(fù)號(hào)表示回復(fù)力F與位移x的方向相反)，故吊燈做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng).1.單擺(1)如果細(xì)線的

與小球相比可以忽略，線長(zhǎng)又比球的

大得多，這樣的裝置叫做單擺.單擺是實(shí)際擺的

模型.(2)單擺的平衡位置：擺球

時(shí)所在的位置.2.單擺的回復(fù)力(1)回復(fù)力的提供：擺球的重力沿

方向的分力(沿半徑方向的合力提供向心力).(2)回復(fù)力的大小：在偏角很小時(shí)，F(xiàn)＝

.知識(shí)梳理質(zhì)量直徑理想化靜止圓弧切線3.單擺的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)在偏角很小時(shí)做

運(yùn)動(dòng)，其振動(dòng)圖象遵循

函數(shù)規(guī)律.簡(jiǎn)諧正弦答案

控制變量法.具體做法為：(1)只讓兩擺的振幅不同(都在小偏角情況下).(2)只讓兩擺擺球的質(zhì)量不同.(3)只讓兩擺的擺長(zhǎng)不同.比較以上三種情況下兩擺的周期，可以得到周期與振幅、質(zhì)量、擺長(zhǎng)之間的定性關(guān)系.二、單擺的周期如圖2所示，兩個(gè)單擺同時(shí)釋放，我們可以觀察到振動(dòng)的周期不同.影響周期的因素可能有單擺的振幅、質(zhì)量、擺長(zhǎng)，采用什么方法確定周期與這些量的關(guān)系？圖2答案導(dǎo)學(xué)探究知識(shí)梳理1.伽利略發(fā)現(xiàn)了單擺運(yùn)動(dòng)的

，

得出了單擺的周期公式并發(fā)明了擺鐘.2.單擺的周期(1)單擺的周期T＝

，只與擺長(zhǎng)l及單擺所在處的重力加速度有關(guān)，與振幅及擺球的質(zhì)量

(填“有關(guān)”或“無(wú)關(guān)”).單擺的周期叫固有周期.(2)單擺的周期公式在單擺偏角

時(shí)成立(偏角為5°時(shí)，由周期公式算出的周期和精確值相差0.01%).等時(shí)性惠更斯無(wú)關(guān)很小(3)單擺周期公式中的g應(yīng)為單擺所在處的重力加速度，l應(yīng)為單擺的擺長(zhǎng).擺長(zhǎng)是指從

到

的長(zhǎng)度，l＝

，l′為擺線長(zhǎng)，d為擺球直徑.3.計(jì)算單擺的周期有兩種方法，一是依據(jù)T＝

，二是根據(jù)T＝

.第一種方法利用了單擺的周期公式，計(jì)算的關(guān)鍵是正確確定擺長(zhǎng).第二種方法利用了粗測(cè)周期的一種方法，周期的大小雖然不取決于t和N，但利用該種方法計(jì)算周期，會(huì)受到時(shí)間t和振動(dòng)次數(shù)N測(cè)量的準(zhǔn)確性的影響.懸點(diǎn)擺球重心1.原理：由T＝

得g＝

.所以，只要測(cè)出單擺的

和

，就可計(jì)算出當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣?2.器材：鐵架臺(tái)及鐵夾，金屬小球(有孔)、停表、細(xì)線(1m左右)、刻度尺、

.三、實(shí)驗(yàn)：用單擺測(cè)定重力加速度擺長(zhǎng)周期游標(biāo)卡尺3.實(shí)驗(yàn)步驟(1)讓細(xì)線穿過(guò)球上的小孔，在細(xì)線的穿出端打一個(gè)稍大一些的線結(jié)，制成一個(gè)單擺.(2)將鐵夾固定在鐵架臺(tái)上端，鐵架臺(tái)放在實(shí)驗(yàn)桌邊，使鐵夾伸出桌面之外，然后把單擺上端固定在鐵夾上，使擺球自由下垂.在單擺平衡位置處做上標(biāo)記.(3)用刻度尺量出懸線長(zhǎng)l′(準(zhǔn)確到mm)，用游標(biāo)卡尺測(cè)出擺球的直徑d(準(zhǔn)確到mm)，然后計(jì)算出

即為擺長(zhǎng).(4)把此單擺從平衡位置拉開(kāi)一個(gè)角度，并使這個(gè)角度不大于5°，再釋放小球.當(dāng)擺球擺動(dòng)穩(wěn)定以后，經(jīng)過(guò)最低位置時(shí)，用停表開(kāi)始計(jì)時(shí)，測(cè)量單擺全振動(dòng)30次(或50次)的時(shí)間，求出

，即單擺的振動(dòng)周期.(5)改變擺長(zhǎng)，反復(fù)測(cè)量幾次，將數(shù)據(jù)填入表格.一次全振動(dòng)的時(shí)間4.數(shù)據(jù)處理方法一：將每次測(cè)出的周期T及測(cè)得的擺長(zhǎng)l代入公式g＝

，求出重力加速度的值，然后求g的平均值.方法二：先通過(guò)簡(jiǎn)單的數(shù)據(jù)分析，對(duì)周期T與擺長(zhǎng)l的定量關(guān)系做出猜測(cè)，例如可能是T∝l、T∝l2、T∝、T∝……然后按照猜測(cè)來(lái)確定縱坐標(biāo)軸和橫坐標(biāo)軸，例如可以用縱坐標(biāo)表示T，橫坐標(biāo)表示l2，作出T－l2圖象，看T－l2圖象是否為直線，從而確定T與l2的關(guān)系，再嘗試根據(jù)圖象求出g.5.注意事項(xiàng)(1)選擇材料時(shí)應(yīng)選擇細(xì)而不易伸長(zhǎng)的線，比如用單根尼龍絲、絲線等，長(zhǎng)度一般不應(yīng)短于1m，小球應(yīng)選用密度較大的金屬球，直徑應(yīng)較小，最好不超過(guò)2cm.(2)擺動(dòng)時(shí)控制擺線偏離豎直方向的角度應(yīng)

.(3)擺球擺動(dòng)時(shí)，要使之保持在同一

，不要形成圓錐擺.(4)計(jì)算單擺的振動(dòng)次數(shù)時(shí)，應(yīng)從擺球通過(guò)

時(shí)開(kāi)始計(jì)時(shí)，以后擺球從同一方向通過(guò)

時(shí)計(jì)數(shù)，要測(cè)多次(如30次或50次)全振動(dòng)的時(shí)間，用取平均值的辦法求周期.很小豎直平面內(nèi)最低位置最低點(diǎn)題型探究一、單擺的回復(fù)力例1

下列關(guān)于單擺的說(shuō)法，正確的是

A.單擺擺球從平衡位置運(yùn)動(dòng)到正向最大位移處時(shí)的位移為A(A為振幅)，

從正向最大位移處運(yùn)動(dòng)到平衡位置時(shí)的位移為－AB.單擺擺球的回復(fù)力等于擺球所受的合外力C.單擺擺球的回復(fù)力是擺球重力沿圓弧切線方向的分力D.單擺擺球經(jīng)過(guò)平衡位置時(shí)加速度為零√解析答案解析簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)中的位移是以平衡位置作為起點(diǎn)，擺球在正向最大位移處時(shí)位移為A，在平衡位置時(shí)位移應(yīng)為零.擺球的回復(fù)力由合外力沿圓弧切線方向的分力(等于重力沿圓弧切線方向的分力)提供，合外力在擺線方向的分力提供向心力，擺球經(jīng)最低點(diǎn)(振動(dòng)的平衡位置)時(shí)回復(fù)力為零，但向心力不為零，所以合外力不為零，擺球到最高點(diǎn)時(shí)，向心力為零，回復(fù)力最大，合外力也不為零.故應(yīng)選C.二、單擺的周期例2

如圖3所示，一擺長(zhǎng)為l的單擺，在懸點(diǎn)的正下方的P處固定一光滑釘子，P與懸點(diǎn)相距l(xiāng)－l′，則這個(gè)擺做小幅度擺動(dòng)時(shí)的周期為

圖3解析答案√例3

有一單擺，其擺長(zhǎng)l＝1.02m，擺球的質(zhì)量m＝0.10kg，已知單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，單擺30次全振動(dòng)用的時(shí)間t＝60.8s，試求：

(1)當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣仁嵌啻?？解析答案答?/p>

9.79m/s2(2)如果將這個(gè)單擺改為秒擺(周期為2s)，擺長(zhǎng)應(yīng)怎樣改變？改變多少？解析答案答案

縮短0.027m其擺長(zhǎng)要縮短Δl＝l－l0＝1.02m－0.993m＝0.027m.例4

在做“用單擺測(cè)定重力加速度”的實(shí)驗(yàn)時(shí)，用擺長(zhǎng)L和周期T計(jì)算重力加速度的公式是g＝________.若已知擺球直徑為2.00cm，讓刻度尺的零點(diǎn)對(duì)準(zhǔn)擺線的懸點(diǎn)，擺線豎直下垂，如圖4甲所示，則單擺擺長(zhǎng)是________m.若測(cè)定了40次全振動(dòng)的時(shí)間如圖乙中秒表所示，則秒表讀數(shù)是________s，單擺擺動(dòng)周期是________.三、用單擺測(cè)定重力加速度圖4為了提高測(cè)量精度，需多次改變L值，并測(cè)得相應(yīng)的T值.現(xiàn)將測(cè)得的六組數(shù)據(jù)標(biāo)示在以L為橫坐標(biāo)、以T2為縱坐標(biāo)的坐標(biāo)系上，即圖5中用“·”表示的點(diǎn)，則：圖5(1)單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)應(yīng)滿足的條件是________.答案

見(jiàn)解析解析答案單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的條件是擺線偏離豎直方向的夾角應(yīng)不大于5°.由圖可知：擺長(zhǎng)L＝(88.50－1.00)cm＝87.50cm＝0.8750m.秒表的讀數(shù)t＝60s＋15.2s＝75.2s，(2)試根據(jù)圖中給出的數(shù)據(jù)點(diǎn)作出T2和L的關(guān)系圖線，根據(jù)圖線可求出g＝________m/s2.(結(jié)果取兩位有效數(shù)字)圖5答案

見(jiàn)解析解析答案課堂要點(diǎn)小結(jié)達(dá)標(biāo)檢測(cè)1.(單擺的回復(fù)力)單擺振動(dòng)的回復(fù)力是

A.擺球所受的重力B.擺球重力在垂直懸線方向上的分力C.懸線對(duì)擺球的拉力D.擺球所受重力和懸線對(duì)擺球拉力的合力解析答案√解析單擺振動(dòng)的回復(fù)力是擺球重力沿圓弧切線方向的分力，即擺球重力在垂直懸線方向上的分力，B正確.12342.(單擺的周期)單擺原來(lái)的周期為T(mén)，下列哪種情況會(huì)使單擺周期發(fā)生變化

答案√√解析解析由單擺周期公式可知周期僅與擺長(zhǎng)、重力加速度有關(guān).12343.(單擺周期公式的應(yīng)用)某同學(xué)用DIS系統(tǒng)在實(shí)驗(yàn)室做“單擺的周期T與擺長(zhǎng)L的關(guān)系”實(shí)驗(yàn)，通過(guò)計(jì)算機(jī)描繪出兩次實(shí)驗(yàn)中的單擺的振動(dòng)圖象，由圖6可知，兩次實(shí)驗(yàn)中單擺的頻率之比＝___；兩單擺擺長(zhǎng)之比

＝__.圖6答案解析12341