試題試題2024北京四中高二（下）開(kāi)學(xué)考數(shù)學(xué)（試卷滿分為100分，考試時(shí)間為90分鐘）一、單項(xiàng)選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)正確）1.已知，直線與直線垂直，則實(shí)數(shù)（）A. B.2 C.3 D.42.如圖，在空間四邊形中，點(diǎn)為中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且,則等于A. B.C. D.3.已知雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)是，漸近線為，則C的方程是（）A. B.C. D.4.將甲、乙、丙、丁四位學(xué)長(zhǎng)分配到三個(gè)不同的活動(dòng)小組進(jìn)行交流指導(dǎo)，每個(gè)活動(dòng)小組至少分到一名學(xué)長(zhǎng)，且甲、乙兩名學(xué)長(zhǎng)不能分到同一個(gè)活動(dòng)小組，則不同的分法種數(shù)為（）A.18 B.24 C.30 D.365.設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，若過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線有公共點(diǎn)，則直線的斜率的取值范圍是（）A. B.， C.， D.，6.已知平面內(nèi)有一點(diǎn)，平面的一個(gè)法向量為，則下列四個(gè)點(diǎn)中在平面內(nèi)的是（）A. B.C. D.7.如圖在正方體中，點(diǎn)為線段的中點(diǎn).設(shè)點(diǎn)在線段上，直線與平面所成的角為，則的取值范圍是A. B.C. D.8.一條光線從點(diǎn)射出，經(jīng)y軸反射與圓相切，則反射光線所在的直線的斜率為（）A.或 B.或C.或 D.或9.已知正方體的棱長(zhǎng)為1，每條棱所在直線與平面所成的角都相等，則截此正方體所得截面面積的最大值為A. B. C. D.10.已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，過(guò)原點(diǎn)的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，且則的面積為A. B. C. D.11.已知拋物線與橢圓有相同的焦點(diǎn)，是兩曲線的公共點(diǎn)，若，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.12.如圖，把咱們教室看作是一個(gè)正六棱柱，過(guò)教室墻面上的三點(diǎn)作一個(gè)截面，得到一個(gè)幾何體，若已知的高度依次為，則的高度之和為（）A. B. C. D.二、填空題（本大題共6小題，每小題4分，共24分）13.在的展開(kāi)式中，的系數(shù)為_(kāi)______.（用數(shù)字作答）14.若雙曲線的離心率為2，則實(shí)數(shù)____________．15.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)是橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，是等腰直角三角形，則橢圓的方程為_(kāi)___________．16.若滿足，則直線必過(guò)定點(diǎn)____________．17.設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在橢圓上運(yùn)動(dòng)，的最大值為m，的最小值為n，且m≥2n，則該橢圓的離心率的取值范圍為_(kāi)_______18.在平面直角坐標(biāo)系中，定義兩點(diǎn)間的“L—距離”為：，為x軸上兩個(gè)不同的定點(diǎn)，且．平面內(nèi)與定點(diǎn)的“L—距離”之和等于定值的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡曲線記為G，下面關(guān)于曲線G敘述：①曲線G關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；②曲線G關(guān)于直線對(duì)稱；③點(diǎn)P縱坐標(biāo)取值范圍是;④曲線G圍成圖形的面積是．其中敘述正確的有____________．三、解答題（本大題共3小題，第一小題12分，第2、3小題14分，共40分）19.已知橢圓，直線與C相交于A，B兩點(diǎn)．（1）求橢圓C的離心率；（2）O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，求直線l與原點(diǎn)的距離．20.如圖，在四面體中，平面，M為的中點(diǎn)．（1）求證：;（2）求二面角的余弦值．（3）試判斷四面體是否存在外接球，若存在，求出外接球的表面積；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（注：如果一個(gè)多面體的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則把該球稱為多面體的外接球．）21.橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，右焦點(diǎn)為，直線．（1）求橢圓C的方程；（2）經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的直線與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)（都不與點(diǎn)P重合），與直線l相交于點(diǎn)M，記的斜率分別為．問(wèn)：是否存在常數(shù)，使得?若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

參考答案一、單項(xiàng)選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)正確）1.【答案】C【分析】由兩直線垂直可得，求出即可得出答案.【詳解】直線的斜率為：，因?yàn)橹本€與直線垂直，所以，解得：.故選：C.2.【答案】D【詳解】分析：利用向量多邊形與三角形法則即可求出，首先分析題中各選項(xiàng)都是由從O出發(fā)的三個(gè)向量表示的，所以將待求向量用從O出發(fā)的向量來(lái)表示，之后借助于向量的差向量的特征以及中線向量的特征，求得結(jié)果.詳解：由題意可得，故選D.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)空間向量基本定理，考查了用向量表示幾何的量，向量的線性運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形把所研究的向量用三個(gè)基向量表示出來(lái)，本題是向量的基礎(chǔ)題.3.【答案】D【分析】根據(jù)已知條件求得，進(jìn)而求得正確答案.【詳解】由于焦點(diǎn)，所以且雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，雙曲線的漸近線，所以，結(jié)合可得，所以雙曲線的方程為.故選：D4.【答案】C【分析】先取2人一組且甲乙不在一組共有種，與剩余2人一起分配到3個(gè)不同的活動(dòng)小組，再由分步乘法計(jì)數(shù)原理求得結(jié)果.【詳解】取兩個(gè)人一組，其中甲乙不在一組，共有種取法，剩余的2人和這一組分別分到三個(gè)不同的活動(dòng)小組共有種分法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，不同分法的種數(shù)為種.故選：C.5.【答案】C【分析】根據(jù)拋物線方程求得點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線方程與拋物線方程聯(lián)立消去，根據(jù)判別式大于等于0求得的范圍.【詳解】，，為準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)），設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線方程為.與拋物線有公共點(diǎn)，方程組有解，即有解.△，即.，故選：C.6.【答案】C【分析】設(shè)平面內(nèi)任意一點(diǎn)，由題意，由此可得，對(duì)比選項(xiàng)即可得解.【詳解】設(shè)平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則，平面的一個(gè)法向量為所以，整理得，而，，，，所以對(duì)比選項(xiàng)可知只有在平面內(nèi).故選：C.7.【答案】B【詳解】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則，所以，.又直線與平面所成的角小于等于，而為鈍角，所以的范圍為，選B.【考點(diǎn)定位】空間直線與平面所成的角.8.【答案】D【分析】由光的反射原理知，反射光線的反向延長(zhǎng)線必過(guò)點(diǎn)，由此設(shè)出直線方程（含斜率參數(shù)），利用直線與圓相切可列方程求解.【詳解】由光的反射原理知，反射光線的反向延長(zhǎng)線必過(guò)點(diǎn)，設(shè)反射光線所在直線的斜率為，則反射光線所在直線方程為：，即：.又因?yàn)楣饩€與圓相切，所以，整理：，解得：或.故選：D．9.【答案】A【分析】首先利用正方體的棱是3組每組有互相平行的4條棱，所以與12條棱所成角相等，只需與從同一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱所成角相等即可，從而判斷出面的位置，截正方體所得的截面為一個(gè)正六邊形，且邊長(zhǎng)是面的對(duì)角線的一半，應(yīng)用面積公式求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)相互平行的直線與平面所成的角是相等的，所以在正方體中，平面與線所成的角是相等的，所以平面與正方體的每條棱所在的直線所成角都是相等的，同理平面也滿足與正方體的每條棱所在的直線所成角都是相等，要求截面面積最大，則截面的位置為夾在兩個(gè)面與中間的，且過(guò)棱的中點(diǎn)的正六邊形，且邊長(zhǎng)為，所以其面積為，故選A.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)平面被正方體所截得的截面多邊形的面積問(wèn)題，首要任務(wù)是需要先確定截面的位置，之后需要從題的條件中找尋相關(guān)的字眼，從而得到其為過(guò)六條棱的中點(diǎn)的正六邊形，利用六邊形的面積的求法，應(yīng)用相關(guān)的公式求得結(jié)果.10.【答案】A【分析】根據(jù)題意畫(huà)出圖像，設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為，連接，即可得四邊形為平行四邊形，從而求出，利用余弦定理和雙曲線的定義聯(lián)立方程可求出的值，利用面積公式可求出的面積，根據(jù)和的關(guān)系即可得到答案.【詳解】如圖，設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為，連接，依題可知四邊形的對(duì)角線互相平分，則四邊形為平行四邊形，由可得，依題可知，由余弦定理可得：即；又因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，則，所以.兩式相減得，即，所以的面積為：因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì)，涉及到了雙曲線的定義，余弦定理和面積公式，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化和化歸的能力，屬中檔題.11.【答案】D【分析】根據(jù)兩個(gè)曲線的焦點(diǎn)相同,可得.由拋物線定義可得.結(jié)合兩式即可用表示出點(diǎn)坐標(biāo).代入橢圓方程,化簡(jiǎn)后根據(jù)齊次式形式即可求得離心率.【詳解】拋物線與橢圓有相同的焦點(diǎn),是兩曲線的公共點(diǎn),所以,即橢圓中的設(shè),由拋物線定義可知由題意,即化簡(jiǎn)可得將變形為代入等式可得則的坐標(biāo)可化為由點(diǎn)在橢圓上,代入可得,化簡(jiǎn)可得除以可化為即解得或因?yàn)樗怨蔬x:D【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線與橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì)的綜合應(yīng)用,共焦點(diǎn)下兩個(gè)方程的關(guān)系,齊次式下離心率的求法,屬于中檔題.12.【答案】A【分析】設(shè)正六邊形中心為，設(shè)到截面的距離為，由題意利用中位線性質(zhì)可得，進(jìn)一步反復(fù)利用中位線性質(zhì)即可求解.【詳解】設(shè)正六邊形中心為，則可得四邊形是菱形，記菱形對(duì)角線交點(diǎn)為，設(shè)到截面的距離為，其中為的中心，設(shè)與交于點(diǎn)，連接，易得為與的中點(diǎn)，由題意以及梯形的中位線性質(zhì)可得，解得，又的中點(diǎn)為，所以，所以，同理，解得，，解得，所以.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵是利用中位線定理列方程求長(zhǎng)度，由此即可順利得解.二、填空題（本大題共6小題，每小題4分，共24分）13.【答案】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求得正確答案.【詳解】的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，取，得的系數(shù)為.故答案為：14.【答案】【分析】由題意可得，解方程即可得出答案.【詳解】因?yàn)殡p曲線，則，所以，即，解得：.故答案為：15.【答案】【分析】由題意得，由此即可求出進(jìn)而求解.【詳解】是等腰直角三角形，根據(jù)對(duì)稱性，而，所以解得，即橢圓的方程為.故答案為：.16.【答案】【分析】將代入直線化簡(jiǎn)可得，即，解方程即可得出答案.【詳解】由可得：，所以，即，所以，解得：.所以直線必過(guò)定點(diǎn).故答案為：.17.【答案】[，1）【詳解】∵，∴，，，，的最大值，設(shè)，則，，的最小值為，由，得，，解得，故答案為．【方法點(diǎn)晴】本題主要考查平面向量數(shù)量積公式、利用橢圓定義與的簡(jiǎn)單性質(zhì)求橢圓的離心率范圍，屬于中檔題.求解與橢圓性質(zhì)有關(guān)的問(wèn)題時(shí)要結(jié)合圖形進(jìn)行分析，既使不畫(huà)出圖形，思考時(shí)也要聯(lián)想到圖形，當(dāng)涉及頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、實(shí)軸、虛軸、漸近線等雙曲線的基本量時(shí)，要理清它們之間的關(guān)系，挖掘出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系.求離心率問(wèn)題應(yīng)先將用有關(guān)的一些量表示出來(lái)，再利用其中的一些關(guān)系構(gòu)造出關(guān)于的不等式等式，從而求出的范圍.本題是利用構(gòu)造出關(guān)于的不等式，最后解出的范圍.18.【答案】①④【分析】設(shè)平面上的點(diǎn)為,根據(jù)題意可得，,然后去絕對(duì)值，化簡(jiǎn)方程，再根據(jù)軌跡G對(duì)選項(xiàng)一一判斷即可得出答案.【詳解】解：因?yàn)闉閤軸上兩個(gè)不同的定點(diǎn)，且，不妨設(shè)，設(shè)動(dòng)點(diǎn)，由題意，得，所以，當(dāng)時(shí)，方程化為；當(dāng)時(shí)，方程化為；當(dāng)時(shí)，方程化為；當(dāng)時(shí)，方程化為；當(dāng)時(shí)，方程化為；當(dāng)時(shí)，方程化為則軌跡的圖象如圖所示:所以圍成的面積S，故④正確；由圖象可知，曲線G關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故①正確；由圖象可知，曲線G不關(guān)于直線對(duì)稱，故②錯(cuò)誤；點(diǎn)P縱坐標(biāo)取值范圍是，故③錯(cuò)誤.故答案為：①④.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)在于設(shè)和動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)條件列出關(guān)系式后，分類討論去掉絕對(duì)值號(hào)，從而確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，再結(jié)合圖象對(duì)選項(xiàng)一一判斷可得出答案.三、解答題（本大題共3小題，第一小題12分，第2、3小題14分，共40分）19.【答案】（1）（2）1【分析】（1）將橢圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，求出、，進(jìn)而可求得橢圓的離心率；（2）將直線與橢圓方程聯(lián)立，可得，利用即可得，再由點(diǎn)到直線的距離公式求解.【小問(wèn)1詳解】由題，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，，，則，橢圓離心率為.【小問(wèn)2詳解】設(shè)，，聯(lián)立方程，消去整理得，，，且，，，，即，化簡(jiǎn)整理得，，化簡(jiǎn)整理得，，滿足，所以原點(diǎn)到直線的距離為.20.【答案】（1）見(jiàn)解析（2）（3）【分析】（1）由線線垂直得平面，進(jìn)而得；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面的一個(gè)法向量為和平面的一個(gè)法向量為，利用法向量求二面角即可；（3）取的中點(diǎn)為，由線段長(zhǎng)相等即可證得為四面體的外接球的球心，進(jìn)而可求球的表面積.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)槠矫?，平面，所?

又因?yàn)?，，平?所以平面，

又因?yàn)槠矫?，所?【小問(wèn)2詳解】如圖，設(shè)的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，連接，，因?yàn)槠矫妫云矫?，由，且，可得，，兩兩垂直，所以分別以，，所在直線為軸，軸，軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，.所以，，.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，，得令，得.

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，，得令，得.

所以.由圖可知，二面角的平面角為銳角，故余弦值為.【小問(wèn)3詳解】根據(jù)（2），記的中點(diǎn)為，由題意，為直角三角形，斜邊，所以.

由（1），得平面，所以.在直角中，為斜邊的中點(diǎn)，所以，所以為四面體的外接球的球心，故四面體的外接球的表面積..所以四面體存在外接球，且外接球的表面積為.21.【答案】（1）（2）存在常數(shù)，使得【分析】（1）根據(jù)橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，右焦點(diǎn)為，結(jié)合橢圓的定義和橢圓的性質(zhì)

，列出關(guān)于、、的方程組，求出、，即可得結(jié)果；（2）直線的方程為，代入橢圓方程整理得，求得，求出,利用韋達(dá)定理化簡(jiǎn)可得，從而可得結(jié)果