第五章

一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)函數(shù)的最大（小）值）

學(xué)習(xí)目標(biāo)1、借助函數(shù)的圖象，了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件.2、能利用導(dǎo)數(shù)求某些函數(shù)的極大值、極小值問題探究問題觀察下圖中的函數(shù)圖象，指出其中是否有類似山峰、山谷的地方，如果有，應(yīng)用什么數(shù)學(xué)語(yǔ)言來描述？知識(shí)梳理極值點(diǎn)與極值的概念(1)極小值點(diǎn)與極小值

如圖，函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝a的函數(shù)值f(a)比它在點(diǎn)x＝a附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都小，f′(a)＝0；而且在點(diǎn)x＝a附近的左側(cè)_________，右側(cè)_________，則把a(bǔ)叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值點(diǎn)，f(a)叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值.(2)極大值點(diǎn)與極大值如圖，函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝b的函數(shù)值f(b)比它在點(diǎn)x＝b附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都大，f′(b)＝0；而且在點(diǎn)x＝b的左側(cè)_________，右側(cè)__________，則把b叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值點(diǎn)，f(b)叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值.__________、__________統(tǒng)稱為極值點(diǎn)，________和________統(tǒng)稱為極值.2.求函數(shù)y＝f(x)的極值的方法

解方程f′(x)＝0，當(dāng)f′(x0)＝0時(shí)： (1)如果在x0附近的左側(cè)f′(x)＞0，右側(cè)f′(x)＜0，那么f(x0)是________； (2)如果在x0附近的左側(cè)f′(x)＜0，右側(cè)f′(x)＞0，那么f(x0)是________.例題剖析

解

(1)∵f(x)＝(x3－1)2＋1＝x6－2x3＋2，∴f′(x)＝6x5－6x2＝6x2(x3－1).令f′(x)＝0，得x＝0或x＝1.當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：x(－∞，0)0(0，1)1(1，＋∞)f′(x)－0－0＋f(x)

2

1

∴當(dāng)x＝1時(shí)，f(x)有極小值，為f(1)＝1，f(x)無極大值.例題剖析令f′(x)＝0，得x＝1.當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：x(0，1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)

3

從表中可以看出，當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)f(x)有極小值，為f(1)＝3，f(x)無極大值.小結(jié)規(guī)律方法求可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值的步驟(1)確定函數(shù)的定義域，求導(dǎo)數(shù)f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，順次將函數(shù)的定義域分成若干個(gè)小開區(qū)間，并列成表格.檢測(cè)f′(x)在方程根左右兩側(cè)的值的符號(hào)，如果左正右負(fù)，那么f(x)在這個(gè)根處取得極大值；如果左負(fù)右正，那么f(x)在這個(gè)根處取得極小值；如果左右不改變符號(hào)，那么f(x)在這個(gè)根處無極值.分以下兩種情況討論：當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：x(－∞，－2a)－2a(－2a，a－2)a－2(a－2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)

極大值

極小值

所以f(x)在(－∞，－2a)，(a－2，＋∞)上是增函數(shù)，在(－2a，a－2)上是減函數(shù)，函數(shù)f(x)在x＝－2a處取得極大值f(－2a)，且f(－2a)＝3ae－2a，函數(shù)f(x)在x＝a－2處取得極小值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)ea－2.解

f′(x)＝[x2＋(a＋2)x－2a2＋4a]ex.令f′(x)＝0，解得x＝－2a或x＝a－2，分以下兩種情況討論：當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：x(－∞，－2a)－2a(－2a，a－2)a－2(a－2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)

極大值

極小值

所以f(x)在(－∞，－2a)，(a－2，＋∞)上是增函數(shù)，在(－2a，a－2)上是減函數(shù)，函數(shù)f(x)在x＝－2a處取得極大值f(－2a)，且f(－2a)＝3ae－2a，函數(shù)f(x)在x＝a－2處取得極小值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)ea－2.當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：x(－∞，a－2)a－2(a－2，－2a)－2a(－2a，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)

極大值

極小值

所以f(x)在(－∞，a－2)，(－2a，＋∞)上是增函數(shù)，在(a－2，－2a)上是減函數(shù)，函數(shù)f(x)在x＝a－2處取得極大值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)ea－2，函數(shù)f(x)在x＝－2a處取得極小值f(－2a)，且f(－2a)＝3ae－2a.1）函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的正負(fù)的關(guān)系；在某個(gè)區(qū)間（a，b）內(nèi)，如果f'(x)>0,那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間（a，b）上單調(diào)遞增；在某個(gè)區(qū)間（a，b）內(nèi)，如果f'(x)<0,那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間（a，b）上單調(diào)遞減；2）用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟；(1)求函數(shù)的定義域；(2)求f'(x)；(3)解不等式f'(x)>0(或f'(x)<0)；即為f(x)的單調(diào)增（或減）區(qū)間;3）應(yīng)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)圖象；課堂小結(jié)1.通過學(xué)習(xí)極值與極值點(diǎn)的概念，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，通過學(xué)習(xí)求函數(shù)的極值以及利用函數(shù)的極值求參數(shù)，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).2.函數(shù)的極值是函數(shù)的局部性質(zhì)，可導(dǎo)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x＝x0處取得極值的充要條件是f′(x0)＝0且在x＝x