3.1

空間向量及其運(yùn)算

空間向量及其加減運(yùn)算1.

什么是空間向量?它與平面向量有什么相同和異同?2.

空間任意兩向量是共面向量嗎?3.

空間向量怎樣進(jìn)行加減運(yùn)算?學(xué)習(xí)要點(diǎn)

問題1.

如圖,一塊均勻的正三角形面的鋼板質(zhì)量為500kg,在它的頂點(diǎn)處分別受力F1,F2,F3,每個(gè)力與同它相鄰的三角形的兩邊之間的夾角都是60,且|F1|=|F2|=|F3|=200kg.這塊鋼板在這些力的作用下將會(huì)怎樣運(yùn)動(dòng)?這三個(gè)力至少為多大時(shí),才能提起這塊鋼板?F1F2F3ABC500kg關(guān)于三個(gè)力F1,F2,F3

的運(yùn)算,實(shí)際是向量的運(yùn)算,這三個(gè)向量不是同一平面內(nèi)的向量,這就是我們要學(xué)習(xí)的空間向量.F1F2F3ABC500kg

如圖,

正方體中過同一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱所表示的三個(gè)向量就是不同在一個(gè)平面內(nèi)的向量.OABC

在空間,我們把具有大小和方向的量叫做空間向量,向量的大小叫做向量的長度或模.向量a

的起點(diǎn)是A,終點(diǎn)是B,則向量a

也可以記作其模記為|a|或

問題2.

類比平面向量,你能定義空間向量中的零向量,單位向量,相反向量,相等向量嗎?

實(shí)際上,平面向量是空間向量的一個(gè)特殊位置,所以平面向量的定義也適用于空間向量.

規(guī)定,長度為0

的向量叫做零向量,記為0.當(dāng)有向線段的起點(diǎn)A

與終點(diǎn)B

重合時(shí),模為1的向量稱為單位向量.

與向量a

長度相等而方向相反的向量,稱為a

的相反向量,記為-a.方向相同且模相等的向量稱為相等向量.

空間任意兩個(gè)向量都可以平移到同一個(gè)平面內(nèi),成為同一平面內(nèi)的兩個(gè)向量.如:CDEFGHD

B

H

將移到將移到將移到AB【空間向量的加減法】

問題3.

類比平面向量,你認(rèn)為空間向量的加減法應(yīng)怎樣運(yùn)算?

我們已經(jīng)知道,空間任意兩個(gè)向量都可以平移到同一個(gè)平面內(nèi),成為討論平面向量的問題.

那么平面向量的加減法運(yùn)算法則同樣也適用于空間向量.如:ABD

CDD

【空間向量的加減法】

問題3.

類比平面向量,你認(rèn)為空間向量的加減法應(yīng)怎樣運(yùn)算?

我們已經(jīng)知道,空間任意兩個(gè)向量都可以平移到同一個(gè)平面內(nèi),成為討論平面向量的問題.

那么平面向量的加減法運(yùn)算法則同樣也適用于空間向量.ABD

CDD

空間兩向量相加減,將兩向量移到同一平面,按平面向量的加減進(jìn)行運(yùn)算.【空間向量的加減法】

問題3.

類比平面向量,你認(rèn)為空間向量的加減法應(yīng)怎樣運(yùn)算?

我們已經(jīng)知道,空間任意兩個(gè)向量都可以平移到同一個(gè)平面內(nèi),成為討論平面向量的問題.

那么平面向量的加減法運(yùn)算法則同樣也適用于空間向量.ABD

CDD

空間向量的加法運(yùn)算也滿足交換律及結(jié)合律:a+b=b+a.(a+b)+c=a+(b+c).ABCDA

B

C

D

例(課本“探究”).

如圖,在平行六面體ABCD-A

B

C

D

中,分別標(biāo)出表示的向量.解:

同起點(diǎn)的不共面三個(gè)向量的和,等于以這三個(gè)向量為棱的平行六面體的對(duì)角線向量,起點(diǎn)與這三個(gè)向量的起點(diǎn)相同.ABCDA

B

C

D

例(課本“探究”).

如圖,在平行六面體ABCD-A

B

C

D

中,分別標(biāo)出表示的向量.解:

首尾相連的幾個(gè)向量的和,等于起始向量的起點(diǎn)為起點(diǎn),末尾向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量.練習(xí):(課本86頁)第2、3題.2.

如圖,向量a,b,c

互相平行,標(biāo)出a+b+c.aabc練習(xí):(課本86頁)ABOC解:如圖,3.

在圖3.1-6中,用表示及ABCDA

B

C

D

解:【課時(shí)小結(jié)】1.

空間向量在空間具有大小和方向的量叫空間向量.空間向量的記法與平面向量相同.

模、零向量、相等向量、相反向量、單位向量等的意義與平面向量相同.【課時(shí)小結(jié)】2.

空間向量的加減運(yùn)算

空間任意兩個(gè)向量都可以平移到同一個(gè)平面內(nèi),成為同一平面內(nèi)的兩個(gè)向量.

空間兩向量相加減,將兩向量移到同一平面,按平面向量的加減進(jìn)行運(yùn)算.

首尾相連的幾個(gè)向量的和,等于起始向量的起點(diǎn)為起點(diǎn),末尾向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量.

同起點(diǎn)的不共面三個(gè)向量的和,等于以這三個(gè)向量為棱的平行六面體的對(duì)角線向量,起點(diǎn)與這三個(gè)向量的起點(diǎn)相同.習(xí)題3.1第1題.A組習(xí)題3.1A組ABCDA

B

C

D

解:

1.

如圖,已知平行六面體ABCD-A

B

C

D

,化簡下列各表達(dá)式,并在圖中標(biāo)出化簡結(jié)果的向量:

(1)(2)(3)(4)(1)(2)習(xí)題3.1A組ABCDA

B

C

D

解:

1.

如圖,已知平行六面體ABCD-A

B

C

D

,化簡下列各表達(dá)式,并在圖中標(biāo)出化簡結(jié)果的向量:

(1)(2)(3)(4)(3)(E為CC

的中點(diǎn)).E習(xí)題3.1A組ABCDA

B

C

D

解:

1.

如圖,