試題試題2024北京四中高三（上）開學(xué)考數(shù)學(xué)（試卷滿分為100分，考試時間為90分鐘）一、選擇題（本大題共14小題，每小題3分，共42分）1.已知集合，．若，則實數(shù)a的取值范圍是（）A. B.C.且 D.且2.若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實數(shù)（）A.1 B. C.2 D.3.已知，，，那么（）A. B. C. D.4.函數(shù)的圖象的對稱中心為（）A. B. C. D.5.已知冪函數(shù)滿足，則的值為（）A.2 B. C. D.-26.已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列的前n項和為，，，則的值為（）A.30 B.10 C.9 D.67.在下列函數(shù)中，導(dǎo)函數(shù)值不可能取到1的是（）A. B. C. D.8.已知．則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件9.在中，若，則的形狀是（）A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形10.已知是函數(shù)的極小值點，那么實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.11.已知函數(shù)fx=tsinωx+cosωxt>0,ω>0的最小正周期為，最大值為A.關(guān)于直線對稱 B.關(guān)于點對稱C.關(guān)于直線對稱 D.關(guān)于點對稱12.已知等比數(shù)列的前n項和為，若存在實數(shù)，使得，則以下結(jié)論不正確的是（）A. B.數(shù)列的公比為C. D.數(shù)列可能為常數(shù)列13.某教學(xué)軟件在剛發(fā)布時有100名教師用戶，發(fā)布5天后有1000名教師用戶.如果教師用戶人數(shù)與天數(shù)之間滿足關(guān)系式：，其中為常數(shù)，是剛發(fā)布時的教師用戶人數(shù)，則教師用戶超過20000名至少經(jīng)過的天數(shù)為（）（參考數(shù)據(jù)：）A.9 B.10 C.11 D.1214.已知函數(shù)，有如下3個結(jié)論：①當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞減；②當(dāng)時，有兩個極值點；③當(dāng)時，有最大值.其中，正確結(jié)論的個數(shù)是（）A.0 B.1 C.2 D.3二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）15.已知，則關(guān)于的不等式的解集是________．16.在平面直角坐標(biāo)系中，角以為始邊，且終邊經(jīng)過點，則________.17.若，則________.18.寫出一個同時具有下列性質(zhì)的函數(shù)________.①函數(shù)是偶函數(shù)；②當(dāng)時，單調(diào)遞減.19.已知為偶函數(shù)，當(dāng)時，（1）_________；（2）不等式的解集為________.20.設(shè)數(shù)列的前項和為，若對任意的正整數(shù)，總存在正整數(shù)，使得.給出如下4個結(jié)論：①可能為等差數(shù)列；②可能為等比數(shù)列；③均能寫成的兩項之差；④對任意，總存在，使得.其中正確命題的序號是_________.三、解答題（本大題共2小題，共28分）21.已知是等差數(shù)列，其前項和為，，.（1）求數(shù)列的通項公式及；（2）從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，求數(shù)列的前項和.條件①：；條件②：；條件③：.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.22.已知函數(shù).（1）求曲線在點處的切線方程；（2）若的極大值為，求的值；（3）當(dāng)時，若，，使得，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題（本大題共14小題，每小題3分，共42分）1.【答案】D【分析】根據(jù)并集結(jié)果可知，進(jìn)而可構(gòu)造不等式，解不等式求得結(jié)果.【詳解】解：，，且，，，解得：且的取值范圍為且故選：D2.【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法和復(fù)數(shù)的分類即可得到方程，解出即可.【詳解】，因為其為純虛數(shù)，則且，解得.故選：B.3.【答案】D【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得出指數(shù)式及對數(shù)式與的大小關(guān)系即可.【詳解】因為，所以0<a<1，又因為b=e2>1所以.故選：D.4.【答案】B【分析】依題意可得，再根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)平移規(guī)則得解；【詳解】因為，由向上平移一個單位得到，又關(guān)于對稱，所以關(guān)于對稱；故選：B5.【答案】B【分析】設(shè)，代入條件，推出，利用冪的運算性質(zhì)計算所求式即得.【詳解】依題意設(shè)，由可得：，則.故選：B.6.【答案】B【分析】根據(jù)等比中項可得，對根據(jù)等比數(shù)列的定義和通項公式可得，運算求解即可得答案.【詳解】為正數(shù)的等比數(shù)列，則，可得，∵，∴，又∵，則，可得，∴，解得，故.故選：B.7.【答案】D【分析】分別對各選項中函數(shù)求導(dǎo)，由導(dǎo)函數(shù)值等于時，判斷能否求出對應(yīng)的的值，即可確定.【詳解】對于A，，令，得，即A選項導(dǎo)函數(shù)值可以取到1；對于B，，令，得，，即B選項導(dǎo)函數(shù)值可以取到1；對于C，，令，得，由于1ln2>1，所以，即C選項導(dǎo)函數(shù)值可以取到

對于D，，令，則，不存在使其成立，即D選項導(dǎo)函數(shù)值不可能取到1，故選：D.8.【答案】A【分析】由充分條件和必要條件的定義求解即可.【詳解】當(dāng)時，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等，所以充分性成立，取，滿足，但，故必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.9.【答案】D【分析】利用余弦定理將化簡為，從而可求解.【詳解】由，得，化簡得，當(dāng)時，即，則為直角三角形；當(dāng)時，得，則為等腰三角形；綜上：為等腰或直角三角形，故D正確.故選：D.10.【答案】A【分析】求得，令，得到或，結(jié)合題意，列出不等式，即可求解.【詳解】由函數(shù)，可得，令，即，解得或，要使得是函數(shù)的極小值點，則滿足，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：A.11.【答案】C【分析】先利用輔助角公式化簡，再根據(jù)周期性求出，根據(jù)最值求出，再根據(jù)正弦函數(shù)的對稱性逐一判斷即可.【詳解】，其中，因為函數(shù)的最小正周期為，所以，解得，因為函數(shù)的最大值為，所以，解得（舍去），所以，因為，所以函數(shù)圖象不關(guān)于直線對稱，也不關(guān)于點對稱，故AB錯誤；因為，所以函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱，不關(guān)于點對稱，故C正確，D錯誤.故選：C.12.【答案】D【分析】設(shè)出等比數(shù)列的公比為，分和兩種情形，分別表示出，并與比較對照，分別用和表示出，然后逐一分析判斷各選項即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，若，則，此時是關(guān)于的一次函數(shù)，數(shù)列為常數(shù)列，而不是關(guān)于的一次函數(shù)，故不可能為常數(shù)列，故D錯誤；對于B，因，則，又，故得：，故B正確；對于A，，故A正確；對于C，因，故C正確.故選：D.13.【答案】D【分析】根據(jù)已知條件求得，結(jié)合及指對數(shù)關(guān)系、對數(shù)運算性質(zhì)求解集，即可得結(jié)果.【詳解】由題設(shè)，可得，所以，則，故，所以教師用戶超過20000名至少經(jīng)過12天.故選：D14.【答案】C【分析】①求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)已知求得，即可求得說法正確；②根據(jù)已知將問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)與的圖象交點問題，作出圖象，求得兩個圖象有兩個交點，從而求得有兩個極值點，則說法正確；③結(jié)合圖象，時，可求得，則單增無最大值，故說法錯誤.【詳解】，，對于①，因為，所以，當(dāng)時，，則在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以①正確.對于②，令，得，令，，當(dāng)g'x=1?xex>0所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)，，又當(dāng)趨近于時，趨近于，，當(dāng)趨近于時，趨近于0，所以可作出函數(shù)的大致圖象如圖所示，

由圖可知，當(dāng)時，直線與的圖象有兩個交點，即方程有兩個不等實根，當(dāng)或時，，

當(dāng)時，，則在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以是函數(shù)的極大值點，是函數(shù)的極小值點，故有兩個極值點，所以②正確.對于③，當(dāng)時，，即恒成立，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)無最大值，所以③錯誤.則說法正確的個數(shù)為，故選：C.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題②的關(guān)鍵在于求導(dǎo)后分離參數(shù)，再次構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)分析單調(diào)性和最值.二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）15.【答案】【分析】關(guān)于的不等式等價于，結(jié)合的范圍，比較根的大小，即可得結(jié)果.【詳解】關(guān)于的不等式等價于，由，得，所以不等式的解集為.故答案為：..16.【答案】##【詳解】∵角的終邊經(jīng)過點，則，，故答案為：.17.【答案】1【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運算，結(jié)合復(fù)數(shù)相等的性質(zhì)得到關(guān)于的方程組，解之即可得解.【詳解】因為，所以，即，所以，解得.故答案為：1.18.【答案】【分析】據(jù)性質(zhì)①可得知函數(shù)的對稱軸為直線，結(jié)合性質(zhì)②可得一個以直線為對稱軸且開口向下的二次函數(shù).【詳解】①函數(shù)是偶函數(shù)，則圖像關(guān)于軸對稱，故函數(shù)對稱軸為直線，②當(dāng)時，單調(diào)遞減，結(jié)合這兩點性質(zhì)可得到函數(shù)滿足對稱軸為，以及在區(qū)間上單調(diào)遞減即可，是開口向下的二次函數(shù)，滿足以上條件.故答案為：.19.【答案】①.##0.75②.【分析】根據(jù)題中所給的分段函數(shù)解析式，先求出值，結(jié)合其單調(diào)性得到其范圍，結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)得到結(jié)果.【詳解】由題意可知.當(dāng)時，，解或，則，當(dāng)，，解，則，故當(dāng)，則，由是偶函數(shù)，當(dāng)時，，則由，則或解得或故答案為：；20.【答案】①③【分析】對于①，取判定；對于②，當(dāng)?shù)墓葧r，不存在正整數(shù)，當(dāng)時，即無有理數(shù)根判定；對于③，根據(jù)判定；對于④取數(shù)列，顯然不存在，使得，判定即可.【詳解】對于①，取等差數(shù)列，易驗證其滿足要求，①正確.對于②，若為等比數(shù)列，設(shè)公比為，顯然不滿足要求，考慮的情況，依題意，應(yīng)有，即，兩式相除，得.若，則取為奇數(shù)，那么，所以，所以.當(dāng)足夠大時，顯然不成立；若，則，因為，所以當(dāng)足夠大時，可以使，故也不成立.從而知②錯誤；對于選項③，取，則，所以，當(dāng)時，，故③正確.對于選項④，取數(shù)列，顯然不存在，使得，故④錯誤.故答案為：①③三、解答題（本大題共2小題，共28分）21.【答案】（1），（2）若選①：；若選②：；若選③：【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項公式和求和公式即可求解；（2）根據(jù)等比數(shù)列求和公式、分組求和方法、乘公比錯位相減法即可分別求解.【小問1詳解】設(shè)數(shù)列{an}的公差為.，，，所以，所以.【小問2詳解】若選①：，；若選②：，.若選③：，.22.【答案】（1）（2）2（3）【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解切線方程；（2）對函數(shù)求導(dǎo)后，由，得或，然后分，和三種情況討論導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值，使極大值為可求出；（3）將問題轉(zhuǎn)化為在上的值域是在的值域的子集，由（2）知函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，然后分，和三種情況討論即可.【小問1詳解】由，可得，則切線的斜率，又，則切點為，故切線方程為；【小問2詳解】由，因，令，可得或.①當(dāng)，即時，由f'x>0，可得或；由f'x<0，可得故函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故的極大值為，不合題意；②當(dāng)，即時，f'x≥0，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，無極大值；③當(dāng)，即時，由f'x>0，可得或；由f'x<0，可得故函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故的極大值為，解得，符合題意.綜上所述，；【小問3詳解】由題意可知，當(dāng)時，在上的值域是在上的值域的子集.由（2）已知，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且當(dāng)時，