試題試題2024北京十五中高三（上）開學考數(shù)學2024.8本試卷共4頁，150分.考試時長120分鐘.考生務必將答案答在答題紙上，在試卷上作答無效.第一部分（選擇題共48分）一、選擇題共12小題，每小題4分，共48分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.若集合，，則（）A. B. C. D.2.在等比數(shù)列中，若，，則（）A.2 B. C.4 D.3.若，則下列不等式中正確的是（）A. B. C. D.4.下列函數(shù)中，是偶函數(shù)，且在區(qū)間0,+∞上單調(diào)遞增的為（）A. B. C. D.5.下列求導運算不正確的是（）A. B.C. D.6.已知函數(shù)，存在最小值，則實數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.7.的二項展開式中的系數(shù)為（）A.15 B.6 C. D.8.若函數(shù)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件9.設，其中，則（）A. B.C. D.10.已知為單位向量，向量滿足，，則的最大值為（）A.1 B.2 C. D.411.“ChatGPT”以其極高的智能化引起世界關(guān)注.深度學習是人工智能的一種具有代表性的實現(xiàn)方法，它是以神經(jīng)網(wǎng)絡為出發(fā)點的.在神經(jīng)網(wǎng)絡優(yōu)化中，指數(shù)衰減的學習率模型為，其中表示每一輪優(yōu)化時使用的學習率，表示初始學習率，表示衰減系數(shù)，表示訓練迭代輪數(shù)，表示衰減速度.已知某個指數(shù)衰減的學習率模型的初始學習率為，衰減速度為，且當訓練迭代輪數(shù)為時，學習率為，則學習率衰減到以下（不含）所需的訓練迭代輪數(shù)至少為（參考數(shù)據(jù)：）（）A.75 B.74 C.73 D.7212.已知數(shù)列an滿足則（）A.當時，an為遞增數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立B.當時，an為遞減數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立C.當時，存在正整數(shù)，當時，D.當時，對于任意正整數(shù)，存在，使得第二部分（非選擇題共102分）二、填空題共6小題，每小題5分，共30分.13.函數(shù)的定義域是__________.14.已知復數(shù)，則___．15.已知命題：若為第一象限角，且，則.能說明命題為假命題的一組的值可以是__________，__________.16.已知向量，滿足，，且，則___________.17.在數(shù)列an中，.數(shù)列bn滿足.若bn是公差為1的等差數(shù)列，則bn的通項公式為______，的最小值為______.18.已知函數(shù)的值域是，若，則m的取值范圍是________．三、解答題共5小題，共72分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.19.在中，，是邊上的點，，，.（1）求cosB與的面積；（2）求邊AC的長.20.某學校組織高一、高二年級學生進行了“紀念建國周年”的知識競賽．從這兩個年級各隨機抽取了名學生，對其成績進行分析，得到了高一年級成績的頻率分布直方圖和高二年級成績的頻數(shù)分布表．高二成績分組頻數(shù)規(guī)定成績不低于90分為“優(yōu)秀”．（1）估計高一年級知識競賽的優(yōu)秀率；（2）將成績位于某區(qū)間的頻率作為成績位于該區(qū)間的概率．在高一、高二年級學生中各選出1名學生，記這2名學生中成績優(yōu)秀的人數(shù)為，求隨機變量的分布列；（3）在高一、高二年級各隨機選取1名學生，用X，Y分別表示所選高一、高二年級學生成績優(yōu)秀的人數(shù)．寫出方差的大小關(guān)系．只需寫出結(jié)論21.已知函數(shù).（1）若，，求的值；（2）設，求在區(qū)間上的最大值和最小值.22.已知函數(shù)．（1）若曲線在點處的切線平行于軸，求實數(shù)的值；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．23.已知函數(shù)．（1）若曲線在點處的切線的斜率為1，求曲線在點處的切線方程；（2）定義：若，均有，則稱函數(shù)為函數(shù)的控制函數(shù)．①，試問是否為函數(shù)的“控制函數(shù)”？并說明理由；②，若為函數(shù)的“控制函數(shù)”，求實數(shù)的取值范圍．

參考答案第一部分（選擇題共48分）一、選擇題共12小題，每小題4分，共48分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.【答案】A【分析】根據(jù)集合描述求集合，應用集合交運算求交集即可.【詳解】，或，∴，故選：A【點睛】本題考查了集合的基本運算，利用集合交運算求交集，屬于簡單題.2.【答案】C【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)計算即可.【詳解】由于是等比數(shù)列，且，，所以，故選：C.3.【答案】D【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，賦值，如，即可判斷A、B、C，再根據(jù)基本不等式即可判斷D.【詳解】解：由，令，則，則，故A錯誤；則，則，故B錯誤；則，則無意義，故C錯誤；因為，則，所以.故選：D.4.【答案】B【分析】結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的定義與判定方法，以及初等函數(shù)的性質(zhì)，逐項判定，即可求解.【詳解】由題意，對于A中，函數(shù)，所以函數(shù)為奇函數(shù)，不符合題意；對于B中，函數(shù)滿足，所以函數(shù)為偶函數(shù)，當時，函數(shù)為0,+∞上的單調(diào)遞增函數(shù)，符合題意；對于C中，函數(shù)非奇非偶函數(shù)，不符合題意；對于D中，為偶函數(shù)，當時，函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，不符合題意，故選：B.【點睛】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的單調(diào)性的判定與應用，其中解答中熟記函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的判定方法，以及初等函數(shù)的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與論證能力，屬于基礎題.5.【答案】B【分析】直接利用導數(shù)公式和運算法則求解.【詳解】A.由導數(shù)公式得，故正確；B.由導數(shù)運算法則得，故錯誤；C由導數(shù)公式得，故正確；D.由導數(shù)公式得，故正確；故選：B【點睛】本題主要考查導數(shù)公式和運算法則的應用，屬于基礎題.6.【答案】A【分析】根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性求解即可.【詳解】當時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，當時，，所以在上單調(diào)遞增，無最小值，根據(jù)題意，存在最小值，所以，即.故選：A.7.【答案】B【分析】先求出二項式展開式的通項公式，然后令的次數(shù)為3，求出，從而可求得結(jié)果.【詳解】解：的通項公式為：，令，可得，所以二項展開式中的系數(shù)：．故選：B．8.【答案】C【分析】根據(jù)題意分析可知為奇函數(shù)且在R上單調(diào)遞增，分析可知等價于，即可得結(jié)果.【詳解】由題意可知：的定義域為R，且，若，則，可知，若，同理可得，所以為奇函數(shù)，作出函數(shù)的圖象，如圖所示，由圖象可知在R上單調(diào)遞增，若，等價于，等價于，等價于，所以“”是“”的充要條件.故選：C.9.【答案】C【分析】借助正負性、對勾函數(shù)的性質(zhì)及二次函數(shù)的性質(zhì)判斷即可得.【詳解】由，故，故，由對勾函數(shù)性質(zhì)可得，，且，綜上所述，有.故選：C.10.【答案】C【分析】設，，根據(jù)求出，再根據(jù)得到，最后根據(jù)向量模的坐標表示及二次函數(shù)的性質(zhì)計算可得.【詳解】依題意設，，由，所以，則，又，且，所以，即，所以，當且僅當時取等號，即的最大值為.故選：C11.【答案】C【分析】由已知可得，再由，結(jié)合指對數(shù)關(guān)系及對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】由題設可得，則，所以，即，所以所需的訓練迭代輪數(shù)至少為次．故選：C．12.【答案】D【分析】直接構(gòu)造反例即可說明A和B錯誤；然后證明引理：當時，對任意的正整數(shù)，都存在，使得.最后由該引理推出C錯誤，D正確.【詳解】當時，，，所以此時an不是遞增數(shù)列，A錯誤；當時，，，，所以此時an不是遞減數(shù)列，B錯誤；我們證明以下引理：當時，對任意的正整數(shù)，都存在，使得.若該引理成立，則它有兩個直接的推論：①存在，使得對任意的正整數(shù)，都存在，使得；②當時，對任意的正整數(shù)，都存在，使得.然后由①是C的否定，故可以說明C錯誤；而②可以直接說明D正確.最后，我們來證明引理：當時，對任意確定的正整數(shù)：如果，則；如果，則或.此時若，則；若，則.無論哪種情況，都有，從而.這說明或，所以可以選取，使得.這就說明存在，使得.這就證明了引理，從而可以推出C錯誤，D正確.故選：D.【點睛】最關(guān)鍵的地方在于引理：當時，對任意的正整數(shù)，都存在，使得.這一引理可以幫助我們判斷出較難判斷的C和D選項.第二部分（非選擇題共102分）二、填空題共6小題，每小題5分，共30分.13.【答案】且【分析】求使函數(shù)有意義的的范圍即為定義域，逐項求解即可.【詳解】解：由題意得，解得且，故函數(shù)的定義域為且.故答案為：且14.【答案】【分析】先計算復數(shù)，再根據(jù)復數(shù)的模的定義求結(jié)果.【詳解】由，故z=2故答案為：15.【答案】①.（答案不唯一）②.（答案不唯一）【分析】只要找到一組滿足題意的角即可.【詳解】因為第一象限角，且，取，則且在第一象限，此時，故命題假命題，滿足題意，所以的值可以是，故答案為：（答案不唯一）；（答案不唯一）.16.【答案】##-0.5【分析】由向量模長的計算和數(shù)量積計算即可.【詳解】，，，故答案為：.17.【答案】①.②.【分析】求出等差數(shù)列bn的首項，直接求出bn的通項公式即可，利用數(shù)列an的單調(diào)性得最小項為【詳解】由題意，又等差數(shù)列bn的公差為1，所以；故，所以當時，，當時，，所以，顯然的最小值是.又，所以，即的最小值是.故答案為：，18.【答案】【分析】先判斷出在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，然后作出與在上的圖象，求出在上的值域，再結(jié)合圖象可求得結(jié)果.【詳解】當時，，此時單調(diào)遞減，當時，，此時單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當時，取得最大值，為，作出與在上的圖象如圖所示：當，時，，此時，此時，因為的值域為，則時，必有解，即，解得，由圖知,故答案為：【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查函數(shù)的綜合問題，考查分段函數(shù)，考查由函數(shù)的值域確定參數(shù)的范圍，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意作出函數(shù)圖象，結(jié)合圖象求解，考查數(shù)形結(jié)合的思想，屬于較難題.三、解答題共5小題，共72分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.19.【答案】（1），（2）分析】（1）借助余弦定理與面積公式計算即可得；（2）借助正弦定理計算即可得.【小問1詳解】在中，由余弦定理得，∵，∴，∴；【小問2詳解】由（1）知，∵，∴，在中，由正弦定理得，即.20.【答案】（1）（2）答案見解析（3）【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖直接求解即可；（2）先分別求出在高一、高二年級學生中選中成績優(yōu)秀學生的概率和不優(yōu)秀學生的概率，由題意可知的所有可能取值為0，1，2，然后求出對應的概率，從而可求出隨機變量的分布列；（3）由題意可知X，Y均符合兩點分布，從而可求出的值，進而可比較大小.【小問1詳解】高一年級知識競賽的優(yōu)秀率為．所以高一年級知識競賽的優(yōu)秀率為【小問2詳解】在高一年級學生中選中成績優(yōu)秀學生的概率為，選中成績不優(yōu)秀學生的概率為；在高二年級學生中選中成績優(yōu)秀學生的概率為，選中成績不優(yōu)秀學生的概率為．的所有可能取值為0，1，2；；；．所以隨機變量的分布列為：P012【小問3詳解】顯然X，Y均符合兩點分布，且，，，，所以所以21.【答案】（1）或（2）最大值為，最小值為【分析】（1）根據(jù)條件，利用特殊角的三角函數(shù)值，即可求出結(jié)果；（2）根據(jù)條件得到，再利用的圖象與性質(zhì)，即可求出結(jié)果.【小問1詳解】因為，由，得到，解得或，即或，又，所以或.【小問2詳解】因為，令，因為，得到，由的圖象與性質(zhì)知，，所以，所以在區(qū)間上的最大值為，最小值為.22.【答案】（1）（2）答案見解析【分析】（1）先求函數(shù)的導函數(shù)，若曲線在點處的切線平行于軸，只需保證，求實數(shù)的值即可；（2）求得有兩個根“和”，再分、和三種情況分析函數(shù)的單調(diào)性即可.【小問1詳解】由題可得，因為在點處的切線平行于軸，所以，即，解得，經(jīng)檢驗符合題意．【小問2詳解】因為，令，得或．當時，隨的變化，，的變化情況如下表所示：單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．當時，因為，當且僅當時，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增．當時，隨的變化，，的變化情況如下表所示：單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．綜上所述，當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為．23.【答案】（1）切線方程為，（2）①是“控制函數(shù)”，理由見解析；②【分析】（1）根據(jù)斜率求出切點坐標，再由直線的點斜式方程可得答案；（2）①由得，根據(jù)的范圍可得答案；②轉(zhuǎn)化為，恒成立，令求出在的最值可得答案.【小問1詳解】