試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2025年北京市第一次普通高中學(xué)業(yè)水平合格性考試數(shù)學(xué)試卷考生須知1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號．2．本試卷共6頁，分為兩部分：第一部分為選擇題，共54分；第二部分為非選擇題，共46分．3．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效．第一部分必須用2B鉛筆作答，第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答．4．考試結(jié)束后，考生應(yīng)將試卷、答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回．第一部分(選擇題共54分)一、選擇題共18小題，每小題3分，共54分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．1．已知復(fù)數(shù)，，則（

）A． B． C． D．2．已知，且，則下列不等式中一定成立的是（

）A． B．C． D．3．下列函數(shù)中，在區(qū)間上單調(diào)遞減的是（

）A． B．C． D．4．下列向量中，與向量共線的是（

）A． B． C． D．5．不等式的解集是（

）A． B．C． D．或6．已知，，，則（

）A． B． C． D．7．在平面直角坐標(biāo)系中，角以為頂點.以為始邊，終邊經(jīng)過點，則角可以是（

）A． B． C． D．8．某農(nóng)場種植的甲、乙兩種水稻，在面積相等的兩塊稻田中連續(xù)五年的產(chǎn)量（單位：kg）如下：第1年第2年第3年第4年第5年甲水稻產(chǎn)量900920900850910乙水箱產(chǎn)量890960950850860對于上表數(shù)據(jù)，下列結(jié)論正確的是（

）A．甲水稻產(chǎn)量每年都比乙水稻產(chǎn)量小B．甲水稻產(chǎn)量的中位數(shù)為900，乙水稻產(chǎn)量的中位數(shù)為860C．甲水稻產(chǎn)量的方差比乙水稻產(chǎn)量的方差小D．甲水稻產(chǎn)量的極差比乙水稻產(chǎn)量的極差大9．已知菱形的邊長為2，，則（

）A．4 B．2 C．1 D．10．在中，，，，則（

）A． B． C． D．11．已知函數(shù).下列區(qū)間中包含的零點的是（

）A． B． C． D．12．（

）A． B． C．2 D．13．若a，b是空間中的兩條直線，則“a，b異面”是“a，b沒有公共點”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件14．某市持續(xù)擴大綠色生態(tài)空間，打造宜居城市，該市人均公園綠地面積從2020年的增長到2023年的.設(shè)年期間該市人均公園綠地面積的年平均增長率為.則（

）A． B．C． D．15．函數(shù)的定義域是（

）A． B． C． D．16．已知，且，則的最大值是（

）A． B． C．1 D．17．若，則（

）A． B．C． D．18．已知集合.若存在的個不同的非空子集，它們的并集是的真子集，則的最大值是（

）A．5 B．6 C．7 D．8第二部分(非選擇題共46分)二、填空題共3小題，每小題4分，共12分．19．某校美術(shù)社團在校園文化節(jié)期間制作了“金面罩”“鍋神獸”“銅太陽神器”3枚三星堆文物圖案印章，并為每位學(xué)生隨機選擇1枚蓋章留念，則學(xué)生甲得到“金面罩”圖案的概率為；學(xué)生乙和學(xué)生丙都得到“銅神獸”圖案的概率為.20．如圖，在三棱錐中，，，兩兩互相垂直，，則是三角形.（填“銳角”“直角”或“鈍角”）21．已知函數(shù)，.設(shè)函數(shù)，給出下列三個結(jié)論：①在區(qū)間上單調(diào)遞增；②的最大值為2；③方程有兩個不同的實數(shù)解.其中所有正確結(jié)論的序號是.三、解答題共4小題，共34分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．22．已知函數(shù).(1)寫出的一個周期；(2)求在區(qū)間上的最大值和最小值.23．閱讀下面題目及其解答過程．已知函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，（1）求的值；（2）求不等式的解集.解：（1）因為當(dāng)時，所以①.因為是奇函數(shù)，所以②.（2）當(dāng)時，③，所以恒成立.當(dāng)時，，所以④.因為是奇函數(shù)，所以⑤.所以.由，解得.綜上，不等式的解集為⑥.以上題目的解答過程中，設(shè)置了①⑥六個空格，如下的表格中為每個空格給出了兩個選項，其中只有一個符合邏輯推理．請選出符合邏輯推理的選項，并填寫在答題卡的指定位置．(只需填寫“A”或“B”)空格序號選項①A.

B.②A.

B.③A.

B.④A.

B.⑤A.

B.⑥A.

B.24．如圖，在正方體中，點在上.(1)求證：；(2)求證：平面.25．已知集合，其中，若存在的非空子集A，滿足（表示有限集合A中元素的個數(shù)），且A中所有元素之積與中所有元素之和相等，則稱為“積和集合”.(1)若，判斷是否為“積和集合”；（結(jié)論無需證明）(2)若是“積和集合”，寫出的所有可能取值：(3)若，判斷是否為“積和集合”，并說明理由.答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁1．D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)加法運算法則求解.【詳解】由，，則，故選：D2．A【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)進行判斷即可.【詳解】因為，且，所以，，故CD錯誤；因為，，所以即恒成立，故A正確；取，，則，但此時，故B未必成立.故選：A3．B【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的單調(diào)性直接得解.【詳解】因為，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上不單調(diào)，故選：B4．A【分析】由共線向量的坐標(biāo)關(guān)系逐個判斷即可.【詳解】對A：因為，故與共線；對B：因為，故與不共線；對C：因為，故與不共線；對D：因為，故與不共線.故選：A5．C【分析】根據(jù)二次不等式的解法求解.【詳解】由，所以不等式的解集是，故選：C6．A【分析】根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性比較大小即可.【詳解】由冪函數(shù)為上的增函數(shù)，且，所以，即，故選：A7．B【分析】根據(jù)角終邊上的點確定三角函數(shù)值即可得解.【詳解】由角終邊經(jīng)過點，可知，且為第四象限角，故選：B8．C【分析】根據(jù)產(chǎn)量、中位數(shù)、方差、極差概念逐項分析即可得解.【詳解】對A，只有第二和第三年甲產(chǎn)量比乙產(chǎn)量小，故A錯誤；對B，甲水稻產(chǎn)量的中位數(shù)為900，乙水稻產(chǎn)量的中位數(shù)為890，故B錯誤；對C，甲水稻年產(chǎn)量的均值為，甲水稻產(chǎn)量的方差為，乙水稻年產(chǎn)量的均值為，乙水稻產(chǎn)量的方差為，所以甲水稻產(chǎn)量的方差比乙水稻產(chǎn)量的方差小，故C正確；對D，甲水稻產(chǎn)量的極差為70，乙水稻產(chǎn)量的極差為，故D錯誤.故選：C9．B【分析】根據(jù)數(shù)量積的定義求解.【詳解】.故選：B10．D【分析】由正弦定理求解即可.【詳解】由正弦定理，，所以，故選：D11．D【分析】求出函數(shù)零點即可得解.【詳解】因為，解得，所以，故選：D12．A【分析】根據(jù)對數(shù)的運算求解即可.【詳解】.故選：A13．A【分析】由空間中兩直線的位置關(guān)系結(jié)合充分條件與必要條件的定義即可得解.【詳解】空間中的兩條直線a，b異面，則a，b沒有公共點，反之，空間中的兩條直線a，b沒有公共點，則不一定得到a，b異面，也可能a，b是平行直線，所以“a，b異面”是“a，b沒有公共點”的充分不必要條件.故選：A.14．C【分析】根據(jù)年平均增長率的意義列方程即可.【詳解】根據(jù)題意列方程：.故選：C15．C【分析】由可求函數(shù)的定義域.【詳解】由.所以函數(shù)的定義域為：.故選：C16．D【分析】由基本不等式求最值即可.【詳解】因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故選：D17．B【分析】根據(jù)兩角和的正弦公式化簡后，根據(jù)正弦值求角即可.【詳解】因為，所以，故選：B18．C【分析】分析集合的子集的并集是的真子集，則這個集合中所含元素的個數(shù)確定的最大值.【詳解】集合的個不同的非空子集，它們的并集是的真子集，那么這個集合中至多含有3個元素，比如1、2、3.那么這個集合可能是：，，，，，，.故的最大值為7.故選：C19．【分析】根據(jù)古典概型的概率公式可得空1的答案；根據(jù)獨立事件同時發(fā)生的概率公式可得空2的答案.【詳解】因為學(xué)生甲得到“金面罩”“鍋神獸”“銅太陽神器”圖案的概率相等，所以學(xué)生甲得到“金面罩”圖案的概率為：.因為學(xué)生乙和學(xué)生丙得到“銅神獸”圖案的概率均為，且相互獨立，所以學(xué)生乙和學(xué)生丙都得到“銅神獸”圖案的概率為：.故答案為：；20．銳角【分析】根據(jù)勾股定理可知三角形為等邊三角形得解.【詳解】因為，，兩兩互相垂直，，所以，所以，即是等邊三角形，故答案為：銳角21．①②③【分析】作出函數(shù)的草圖，數(shù)形結(jié)合，判斷①②③的準(zhǔn)確性即可.【詳解】根據(jù)題意，作出函數(shù)的草圖如下：因為在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以方程只有一解，為，且.所以函數(shù)的圖象，如圖所示，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，故①正確；函數(shù)的最大值是時取得的，為，故②正確；因為函數(shù)的圖象與直線的交點有兩個，所以方程有兩個不同的根，故③正確.故答案為：①②③22．(1)(答案不唯一)(2)，.【分析】（1）利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系化簡函數(shù)解析式即可得解；（2）根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性可求最值.【詳解】（1）因為，所以為函數(shù)的一個周期.（2）當(dāng)時，，即，所以在區(qū)間上的最大值和最小值分別為，.23．①A；②A；③B；④A；⑤B；⑥A【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義與性質(zhì)解奇函數(shù)的函數(shù)值、奇函數(shù)的解析式及解指數(shù)不等式即可.【詳解】（1）∵當(dāng)時，，∴，故①選A；∵函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，∴，故②選A；（2）由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知：當(dāng)時，，故③選B；∵當(dāng)時，，所以，故④選A；∵函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，∴，故⑤選B；由題中過程可知：不等式的解集為，故⑥選A.24．(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)平面，可知.（2）根據(jù)平面平面，可證平面.【詳解】（1）因為為正方體，所以平面，又平面，所以.（2）因為為正方體，所以平面平面，又平面，所以平面.25．(1)是；(2)(3)不是，理由見解析.【分析】（1）由題意可完成判斷；（2）由題可得，然后分類討論的可能情況，結(jié)合題意可得答案；（3）設(shè)集合A中全體元素乘積為，全體元素和為，由題可得，，.然后分別判斷是否存在為2,3,4,5,6,7,8,9的集合A，可完成判斷.【詳解】（1）注意到，則取，滿足題意.則是“積和集合”；（2）由題可得，若，則，符合；若，則，不滿足集合互異性，排除；若，則，符合；若，則，符合；若，則，不為整數(shù)，不滿足題意，排除；若，則，不為整數(shù)，不滿足題意，排除；綜上，的所