能力課高考常考的“兩類”計(jì)算題[常考點(diǎn)]封閉氣體多過程的問題多過程問題的處理技巧研究對(duì)象(一定質(zhì)量的氣體)發(fā)生了多種不同性質(zhì)的變化，表現(xiàn)出“多過程”現(xiàn)象。對(duì)于“多過程”現(xiàn)象，則要確定每個(gè)有效的“子過程”及其性質(zhì)，選用合適的實(shí)驗(yàn)定律，并充分應(yīng)用各“子過程”間的有效關(guān)聯(lián)。解答時(shí)，特別注意變化過程可能的“臨界點(diǎn)”，找出臨界點(diǎn)對(duì)應(yīng)的狀態(tài)參量，在“臨界點(diǎn)”的前、后可以形成不同的“子過程”。【例1】[2015·全國卷Ⅰ，33(2)]如圖1，一固定的豎直汽缸由一大一小兩個(gè)同軸圓筒組成，兩圓筒中各有一個(gè)活塞。已知大活塞的質(zhì)量為m1＝2.50kg，橫截面積為S1＝80.0cm2；小活塞的質(zhì)量為m2＝1.50kg，橫截面積為S2＝40.0cm2；兩活塞用剛性輕桿連接，間距為l＝40.0cm；汽缸外大氣的壓強(qiáng)為p＝1.00×105Pa，溫度為T＝303K。初始時(shí)大活塞與大圓筒底部相距eq\f(l,2)，兩活塞間封閉氣體的溫度為T1＝495K?，F(xiàn)汽缸內(nèi)氣體溫度緩慢下降，活塞緩慢下移。忽略兩活塞與汽缸壁之間的摩擦，重力加速度大小g取10m/s2。求：圖1(ⅰ)在大活塞與大圓筒底部接觸前的瞬間，缸內(nèi)封閉氣體的溫度；(ⅱ)缸內(nèi)封閉的氣體與缸外大氣達(dá)到熱平衡時(shí)，缸內(nèi)封閉氣體的壓強(qiáng)。解析(ⅰ)大小活塞在緩慢下移過程中，受力情況不變，汽缸內(nèi)氣體壓強(qiáng)不變，由蓋－呂薩克定律得eq\f(V1,T1)＝eq\f(V2,T2)初狀態(tài)V1＝eq\f(l,2)(S1＋S2)，T1＝495K末狀態(tài)V2＝lS2代入可得T2＝eq\f(2,3)T1＝330K(ⅱ)對(duì)大、小活塞受力分析則有m1g＋m2g＋pS1＋p1S2＝p1S1＋pS2可得p1＝1.1×105Pa缸內(nèi)封閉的氣體與缸外大氣達(dá)到熱平衡過程中，氣體體積不變，由查理定律得eq\f(p1,T2)＝eq\f(p2,T3)，T3＝T＝303K解得p2＝1.01×105Pa答案(ⅰ)330K(ⅱ)1.01×105Pa【變式訓(xùn)練1】[2015·新課標(biāo)全國Ⅱ，33(2)]如圖2，一粗細(xì)均勻的U形管豎直放置，A側(cè)上端封閉，B側(cè)上端與大氣相通，下端開口處開關(guān)K關(guān)閉；A側(cè)空氣柱的長(zhǎng)度為l＝10.0cm，B側(cè)水銀面比A側(cè)的高h(yuǎn)＝3.0cm。現(xiàn)將開關(guān)K打開，從U形管中放出部分水銀，當(dāng)兩側(cè)水銀面的高度差為h1＝10.0cm時(shí)將開關(guān)K關(guān)閉。已知大氣壓強(qiáng)p0＝75.0cmHg。圖2(ⅰ)求放出部分水銀后A側(cè)空氣柱的長(zhǎng)度；(ⅱ)此后再向B側(cè)注入水銀，使A、B兩側(cè)的水銀面達(dá)到同一高度，求注入的水銀在管內(nèi)的長(zhǎng)度。解析(ⅰ)以cmHg為壓強(qiáng)單位。設(shè)A側(cè)空氣柱長(zhǎng)度l＝10.0cm時(shí)的壓強(qiáng)為p；當(dāng)兩側(cè)水銀面的高度差為h1＝10.0cm時(shí)，空氣柱的長(zhǎng)度為l1，壓強(qiáng)為p1。由玻意耳定律得pl＝p1l1①由力學(xué)平衡條件得p＝p0＋h②打開開關(guān)K放出水銀的過程中，B側(cè)水銀面處的壓強(qiáng)始終為p0，而A側(cè)水銀面處的壓強(qiáng)隨空氣柱長(zhǎng)度的增加逐漸減小，B、A兩側(cè)水銀面的高度差也隨之減小，直至B側(cè)水銀面低于A側(cè)水銀面h1為止。由力學(xué)平衡條件有p1＝p0－h(huán)1③聯(lián)立①②③式，并代入題給數(shù)據(jù)得l1＝12.0cm④(ⅱ)當(dāng)A、B兩側(cè)的水銀面達(dá)到同一高度時(shí)，設(shè)A側(cè)空氣柱的長(zhǎng)度為l2，壓強(qiáng)為p2。由玻意耳定律得pl＝p2l2⑤由力學(xué)平衡條件有p2＝p0⑥聯(lián)立②⑤⑥式，并代入題給數(shù)據(jù)得l2＝10.4cm⑦設(shè)注入的水銀在管內(nèi)的長(zhǎng)度Δh，依題意得Δh＝2(l1－l2)＋h1⑧聯(lián)立④⑦⑧式，并代入題給數(shù)據(jù)得Δh＝13.2cm⑨答案(ⅰ)12.0cm(ⅱ)13.2cm[?？键c(diǎn)]關(guān)聯(lián)氣體的狀態(tài)變化問題多系統(tǒng)問題的處理技巧多個(gè)系統(tǒng)相互聯(lián)系的定質(zhì)量氣體問題，往往以壓強(qiáng)建立起系統(tǒng)間的關(guān)系，各系統(tǒng)獨(dú)立進(jìn)行狀態(tài)分析，要確定每個(gè)研究對(duì)象的變化性質(zhì)，分別應(yīng)用相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)定律，并充分應(yīng)用各研究對(duì)象之間的壓強(qiáng)、體積、溫度等量的有效關(guān)聯(lián)，若活塞可自由移動(dòng)，一般要根據(jù)活塞平衡確定兩部分氣體的壓強(qiáng)關(guān)系。【例2】[2017·全國卷Ⅰ，33(2)]如圖3，容積均為V的汽缸A、B下端有細(xì)管(容積可忽略)連通，閥門K2位于細(xì)管的中部，A、B的頂部各有一閥門K1、K3；B中有一可自由滑動(dòng)的活塞(質(zhì)量、體積均可忽略)。初始時(shí)，三個(gè)閥門均打開，活塞在B的底部；關(guān)閉K2、K3，通過K1給汽缸充氣，使A中氣體的壓強(qiáng)達(dá)到大氣壓p0的3倍后關(guān)閉K1。已知室溫為27℃，汽缸導(dǎo)熱。圖3(ⅰ)打開K2，求穩(wěn)定時(shí)活塞上方氣體的體積和壓強(qiáng)；(ⅱ)接著打開K3，求穩(wěn)定時(shí)活塞的位置；(ⅲ)再緩慢加熱汽缸內(nèi)氣體使其溫度升高20℃，求此時(shí)活塞下方氣體的壓強(qiáng)。解析(ⅰ)設(shè)打開K2后，穩(wěn)定時(shí)活塞上方氣體的壓強(qiáng)為p1，體積為V1。依題意，被活塞分開的兩部分氣體都經(jīng)歷等溫過程。由玻意耳定律得p0V＝p1V1①(3p0)V＝p1(2V－V1)②聯(lián)立①②式得V1＝eq\f(V,2)③p1＝2p0④(ⅱ)打開K3后，由④式知，活塞必定上升。設(shè)在活塞下方氣體與A中氣體的體積之和為V2(V2≤2V)時(shí)，活塞下氣體壓強(qiáng)為p2由玻意耳定律得(3p0)V＝p2V2⑤由⑤式得p2＝eq\f(3V,V2)p0⑥由⑥式知，打開K3后活塞上升直到B的頂部為止；此時(shí)p2為p2′＝eq\f(3,2)p0(ⅲ)設(shè)加熱后活塞下方氣體的壓強(qiáng)為p3，氣體溫度從T1＝300K升高到T2＝320K的等容過程中，由查理定律得eq\f(p2′,T1)＝eq\f(p3,T2)⑦將有關(guān)數(shù)據(jù)代入⑦式得p3＝1.6p0⑧答案(ⅰ)eq\f(V,2)2p0(ⅱ)頂部(ⅲ)1.6p0【變式訓(xùn)練2】[2016·全國卷Ⅲ，33(2)]一U形玻璃管豎直放置，左端開口，右端封閉，左端上部有一光滑的輕活塞。初始時(shí)，管內(nèi)汞柱及空氣柱長(zhǎng)度如圖4所示。用力向下緩慢推活塞，直至管內(nèi)兩邊汞柱高度相等時(shí)為止。求此時(shí)右側(cè)管內(nèi)氣體的壓強(qiáng)和活塞向下移動(dòng)的距離。已知玻璃管的橫截面積處處相同；在活塞向下移動(dòng)的過程中，沒有發(fā)生氣體泄漏；大氣壓強(qiáng)p0＝75.0cmHg。環(huán)境溫度不變。圖4解析設(shè)初始時(shí)，右管中空氣柱的壓強(qiáng)為p1，長(zhǎng)度為l1；左管中空氣柱的壓強(qiáng)為p2＝p0，長(zhǎng)度為l2?；钊幌峦苃后，右管中空氣柱的壓強(qiáng)為p1′，長(zhǎng)度為l1′；左管中空氣柱的壓強(qiáng)為p2′，長(zhǎng)度為l2′。以cmHg為壓強(qiáng)單位。由題給條件得p1＝p0＋(20.0－5.00)cmHg＝90cmHgl1＝20.0cm①l1′＝(20.0－eq\f(20.0－5.00,2))cm＝12.5cm②由玻意耳定律得p1l1S＝p1′l1′S③聯(lián)立①②③式和題給條件得p1′＝144cmHg④依題意p2′＝p1′⑤l2′＝4.00cm＋eq\f(20.0－5.00,2)cm－h(huán)＝11.5cm－h(huán)⑥由玻意耳定律得p2l2S＝p2′l2′S⑦聯(lián)立④⑤⑥⑦式和題給條件得h＝9.42cm⑧答案144cmHg9.42cm活頁作業(yè)(時(shí)間：30分鐘)1.如圖1所示，一上端開口、下端封閉的細(xì)長(zhǎng)玻璃管豎直放置。玻璃管的下部封有長(zhǎng)l1＝25.0cm的空氣柱，中間有一段長(zhǎng)l2＝25.0cm的水銀柱，上部空氣柱的長(zhǎng)度l3＝40.0cm。已知大氣壓強(qiáng)為p0＝75.0cmHg?，F(xiàn)將一活塞(圖中未畫出)從玻璃管開口處緩慢往下推，使管下部空氣柱長(zhǎng)度變?yōu)閘1′＝20.0cm。假設(shè)活塞下推過程中沒有漏氣，求活塞下推的距離。圖1解析以cmHg為壓強(qiáng)單位。在活塞下推前，玻璃管下部空氣柱的壓強(qiáng)p1＝p0＋l2①設(shè)活塞下推后，下部空氣柱的壓強(qiáng)為p1′，由玻意耳定律得p1l1＝p1′l1′②如圖所示，設(shè)活塞下推距離為Δl，則此時(shí)玻璃管上部空氣柱的長(zhǎng)度l3′＝l3＋(l1－l1′)－Δl③設(shè)此時(shí)玻璃管上部空氣柱的壓強(qiáng)為p3′，則p3′＝p1′－l2④由玻意耳定律得p0l3＝p3′l3′⑤聯(lián)立①～⑤式及題給數(shù)據(jù)解得Δl＝15.0cm⑥答案15.0cm2.如圖2所示，內(nèi)壁光滑、長(zhǎng)度均為4l、橫截面積均為S的汽缸A、B，A水平、B豎直固定，之間由一段容積可忽略的細(xì)管相連，整個(gè)裝置置于溫度為27℃、大氣壓為p0的環(huán)境中，活塞C、D的質(zhì)量及厚度均忽略不計(jì)。原長(zhǎng)3l、勁度系數(shù)k＝eq\f(3p0S,l)的輕彈簧，一端連接活塞C、另一端固定在位于汽缸A缸口的O點(diǎn)。開始活塞D距汽缸B的底部3l。后在D上放一質(zhì)量為m＝eq\f(p0S,g)的物體。求：圖2(1)穩(wěn)定后活塞D下降的距離；(2)改變汽缸內(nèi)氣體的溫度使活塞D再回到初位置，則氣體的溫度應(yīng)變?yōu)槎嗌?？解?1)由于活塞的質(zhì)量不計(jì)，所以初始狀態(tài)汽缸A、B中的氣體壓強(qiáng)都為大氣壓p0，彈簧彈力為零，所以活塞C到汽缸A底部的距離為x1＝l放上物體穩(wěn)定后汽缸A、B中氣體的壓強(qiáng)都為p1，對(duì)D活塞有p1S＝mg＋p0S對(duì)活塞C有p1S＝F1＋p0SF1為彈簧的彈力，F(xiàn)1＝kΔx1＝eq\f(3p0S,l)Δx1聯(lián)立以上三式可求得彈簧被壓縮Δx1＝eq\f(l,3)此時(shí)活塞C距汽缸底部的距離為x2＝eq\f(4l,3)初態(tài)下氣體的總體積V0＝4lS，末態(tài)總體積為V1，由玻意耳定律p0V0＝p1V1，解得V1＝2lS由此可知活塞D下降的距離為x＝3l－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2l－\f(4l,3)))＝eq\f(7l,3)(2)改變氣體溫度使活塞D回到初位置，氣體為等壓變化，所以彈簧位置不變。V2＝eq\f(13,3)lS由蓋—呂薩克定律eq\f(V1,T0)＝eq\f(V2,T2)解得T2＝650K，所以氣體此時(shí)的溫度為t＝377℃。答案(1)eq\f(7l,3)(2)377℃3.[2018·湖南六校聯(lián)考，33(2)]如圖3所示，除右側(cè)壁導(dǎo)熱良好外，其余部分均絕熱的汽缸水平放置，MN為汽缸右側(cè)壁。汽缸的總長(zhǎng)度為L(zhǎng)＝80cm，一厚度不計(jì)的絕熱活塞將一定質(zhì)量的氮?dú)夂脱鯕夥謩e封閉在左右兩側(cè)(活塞不漏氣)。在汽缸內(nèi)距左側(cè)壁d＝30cm處設(shè)有卡環(huán)A、B，使活塞只能向右滑動(dòng)，開始時(shí)活塞在AB右側(cè)緊挨AB，缸內(nèi)左側(cè)氮?dú)獾膲簭?qiáng)p1＝0.8×105Pa，右側(cè)氧氣的壓強(qiáng)p2＝1.0×105Pa，兩邊氣體和環(huán)境的溫度均為t1＝27℃，現(xiàn)通過左側(cè)汽缸內(nèi)的電熱絲緩慢加熱氮?dú)?，使氮?dú)鉁囟染徛撸O(shè)外界環(huán)境溫度不變。圖3(1)求活塞恰好要離開卡環(huán)時(shí)氮?dú)獾臏囟龋?2)繼續(xù)緩慢加熱汽缸內(nèi)左側(cè)氮?dú)?，使氮?dú)鉁囟壬咧?27℃，求活塞移動(dòng)的距離。解析(1)“恰好要離開”即汽缸內(nèi)氮?dú)鈮簭?qiáng)與氧氣壓強(qiáng)相等，取封閉的氮?dú)鉃檠芯繉?duì)象，初狀態(tài)：p1＝0.8×105PaT1＝300KV1＝dS末狀態(tài)：p2＝1.0×105PaT2V2＝V1由查理定律eq\f(p1,T1)＝eq\f(p2,T2)代入數(shù)據(jù)解得T2＝375K(2)繼續(xù)緩慢加熱汽缸內(nèi)氣體，使氮?dú)鉁囟壬咧罷3＝227℃＋273K＝500K，設(shè)活塞移動(dòng)距離為x取氮?dú)鉃檠芯繉?duì)象，初狀態(tài)：p1＝0.8×105PaT1＝300KV1＝dS末狀態(tài)：p3T3＝500KV3＝dS＋xS由理想氣體狀態(tài)方程得eq\f(p1V1,T1)＝eq\f(p3V3,T3)取氧氣為研究對(duì)象，初狀態(tài)：p2＝1.0×105PaT1＝300KV4＝(L－d)S末狀態(tài)：p5＝p3T5＝300KV5＝LS－V3由玻意耳定律p2V4＝p5V5代入數(shù)據(jù)解得，向右移動(dòng)的距離x≈5.6cm答案(1)375K(2)5.6cm4.如圖4所示，一定質(zhì)量的理想氣體密封在體積為V0的容器中，室溫為T0＝300K，有一光滑導(dǎo)熱活塞C(不占體積)將容器分成A、B兩室，B室的體積是A室的兩倍，A室容器連接有一U形管(U形管內(nèi)氣體的體積忽略不計(jì))，兩邊水銀柱高度差為76cm，B室容器連接有一閥門K，可與大氣相通。(外界大氣壓強(qiáng)p0＝76cmHg)圖4(1)將閥門K打開后，A室的體積變成多大？(2)在(1)的情況下，將容器加熱到500K，U形管內(nèi)兩邊水銀面的高度差為多少？解析(1)打開閥門，A室內(nèi)氣體壓強(qiáng)最終會(huì)與外界相同，氣體做等溫變化。pA1＝(76＋76)cmHg，體積VA1＝eq\f(1,3)V0pA2＝76cmHg由玻意耳定律得pA1VA1＝pA2VA2代入數(shù)據(jù)解得VA1＝eq\