第13講直線與圓的位置關(guān)系【人教A版2019】模塊一模塊一直線與圓的位置關(guān)系及判定1．直線與圓的位置關(guān)系及判定方法(1)直線與圓的位置關(guān)系及方程組的情況如下：位置相交相切相離交點(diǎn)個(gè)數(shù)兩個(gè)一個(gè)零個(gè)圖形d與r的關(guān)系d<rd=rd>r方程組解的情況有兩組不同的解僅有一組解無解(2)直線與圓的位置關(guān)系的判定方法①代數(shù)法：通過聯(lián)立直線方程與圓的方程組成方程組，根據(jù)方程組解的個(gè)數(shù)來研究，若有兩組不同的實(shí)數(shù)解，即Δ>0，則直線與圓相交；若有兩組相同的實(shí)數(shù)解，即Δ=0，則直線與圓相切；若無實(shí)數(shù)解，即Δ<0，則直線與圓相離.②幾何法：由圓心到直線的距離d與半徑r的大小來判斷，當(dāng)d<r時(shí)，直線與圓相交；當(dāng)d=r時(shí)，直線與圓相切；當(dāng)d>r時(shí)，直線與圓相離.【題型1判斷直線與圓的位置關(guān)系】【例1】（2425高二上·遼寧·期末）直線3x+2y+1=0與圓x+12+y?12A．相交 B．相切 C．相離 D．與r有關(guān)【解題思路】根據(jù)圓心在直線上，判斷得解.【解答過程】由題可得，圓心為?1,1，又點(diǎn)?1,1滿足直線3x+2y+1=0方程，即直線3x+2y+1=0經(jīng)過圓心?1,1，所以直線3x+2y+1=0與圓x+12故選：A.【變式1.1】（2425高二上·浙江·階段練習(xí)）直線kx?y?2k+2=0k∈R與圓x2+A．相離 B．相切 C．相交 D．都有可能【解題思路】確定直線過定點(diǎn)，而定點(diǎn)在圓內(nèi)，從而可得結(jié)論．【解答過程】將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程x?32+y?4直線kx?y?2k+2=0恒過定點(diǎn)2,2，(2?3)2+(2?4)故選：C.【變式1.2】（2425高二上·陜西西安·期中）如果a2+b2=13A．相交 B．相切 C．相離 D．相交或相切【解題思路】由點(diǎn)到直線的距離公式代入計(jì)算，即可判斷.【解答過程】因?yàn)閳Ax2+y2=2則圓心到直線的距離為ca即直線與圓相離.故選：C.【變式1.3】（2425高二上·海南?？凇て谀┮阎本€l:x+y?2=0與圓C:x2+y2A．點(diǎn)A在圓C上，直線l與圓C相切 B．點(diǎn)A在圓C內(nèi)，直線l與圓C相交C．點(diǎn)A在圓C外，直線l與圓C相切 D．點(diǎn)A在圓C上，直線l與圓C相交【解題思路】首先得到圓心坐標(biāo)與半徑，再求出圓心到直線的距離，即可判斷.【解答過程】圓C:x2+y2又12+12=2圓心到直線l:x+y?2=0的距離d=0+0?2所以直線l與圓C相切.故選：A.【題型2根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系求參數(shù)】【例2】（2425高二上·北京延慶·期末）若直線x+y+a=0與圓(x+1)2+y2=2相切，則實(shí)數(shù)A．3 B．?1 C．3或?1 D．?3或1【解題思路】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離等于半徑，列出方程即可得答案；【解答過程】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+1)2+y2=2故選：C.【變式2.1】（2425高二上·重慶北碚·期末）若直線l:y=kx+2與圓O:x2+y2A．2 B．1 C．0 D．?1【解題思路】分析直線與圓的位置關(guān)系，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式可求k的值.【解答過程】因?yàn)橹本€與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以直線與圓相切.又x2+y2?2y=0?由k×0?1+2k2+1=1故選：C.【變式2.2】（2425高二上·江蘇南通·期中）已知直線l1:x?y+1=0關(guān)于P(1,1)對(duì)稱的直線l2與圓C:A．m>?1 B．m<1 C．?1<m<1 D．m<?1或m>1【解題思路】由條件求出直線l2【解答過程】設(shè)直線l2上任一點(diǎn)為x,y，則其關(guān)于P(1,1)的對(duì)稱點(diǎn)a,b在直線l∴x+a2=1,y+b∴2?x?2?y+1=0∴直線l2∵圓C:x2+∴圓心C?1,0，半徑r=1?m，且∴圓心C?1,0到直線l2:x?y?1=0∵直線l2與圓C∴d>r，即2>1?m，又1?m>0，解得故選：C.【變式2.3】（2425高二上·上海閔行·階段練習(xí)）“a=1”是直線a+1x+a?1y+2a=0a∈RA．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分也非必要【解題思路】根據(jù)直線與圓相交的判定方法，以及充分條件和必要條件的定義分別判斷即可.【解答過程】當(dāng)a=1時(shí)，直線為2x+2=0，即x=?1，顯然此時(shí)直線和圓相交，當(dāng)直線a+1x+a?1y+2a=0圓心到直線的距離d=2a化簡(jiǎn)得a2+2>0，顯然恒成立，故不能推出所以“a=1”是直線a+1x+a?1y+2a=0故選：A.模塊二模塊二圓的切線及切線方程1．自一點(diǎn)引圓的切線的條數(shù)：(1)若點(diǎn)在圓外，則過此點(diǎn)可以作圓的兩條切線；(2)若點(diǎn)在圓上，則過此點(diǎn)只能作圓的一條切線，且此點(diǎn)是切點(diǎn)；(3)若點(diǎn)在圓內(nèi)，則過此點(diǎn)不能作圓的切線.2．求過圓上的一點(diǎn)(x0,y0)的圓的切線方程：(1)求法：先求切點(diǎn)與圓心連線的斜率k()，則由垂直關(guān)系可知切線斜率為，由點(diǎn)斜式方程可求得切線方程.如果k=0或k不存在，則由圖形可直接得切線方程.(2)重要結(jié)論：.【題型3圓的切線長問題】【例3】（2425高二上·貴州貴陽·期末）過點(diǎn)P2,4的直線與圓O:(x?3)2+y2=1相切于點(diǎn)A．3 B．4 C．17 D．5【解題思路】求出圓O的圓心坐標(biāo)和半徑，求出|PO|，根據(jù)勾股定理求出|PA|.【解答過程】圓心O3,0，半徑r=1|PO|=(2?3)由勾股定理得|PA|=|PO故選：B.【變式3.1】（2425高二上·廣西梧州·階段練習(xí)）已知圓C:(x?3)2+(y?3)2=8，過點(diǎn)P?1,0作圓CA．6 B．17 C．23 【解題思路】根據(jù)圓的方程，結(jié)合圓的切線的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【解答過程】PC=32所以PQ=故選：B.【變式3.2】（2425高二上·北京·階段練習(xí)）由直線y=x+1上的點(diǎn)向圓(x?3)2+(y+2)A．17 B．32 C．19 D．【解題思路】由勾股定理可知當(dāng)直線y=x+1的點(diǎn)到圓(x?3)2【解答過程】由題可知圓(x?3)2+(y+2)2=1設(shè)直線y=x+1的動(dòng)點(diǎn)為P，切點(diǎn)為A則切線長AP所以要使切線長最小，則PO最??；顯然PO的最小值為O3,?2到直線y=x+1的距離為所以此時(shí)切線長AP=故選：A.【變式3.3】（2425高二上·山東臨沂·期中）若圓C:x2+y2=1，點(diǎn)P在直線l:2x+y?5=0上，過點(diǎn)P作圓C的切線，切點(diǎn)為A．1 B．2 C．5 D．4【解題思路】先求出圓心到直線的距離，根據(jù)勾股定理，切線長、圓的半徑和圓心到點(diǎn)P的距離構(gòu)成直角三角形，圓的半徑固定，當(dāng)圓心到點(diǎn)P的距離最小時(shí)，切線長最小，而圓心到直線上點(diǎn)P的最小距離就是圓心到直線的距離.【解答過程】對(duì)于圓C:x2+y2根據(jù)點(diǎn)(x0,y0則d=|2×0+0?5|根據(jù)切線長、圓半徑和圓心到點(diǎn)P距離構(gòu)成直角三角形，設(shè)切線長為|PA|，圓心到點(diǎn)P的距離為d，圓半徑r=1.由勾股定理|PA|=d2?r2，當(dāng)d此時(shí)|PA|=(故選：B.【題型4圓的切線方程的求解】【例4】（2425高二上·河北石家莊·期末）過點(diǎn)P(1,?1)且與圓C:x2+yA．x+y=0 B．x?y?2=0C．x?y=0 D．x?y+2=0【解題思路】經(jīng)分析知點(diǎn)P(1,?1)在圓上，根據(jù)過圓上點(diǎn)的切線與圓心和切點(diǎn)所在直線垂直，得到切線斜率為?1，結(jié)合直線點(diǎn)斜式方程即可求解.【解答過程】圓C:x2+y2∵點(diǎn)P(1,?1)在圓C:x∴過點(diǎn)P的切線與CP垂直，且kCP=∴過點(diǎn)P(1,?1)的切線斜率為?1，故所求直線方程為：y+1=?(x?1)，整理，得：x+y=0.故選：A.【變式4.1】（2425高二上·江蘇鎮(zhèn)江·期中）過點(diǎn)P1,1作圓E:x2A．x?y+1=0 B．x+y=0 C．x+y+1=0 D．x?y=0【解題思路】由圓E的方程可得圓心E的坐標(biāo)，將P點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓的方程，可得P點(diǎn)在圓上，求出直線PE的斜率，得到過P點(diǎn)的切線的斜率，再求出過P點(diǎn)的切線方程.【解答過程】由圓E:x2+將P(1,1)的坐標(biāo)代入圓的方程，得12+1又kPE=1?2所以過點(diǎn)P的切線方程為y?1=x?1，即x?y=0.故選：D.【變式4.2】（2425高二上·河南許昌·期中）直線l過點(diǎn)P(2,1)，且與圓x2+y2=1A．3x+4y+2=0 B．4x?3y+5=0C．4x+3y+5=0 D．4x?3y?5=0或y=1【解題思路】根據(jù)給定條件，利用圓的切線性質(zhì)，結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式列式計(jì)算即得.【解答過程】當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線方程為x=2，此時(shí)與圓不相切，則直線l的斜率k一定存在，設(shè)直線方程為y?1=kx?2，化簡(jiǎn)得kx?y+1?2k=0依題意，圓心(0,0)到直線l的距離為1，即1?2kk2+1=1，解得所以直線l的方程為4x?3y?5=0或y=1.故選：D.【變式4.3】（2425高二上·山東泰安·期中）已知圓C:x+12+y+12=4，則過點(diǎn)A．5x+12y?29=0 B．5x+12y?29=0或x=1C．5x?12y+19=0 D．5x?12y+19=0或x=1【解題思路】分切線斜率存在與不存在討論即可.【解答過程】C:x+12+由于1+12+2+1當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，此時(shí)切線方程為x=1，符合題意，當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為y?2=kx?1，即kx?y?k+2=0則?k+1?k+2k2+1=2，解得k=5綜上所述，切線方程為：5x?12y+19=0或x=1.故選：D.模塊三模塊三圓的弦長1．圓的弦長問題(1)幾何法(2)代數(shù)法①若交點(diǎn)坐標(biāo)簡(jiǎn)單易求，則直接利用兩點(diǎn)間的距離公式進(jìn)行求解.2．解與圓有關(guān)的最值問題(1)利用圓的幾何性質(zhì)求最值的問題求圓上點(diǎn)到直線的最大值、最小值，需過圓心向直線作垂線.①如圖2514①，當(dāng)直線l與圓C相交時(shí)，最小距離為0，最大距離為AD=r+d.其中r為圓的半徑，d為圓心到直線的距離；②如圖2514②，當(dāng)直線l與圓C相切時(shí)，最小距離為0，最大距離為AD=2r；③如圖2514③，當(dāng)直線l與圓C相離時(shí)，最小距離為BD=dr，最大距離為AD=d+r.(2)利用直線與圓的位置關(guān)系解決最值(取值范圍)問題解析幾何中的最值問題一般是根據(jù)條件列出所求目標(biāo)——函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)函數(shù)關(guān)系式的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法等，應(yīng)用不等式求出其最值(取值范圍).對(duì)于圓的最值問題，要利用圓的特殊幾何性質(zhì)，根據(jù)式子的幾何意義求解，這常常是簡(jiǎn)化運(yùn)算的最佳途徑.②形如t=ax+by的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線截距的最值問題.(3)經(jīng)過圓內(nèi)一點(diǎn)的最長弦就是經(jīng)過這點(diǎn)的直徑，過這點(diǎn)和最長弦垂直的弦就是最短弦.【題型5求圓的弦長與中點(diǎn)弦】【例5】（2425高二上·河南新鄉(xiāng)·期末）已知直線x+y=0與圓C:(x?4)2+y2=11相交于A,BA．2113 B．26 C．2【解題思路】由圓C方程求圓心C的坐標(biāo)，圓的半徑，再求圓心C到直線的距離，利用弦長公式求結(jié)論.【解答過程】圓C:(x?4)2+y2圓心C到直線x+y=0的距離為41+1則AB=2故選：C.【變式5.1】（2425高二上·貴州黔西·期末）求直線l:3x?y?6=0被圓C:x2+y2A．10 B．5 C．102 D．【解題思路】求出圓心到直線的距離，結(jié)合勾股定理可求得線段AB的長.【解答過程】將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，可得x?12所以圓心坐標(biāo)為C1,2，半徑為r=所以利用點(diǎn)到直線的距離可以求得弦心距為3?2?610所以根據(jù)幾何法得弦長為AB=2故選：A.【變式5.2】（2425高三上·河北·期末）已知圓x2+y2?2x+2y?10=0A．2 B．22 C．23【解題思路】由已知圓方程求出圓心和半徑，求出圓心到直線x?y+2=0的距離，利用勾股定理求出弦長.【解答過程】根據(jù)題意，圓x2+y所以圓心為1,?1，半徑r=23則圓心到直線x?y+2=0的距離為d=1+1+2所以弦長為2r故選：D．【變式5.3】（2425高二上·江蘇揚(yáng)州·期末）已知直線l:x+ay?a?1=0，a∈R與圓C:x?22+y2=4交于A，A．2 B．2 C．22 【解題思路】由圓的方程求得圓心和半徑，由直線過定點(diǎn)，易得弦心距的最大值，可得AB的最小值.【解答過程】由圓C:x?22+y2直線l:x+ay?a?1=0過定點(diǎn)D1,1弦心距的最大值為|CD|=2?1所以弦的的最小值為24?故選：C.【題型6已知圓的弦長求方程或參數(shù)】【例6】（2425高二上·貴州六盤水·期末）已知直線y=x+m被圓x2+y2+2x?15=0截得的弦長為42A．?1或3 B．2 C．?3或5 D．4【解題思路】由題可得y=x+m到圓心距離，由點(diǎn)到直線距離公式可得答案.【解答過程】x2則圓心坐標(biāo)為：?1,0，半徑為r=4.又因弦長為l=42則圓心到弦距離d滿足d2則由點(diǎn)到直線距離公式可得：m?12=22故選：C.【變式6.1】（2425高二上·山東·階段練習(xí)）直線3x?4y+10=0與以點(diǎn)C(?1,?2)為圓心的圓相交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|=8，則圓C的方程為（

）A．(x+1)2+(y+2)C．(x+1)2+(y+2)【解題思路】利用點(diǎn)到直線的距離公式及圓的弦長公式的逆運(yùn)用計(jì)算半徑即可.【解答過程】點(diǎn)C(?1,?2)到直線3x?4y+10=0的距離為d=?3+8+10所以圓C的半徑為r=d則圓C的方程為(x+1)2故選：A.【變式6.2】（2425高二下·四川達(dá)州·期中）已知直線l:y=kx+3與圓C:(x?1)2+(y?1)2=4交于A,B兩點(diǎn)，若A．?34 B．34 C．1【解題思路】利用弦長公式得圓心C1,1到直線的l【解答過程】圓C:x?12+y?1所以圓心C1,1到直線l:y=kx+3的距離為d，則d=而d=r2?AB2故選：A.【變式6.3】（2425高二上·河南濮陽·期中）已知直線l經(jīng)過點(diǎn)P2,1，且與圓C：x+12+y?22=9相交于A，B兩點(diǎn)，若A．x?y?1=0或7x+y?15=0 B．x?2y=0或7x+y?15=0C．4x+3y?11=0或3x+4y?10=0 D．4x?3y?5=0或3x?4y?2=0【解題思路】根據(jù)弦長|AB|=2，利用垂徑定理求出圓心到直線的距離d.然后分直線斜率存在與不存在兩種情況來求直線l的方程.【解答過程】已知弦長|AB|=2，半徑r=3.根據(jù)垂徑定理知圓心到直線的距離為d=r把r=3，|AB|=2代入可得d=9?1=2當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l方程為x=2，此時(shí)圓心C(?1,2)到直線x=2的距離為2?(?1)=3≠22所以直線l斜率不存在時(shí)不滿足條件.

當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y?1=k(x?2)，即kx?y?2k+1=0.根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式，由圓心C(?1,2)到直線kx?y?2k+1=0的距離d=22可得|?k?2?2k+1|k2+1兩邊平方得(3k+1)2k2+1=8，展開得9k當(dāng)k=1時(shí)，直線l的方程為y?1=x?2，即x?y?1=0.當(dāng)k=?7時(shí)，直線l的方程為y?1=?7(x?2)，即7x+y?15=0.

故選：A.【題型7直線與部分圓的相交問題】【例7】（2425高二上·海南海口·期中）若直線l:y=kx+3?k與曲線C:y=1?x2恰有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（A．34,+∞ B．43,3【解題思路】根據(jù)直線過定點(diǎn)，以及直線和圓的位置關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合作出圖象進(jìn)行研究即可.【解答過程】由l:y=kx+3?k知直線l過定點(diǎn)Q1,3由曲線C:y=1?x2則曲線是以C0,0當(dāng)直線過點(diǎn)A?1,0時(shí)，直線l此時(shí)0=?k+3?k，解得k=3當(dāng)直線l與曲線相切時(shí)，直線和圓有一個(gè)交點(diǎn)，圓心C0,0到直線l:y=kx+3?k的距離d=|3?k|1+要使直線l:y=kx+3?k與曲線C:y=1?則直線l夾在兩條直線之間，因此43即實(shí)數(shù)k的取值范圍為43故選：B.【變式7.1】（2425高二上·江西吉安·階段練習(xí)）直線y=x+b與曲線x=1?y2恰有1個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)bA．?1<b≤1 B．?C．?2<b≤?1 D．?1<b≤1【解題思路】由曲線x=1?y2，表示一個(gè)半圓（單位圓位于y軸及y【解答過程】曲線x=1?y2，即x表示一個(gè)半圓（單位圓位于y軸及y軸右側(cè)的部分），如圖，設(shè)A(0,1)、B(1,0)、C(0,?1)，當(dāng)直線y=x+b經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，b=1，當(dāng)直線y=x+b經(jīng)過點(diǎn)B、點(diǎn)C時(shí)，b=?1，此時(shí)有2個(gè)公共點(diǎn)，不符合題意；所以當(dāng)?1<b≤1時(shí)，直線與曲線有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)直線y=x+b和半圓相切時(shí)，則圓心到直線的距離等于半徑，即1=|b|2，求得b=?2即b=?2綜上得，實(shí)數(shù)b的取值范圍為?1<b≤1或b=?2故選：D．【變式7.2】（2425高二上·云南昆明·階段練習(xí)）已知直線y=kx+2與曲線y=1?x2有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)A．?33,33 B．0,3【解題思路】將問題化為直線y=kx+2與圓x【解答過程】曲線y=1?x2由y=kx+2過點(diǎn)定點(diǎn)(?2,0)由圖知，當(dāng)y=kx+2與半圓左上部相切時(shí)，|2k|1+k2=1結(jié)合圖知0≤k≤3故選：B.【變式7.3】（2425高二上·福建泉州·期中）若直線l:kx?y?2=0與曲線C:1?y?12=x?1至少有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)A．43,2 C．?2,?43∪【解題思路】作出曲線C的圖象，數(shù)形結(jié)合可得解.【解答過程】直線l:kx?y?2=0恒過定點(diǎn)0,?2，由1?y?12=x?1，得到x?1所以曲線C表示以點(diǎn)1,1為圓心，半徑為1，且位于直線x=1右側(cè)的半圓（包括點(diǎn)1,2，1,0），如下圖所示：

當(dāng)直線l經(jīng)過點(diǎn)1,2時(shí)，l與曲線C有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)k=4，當(dāng)l與半圓相切時(shí)，由k?3k2+1由圖可知，當(dāng)43≤k≤4時(shí)，l與曲線故選：B.【題型8直線與圓有關(guān)的最值問題】【例8】（2425高三上·河北廊坊·期末）已知點(diǎn)M、N在圓x2+y2?2y?3=0上，點(diǎn)P在直線3x?y?3=0上，點(diǎn)Q為MN中點(diǎn)，若MNA．2 B．2?3 C．2?2 【解題思路】根據(jù)垂徑定理可得點(diǎn)Q在以C0,1為圓心，3【解答過程】由題意可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2設(shè)圓心為C，半徑為r，則C0,1，r=2MN=2,所以由垂徑定理可得CQ故點(diǎn)Q在以C0,1為圓心，3因?yàn)辄c(diǎn)C到直線3x?y?3=0的距離d=所以PQ的最小值為2?3故選：B.【變式8.1】（2425高二上·北京·階段練習(xí)）圓C:x+12+y2=2上的動(dòng)點(diǎn)A．2 B．22 C．32 【解題思路】先得到圓C的圓心與半徑，再利用點(diǎn)到直線的距離公式即可得解.【解答過程】因?yàn)閳AC:x+12+y2所以圓心C?1,0到直線x+y?3=0的距離d=則所求距離的最小值為d?r=22故選：A.【變式8.2】（2425高二上·廣東廣州·期中）已知圓M:(x+2)2+y2=2，直線l:x+y?2=0，點(diǎn)P在直線l上運(yùn)動(dòng)，直線PA,PB分別與圓M相切于點(diǎn)A．23 B．3 C．4 D．【解題思路】由圓的方程可確定圓心和半徑，根據(jù)切線長與圓心到定點(diǎn)距離d和半徑r之間關(guān)系，即切線長=d2?r2【解答過程】由圓的方程知：圓心M?2,0，半徑r=四邊形PAMB的面積S=2S則當(dāng)PA最小時(shí)，四邊形PAMB的面積最小，點(diǎn)M到直線l的距離d=?2+0?2∴PAmin此時(shí)Smin故選：A.【變式8.3】（2425高二上·山西·期中）已知⊙M:x2+y2?4x?4y+4=0，直線l:2x+y+4=0，P為l上的一動(dòng)點(diǎn)，A，B為A．?510 B．25 C．5【解題思路】判定直線與⊙M的位置關(guān)系，利用圓的切線長定理，結(jié)合三角函數(shù)求出最小值.【解答過程】依題意，⊙M：(x?2)2+(y?2)圓心M到直線l的距離為|4+2+4|4+1=25>2，即直線則當(dāng)PA，PB分別為圓的切線，且MP最小時(shí)，sin∠APM=又0<∠APM<π2，則∠APM最大，即∠APB=2∠APM最大，此時(shí)而(sin∠APM)max所以cos∠APB的最小值為3故選：D.一、單選題1．（2425高二上·浙江紹興·期末）已知直線l:y=kx+1，圓C:(x?1)2+y2=4，則直線A．相離 B．相交 C．相切 D．不確定【解題思路】由直線l方程可得直線l過定點(diǎn)A0,1，證明點(diǎn)A在圓C【解答過程】由直線l：y=kx+1，可知直線l過定點(diǎn)A(0,1)，由圓C：(x?1)2+y2則|AC|=1所以點(diǎn)A在圓C的內(nèi)部，從而直線l與圓C相交.故選：B.2．（2425高二上·江蘇南通·期末）直線l:3x+4y?1=0被圓C:(x?1)2+A．1 B．2 C．3 D．4【解題思路】求出圓心到直線的距離，結(jié)合勾股定理可求得線段AB的長.【解答過程】圓C:(x?1)2+(y?2)2所以點(diǎn)到直線的距離可以求得弦心距為3+8?13所以根據(jù)幾何法得弦長為25?故選：B.3．（2425高二上·安徽阜陽·期中）已知直線l:x+y?2=0與圓C:x2+A．點(diǎn)A在圓C上，直線l與圓C相切 B．點(diǎn)A在圓C內(nèi)，直線l與圓C相離C．點(diǎn)A在圓C外，直線l與圓C相切 D．點(diǎn)A在圓C上，直線l與圓C相交【解題思路】利用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系、直線與圓的位置關(guān)系判斷即可.【解答過程】圓心為C0,0，半徑為2圓心C到直線l的距離為d=212+1因?yàn)?2+12=2故選：A.4．（2425高二上·江蘇鎮(zhèn)江·期末）已知直線y=k(x+2)與曲線y=1?x2有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)kA．[?3,3] B．?33【解題思路】將問題化為直線y=kx+2與圓x【解答過程】解：曲線y=1?x2由y=kx+2過定點(diǎn)?2,0由圖知，當(dāng)y=kx+2即2k1+k2=1且結(jié)合圖知：實(shí)數(shù)k的取值范圍為：0≤k≤3故選：D.5．（2425高三上·浙江寧波·期末）若存在實(shí)數(shù)a，使得直線ax+y+b=0與圓x2+(y?1)2=1A．[0,2] B．(?C．[?2,0] D．(?【解題思路】根據(jù)給定條件，利用圓的切線性質(zhì)列式計(jì)算得解.【解答過程】圓x2+(y?1)由直線ax+y+b=0與圓x2+(y?1)2=1由b+1=a2+1≥1所以實(shí)數(shù)b的取值范圍是(?∞故選：D.6．（2425高二上·浙江金華·期末）點(diǎn)P為直線y=2上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓x2+y2=1的切線，切點(diǎn)為QA．1 B．2 C．3 D．2【解題思路】可知圓O的圓心為原點(diǎn)，可求出PO的最小值，再利用勾股定理可求得PQ的最小值.【解答過程】設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為m,2，由圓x2+y2=1由圓的幾何性質(zhì)可得PQ⊥QO，又由PQ=所以當(dāng)m=0時(shí)，PQ取得最小值3．故選：C.7．（2425高二上·湖北咸寧·期末）點(diǎn)P1,2可以向圓x2+y2A．k<7 B．k>3 C．3<k<7 D．0<k<7【解題思路】由方程表示圓及點(diǎn)在圓外構(gòu)造不等式求解即可；【解答過程】由題意可知：x2可得：4+16?4k?2解得：k<7，又P1,2在圓外，所以12+所以k的取值范圍為3<k<7，故選：C.8．（2425高二上·甘肅金昌·期中）已知點(diǎn)P是圓C:x2+y2?4x+6y+12=0上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)A．4 B．3 C．2 D．1【解題思路】將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得到圓心坐標(biāo)和半徑，根據(jù)圓心到直線的距離得到圓與直線的位置關(guān)系，進(jìn)而求解.【解答過程】因?yàn)閳AC:x2+所以圓心坐標(biāo)為C2,?3，半徑r=1因?yàn)閳A心C到直線4x?3y?2=0的距離d=4×2?3×所以直線4x?3y?2=0與圓C相離，所以點(diǎn)P到直線4x?3y?2=0距離的最小值是d?r=3?1=2.故選：C.二、多選題9．（2425高二上·安徽合肥·期末）已知直線l:x=ty?2，圓C:x2+A．若t=1，則l與圓C相切 B．若l與圓C相交，則?1<t<1C．圓C可能關(guān)于l對(duì)稱 D．若t=3，則l被圓C【解題思路】利用點(diǎn)到直線距離公式計(jì)算判斷直線與圓的位置關(guān)系判斷A，B，結(jié)合圓心能否在直線上判斷C，應(yīng)用幾何法求弦長判斷D選項(xiàng)．【解答過程】直線l過定點(diǎn)?2,0，圓C：(x?2)2+y對(duì)于A，若t=1，則圓心C2,0到直線x?y+2=0的距離d=42=22對(duì)于B，依題意，由圓心C2,0到直線x?ty+2=0的距離|4|1+t2<2對(duì)于C，將2,0到代入l的方程，得2=t×0?2不成立，故l不能經(jīng)過圓心C，則圓C不可能關(guān)于l對(duì)稱，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若t=3，圓心C2,0到直線x?3y+2=0的距離為故選：AD.10．（2425高二上·安徽阜陽·期末）已知圓的方程為x2+y2?8x?8y+3=0，過點(diǎn)1,0的直線交該圓于A，BA．6 B．3C．9 D．11【解題思路】將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，即可得到圓心坐標(biāo)與半徑，判斷點(diǎn)1,0在圓內(nèi)，即可求出ABmin，AB【解答過程】圓x2+y則圓心為4,4，半徑r=29，又1?4所以點(diǎn)1,0在圓內(nèi)，所以ABmin=2292?又2292=116<121所以符合題意的有A、C.故選：AC.11．（2425高二上·湖北武漢·期末）已知m>0，圓O:x2+y2=m2，直線l1:x+y+2A．l1⊥l2 B．直線C．l2被圓O截得的弦長為22m D．若【解題思路】利用斜率之積即可判斷選項(xiàng)A，根據(jù)圓心到直線的距離和半徑的大小關(guān)系即可判斷選項(xiàng)B，利用幾何法直接求出弦長，即可判斷選項(xiàng)C，聯(lián)立兩直線方程，求出Q點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)之間距離公式，即可求出m的值.【解答過程】由題知，令直線l1,l則k1=?1,k2=1圓O圓心為0,0，半徑r=m，則O到直線l1的距離d所以直線l1與圓O又O到直線l2的距離d所以l2被圓O截得的弦長為2聯(lián)立方程x+y+2m=0x?y?m=0即Q1?則OQ=1?2故選：ABD.三、填空題12．（2425高二上·寧夏吳忠·期中）若直線x?y+m=0m>0被圓x?12+y?12=4截得的弦長為m，則【解題思路】根據(jù)題給條件寫出圓的圓心和方程，求得圓心到直線得距離，再根據(jù)圓截直線的弦長公式即可計(jì)算m的值.【解答過程】根據(jù)圓的方程x?12+y?12=4圓心到直線的距離d=1?1+m圓截直線的弦長公式為l=2r2因?yàn)閙>0，所以m=4故答案為：4313．（2425高二上·廣東茂名·期末）過點(diǎn)P2,1作圓O:x2+y2=1的切線l，則直線l的方程為【解題思路】設(shè)出直線方程，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離等于半徑即可求解.【解答過程】由P2,1可知：直線l故設(shè)l：y=kx?2則?2k+11+k2=1，化簡(jiǎn)可得3k當(dāng)k=0時(shí)，切線方程為y=1，當(dāng)k=43時(shí)，切線方程為故切線方程為：y=1或4x?3y?5=0，故答案為：y=1或4x?3y?5=0.14．（2425高二上·貴州畢節(jié)·期末）一座圓拱形橋（圓的一部分），當(dāng)拱頂距離水面2m時(shí)，水面寬為12m．當(dāng)水面下降1m后，水面寬為251【解題思路】以圓拱拱頂為直角坐標(biāo)系原點(diǎn)，以過圓拱拱頂?shù)呢Q直直線為縱軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系，根據(jù)題意求出圓的方程，然后再根據(jù)題意設(shè)點(diǎn)代入圓方程求解即可.【解答過程】以圓拱拱頂為直角坐標(biāo)系原點(diǎn)，以過圓拱拱頂?shù)呢Q直直線為縱軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系，設(shè)圓心為0,b,b<0，半徑為b，則圓的方程為：x拱頂距離水面2m時(shí)，水面寬為12m，可知點(diǎn)把點(diǎn)A(6,?2)的坐標(biāo)代入圓方程中得：62+(?2?b)所以圓的方程為：x2當(dāng)水面下降1m時(shí)，設(shè)A代入圓方程得：x2+(?3+10)2=100該點(diǎn)關(guān)于縱軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為B′(?51故答案為：251四、解答題15．（2425高二上·浙江溫州·期末）已知直線l:kx?y+5=0，圓C:(1)當(dāng)k=2時(shí)，判斷直線l與圓C的位置關(guān)系；(2)記直線l與圓C的交點(diǎn)為A，B，當(dāng)|AB|=27時(shí)，求k【解題思路】（1）利用點(diǎn)到直線距離，即可判斷圓心到直線的距離，與圓半徑比較，即可判斷直線與圓間的位置關(guān)系；（2）已知直線與圓相交的弦長，即可得到圓心到直線的距離，進(jìn)而根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式求解直線斜率.【解答過程】（1）圓C:（圓心C（3，2）圓心C到直線的距離d=3×2?2+5所以直線l與圓C相交；（2）圓心到直線的距離d=R又d=3k?2+5所以k2?2k+1=0

16．（2425高二上·廣東深圳·期末）已知圓C的圓心在直線2x?y?5=0上，且經(jīng)過點(diǎn)A0,3，B(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求過原點(diǎn)且與圓C相切的