第03講探索與表達(dá)規(guī)律（3大知識點(diǎn)+6大典例+變式訓(xùn)練+過關(guān)檢測）典型例題一數(shù)字類規(guī)律探索典型例題二圖形類規(guī)律探索典型例題三探索與表達(dá)規(guī)律之排列問題典型例題四探索與表達(dá)規(guī)律之新定義問題典型例題五探索與表達(dá)規(guī)律之日歷問題典型例題六探索與表達(dá)規(guī)律之表格數(shù)據(jù)問題知識點(diǎn)01數(shù)字序列規(guī)律概念：給出看似無規(guī)律或規(guī)律不明顯的數(shù)列，要求學(xué)生找出通項(xiàng)公式（第n項(xiàng)）。①核心方法觀察相鄰項(xiàng)關(guān)系：計(jì)算相鄰項(xiàng)的差（看是否等差）、比（看是否等比）。差或比本身也可能有規(guī)律（如二級等差）。②拆項(xiàng)法將每一項(xiàng)拆分成幾部分（如符號、整數(shù)部分、分子分母）分別找規(guī)律。特別強(qiáng)調(diào)符號規(guī)律（正負(fù)交替）的處理。與序號n建立聯(lián)系：列出表格，寫出序號n和對應(yīng)項(xiàng)a?，尋找a?關(guān)于n的表達(dá)式（可能是n的一次式、二次式、乘方等）。這是最關(guān)鍵的一步。特殊值驗(yàn)證：將得到的代數(shù)式a?=f(n)代入n=1,2,3等小值，看結(jié)果是否與已知項(xiàng)匹配?！炯磿r(shí)訓(xùn)練】【答案】B【分析】本題考查代數(shù)式的規(guī)律探索．根據(jù)所給多項(xiàng)式，觀察各部分的變化，發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可解決問題．【詳解】解：由所給多項(xiàng)式可知，的次數(shù)依次為，，，…，所以第個(gè)多項(xiàng)式中的次數(shù)為；的系數(shù)依次為，，，…，故選：B．【即時(shí)訓(xùn)練】2．（2025七年級下·全國·專題練習(xí)）如下表，從左到右在每個(gè)小格中都填入一個(gè)整數(shù)，使任意三個(gè)相鄰格子所填整數(shù)之和都相等，則第2025個(gè)格子中的整數(shù)是．2abc6b…【答案】【詳解】解：∵任意三個(gè)相鄰格子中所填整數(shù)之和都相等，∴數(shù)據(jù)從左到右依次為2、6、b、2、6、b，∴每3個(gè)數(shù)“2、6、”為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán)，∴第2025個(gè)格子中的整數(shù)與第3個(gè)格子中的數(shù)相同，為．故答案為：．知識點(diǎn)02圖形/圖案規(guī)律1、基本性質(zhì)點(diǎn)陣（小圓點(diǎn)、小正方形排列）、火柴棒拼搭圖形（搭三角形、正方形、小魚等）。核心問題：求第n個(gè)圖形中點(diǎn)的總數(shù)、火柴棒的根數(shù)、某種基本圖形的個(gè)數(shù)（如三角形的個(gè)數(shù)）。核心方法：數(shù)形結(jié)合&列表：畫出或想象前幾個(gè)圖形(n=1,2,3,4)，數(shù)出目標(biāo)量（如火柴棒數(shù)s?），列表記錄序號n和s?。2、分析增量觀察相鄰圖形之間目標(biāo)量的增加量是否有規(guī)律？增加量本身是否有規(guī)律？（例如，每次增加固定根數(shù)>等差數(shù)列；每次增加量遞增>可能與n有關(guān)）。3、分解圖形結(jié)構(gòu)將第n個(gè)圖形分解成不變的“底座”部分和隨n變化的“增長”部分，或者分解成若干種基本單元。①......形）：第n個(gè)三角形可以看作由n行組成，第1行1根，第2行2根...第n行n根，則總根數(shù)s?=1+2+3+...+n=n(n+1)/2。②（火柴棒正方形）：第n個(gè)正方形可能由nxn個(gè)小正方形組成，需要分析橫放和豎放火柴棒的數(shù)量規(guī)律。③（點(diǎn)陣）：點(diǎn)陣可能按矩形(nxm)、三角形、或者特定形狀排列，分析行數(shù)、列數(shù)與n的關(guān)系。尋找與序號n的關(guān)系：基于列表或結(jié)構(gòu)分析，嘗試將s?表達(dá)為n的代數(shù)式（一次、二次等）。驗(yàn)證：將得到的s?代入n=1,2,3計(jì)算，看是否與之前數(shù)的結(jié)果一致。【即時(shí)訓(xùn)練】1．（2025·廣東廣州·模擬預(yù)測）把正方形按照如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個(gè)圖案中有1個(gè)正方形，第②個(gè)圖案中有3個(gè)正方形，第③個(gè)圖案中有5個(gè)正方形，…，按此規(guī)律排列下去，則第⑧個(gè)圖案中正方形的個(gè)數(shù)為（

）A．19 B．17 C．15 D．13【答案】C【詳解】解：由題知，第①個(gè)圖案中有1個(gè)正方形，第②個(gè)圖案中有3個(gè)正方形，第③個(gè)圖案中有5個(gè)正方形，第④個(gè)圖案中有7個(gè)正方形，…，故選：C．【即時(shí)訓(xùn)練】2．（2425七年級下·四川成都·期中）觀察圖形的規(guī)律，第①個(gè)圖形中共有3個(gè)小黑點(diǎn)，第②個(gè)圖形中共有9個(gè)小黑點(diǎn)，第③個(gè)圖形中共有18個(gè)小黑點(diǎn)，按照此規(guī)律第⑥個(gè)圖形中共有個(gè)小黑點(diǎn)．【答案】【分析】本題考查了探索圖形規(guī)律問題，總結(jié)出圖形的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．根據(jù)所畫出的圖形中小黑點(diǎn)的個(gè)數(shù)，按照規(guī)律即可得到第⑥個(gè)圖形中小黑點(diǎn)的個(gè)數(shù)．【詳解】解：由圖形①、②、③可以看出，故答案為：．知識點(diǎn)03日歷規(guī)律1、基本概念在給定的日歷表中（通常給出局部），探索方框圈定的若干數(shù)字（如3x3九宮格、2x2方塊、一行、一列、對角線）之間的關(guān)系。核心方法：設(shè)定中心/起點(diǎn)：用字母（如a）表示關(guān)鍵位置（如中心數(shù)、左上角數(shù)）。2、利用等差關(guān)系日歷中橫行相鄰數(shù)差1，豎列相鄰數(shù)差7（一周天數(shù)）。這是最核心的規(guī)律！代數(shù)表示其他位置：用含a的式子表示方框中其他位置的數(shù)。3、運(yùn)算與化簡對方框內(nèi)所有數(shù)進(jìn)行求和、求積或比較特定位置數(shù)的差/和，將表達(dá)式化簡，觀察結(jié)果（往往是常數(shù)或與a無關(guān)的簡單式子）。得出結(jié)論：如“九宮格中9個(gè)數(shù)的和等于中心數(shù)的9倍”，“2x2方框中對角線和相等”?！炯磿r(shí)訓(xùn)練】1．（2025七年級上·全國·專題練習(xí)）某月的月歷表如圖所示，任意圈出一橫行或一豎列相鄰的三個(gè)數(shù)，這三個(gè)數(shù)的和不可能是（）日一二三四五六123456789101112131415161718192021222324252627282930A． B． C． D．【答案】C【分析】要求這三個(gè)數(shù)的和不可能的是多少，就要分析這三個(gè)數(shù)的和，先設(shè)出一個(gè)未知數(shù)，然后根據(jù)題中的等量關(guān)系列方程求解．注意：橫行相鄰的數(shù)字相差是，豎行相鄰的數(shù)字相差是．【詳解】解：若圈出的是一橫行，則相鄰的數(shù)字相差是，設(shè)中間的數(shù)字是，那么其它的兩個(gè)數(shù)字是，，．∴橫行三個(gè)數(shù)的和是，∴豎行三個(gè)數(shù)的和是，∴橫行、豎行的三個(gè)數(shù)的和應(yīng)是的倍數(shù)，故選：．【點(diǎn)睛】此題考查列代數(shù)式，用一元一次方程解實(shí)際問題，注意數(shù)學(xué)和實(shí)際生活的聯(lián)系，善于觀察日歷中數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系，掌握用字母表示數(shù)量關(guān)系，列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．【即時(shí)訓(xùn)練】【答案】51【詳解】解：設(shè)“橫3”中間數(shù)為，“豎3”中間數(shù)為，∴x、y為同一橫行上，相鄰的兩個(gè)數(shù)，根據(jù)圖可知，y的最小值為8，故答案為：51．【典型例題一數(shù)字類規(guī)律探索】【答案】D【分析】本題主要考查了數(shù)字類規(guī)律探究，找出次數(shù)變化的規(guī)律是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)所給多項(xiàng)式次數(shù)總結(jié)出每個(gè)多項(xiàng)式前后兩項(xiàng)次數(shù)變化的規(guī)律即可解答．【詳解】解：∵多項(xiàng)式的x項(xiàng)的系數(shù)依次為1、、、、，……，多項(xiàng)式的x項(xiàng)的次數(shù)依次為2、3、4、5、6，……，y項(xiàng)的次數(shù)依次為1、2、3、4、5，……，∴第n個(gè)多項(xiàng)式的x項(xiàng)的系數(shù)為，x項(xiàng)的次數(shù)為，y項(xiàng)次數(shù)，故選：D．A．2023 B．2024 C．2025 D．2026【答案】C【分析】本題主要考查數(shù)字找規(guī)律，解答本題的關(guān)鍵在于找出數(shù)字變化的規(guī)律，通過給定數(shù)字發(fā)現(xiàn)，相鄰兩個(gè)數(shù)字作差即可得出規(guī)律．．．．故選：C．【例3】（2425七年級下·全國·假期作業(yè)）將從1開始的連續(xù)自然數(shù)依次排列成如圖所示的形式．觀察規(guī)律，第20行的第3個(gè)數(shù)是．【答案】193，因此第20行的第3個(gè)數(shù)是193．故答案為：193．【答案】1故答案為：．1．（2425七年級下·全國·假期作業(yè)）有一串?dāng)?shù)字：2、3、6、8、8、4……它的規(guī)律是：從第三個(gè)數(shù)開始，每一個(gè)數(shù)都是前面兩個(gè)數(shù)字乘積的個(gè)位數(shù)字，那么這串?dāng)?shù)字的第2022個(gè)數(shù)字是多少？【答案】4答：這串?dāng)?shù)字的第2022個(gè)數(shù)字是4．(1)求；【分析】本題考查了數(shù)字規(guī)律，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．……，(1)用含有字母的式子表示規(guī)律：（）(2)210【分析】本題考查找規(guī)律，有理數(shù)的混合運(yùn)算，觀察算式，找到算式的規(guī)律，應(yīng)用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問題是解題的關(guān)鍵．（1）觀察算式，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，相鄰兩個(gè)自然數(shù)（0除外）的平方差等于這兩個(gè)數(shù)的和，據(jù)此規(guī)律寫出用字母n表示的式子；（2）直接用算式的規(guī)律計(jì)算出算式的結(jié)果即可．故答案為：．4．（2425七年級上·河北邯鄲·階段練習(xí)）觀察下列等式：請解答下列問題：(1)按以上規(guī)律列出第4個(gè)等式：________________；(2)用含有的代數(shù)式表示第個(gè)等式：________________（為正整數(shù)）；(3)【分析】本題考查數(shù)字的變化類、列代數(shù)式，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)題目中數(shù)字的變化特點(diǎn)，求出所求式子的值．（1）根據(jù)題目中的式子的特點(diǎn)，可以寫出第4個(gè)等式；（2）根據(jù)題目中的式子的特點(diǎn)，可以寫出第n個(gè)等式；（3）根據(jù)（2）中的結(jié)果，可以寫出所求式子的值．【典型例題二圖形類規(guī)律探索】【例1】（2425七年級下·全國·假期作業(yè)）如圖擺1個(gè)三角形用3根小棒，擺2個(gè)三角形用5根小棒，擺3個(gè)三角形用7根小棒．照這樣，擺12個(gè)三角形用（）根小棒．A．25 B．24 C．36【答案】A【分析】本題考查了圖形類規(guī)律探究，找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意，擺1個(gè)三角形用3根小棒，擺2個(gè)三角形用5根小棒，擺3個(gè)三角形用7根小棒……發(fā)現(xiàn)：每增加一個(gè)三角形，小棒的數(shù)量增加2根，據(jù)此找出規(guī)律，并按規(guī)律解答．【詳解】解：觀察圖形可知：……故選：A．A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查圖形規(guī)律，理解圖示數(shù)量關(guān)系，找出規(guī)律是關(guān)鍵．，故選：C．【例3】（2025·黑龍江大慶·模擬預(yù)測）苯是一種有機(jī)化合物，可以合成一系列衍生物．如圖是用小木棒擺放的苯及其衍生物的結(jié)構(gòu)式，第①個(gè)圖形需要9根小木棒，第②個(gè)圖形需要17根，第③個(gè)圖形需要25根，…，按此規(guī)律，第⑩個(gè)圖形需要根小木棒．【答案】81【分析】本題考查了圖形規(guī)律，理解數(shù)量關(guān)系，找出規(guī)律是關(guān)鍵．【詳解】解：第①個(gè)圖形需要9根小木棒，故答案為：81．【例4】（2024七年級上·河南鄭州·專題練習(xí)）把3，6，10，15，…這些數(shù)叫做三角形數(shù)，這是因?yàn)橛眠@些數(shù)目的點(diǎn)可以排成正三角形，如圖所示，則第6個(gè)三角形數(shù)是．【答案】28【詳解】解：由圖可知：故答案為28．1．（2425七年級上·江西吉安·期末）按如右圖所示的規(guī)律擺放三角形(1)第4個(gè)圖形中三角形的個(gè)數(shù)為____________；第n個(gè)圖形中三角形的個(gè)數(shù)為____________；(2)求第2024個(gè)圖形中三角形的個(gè)數(shù)．(2)第2024個(gè)圖形中三角形的個(gè)數(shù)為6074個(gè)．【分析】本題考查了圖形的變化類問題，解題的關(guān)鍵是仔細(xì)的觀察圖形并從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，然后利用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解題即可．（1）通過觀察，分析、歸納并發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，并應(yīng)用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問題．（2）根據(jù)（1）中規(guī)律求解即可．…；2．（2425七年級上·內(nèi)蒙古赤峰·期末）按下圖的方式，用火柴棒搭“小魚”．(1)搭1條、2條、3條“小魚”各用多少根火柴棒？(2)按同樣方式，搭20條“小魚”要用多少根火柴棒？(3)如果用n表示所搭“小魚”的條數(shù)，那么搭n條這樣的“小魚”需要多少根火柴棒？【答案】(1)搭1條，2條，3條“小魚”各用8根，14根，20根火柴棒(2)按同樣方式，搭20條“小魚”要用122根火柴棒【分析】本題考查了圖形的變化類問題，對于找規(guī)律的題目首先應(yīng)找出發(fā)生變化的位置，并且觀察變化規(guī)律，注意由特殊到一般的分析方法．（1）根據(jù)題干內(nèi)容求解即可；（2）找出規(guī)律，得出搭20條這樣的小魚需要的火柴根數(shù)即可；（3）根據(jù)規(guī)律，總結(jié)出公式即可．(1)壬烷的分子式是_____，第個(gè)結(jié)構(gòu)式的分子式是_____；【分析】本題主要考查了圖形類的規(guī)律探索，正確理解題意找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．（1）觀察可知對應(yīng)的模型中，碳原子個(gè)數(shù)為序號，氫原子個(gè)數(shù)為序號的2倍加上2，據(jù)此規(guī)律求解即可；……，4．（2025·安徽蚌埠·模擬預(yù)測）將一個(gè)邊長為1的等邊三角形（如圖1）的每一邊三等分，以居中那條線段為底邊向外作等邊三角形，并去掉所作的等邊三角形的一條邊，得到一個(gè)六角星（如圖2），稱為第一次分形．接著對每個(gè)等邊三角形凸出的部分繼續(xù)上述過程，即在每條邊三等分后的中段向外畫等邊三角形，得到一個(gè)新的圖形（如圖3），稱為第二次分形．反復(fù)進(jìn)行這一過程，就會得到一個(gè)“雪花”樣子的曲線．它是由瑞典人科赫于1904年提出的，這種曲線叫科赫曲線或雪花曲線．(1)每一次分形后，得到的“雪花曲線”的邊數(shù)是前一個(gè)“雪花曲線”邊數(shù)的倍；每一次分形后，三角形的邊長都變?yōu)樵瓉淼模?2)第n次分形后所得圖形的邊數(shù)是多少？周長為多少？寫出過程．（用含n的代數(shù)式表示）【答案】(1)，【分析】本題考查了圖形的變化規(guī)律，根據(jù)圖形找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)第一次分形后，得到的“雪花曲線”的邊數(shù)是12，邊長為，第二次分形后，得到的“雪花曲線”的邊數(shù)是48，邊長為，即可得出答案；【詳解】（1）解：原等邊三角形的邊數(shù)為3，邊長為1，第一次分形后，得到的“雪花曲線”的邊數(shù)是12，邊長為，第二次分形后，得到的“雪花曲線”的邊數(shù)是48，邊長為，，每一次分形后，得到的“雪花曲線”的邊數(shù)是前一個(gè)“雪花曲線”邊數(shù)的4倍，每一次分形后，三角形的邊長都變?yōu)樵瓉淼?，故答案為?，；（2）解：原等邊三角形的邊數(shù)為3，邊長為1，第一次分形后，得到的“雪花曲線”的邊數(shù)是12，邊長為，第二次分形后，得到的“雪花曲線”的邊數(shù)是48，邊長為，，每一次分形后，得到的“雪花曲線”的邊數(shù)是前一個(gè)“雪花曲線”邊數(shù)的4倍，每一次分形后，三角形的邊長都變?yōu)樵瓉淼?，【典型例題三探索與表達(dá)規(guī)律之排列問題】【例1】（2425七年級上·重慶·期中）如圖，用相同幸運(yùn)星圖案“＋”按一定規(guī)律排列成如下圖形，其中圖形①有1個(gè)幸運(yùn)星，圖形②有5個(gè)幸運(yùn)星，圖形③有9個(gè)幸運(yùn)星…按此規(guī)律排列，則圖形⑥中幸運(yùn)星圖案個(gè)數(shù)為

（

）A．21 B．22 C．23 D．24【答案】A【詳解】解：∵第①個(gè)圖案幸運(yùn)星個(gè)數(shù)為，第②個(gè)圖案幸運(yùn)星個(gè)數(shù)為，…，故選：A．【例2】（2425七年級上·重慶江津·期中）如圖，將大小相同的等邊三角形按以下規(guī)律進(jìn)行排列，其中第1個(gè)圖形中有6個(gè)等邊三角形，第2個(gè)圖形中有10個(gè)等邊三角形，第3個(gè)圖形中有14個(gè)等邊三角形，……按照此規(guī)律排列下去，則第9個(gè)圖形中等邊三角形的個(gè)數(shù)是（

）A．36 B．38 C．40 D．42【答案】B【分析】本題考查圖形類規(guī)律探究，找到圖形中等邊三角形個(gè)數(shù)的變化規(guī)律是解答的關(guān)鍵．根據(jù)前幾個(gè)圖形中等邊三角形個(gè)數(shù)，得到變化規(guī)律，即可求解．按照此規(guī)律排列下去，故選：B．【分析】本題考查了圖形的變化規(guī)律，根據(jù)圖形的排列總結(jié)出圖形的排列規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：本題考查了圖形的變化規(guī)律，根據(jù)圖形的排列總結(jié)出圖形的排列規(guī)律是解題的關(guān)鍵．①根據(jù)圖形的排列可知個(gè)圖案一組，依次循環(huán)，故答案為：；【分析】本題主要考查了圖形變化的規(guī)律，能根據(jù)所給圖形發(fā)現(xiàn)實(shí)心圓的個(gè)數(shù)依次增加2是解題的關(guān)鍵．根據(jù)所給圖形，依次求出圖形中實(shí)心圓的個(gè)數(shù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可解決問題．【詳解】解：由所給圖形可知，…，1．（2425七年級上·河南商丘·期末）【觀察思考】如圖，這是由基本圖形組成的一系列圖案，其中第個(gè)圖案由個(gè)基本圖形組成；第個(gè)圖案由個(gè)基本圖形組成；第個(gè)圖案由個(gè)基本圖形組成；……按此規(guī)律排列下去．【規(guī)律發(fā)現(xiàn)】（1）第個(gè)圖案有個(gè)基本圖形；第（是正整數(shù)）個(gè)圖案有（用含的式子表示）個(gè)基本圖形．【規(guī)律應(yīng)用】（2）擺第個(gè)圖案需要多少個(gè)基本圖形？【分析】本題考查圖形變化的規(guī)律及列代數(shù)式，能根據(jù)所給圖形變化的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)所個(gè)圖形的基礎(chǔ)圖形的數(shù)量發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可解決問題；（2）根據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問題即可．2．（2425七年級上·四川成都·期中）觀察圖①，②，③，④得……(1)觀察面圖中小圓圈的排列方式，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？你能表示出來嗎？【答案】(1)從1開始，n個(gè)連續(xù)的奇數(shù)相加，它們的和為，(2)10000(3)9775【分析】本題考查了圖形的變化類，解題的關(guān)鍵是仔細(xì)觀察圖形并找到規(guī)律．(1)根據(jù)圖形的變化尋找規(guī)律：從1開始，n個(gè)連續(xù)的奇數(shù)相加，它們的和為，用代數(shù)式表示即可；(2)根據(jù)(1)中的規(guī)律即可求解；(3)根據(jù)(1)中的規(guī)律即可求解．【詳解】（1）解：觀察圖形的變化可知：發(fā)現(xiàn)規(guī)律∶從1開始，1個(gè)奇數(shù)的和是1；前2個(gè)奇數(shù)的和等于2的平方，即；前3個(gè)奇數(shù)的和等于3的平方，即；前4個(gè)奇數(shù)的和等于4的平方，即，……∴從1開始，n個(gè)連續(xù)的奇數(shù)相加，它們的和為．3．（2025·山東青島·模擬預(yù)測）如圖，在邊長都為a的正方形內(nèi)分別排列著一些大小相等的圓．(1)根據(jù)圖中的規(guī)律，第4個(gè)正方形內(nèi)圓的個(gè)數(shù)是________，第n個(gè)正方形內(nèi)圓的個(gè)數(shù)是________．(2)如果把正方形內(nèi)除去圓的部分都涂上陰影①第1個(gè)正方形中陰影部分的面積為________，第n個(gè)正方形中陰影部分的面積為________（用含a的代數(shù)式表示，結(jié)果保留）．【答案】(1)16，【分析】本題考查了圖形類找規(guī)律，列代數(shù)式，代數(shù)式求值，整式的加減，找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．（1）分別求出前幾個(gè)圖形內(nèi)圓的個(gè)數(shù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律進(jìn)而求得第n個(gè)正方形中圓的個(gè)數(shù)；……第個(gè)正方形內(nèi)圓的個(gè)數(shù)是．②從以上計(jì)算看出各個(gè)正方形中陰影部分的面積均相等，與圓的個(gè)數(shù)無關(guān)．4．（2425七年級上·湖北隨州·期中）圖1由若干個(gè)小圓圈組成的一個(gè)形如正三角形的圖案，第1層有1個(gè)圓圈，每一層都比上一層多1個(gè)圓圈，一共堆了n層．(1)如圖1所示，第100層有_____個(gè)小圓圈，從第1層到第n層共有_____個(gè)小圓圈；(2)我們自上往下按圖2的方式排列一串連續(xù)的正整數(shù)1，2，3，…，則第20層的第6個(gè)數(shù)是_____；(3)我們自上往下按圖3的方式排列一串整數(shù)31，，35，，…，則求從第1層到第10層的所有數(shù)的絕對值的和_____．(2)196(3)4675【分析】本題考查了根據(jù)圖形的變化規(guī)律列式，計(jì)算等知識，理解圖形的變化規(guī)律，并尋找其中規(guī)律是解題關(guān)鍵．（2）觀察圖2發(fā)現(xiàn)規(guī)律：從1開始的自然數(shù)列，第n層放n個(gè)，進(jìn)而可得第20層第6個(gè)數(shù)；（3）觀察圖3發(fā)現(xiàn)規(guī)律：第n層放n個(gè)，從第1個(gè)數(shù)開始，符號“”周期變化，絕對值依次加2，可得第10層最后一個(gè)數(shù)的絕對值，最后得第1層到第10層所有數(shù)的絕對值和．【詳解】（1）圖規(guī)律：第層有個(gè)小圓圈，則第層有個(gè)小圓圈，（2）圖規(guī)律：從開始的自然數(shù)列，第層放個(gè)，則第層第個(gè)數(shù)為：故答案為：；則第層最后一個(gè)數(shù)的絕對值為：則第層到第層所有數(shù)的絕對值和為：故答案為：4675．【典型例題四探索與表達(dá)規(guī)律之新定義問題】A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了數(shù)字變化規(guī)律，代數(shù)式求值，故選：A．【例2】（2425七年級上·山東濟(jì)南·期中）新定義：符號“”表示一種新運(yùn)算，它對一些數(shù)的運(yùn)算結(jié)果如下：【答案】C故選：C．【答案】【分析】此題考查數(shù)字的變化規(guī)律，利用規(guī)定的運(yùn)算方法，得出數(shù)字之間的循環(huán)規(guī)律，利用規(guī)律解決問題．根據(jù)規(guī)定的運(yùn)算方法，依次計(jì)算出，，、，即可發(fā)現(xiàn)每3個(gè)數(shù)為一個(gè)周期依次循環(huán)，然后用2023除以3，根據(jù)規(guī)律，即可得出答案．，∴這列數(shù)以，2，三個(gè)數(shù)依次不斷循環(huán)出現(xiàn)；故答案為：．【答案】8【分析】本題考查了數(shù)字規(guī)律，掌握代數(shù)式的計(jì)算，找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．，∴從第次開始，偶數(shù)次的結(jié)果為，奇數(shù)次的結(jié)果為，故答案為：8．1．（2425七年級上·湖北恩施·期末）定義：對于任意一個(gè)兩位數(shù)，交換個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字的位置得到一個(gè)新數(shù)，我們把這樣的兩個(gè)數(shù)稱之為互為“友好數(shù)”；如的“友好數(shù)”是．(1)填空：、的“友好數(shù)”分別是___________；(2)對于任意一個(gè)兩位數(shù)，設(shè)它的個(gè)位數(shù)字為，十位數(shù)字為，試說明這個(gè)數(shù)與它的“友好數(shù)”之和一定能被整除．【答案】(1)，(2)證明見解析【分析】本題考查了合并同類項(xiàng)、理解“友好數(shù)”的定義，按照定義分析是解題的關(guān)鍵。（1）由“友好數(shù)”的定義可得答案；【詳解】（1）解：由“友好數(shù)”的定義可得，、的“友好數(shù)”分別是：，，故答案為：，；（2）對于任意一個(gè)兩位數(shù)，設(shè)它的個(gè)位數(shù)字為，十位數(shù)字為，因?yàn)椋瑸檎麛?shù)，所以，對于任意一個(gè)兩位數(shù)，這個(gè)數(shù)與它的“友好數(shù)”之和一定能被整除．【答案】(1)39【分析】本題考查了數(shù)字規(guī)律類探索及有理數(shù)的混合運(yùn)算，理解新運(yùn)算的法則是解題的關(guān)鍵．請同學(xué)們解答下列問題：(1)，1是“隔一數(shù)對”嗎？請說明理由；(2)已知兩個(gè)連續(xù)的非零整數(shù)都是“隔一數(shù)對”，計(jì)算：【答案】(1)不是“隔一數(shù)對”【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算、數(shù)字的變化規(guī)律等知識點(diǎn)，理解“隔一數(shù)對”的定義并掌握有理數(shù)混合運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)“隔一數(shù)對”的新定義進(jìn)行計(jì)算判斷即可；（2）先根據(jù)新定義計(jì)算再根據(jù)有理數(shù)加減運(yùn)算即可．∴不是“隔一數(shù)對”．（2）解：由題意可得∶4．（2425七年級上·遼寧撫順·期末）【概念學(xué)習(xí)】【深入探究】（3）將“a的n次商”寫成冪的形式是：_________；【結(jié)論應(yīng)用】【分析】本題主要考查了數(shù)字變化的規(guī)律及有理數(shù)的混合運(yùn)算，理解題中所給除方的定義是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)除方的定義進(jìn)行計(jì)算即可．（2）根據(jù)題目要求，將所給運(yùn)算寫成冪的形式即可．（3）根據(jù)（2）中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律即可解決問題．（4）根據(jù)題意，對所給算式進(jìn)行計(jì)算即可．故答案為：；2．（2）由題知，（3）由（2）中計(jì)算過程可知，【典型例題五探索與表達(dá)規(guī)律之日歷問題】【例1】（2425七年級上·全國·課后作業(yè)）在日歷上，某些數(shù)滿足一定的規(guī)律．如圖是某年8月份的日歷，任意選擇其中所示的含4個(gè)數(shù)字的方框部分，設(shè)右上角的數(shù)字為，則下列敘述中正確的是（

）【答案】D【例2】（2025·河北滄州·模擬預(yù)測）天干地支紀(jì)年法是指中國傳統(tǒng)紀(jì)年歷法，是自上古以來就一直使用的紀(jì)年方法．天干有十，即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；地支有十二，即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支紀(jì)年法對應(yīng)的規(guī)律如表，天干甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙…地支子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子…干支紀(jì)年甲子年乙丑年丙寅年丁卯年戊辰年己巳年庚午年辛未年壬申年癸酉年甲戌年乙亥年丙子年…已知今年是乙巳年，則下列歷史事件與時(shí)間對應(yīng)錯誤的是（

）A．庚子賠款——1900年 B．辛酉政變——1861年C．丁巳京察——1617年 D．壬寅宮變——1543年【答案】D【分析】本題考查數(shù)字類規(guī)律探究，根據(jù)天干以10年為一個(gè)周期，地支以12年為一個(gè)周期，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：由表格可知：天干以10年為一個(gè)周期，地支以12年為一個(gè)周期，∴天干的確定方法為年份減去3后再除以10取余，地支的確定方法為：年份減去3后再除以12取余；∴1900年為庚子年，故A正確；不符合題意；∴1861年為辛酉年，故B正確；不符合題意；∴1617年為丁巳年，故C正確；不符合題意；∴1543年為癸卯年，故D錯誤；符合題意；故選：D．【例3】（2425七年級上·海南海口·期末）在圖所示的2019年1月份日歷中，帶陰影的十字框框出5個(gè)數(shù)，十字框可移動位置，若設(shè)中間的數(shù)為a，則這5個(gè)數(shù)字之和為．（用含a的代數(shù)式表示）【答案】5a．【分析】根據(jù)題意和圖中的數(shù)據(jù)，可以求得這5個(gè)數(shù)字之和．【詳解】由題意可得，中間的數(shù)為a，則這5個(gè)數(shù)字之和為：a+（a+1）+（a﹣1）+（a+7）+（a﹣7）＝a+a+1+a﹣1+a+7+a﹣7＝5a，故答案為：5a．【點(diǎn)睛】本題考查了歸納總結(jié)以及代數(shù)式的應(yīng)用，掌握代數(shù)式的運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．【答案】16故答案為：16．(1)將每個(gè)方框的左上角數(shù)字設(shè)為，請用含的式子表示你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律：______．(2)請利用整式的運(yùn)算對以上規(guī)律進(jìn)行證明．(2)證明見解析【分析】本題考查整式的混合運(yùn)算和列代數(shù)式，解題的關(guān)鍵是掌握整式相關(guān)運(yùn)算的法則．（1）根據(jù)題意用含的式子表示其余三個(gè)數(shù)，表達(dá)規(guī)律即可；2．（2025七年級上·全國·專題練習(xí)）觀察某月日歷，回答下列問題：(1)觀察圖中的陰影部分9個(gè)數(shù)，你知道它們之間有什么關(guān)系嗎？寫出你認(rèn)為正確的2個(gè)結(jié)論．(2)小強(qiáng)一家外出游玩了5天，這5天的日期之和是75，小強(qiáng)一家是幾號外出的？【答案】(1)結(jié)論1：每列上下相鄰兩數(shù)均相差7；結(jié)論2：每行左右相鄰兩數(shù)均相差1(2)小強(qiáng)一家是13號外出【分析】（1）結(jié)合題意，根據(jù)圖形和數(shù)字規(guī)律的性質(zhì)分析，即可得到答案；（2）設(shè)小強(qiáng)一家號外出，根據(jù)一元一次方程的性質(zhì)列式并求解，即可得到答案.【詳解】（1）解：由圖形得結(jié)論1：每列上下相鄰兩數(shù)均相差7；結(jié)論2：每行左右相鄰兩數(shù)均相差1；（2）解：設(shè)小強(qiáng)一家號外出，∴小強(qiáng)一家是13號外出．【點(diǎn)睛】本題考查了圖形和數(shù)字規(guī)律、一元一次方程的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元一次方程的性質(zhì)，從而完成求解.3．（2425七年級下·全國·假期作業(yè)）觀察日歷找規(guī)律．(1)觀察日歷中加框的4個(gè)數(shù)，你發(fā)現(xiàn)了什么？(2)觀察日歷中加陰影的9個(gè)數(shù)，你又發(fā)現(xiàn)了什么？(3)你還能在日歷中找到什么規(guī)律？(2)方框中9個(gè)數(shù)的和是中間數(shù)的9倍．(3)表格每一列的數(shù)字從上到下依次增加7；每行中相鄰的兩個(gè)數(shù)字相差1．【分析】本題主要考查了數(shù)表中的規(guī)律，用代數(shù)式表示，（1）根據(jù)所給日歷，利用日歷中各數(shù)之間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：每行相鄰兩數(shù)差1，每一列相鄰兩數(shù)差7，解答即可；（2）直接寫出這9個(gè)數(shù)，求出和，再根據(jù)結(jié)果解答；（3）根據(jù)（1）解答即可．【詳解】（1）解：利用日歷中各數(shù)之間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：答：方框中9個(gè)數(shù)的和是中間數(shù)的9倍；（3）解：我發(fā)現(xiàn)：表格每一列的數(shù)字從上到下依次增加7；每行中相鄰的兩個(gè)數(shù)字相差1．4．（2425七年級上·北京海淀·期中）在日歷上，我們可以發(fā)現(xiàn)其中某些數(shù)滿足一定的規(guī)律．(2)設(shè)“”字型框架中位置上的數(shù)為，請利用整式的運(yùn)算對（1）中的規(guī)律加以證明．(3)如圖2，在某月歷中，正方形方框框住部分（陰影部分）個(gè)位置上的數(shù)，如果最小的數(shù)和最大的數(shù)的乘積為，那么中間位置上的數(shù)______．【答案】(1)；；(2)證明見解析(3)【分析】本題考查列代數(shù)式，整式的混合運(yùn)算，有理數(shù)的混合運(yùn)算，（1）兩式計(jì)算得到結(jié)果，歸納總結(jié)即可得到結(jié)果；熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．不難發(fā)現(xiàn)，結(jié)果都等于，故答案為：；；；；故答案為：．【典型例題六探索與表達(dá)規(guī)律之表格數(shù)據(jù)問題】【例1】（2425七年級上·貴州遵義·期末）如表中記錄了一次實(shí)驗(yàn)中不同時(shí)間對應(yīng)溫度的數(shù)據(jù)，假設(shè)溫度的變化是均勻的．0369…溫度8111417…【答案】B故選B．【例2】（2425七年級上·浙江金華·期中）小王利用計(jì)算機(jī)設(shè)計(jì)了一個(gè)計(jì)算程序，輸入和輸出的數(shù)據(jù)如下表那么，當(dāng)輸入數(shù)據(jù)是時(shí)，輸出的數(shù)據(jù)是（

）輸入輸出A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了數(shù)字變化規(guī)律，根據(jù)已知數(shù)據(jù)總結(jié)出規(guī)律是解題關(guān)鍵．通過觀察表中的數(shù)據(jù)得出規(guī)律：輸出的數(shù)的分子就是輸入的數(shù)值，分母是輸入的數(shù)的平方加上1，然后根據(jù)規(guī)律計(jì)算即可求解．……∴輸出的數(shù)的分子就是輸入的數(shù)值，分母是輸入的數(shù)的平方加上，故選：B．/克02468/毫米1014182226【答案】【詳解】解：根據(jù)表格數(shù)據(jù)，當(dāng)增加時(shí)，增加，故答案為：．【例4】（2425七年級上·河南開封·期末）觀察下列圖形和所給表格中的數(shù)據(jù)后回答問題：梯形個(gè)數(shù)12345圖形周長58111417當(dāng)梯形個(gè)數(shù)為時(shí)，這時(shí)圖形的周長為．【分析】利用表格中的數(shù)據(jù)，尋找n與周長的關(guān)系，即可得到答案．本題考查了圖表的理解與應(yīng)用，由圖表中的數(shù)據(jù)得出圖形規(guī)律，考查了邏輯推理能力與歸納總結(jié)能力，屬于中檔題．x012345107110961(1)將上面的表格補(bǔ)充完整；(2)觀察表格，估計(jì)代數(shù)式的值先小于(3)請你寫出一個(gè)代數(shù)式，要求當(dāng)x的值每增加1，代數(shù)式的值就增加2．【答案】(1)，【分析】本題考查了求代數(shù)式的值，數(shù)字類規(guī)律探究．（2）根據(jù)表格中兩個(gè)代數(shù)式的值變化特點(diǎn)解答即可；故答案為：，；2．（2025·廣西南寧·模擬預(yù)測）如圖，一摞相同規(guī)格的碗整齊地疊放在桌面上，桌面上碗的高度（）與碗數(shù)（個(gè)）的變化情況如下表.碗數(shù)（個(gè)）高度（cm）請根據(jù)表中給出的數(shù)據(jù)信息，解答下列問題：(1)上表中的值為______________；(2)求出疊放在桌面上碗的高度（cm）與碗數(shù)（個(gè)）之間的關(guān)系式；【答案】(1)；(3)個(gè)．【分析】本題主要考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)的解析式．故答案為：；碗的個(gè)數(shù)必須為整數(shù)，一摞最多能疊個(gè)碗一次性放進(jìn)柜子里.3．（2324七年級上·山東濟(jì)南·期末）下列圖形均由邊長相等的黑、白兩色小正方形按規(guī)律拼接而成．(1)觀察圖形，將下面的表格填寫完整：圖形編號①②③④⑤…黑色小正方形個(gè)數(shù)…白色小正方形個(gè)數(shù)…(2)第個(gè)圖形中白色小正方形的個(gè)數(shù)為______；黑色小正方形的個(gè)數(shù)為______；(3)若某個(gè)圖形中白色小正方形比黑色小正方形多個(gè)，則這個(gè)圖形是第幾個(gè)圖形？【答案】(1)見解析(3)第個(gè)圖形【分析】本題考查圖形規(guī)律變化，解題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形的變化，找到黑色正方形，白色正方形的變化規(guī)律，進(jìn)行解答，即可．（1）根據(jù)上述圖形，第一個(gè)圖形中，黑色小正方形有個(gè)，白色小正方形有個(gè)；第二個(gè)圖形中，黑色小正方形有個(gè)，白色小正方形有；第三個(gè)圖形中，黑色小正方形有個(gè)，白色小正方形有個(gè)，依次可知，黑色小正方形的個(gè)數(shù)依次為：，，，，；白色小正方形的個(gè)數(shù)依次為：，，，，，即可；（2）由上述圖形，推出黑色小正方形和白色小正方形規(guī)律，即可；【詳解】（1）上述圖形可知：第一個(gè)圖形中，黑色小正方形有個(gè)，白色小正方形有個(gè)；第二個(gè)圖形中，黑色小正方形有個(gè)，白色小正方形有；第三個(gè)圖形中，黑色小正方形有個(gè)，白色小正方形個(gè)，∴黑色正方形的個(gè)數(shù)依次為：，，，，；白色正方形的個(gè)數(shù)依次為：，，，，．∴圖形編號①②③④⑤…黑色小正方形個(gè)數(shù)…白色小正方形個(gè)數(shù)…故答案為：，，；，，，，．（2）上述圖形可知：第一個(gè)圖形中，黑色小正方形有個(gè)，白色小正方形有個(gè)；第二個(gè)圖形中，黑色小正方形有個(gè)，白色小正方形有；第三個(gè)圖形中，黑色小正方形有個(gè)，白色小正方形個(gè)；（3）設(shè)第個(gè)圖形中白色小正方形比黑色小正方形多個(gè)，答：第個(gè)圖形中白色小正方形比黑色小正方形多個(gè)．4．（2425七年級上·廣東深圳·期末）問題解決策略：歸納活動一：在城市規(guī)劃中，街道的設(shè)計(jì)需要考慮到交通流量和交匯點(diǎn)的管理．每條街道可以看作平面上的一條直線，街道的交匯點(diǎn)即直線與直線的交點(diǎn)．通過計(jì)算交匯點(diǎn)數(shù)量的最大值，可以幫助優(yōu)化交通網(wǎng)絡(luò)的設(shè)計(jì)，提高交通效率．探究小組設(shè)計(jì)了一個(gè)數(shù)學(xué)活動，模擬了某個(gè)城市街道交匯點(diǎn)數(shù)量的最大值的問題．【特例研究】如圖1，若長方形內(nèi)有2條直線，則最多可以得到1個(gè)交點(diǎn)．【類比發(fā)現(xiàn)】請類比上面的分析過程，將你得到的數(shù)據(jù)填入下表中．長方形內(nèi)直線的條數(shù)2345…最多的交點(diǎn)個(gè)數(shù)1…【猜想分析】若該城市某片區(qū)有10條街道，假設(shè)10條街道為10條直線，則這10條直線最多有______個(gè)交匯點(diǎn)；活動二：【分析】特例研究：根據(jù)題意可知第四種情況為三條直線兩兩相交，有3個(gè)交點(diǎn)，據(jù)此畫圖即可；猜想分析：根據(jù)類比發(fā)現(xiàn)的結(jié)論求解即可；活動二：（2）同（1）思路求解即可．本題主要考查了規(guī)律的圖形變化、有理數(shù)的運(yùn)算等內(nèi)容，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：特例研究：第四種情況如圖所示：類比發(fā)現(xiàn)：由題意得，2條直線最多只有1個(gè)交點(diǎn)，補(bǔ)全表格如圖，長方形內(nèi)直線的條數(shù)2345…最多的交點(diǎn)個(gè)數(shù)13610…猜想分析：故答案為：45；活動二：（2）根據(jù)材料可發(fā)現(xiàn)與（1）思路基本一致，【答案】C【分析】本題考查了多項(xiàng)式的規(guī)律探索，根據(jù)前幾個(gè)多項(xiàng)式找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵；根據(jù)前幾個(gè)多項(xiàng)式的構(gòu)成可以發(fā)現(xiàn)：第個(gè)多項(xiàng)式的第1項(xiàng)是，第2項(xiàng)是，即可得到答案.…，可以發(fā)現(xiàn)：第個(gè)多項(xiàng)式的第1項(xiàng)是，第2項(xiàng)是，故選：C.2．（2025·云南·模擬預(yù)測）如圖是某種細(xì)胞分裂示意圖，這種細(xì)胞每過1小時(shí)便由1個(gè)分裂成2個(gè)．根據(jù)此規(guī)律可得，那么經(jīng)過（為正整數(shù)）小時(shí)后可分裂成（

）個(gè)細(xì)胞【答案】C【分析】本題主要考查有理數(shù)乘方的應(yīng)用及規(guī)律問題，理解題意，找出相應(yīng)規(guī)律是解題關(guān)鍵．規(guī)律：每分裂一次，細(xì)胞數(shù)量擴(kuò)大到原來的2倍，據(jù)此求解即可．【詳解】一個(gè)細(xì)胞1小時(shí)分裂成2個(gè)，即個(gè)細(xì)胞；一個(gè)細(xì)胞2小時(shí)分裂成4個(gè)，即個(gè)細(xì)胞；一個(gè)細(xì)胞3小時(shí)分裂成8個(gè)，即個(gè)細(xì)胞；…依此類推，一個(gè)細(xì)胞小時(shí)分裂成個(gè)細(xì)胞；故選：C．③經(jīng)過次操作后，將得到個(gè)整式；以上四個(gè)結(jié)論正確的有（

）A． B． C． D．【答案】B綜上，正確結(jié)論為①、②，共2個(gè)，故選：B．A．點(diǎn) B．點(diǎn) C．點(diǎn) D．點(diǎn)【答案】D【分析】本題考查了圖形類規(guī)律探索，正確歸納類推出一般規(guī)律是解題關(guān)鍵．根據(jù)題意可以得到前幾次相遇的地點(diǎn)，從而可以發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，由此即可得．【詳解】解：設(shè)電子螞蟻和的運(yùn)動時(shí)間為秒，歸納類推得：每四次為一個(gè)循環(huán)，∴電子螞蟻和第2025次相遇的地點(diǎn)與第1次相遇的地點(diǎn)相同，即為點(diǎn)，故選：D．【答案】C【分析】本題考查了圖形類的規(guī)律探究，完全平方公式等知識，根據(jù)題意推導(dǎo)一般性規(guī)律是解題的關(guān)鍵．故選：C．【分析】本題考查了分?jǐn)?shù)的規(guī)律，根據(jù)題意可得分子從1開始逐次增加1，分母從2開始逐次增加1，第偶數(shù)個(gè)分?jǐn)?shù)為負(fù)，第奇數(shù)個(gè)分?jǐn)?shù)為正，由此即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意可得分子從1開始逐次增加1，分母從2開始逐次增加1，第偶數(shù)個(gè)分?jǐn)?shù)為負(fù)，第奇數(shù)個(gè)分?jǐn)?shù)為正，即第一個(gè)分?jǐn)?shù)是，第二個(gè)分?jǐn)?shù)是，第三個(gè)分?jǐn)?shù)是，第四個(gè)分?jǐn)?shù)是，7．（2025·湖南懷化·模擬預(yù)測）現(xiàn)有長短、形狀、質(zhì)地完全相同的筷子，僅顏色不同，共有紅、橙、黃、綠、藍(lán)、紫六種顏色，每種顏色各根.閉上眼至少