摘要：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是在有意識(shí)、有結(jié)構(gòu)的認(rèn)知構(gòu)建中去認(rèn)知與發(fā)現(xiàn)的過(guò)程，傳統(tǒng)教學(xué)活動(dòng)知識(shí)“碎片化”、問(wèn)題“孤立化”、活動(dòng)“形式化”，導(dǎo)致學(xué)生的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)性思維建構(gòu)不完整。數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)性思維是一種復(fù)雜多維的思維活動(dòng)，以直覺思維為基礎(chǔ)，以辨析思維為核心，以演繹、歸納、類比等思維為路徑。數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)性思維促進(jìn)認(rèn)知關(guān)鍵能力的形成與發(fā)展，認(rèn)知結(jié)構(gòu)則為數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)性思維建構(gòu)?提供基本框架。教學(xué)中，將問(wèn)題提出作為激活數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)性思維的起點(diǎn)，將觀察分析作為形成數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)性思維的節(jié)點(diǎn)，將策略應(yīng)用作為構(gòu)建數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)性思維的落點(diǎn)，建立教學(xué)的基本模型，有利于學(xué)生數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)性思維的形成與提升。關(guān)鍵詞：結(jié)構(gòu)化教學(xué)；認(rèn)知結(jié)構(gòu)；發(fā)現(xiàn)性思維；數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)是有結(jié)構(gòu)的，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是在有意識(shí)、有結(jié)構(gòu)的認(rèn)知構(gòu)建中獲得認(rèn)知發(fā)現(xiàn)的過(guò)程?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱“2022版數(shù)學(xué)課標(biāo)”）提出“設(shè)計(jì)體現(xiàn)結(jié)構(gòu)化特征的課程內(nèi)容，注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)和方法的層次性和多樣性”。結(jié)構(gòu)包括三個(gè)層次：知識(shí)結(jié)構(gòu)、過(guò)程結(jié)構(gòu)與認(rèn)知結(jié)構(gòu)[1]。教學(xué)中要以知識(shí)內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化和學(xué)習(xí)過(guò)程的結(jié)構(gòu)化來(lái)促進(jìn)認(rèn)知建構(gòu)的結(jié)構(gòu)化，從而系統(tǒng)地提升學(xué)生的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)性思維。傳統(tǒng)教學(xué)活動(dòng)中，知識(shí)“碎片化”、問(wèn)題“孤立化”、活動(dòng)“形式化”導(dǎo)致數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)浮于表面，缺少建構(gòu)發(fā)現(xiàn)性思維的完整過(guò)程。數(shù)學(xué)源自對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的抽象，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)再創(chuàng)造、再發(fā)現(xiàn)的過(guò)程，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)當(dāng)深度解析數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)性思維的內(nèi)涵意蘊(yùn)與生成機(jī)制，系統(tǒng)審視認(rèn)知結(jié)構(gòu)視域下數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)性思維的價(jià)值，完整設(shè)計(jì)構(gòu)建沖突、積累素材、操作驗(yàn)證的學(xué)習(xí)過(guò)程，將知識(shí)的被動(dòng)傳授變?yōu)榻Y(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)下的主動(dòng)發(fā)現(xiàn)。一、數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)性思維的內(nèi)涵意蘊(yùn)與生成機(jī)制“發(fā)現(xiàn)”是一種重要的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式。布魯納在研究中提出，發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)與接受學(xué)習(xí)是兩種不同的學(xué)習(xí)形式，前者應(yīng)注重學(xué)習(xí)過(guò)程，鼓勵(lì)學(xué)習(xí)者自主探究、實(shí)驗(yàn)、觀察，從事實(shí)中歸納結(jié)論，獲得發(fā)現(xiàn)。因此，教學(xué)中應(yīng)構(gòu)建從對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的初步感知，到對(duì)學(xué)習(xí)對(duì)象素材的深入分析，再到對(duì)規(guī)律的驗(yàn)證的過(guò)程，使學(xué)生完整地體驗(yàn)產(chǎn)生認(rèn)知的動(dòng)機(jī)、加強(qiáng)直觀的感知、提煉數(shù)學(xué)的規(guī)律的學(xué)習(xí)過(guò)程[2]。（一）數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)性思維是多維度的思維活動(dòng)形成數(shù)學(xué)認(rèn)知需要多種思維活動(dòng)的有序參與，數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)性思維是一種復(fù)雜多維的思維活動(dòng)，主要包含直覺思維、辨析思維、演繹思維、歸納思維、類比思維等形式?。1.數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)性思維以直覺思維為基礎(chǔ)“發(fā)現(xiàn)”是人類對(duì)自我的內(nèi)在及外在現(xiàn)象的認(rèn)知，是一種思維加工的行為表象，依賴于個(gè)人的直覺和洞察力。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，直覺思維能夠引導(dǎo)人們產(chǎn)生新的數(shù)學(xué)問(wèn)題，為學(xué)習(xí)活動(dòng)提供方向。教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)構(gòu)筑真實(shí)有效的問(wèn)題情境，激活學(xué)生的直覺思維，引導(dǎo)學(xué)生產(chǎn)生問(wèn)題意識(shí)，形成認(rèn)知?jiǎng)訖C(jī)和探究視角[3]。2.數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)性思維以辨析思維為核心2022版數(shù)學(xué)課標(biāo)提出會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界、會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考世界、會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界。那么，“會(huì)”從何而來(lái)？“會(huì)”應(yīng)從對(duì)數(shù)學(xué)素材的觀察與分析中產(chǎn)生。辨析思維是指學(xué)生基于學(xué)習(xí)內(nèi)容對(duì)數(shù)學(xué)概念和規(guī)律進(jìn)行深入的剖析和辨別，明確它們的內(nèi)涵和外延以及它們之間的關(guān)系。教學(xué)中，教師要提供豐富多元的學(xué)習(xí)素材，引導(dǎo)學(xué)生基于發(fā)現(xiàn)的數(shù)學(xué)問(wèn)題尋求解決問(wèn)題的方法，提取、驗(yàn)證數(shù)學(xué)的規(guī)律，并發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)與生活及客觀世界的關(guān)聯(lián)。3.數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)性思維以演繹、歸納、類比等思維為路徑演繹思維從一般性的原理或規(guī)律出發(fā)，推導(dǎo)出特殊情況的結(jié)論，強(qiáng)調(diào)從一般到特殊的推理過(guò)程；歸納思維通過(guò)對(duì)大量具體事例的觀察和分析，從復(fù)雜的數(shù)學(xué)現(xiàn)象中提煉出本質(zhì)特征，探索出一般性的結(jié)論和規(guī)律；類比思維則通過(guò)比較不同數(shù)學(xué)對(duì)象之間的相似性和差異性，提取關(guān)鍵要素，發(fā)現(xiàn)它們之間的內(nèi)在聯(lián)系和規(guī)律。演繹、歸納、類比等思維活動(dòng)是催生數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的策略性思維。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中，教師要構(gòu)建清晰的由“感知”到“解析”再到“驗(yàn)證”的路徑，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)知識(shí)的結(jié)構(gòu)特征靈活選擇假設(shè)、分類、類比等不同的方法，進(jìn)一步在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)，并歸納基本思路與主要方法。（二）數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)性思維存在線性的生成機(jī)制數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)是對(duì)現(xiàn)實(shí)世界中的數(shù)量關(guān)系、空間形式等進(jìn)行抽象、概括和推理的結(jié)果。從最初認(rèn)識(shí)數(shù)字到理解簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)運(yùn)算，再到掌握更復(fù)雜的數(shù)學(xué)概念和方法，是逐步建構(gòu)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)性思維的過(guò)程。從思維建構(gòu)的過(guò)程來(lái)看，數(shù)學(xué)的認(rèn)知活動(dòng)主要包括矛盾產(chǎn)生、對(duì)象分析和驗(yàn)證歸納三個(gè)基本節(jié)點(diǎn)。教學(xué)中應(yīng)以激活認(rèn)知需求為起點(diǎn)，促使學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知?jiǎng)訖C(jī)；以同類、遞進(jìn)或逆向的素材比較分析為支點(diǎn)，強(qiáng)化學(xué)生的直觀感知；以驗(yàn)證歸納為落點(diǎn)，構(gòu)建數(shù)學(xué)認(rèn)知與學(xué)習(xí)路徑。1.以“如何引起發(fā)現(xiàn)”為起點(diǎn)，在問(wèn)題激發(fā)中催生認(rèn)知?jiǎng)訖C(jī)數(shù)學(xué)源于生活，來(lái)自生活實(shí)踐中解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)對(duì)規(guī)律和方法的需求。如何引導(dǎo)學(xué)生產(chǎn)生困惑、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題是建構(gòu)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)性思維的起點(diǎn)。因此，在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂中，教師應(yīng)當(dāng)從學(xué)生的認(rèn)知需求入手，構(gòu)建沖突，激活學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)，進(jìn)而尋求方法、總結(jié)規(guī)律。2.以“通過(guò)什么發(fā)現(xiàn)”為支點(diǎn)，在素材分析中提取關(guān)鍵要素2022版數(shù)學(xué)課標(biāo)提出用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，即在生活實(shí)際問(wèn)題的解決中形成辨析、選擇及構(gòu)思的主觀判斷力。教學(xué)中，教師提供有效的學(xué)習(xí)素材，讓學(xué)生研讀分析，實(shí)現(xiàn)從直覺感知到理性分析的轉(zhuǎn)化。教師需要梳理學(xué)習(xí)對(duì)象，合理設(shè)計(jì)研究素材的模型，建構(gòu)直覺感知和理性分析的重要橋梁，幫助學(xué)生將抽象的知識(shí)具體化、形象化，從而更好地提取出學(xué)習(xí)內(nèi)容的關(guān)鍵要素。3.以“怎樣驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)”為落點(diǎn)，在操作檢驗(yàn)中完善學(xué)習(xí)策略學(xué)生產(chǎn)生問(wèn)題并進(jìn)行理性分析之后，教師要在感知和分析的基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行驗(yàn)證和總結(jié)，如在新舊知識(shí)的對(duì)比中激活認(rèn)知、在實(shí)踐檢驗(yàn)中產(chǎn)生經(jīng)驗(yàn)、在合作交流中研討方法等，靈活選擇假設(shè)、分類、類比等方式，進(jìn)行檢驗(yàn)、歸納、提取等活動(dòng)，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的深度發(fā)現(xiàn)。二、認(rèn)知結(jié)構(gòu)視域下數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)性思維的價(jià)值審視認(rèn)知結(jié)構(gòu)是指學(xué)習(xí)者在某一知識(shí)領(lǐng)域內(nèi)的全部觀念及其組織形式，反映學(xué)習(xí)者對(duì)該領(lǐng)域內(nèi)知識(shí)及知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)和邏輯結(jié)構(gòu)的理解和掌握程度。認(rèn)知結(jié)構(gòu)的發(fā)展與數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)性思維建構(gòu)有著密切關(guān)聯(lián)?。（一）認(rèn)知結(jié)構(gòu)為數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)性思維建構(gòu)?提供基本框架?在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，認(rèn)知結(jié)構(gòu)包含了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念、定理、公式等知識(shí)的理解和認(rèn)識(shí)方式，以及如何運(yùn)用這些知識(shí)解決問(wèn)題等思維模式。小學(xué)是數(shù)學(xué)認(rèn)知發(fā)展從具體運(yùn)算向形式運(yùn)算過(guò)渡的階段，教學(xué)方法的選擇直接影響學(xué)生的學(xué)習(xí)方式與認(rèn)知發(fā)展，因而，教師需要強(qiáng)化知識(shí)間的聯(lián)系，優(yōu)化知識(shí)呈現(xiàn)的方式，從而引導(dǎo)學(xué)生形成數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)性思維。?首先，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)之旅往往始于問(wèn)題的提出?，在情境中形成認(rèn)知沖突是起點(diǎn)。從認(rèn)知結(jié)構(gòu)的角度來(lái)看，認(rèn)知沖突是指?jìng)€(gè)體在遇到與原有知識(shí)體系不一致的新信息時(shí)，產(chǎn)生困惑與矛盾，原有認(rèn)知平衡被打破，激發(fā)了學(xué)習(xí)的動(dòng)力。這是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)性思維產(chǎn)生的重要基礎(chǔ)。其次，學(xué)習(xí)中，學(xué)生需要分析和處理學(xué)習(xí)素材，提取關(guān)鍵要素，產(chǎn)生認(rèn)知的遷移，以生成對(duì)概念或規(guī)律的初步感知。最后，驗(yàn)證歸納是對(duì)數(shù)學(xué)探究發(fā)現(xiàn)的初步感知、猜想進(jìn)行校驗(yàn)的過(guò)程，同時(shí)也是對(duì)認(rèn)知過(guò)程進(jìn)行復(fù)盤的行為。（二）數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)性思維促進(jìn)認(rèn)知關(guān)鍵能力的形成與發(fā)展認(rèn)知結(jié)構(gòu)視域下，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)發(fā)現(xiàn)活動(dòng)對(duì)思維提升有著多維度、深層次的積極影響。一是能發(fā)展思維的抽象能力，建構(gòu)的學(xué)習(xí)活動(dòng)要能激發(fā)學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生在問(wèn)題發(fā)現(xiàn)中抽象概括提取的能力；二是能發(fā)展思維的邏輯能力，學(xué)生在學(xué)習(xí)探究的過(guò)程中形成分析、解析的能力，能夠解析學(xué)習(xí)素材的關(guān)鍵特征與內(nèi)在聯(lián)系；三是能發(fā)展思維的批判特征，學(xué)生在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的過(guò)程中以嚴(yán)謹(jǐn)?shù)尿?yàn)證操作提取、提煉規(guī)律，從而形成客觀認(rèn)知和數(shù)學(xué)表達(dá)的能力。數(shù)學(xué)眼光是有序生成的，并非生來(lái)就具備的，其產(chǎn)生需要?dú)v經(jīng)經(jīng)驗(yàn)的積累、素材的累加和內(nèi)在規(guī)律的總結(jié)[4]。要在認(rèn)知結(jié)構(gòu)中強(qiáng)化問(wèn)題意識(shí)，關(guān)鍵在于激發(fā)認(rèn)知沖突、引發(fā)疑問(wèn)猜想，幫助學(xué)生更好地認(rèn)識(shí)客觀世界，形成自主觀察事物的視角與能力。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程是發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、思考問(wèn)題進(jìn)而解決問(wèn)題的一系列過(guò)程，是個(gè)體思維體驗(yàn)、轉(zhuǎn)化的過(guò)程。細(xì)致觀察問(wèn)題中的現(xiàn)象，嘗試從多個(gè)角度和層面去審視和分析學(xué)習(xí)對(duì)象，并找出其中的規(guī)律，是提升解析能力的重要步驟，數(shù)學(xué)思維中邏輯推理、抽象能力均以充分的觀察與分析為基礎(chǔ)。課堂教學(xué)應(yīng)該更多地創(chuàng)設(shè)生活化的情境，提高學(xué)習(xí)活動(dòng)的實(shí)踐性、操作性[5]。教師引導(dǎo)學(xué)生在猜想中檢驗(yàn)、在分類中歸納、在類比中提取，構(gòu)建從認(rèn)知的發(fā)現(xiàn)到知識(shí)的歸納的具體路徑，從而構(gòu)建“問(wèn)題—探究—?dú)w納”的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)性思維。三、認(rèn)知結(jié)構(gòu)視域下培養(yǎng)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)性思維的教學(xué)路徑結(jié)構(gòu)化教學(xué)強(qiáng)調(diào)知識(shí)結(jié)構(gòu)與認(rèn)知結(jié)構(gòu)的融通。教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)充分解析數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在邏輯，以學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展結(jié)構(gòu)為考量，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，提供學(xué)習(xí)素材引發(fā)學(xué)生的假設(shè)與推理，學(xué)生最后經(jīng)由驗(yàn)證而產(chǎn)生數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)。這一過(guò)程可以梳理為構(gòu)建沖突、素材積累、操作驗(yàn)證三個(gè)主要環(huán)節(jié)。（一）構(gòu)建沖突：將問(wèn)題提出作為激活數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)性思維的起點(diǎn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的產(chǎn)生源自學(xué)生對(duì)知識(shí)的理性分析，而認(rèn)知沖突則是學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知需求的基本動(dòng)機(jī)[6]。在有效的問(wèn)題情境中，學(xué)生會(huì)質(zhì)疑自己原來(lái)的認(rèn)知，產(chǎn)生深入思考和探究的需求，從而主動(dòng)提出需要探究的新問(wèn)題，形成新的理性認(rèn)知。1.設(shè)計(jì)“沖突型”問(wèn)題設(shè)計(jì)“沖突型”問(wèn)題是指在學(xué)生已有知識(shí)建構(gòu)的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)合理情境，呈現(xiàn)現(xiàn)有知識(shí)點(diǎn)無(wú)法解決或者違背現(xiàn)有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的問(wèn)題類型，重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生產(chǎn)生“是什么”“為什么”的認(rèn)知沖突，進(jìn)而指導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系生活實(shí)際，嘗試解釋并解決相應(yīng)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，常見于概念知識(shí)類的教學(xué)活動(dòng)中。例如，在“負(fù)數(shù)的認(rèn)識(shí)”教學(xué)中，存在典型的認(rèn)知沖突，學(xué)生要在對(duì)自然數(shù)理解的基礎(chǔ)上，通過(guò)生活實(shí)際產(chǎn)生負(fù)數(shù)認(rèn)知的需求。常規(guī)教學(xué)一般通過(guò)引入“零下溫度”的概念，直接告知學(xué)生負(fù)數(shù)的存在，而不是引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)發(fā)現(xiàn)。教學(xué)中，教師可以同時(shí)呈現(xiàn)大量的實(shí)際情境，在“海拔”“溫度”“電梯樓層”等情境中設(shè)計(jì)問(wèn)題表達(dá)，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和分析生活中有比“0”更小的數(shù)，從而引發(fā)主動(dòng)認(rèn)知的需求。其主要特點(diǎn)是：以學(xué)生對(duì)自然數(shù)的理解和對(duì)比“0”更小的數(shù)的認(rèn)知沖突引發(fā)探索，代替“零下溫度”等內(nèi)容的直接告知。2.設(shè)計(jì)“陷阱式”問(wèn)題設(shè)計(jì)“陷阱式”問(wèn)題，主要指為學(xué)生設(shè)計(jì)的問(wèn)題在臨近知識(shí)區(qū)和新知識(shí)之間存在相近、相似之處，打破學(xué)生直線的思維遷移。相近的場(chǎng)景及問(wèn)題讓學(xué)生在思考中遭遇障礙及困惑，從而引導(dǎo)學(xué)生重新構(gòu)思問(wèn)題解決的路徑，實(shí)現(xiàn)知識(shí)能力在更高維度的應(yīng)用拓展，常見于規(guī)律探究類的教學(xué)活動(dòng)中。例如，在“認(rèn)識(shí)3的倍數(shù)”教學(xué)中，首先，教師讓學(xué)生嘗試用已經(jīng)學(xué)過(guò)的判斷2、5的倍數(shù)的方法來(lái)尋找3的倍數(shù)并驗(yàn)證，從而發(fā)現(xiàn)倍數(shù)判斷方法不一致，進(jìn)行方法的直接遷移是不行的。接著，教師引導(dǎo)學(xué)生使用10×10的方格表示1～100的數(shù)，對(duì)2、3、5的倍數(shù)涂色，完成規(guī)律探索。其主要特點(diǎn)是：通過(guò)“反向遷移”來(lái)促使學(xué)生另辟蹊徑，生成“不能只看個(gè)位”的認(rèn)知?jiǎng)訖C(jī)。3.設(shè)計(jì)“不合理”問(wèn)題“不合理”主要指教師指導(dǎo)學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，設(shè)計(jì)非常規(guī)性、非公平性的問(wèn)題情境，激發(fā)學(xué)生“公平性競(jìng)爭(zhēng)（游戲）”的意識(shí)，從而引發(fā)學(xué)生產(chǎn)生探究動(dòng)機(jī)，在教學(xué)問(wèn)題解決、數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)、綜合與實(shí)踐探索等內(nèi)容時(shí)適用。例如，在“認(rèn)識(shí)平均數(shù)”單元教學(xué)中，教師在教材提供的投籃比賽的素材基礎(chǔ)上，邀請(qǐng)學(xué)生當(dāng)“小裁判”，判定投籃命中率。學(xué)生很快發(fā)現(xiàn)，單人比賽只需要比較投中個(gè)數(shù)的多少即可，但是，在團(tuán)體比賽中每隊(duì)參賽人數(shù)不同的情況下，通過(guò)求和來(lái)比較存在“不合理”性，從而產(chǎn)生公平判斷的現(xiàn)實(shí)需求。其主要特點(diǎn)是：以游戲或活動(dòng)的公平性、合理性為切入點(diǎn)，自然激發(fā)學(xué)生對(duì)平均數(shù)的需求，以數(shù)學(xué)的美學(xué)本質(zhì)喚醒學(xué)生的理性思考。（二）素材累積：將觀察分析作為形成數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)性思維的節(jié)點(diǎn)數(shù)學(xué)思維是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)產(chǎn)生的經(jīng)驗(yàn)的累積，而經(jīng)驗(yàn)的累積依賴于豐富素材的感知與積累。為此，教師需要為學(xué)生創(chuàng)設(shè)豐富的感知活動(dòng)，學(xué)生通過(guò)充分的體驗(yàn)和多層的思考，形成并提升主動(dòng)發(fā)現(xiàn)的意識(shí)和能力。1.提供“同類型”素材提供同類型的素材，“觸類旁通、舉一反三”，讓學(xué)生積累感知、比較與加工的經(jīng)驗(yàn)，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中形成發(fā)現(xiàn)的最基本方式。在分析、比較、概括等學(xué)習(xí)活動(dòng)中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)關(guān)聯(lián)共通，提取數(shù)學(xué)概念與規(guī)律。例如，在“乘法的交換律和結(jié)合律”教學(xué)中，教材在加法交換律和結(jié)合律的基礎(chǔ)上進(jìn)行延伸，知識(shí)結(jié)構(gòu)相同，學(xué)習(xí)過(guò)程可以自然遷移累積。在學(xué)習(xí)了加法交換律和結(jié)合律之后，教師可以讓學(xué)生在與加法完全相同的框架下，自行舉例對(duì)比，并以“小老師”的視角，自己出題，形成同框架知識(shí)的積累。其主要特點(diǎn)是：在教學(xué)框架完全相同或近乎相同的知識(shí)時(shí)，將多項(xiàng)素材進(jìn)行對(duì)比，放手讓學(xué)生比較、分析和驗(yàn)證。2.提供“遞進(jìn)式”素材“從淺入深、由易到難”，遞進(jìn)式的素材積累注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)性，在處理難度較深或關(guān)聯(lián)較多的知識(shí)類型時(shí)，采取層層相扣的遞進(jìn)式感知方式。在教學(xué)中，教師可以梳理本課知識(shí)點(diǎn)相關(guān)的“前知”，進(jìn)行有效的鋪墊和滲透，促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知自然遷移。例如，在“異分母分?jǐn)?shù)加減法”一課中，教師關(guān)聯(lián)“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”“分?jǐn)?shù)的通分”和“異分母分?jǐn)?shù)加減法”的知識(shí)點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生探究算理。學(xué)生通過(guò)“圖示表征”的方式，具象地表達(dá)通分的過(guò)程，從1/3和1/4圖示的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步表征1/3和1/4相加的過(guò)程，形成對(duì)3個(gè)不同層次的知識(shí)點(diǎn)的“一圖”表示。其主要特點(diǎn)是：通過(guò)數(shù)形結(jié)合的圖示表征，學(xué)生線性地呈現(xiàn)關(guān)聯(lián)遞進(jìn)的知識(shí)鏈，由淺入深地提取關(guān)鍵要素。3.提供“逆向式”素材“更換角度、逆向思考”的基礎(chǔ)是數(shù)學(xué)知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)性。在教學(xué)方式上采取逆向推理的形式，如“逆運(yùn)算”“倒推法”的教學(xué)，是在學(xué)生正向思考難度過(guò)大或過(guò)于復(fù)雜的情況下，轉(zhuǎn)換思路從后往前看，引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)換思維進(jìn)行思考的一種教學(xué)方式。例如，在“解稍復(fù)雜的方程”教學(xué)中，通過(guò)“逆運(yùn)算”轉(zhuǎn)換的方法，來(lái)解決未知數(shù)在“減數(shù)”或“除數(shù)”位上的方程。未知數(shù)在“減數(shù)”或“除數(shù)”位上的方程，一直是解方程中錯(cuò)誤率最高的部分。教師由“5-3=2”可以看成“3+2=5”，引導(dǎo)學(xué)生思考“5-（）=2”的逆運(yùn)算是什么，從而形成問(wèn)題轉(zhuǎn)化的視角。其主要特點(diǎn)是：通過(guò)“逆運(yùn)算”轉(zhuǎn)換的方法，學(xué)生反向思考，化繁為簡(jiǎn)，從而發(fā)現(xiàn)共通之處。（三）操作驗(yàn)證：將策略應(yīng)用作為構(gòu)建數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)性思維的落點(diǎn)小學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)偏向于具象認(rèn)知，驗(yàn)證推理及分類歸納等方法是小學(xué)生認(rèn)知發(fā)現(xiàn)的主要路徑。因此，教師要構(gòu)建運(yùn)用演繹、歸納、類比等不同思維的教學(xué)模型，讓學(xué)生從知識(shí)的感知過(guò)渡到知識(shí)的歸納，從而形成完整的發(fā)現(xiàn)過(guò)程。1.進(jìn)行“猜想—檢驗(yàn)”經(jīng)歷由引發(fā)猜想到嘗試驗(yàn)證的數(shù)學(xué)探究過(guò)程是驗(yàn)證數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)發(fā)現(xiàn)最為基本的方式。學(xué)生根據(jù)已知的一般規(guī)律或者明確的某一同類概念，對(duì)所學(xué)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行猜想，通過(guò)正向舉例驗(yàn)證或反向舉例排除的方式進(jìn)行驗(yàn)證。例如，“三角形的內(nèi)角和”具備典型的“猜想－檢驗(yàn)”結(jié)構(gòu)，3個(gè)角度數(shù)的和是180度是容易觀察的結(jié)果，但為什么等于180度卻不易感知。教師可以設(shè)計(jì)先“舉例驗(yàn)證”再“推理驗(yàn)證”的步驟，從常用的2個(gè)三角尺來(lái)引出三角形的內(nèi)角和為180度，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生提出“是否所有三角形的內(nèi)角和都是180度”的猜想并設(shè)計(jì)驗(yàn)證。其主要特點(diǎn)是：由簡(jiǎn)單可得，到提出猜想、檢驗(yàn)、再猜想、再檢驗(yàn)，經(jīng)過(guò)兩個(gè)層次的驗(yàn)證，形成完整的思維過(guò)程。2.進(jìn)行“分類—?dú)w納”分類是人類的一種基本能力，由分類到歸