試題試題2024北京北師大實驗中學(xué)高三（下）開學(xué)考數(shù)學(xué)一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分）1.已知集合，，則（）A. B.C. D.2.在的展開式中，的系數(shù)為（）A.10 B. C.20 D.3.已知，，，則（）A. B.C. D.4.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)滿足方程，則所對應(yīng)的向量的坐標為（）A. B.C. D.5.平面向量與的夾角是，且，，如果，，點是線段的中點，那么（）A. B. C.3 D.66.在某次數(shù)學(xué)探究活動中，小明先將一副三角板按照圖1的方式進行拼接，然后他又將三角板折起，使得二面角為直二面角，得圖2所示四面體.小明對四面體中的直線、平面的位置關(guān)系作出了如下的判斷，其中不正確的是（）A.平面 B.平面C.平面平面 D.平面平面7.已知圓經(jīng)過點，且點到點的距離為3，則（）A. B. C. D.8.已知函數(shù)，則“”是“為奇函數(shù)”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件9.等差數(shù)列的前項和為.已知，.記（），則數(shù)列的（）A.最小項為 B.最大項為C.最小項為 D.最大項為10.函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的定義域均為，記，若和都是偶函數(shù)，則（）A.是奇函數(shù) B.是偶函數(shù)C.是奇函數(shù) D.是偶函數(shù)二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分）11.已知雙曲線的離心率為2，則該雙曲線的漸近線方程為_______.12.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為_________.13.已知函數(shù)，其中常數(shù)，若與所對應(yīng)的角的終邊關(guān)于軸對稱，則的最小值為________.14.設(shè)定義在函數(shù)當時，的值域為_______；若的最大值為1，則實數(shù)的所有取值組成的集合為______.15.已知曲線：，：，中.①當時，曲線與有個公共點；②當時，第一象限內(nèi)，曲線位于曲線的下方；③存在實數(shù)，使得曲線圍成的區(qū)域面積恰等于圍成的區(qū)域面積；④曲線圍成的區(qū)域內(nèi)（不含邊界）的整點（即橫、縱坐標均為整數(shù)的點）的個數(shù)不多于曲線圍成的區(qū)域內(nèi)（不含邊界）的整點的個數(shù).其中，所有正確結(jié)論的序號是________.三、解答題（本大題共6小題，共85分，解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程）16.在中，，再從條件①、條件②、條件③中選擇一個作為已知，使三角形唯一確定，求：（1）的值；（2）的面積.條件①：，；條件②：，；條件③：，為等腰三角形.注：如果選擇多個條件解答或選擇不符合要求的條件解答，本題得0分.17.如圖，長方體中，，點為的中點，平面.（1）求證：平面；（2）求的長，及二面角的余弦值；（3）求點到平面的距離.18.上學(xué)期間，甲每天7:30之前到校的概率為，乙每天7:30之前到校的概率為.假定甲、乙兩位同學(xué)到校情況互不影響，且任一同學(xué)每天到校情況相互獨立.（1）設(shè)為事件“在上學(xué)期間隨機選擇三天，甲在7:30之前到校的天數(shù)恰為2天”，求事件發(fā)生的概率；（2）在上學(xué)期間隨機選擇兩天，記為甲7:30之前到校的天數(shù)，記為乙7:30之前到校的天數(shù)，，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）在上學(xué)期間隨機選擇天，若在這天中，甲7:30之前到校的天數(shù)多于乙，則記，否則記，分別比較，的大小和，的大小，直接寫出結(jié)論.19.已知橢圓（）過點，且離心率為.（1）求橢圓的標準方程；（2）設(shè)為橢圓的右頂點，直線與橢圓交于，兩點（在第三象限），是橢圓上的動點，直線，分別交直線于點，，記，，求的值.20.已知函數(shù)，.（1）若曲線在點處的切線與軸平行，求的值；（2）若恒成立，求的取值范圍；（3）若實數(shù)，，分別滿足且，且，且，比較，，的大小.21.若數(shù)列滿足：存在和，使得對任意和，都有，則稱數(shù)列為“數(shù)列”；如果數(shù)列滿足：存在，使得對任意，都有，則稱數(shù)列為“數(shù)列”；（1）在下列情況下，分別判斷是否“數(shù)列”，是否“數(shù)列”？①，，；②，；（2）若數(shù)列，是“數(shù)列”，其中且，求的所有可能值；（3）設(shè)“數(shù)列”和“數(shù)列”的各項均為正數(shù)，定義分段函數(shù)，如下：記為“不超過的最大正整數(shù)”，證明：若是周期函數(shù)，則是“數(shù)列”.

參考答案一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分）1.【答案】D【分析】解不等式得到集合B，由補集和并集的定義求.【詳解】不等式，解得，則，所以.故選：D2.【答案】D【分析】求出展開式的通項，再令的指數(shù)等于即可得解.【詳解】展開式的通項為，令，則的系數(shù)為.故選：D.3.【答案】C【分析】利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷三數(shù)的大小關(guān)系.【詳解】，，，故，故選：C.4.【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運算化簡復(fù)數(shù)，從而得到所對應(yīng)的向量的坐標.【詳解】因為，所以，則，所以復(fù)數(shù)所對應(yīng)的向量的坐標為.故選：B5.【答案】A【分析】利用向量模的計算公式可求.【詳解】因為是線段的中點，故，故，故選：A.6.【答案】D【分析】根據(jù)題意，結(jié)合線面位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理，逐項判定，即可求解.【詳解】對于A，因為二面角為直二面角，可得平面平面，又因為平面平面，，且平面，所以平面，所以A正確；對于B，由平面，平面，可得，又因為，且，平面，所以平面，故B正確；對于C，由平面，且平面，所以平面平面，故C正確；對于D，因為平面，平面，所以平面平面，若平面平面，且平面平面，可得平面，又平面，可得，因為與不垂直，矛盾，所以平面與平面不垂直，故D錯誤.故選：D.7.【答案】B【分析】利用已知圓經(jīng)過點和兩點間的距離公式得到兩個方程，聯(lián)立求解即得.【詳解】由題意知：，整理得：①又由點到點的距離為3可得：②聯(lián)立①②，解得：或.故.故選：B.8.【答案】C【分析】結(jié)合函數(shù)的奇偶性，判斷“”和“為奇函數(shù)”之間的邏輯推理關(guān)系，即可得答案.【詳解】當時，，其定義域為R，則，即為奇函數(shù)；若為奇函數(shù)，其定義域為R，則需滿足，即，故，即，因為，（，等號不能同時取到），故，故“”是“為奇函數(shù)”的充分必要條件，故選：C9.【答案】C【分析】先由基本量法求出，再由導(dǎo)數(shù)確定的單調(diào)性，最后求出結(jié)果即可.【詳解】設(shè)公差為d，則，，則，，所以，設(shè)，則，，所以在為遞增函數(shù)，所以，所以最小項為.故選：C.10.【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性可知函數(shù)、的圖象分別關(guān)于直線、對稱，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知函數(shù)圖象關(guān)于與對稱，且的圖象關(guān)于點對稱，進而證得函數(shù)的周期為4，則，即可求解.【詳解】由是偶函數(shù)，得，所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱；由是偶函數(shù)，得，所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，又，則關(guān)于對稱，所以是函數(shù)圖象的對稱中心，由于不確定的值，所以無法判斷函數(shù)的奇偶性，故排除選項A、B；又，由，得，即，得，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱；由，得，即，所以，即，所以函數(shù)的周期為4，所以，所以函數(shù)為偶函數(shù)，故排除C，選擇D.故選：D【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題通過函數(shù)的奇偶性、對稱性和周期性，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義、運算和合理賦值，尋找函數(shù)圖象的對稱性是解題的關(guān)鍵，原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖象的關(guān)系、奇偶性的聯(lián)系都是解題的思路.二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分）11.【答案】【分析】由離心率可得，的關(guān)系，根據(jù)焦點在軸上的雙曲線的漸近線方程即可求解.【詳解】已知雙曲線的離心率為2，所以，所以，所以，即，因為雙曲線的焦點在軸上，所以漸近線方程為，所以該雙曲線的漸近線方程為.故答案為：.12.【答案】，【分析】利用三角變換公式可得，利用整體法可求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【詳解】，令，，故，故的單調(diào)增區(qū)間為，，故答案為：，.13.【答案】【分析】由題意，根據(jù)所對應(yīng)的角的終邊關(guān)于x軸對稱可得解之即可求解.【詳解】由題意知，，因為所對應(yīng)的角的終邊關(guān)于x軸對稱，所以，解得，，又，所以的最小值為.故答案為：14.【答案】①.②.【分析】當時，分別求出各段上函數(shù)值的范圍后可得函數(shù)的值域，若的最大值為1，則可就、分類討論后可得實數(shù)的所有取值組成的集合.【詳解】因為，故，故.當時，，當時，，，當時，，故當時，的值域為.若的最大值為1，則，又，故或.若，當時，，當時，，因為，故，此時無最大值，舍.若，當時，，當時，，因為的最大值為1，故，即，即，綜上，故答案為：；.15.【答案】①③④【分析】當時，由可解得交點坐標，即可判斷①；令可得在第一象限內(nèi)，，即可判斷②；當時，可知，，取同一個值時，當滿足，有，即可判斷③；分別討論當和時的整數(shù)點比較可判斷④，進而可得正確答案.【詳解】對于①：當時，曲線：，：，令可得，當時，，當時，，所以與有個公共點分別為，，，，共個，故①正確；對于②：當時，曲線，，當時，：，：，所以，在第一象限內(nèi)，，所以曲線位于曲線的下方不正確，故②錯誤；對于③：當時，由曲線和的方程可知，，當取同一個值時，：，：，當時，曲線圍成的區(qū)域面積恰等于圍成的區(qū)域面積，故③正確；對于④：當時，曲線圍成的區(qū)域內(nèi)整點個數(shù)等于曲線圍成的區(qū)域內(nèi)整點個數(shù)，當時，取同一個大于的數(shù)，可得，此時曲線圍成的區(qū)域內(nèi)整點個數(shù)較多，所以曲線圍成的區(qū)域內(nèi)整點個數(shù)不多于曲線圍成的區(qū)域內(nèi)整點個數(shù)，故④正確.故答案為：①③④.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解題的關(guān)鍵點是分情況討論和時，當取同一個值時，兩個曲線方程中的大小的比較，此類多采用數(shù)形結(jié)合的思想.三、解答題（本大題共6小題，共85分，解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程）16.【答案】（1）①不能選，若選擇②，答案為，若選擇③，答案為；（2）①不能選，若選擇②，答案為，若選擇③，答案為【分析】（1）選擇①，得到，為鈍角，則也為鈍角，這樣的三角形不存在；選擇②，由余弦定理得到，結(jié)合正弦定理得到；選擇③，為頂角，所以，由余弦定理得到，由正弦定理得到；（2）選擇②或③，由三角形面積公式求出答案.【小問1詳解】選擇①：，，顯然，因為大邊對大角，故，因為，故為鈍角，則A也為鈍角，顯然這樣的三角形不存在，①舍去；選擇②：，，，由余弦定理得，即，故，解得，（舍），此時三角形唯一確定，因為，，所以，由正弦定理得，所以；選擇③：，為等腰三角形，在中，因為，所以為鈍角.所以為頂角，所以.因為，，故，即，所以.因為，，所以，由正弦定理得，所以.【小問2詳解】不能選擇①，選擇②：因為.選擇③：因為.17.【答案】（1）證明見解析（2）2；（3）【分析】（1）連接交于F，連接，證明，根據(jù)線面平行的判定定理，即可證明結(jié)論；（2）建立空間直角坐標系，設(shè)，求得相關(guān)點的坐標，根據(jù)空角位置關(guān)系的向量證明方法，可求得a的值，根據(jù)空間角的向量求法，即可求得二面角的余弦值；（3）根據(jù)空間距離的向量求法，即可求得點到平面的距離.【小問1詳解】連接交于F，連接，由于四邊形為正方形，故O為的中點，而點為的中點，故,又平面，平面，故平面；【小問2詳解】以D為坐標原點，以所在直線為軸，建立空間直角坐標系，設(shè)，則，則,由于平面，故，即，則，（負值舍），故；平面的法向量可取為，平面的法向量可取為，則，由原圖可知二面角為鈍角，故其余弦值為；【小問3詳解】由題意知，平面的法向量為，故點到平面的距離為.18.【答案】（1）（2）分布列見解析，（3）；【分析】（1）先判斷在上學(xué)期間隨機選擇三天，甲在7:30之前到校的天數(shù)符合二項分布，利用二項分布概率公式計算即得；（2）根據(jù)隨機變量的可能值，利用獨立事件的概率公式分別計算其概率，得到的分布列，即可得到數(shù)學(xué)期望；（3）依題意，隨機變量服從兩點分布，根據(jù)兩點分布的方差公式計算比較即得.【小問1詳解】依題意知在上學(xué)期間隨機選擇三天，甲在7:30之前到校的天數(shù)符合二項分布,即，故；【小問2詳解】，，則的可能值有.,,,,.故的分布列為：012；【小問3詳解】由題，隨機變量服從兩點分布，不妨設(shè)，則.故當時，，于是；故當時，，于是，故同理可得：.即：；.19.【答案】（1）（2）0【分析】（1）由已知條件列方程組，求出，可得橢圓標準方程；（2）通過聯(lián)立方程組，求出，兩點坐標，設(shè)，表示出點，的坐標，解出，通過化簡得的值.【小問1詳解】依題意有，解得，所以橢圓的標準方程為.【小問2詳解】由，解得或，不妨令，，設(shè)，其中，，，則，與聯(lián)立，解得，，與聯(lián)立，解得，由得，同理，所以.，所以.20.【答案】（1）（2）（3）【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，解出a即可；（2）易知符合題意，不符合題意；當，利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值，建立不等式，解之即可求解；（3）構(gòu)造函數(shù)（），利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，即可證明.【小問1詳解】，，經(jīng)檢驗，符合題意，故；【小問2詳解】①若，，符合題意.②若，，不符合題意.③若，，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，解得，綜上，.【小問3詳解】設(shè)函數(shù)（），，令，令，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，由，得，又，所以，同理可得，，又，所以，因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即，又函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，故，即.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)求解恒成立問題和利用函數(shù)的單調(diào)性比大小問題.本題解決恒成立問題的關(guān)鍵是建立不等式，解決比大小問題的關(guān)鍵是構(gòu)造新函數(shù)（）.21.【答案】（1）①是“數(shù)列”，不是“數(shù)列”；②是“數(shù)列”也是“數(shù)列”（2）（3）證明見解析【分析】（1）列舉出①②中兩個數(shù)列，結(jié)合“數(shù)列”、“數(shù)列”的定義判斷可得出結(jié)論；（2）分、、三種情況討論，在第一種情況下，利用不等式的基本性質(zhì)結(jié)合“數(shù)列”的定義驗證即可，在第二種情況下，推導(dǎo)出的符號交替變化可得出結(jié)論，在第三種情況下，利用反證法推出矛盾，綜合可得結(jié)果；（3）設(shè)的周期為