甘肅省一診考試數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.若函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4$，則$f'(1)$的值為：

A.0

B.1

C.2

D.3

2.在三角形ABC中，已知$\angleA=60^\circ$，$AB=5$，$AC=6$，則$BC$的長度為：

A.$\sqrt{37}$

B.$\sqrt{41}$

C.$\sqrt{13}$

D.$\sqrt{21}$

3.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項(xiàng)和為$S_n=2n^2+n$，則$a_1$的值為：

A.3

B.4

C.5

D.6

4.已知函數(shù)$f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$，則$f'(x)$的值為：

A.2

B.1

C.0

D.不存在

5.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P的坐標(biāo)為$(2,3)$，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為$(4,6)$，則線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為：

A.$(3,4)$

B.$(4,5)$

C.$(5,6)$

D.$(6,7)$

6.已知等比數(shù)列$\{a_n\}$的公比為$q$，若$a_1=2$，$a_4=16$，則$q$的值為：

A.2

B.4

C.8

D.16

7.在三角形ABC中，已知$\angleA=45^\circ$，$\angleB=90^\circ$，$AB=3$，則$AC$的長度為：

A.$\sqrt{6}$

B.$\sqrt{12}$

C.$\sqrt{18}$

D.$\sqrt{24}$

8.已知函數(shù)$f(x)=\ln(x)$，則$f'(x)$的值為：

A.$\frac{1}{x}$

B.$\frac{1}{x^2}$

C.$\frac{1}{x^3}$

D.$\frac{1}{x^4}$

9.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P的坐標(biāo)為$(1,2)$，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為$(3,4)$，則線段PQ的長度為：

A.$\sqrt{5}$

B.$\sqrt{10}$

C.$\sqrt{15}$

D.$\sqrt{20}$

10.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項(xiàng)和為$S_n=3n^2-n$，則$a_5$的值為：

A.16

B.18

C.20

D.22

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.下列關(guān)于函數(shù)$f(x)=x^3-6x^2+9x-1$的描述正確的是：

A.函數(shù)在$x=1$處有極值

B.函數(shù)在$x=2$處有拐點(diǎn)

C.函數(shù)在$x=3$處有極小值

D.函數(shù)在$x=4$處有極大值

2.已知三角形ABC的邊長分別為$AB=3$，$BC=4$，$AC=5$，則以下結(jié)論正確的是：

A.三角形ABC是直角三角形

B.三角形ABC是等腰三角形

C.三角形ABC是等邊三角形

D.三角形ABC是鈍角三角形

3.下列數(shù)列中，哪些是等差數(shù)列：

A.$1,4,7,10,\ldots$

B.$2,6,12,18,\ldots$

C.$3,7,11,15,\ldots$

D.$5,10,20,40,\ldots$

4.下列關(guān)于函數(shù)$f(x)=e^x$的描述正確的是：

A.函數(shù)在$x=0$處有極小值

B.函數(shù)在$x=1$處有極值

C.函數(shù)在$x=2$處有拐點(diǎn)

D.函數(shù)在$x=-1$處有極小值

5.在平面直角坐標(biāo)系中，下列關(guān)于直線$y=2x+1$的描述正確的是：

A.直線的斜率為2

B.直線的截距為1

C.直線過點(diǎn)$(1,3)$

D.直線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為$(-\frac{1}{2},0)$

三、填空題（每題4分，共20分）

1.若函數(shù)$f(x)=x^3-9x+5$，則$f'(x)$的表達(dá)式為______。

2.在三角形ABC中，若$\angleA=30^\circ$，$AB=10$，$AC=20$，則$BC$的長度為______。

3.等差數(shù)列$\{a_n\}$的前5項(xiàng)和為$S_5=50$，公差為$d$，則第3項(xiàng)$a_3$的值為______。

4.函數(shù)$f(x)=\ln(x^2+1)$的導(dǎo)數(shù)$f'(x)$為______。

5.直線$3x-4y+12=0$與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為______。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.計(jì)算函數(shù)$f(x)=x^4-8x^3+18x^2-16x+4$在$x=2$處的導(dǎo)數(shù)值。

2.已知三角形ABC中，$\angleA=45^\circ$，$\angleB=135^\circ$，$AB=8$，求三角形ABC的周長。

3.設(shè)等比數(shù)列$\{a_n\}$的首項(xiàng)$a_1=3$，公比$q=\frac{1}{2}$，求該數(shù)列的前10項(xiàng)和$S_{10}$。

4.解下列不等式組：

\[

\begin{cases}

2x-3y>6\\

x+4y\leq8

\end{cases}

\]

5.已知函數(shù)$f(x)=\sqrt{x^2+4}$，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)$f'(x)$，并計(jì)算$f'(1)$的值。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下：

一、選擇題（每題1分，共10分）

1.A.0

解題過程：$f'(x)=3x^2-6x+9$，代入$x=1$得$f'(1)=3(1)^2-6(1)+9=0$。

2.A.$\sqrt{37}$

解題過程：由余弦定理$BC^2=AB^2+AC^2-2AB\cdotAC\cdot\cosA$，代入$AB=5$，$AC=6$，$\cosA=\frac{1}{2}$，得$BC^2=25+36-2\cdot5\cdot6\cdot\frac{1}{2}=37$，所以$BC=\sqrt{37}$。

3.A.3

解題過程：$S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)$，由$S_n=2n^2+n$，得$a_1+a_n=4n+1$，代入$n=1$得$a_1=3$。

4.B.1

解題過程：$f'(x)=\frac0666ymk{dx}(x^2-1)\cdot\frac{1}{x-1}-\fracwawa66m{dx}(x-1)\cdot\frac{x^2-1}{(x-1)^2}=\frac{2x}{x-1}-\frac{x^2-1}{(x-1)^2}=\frac{2x(x-1)-(x^2-1)}{(x-1)^2}=\frac{x^2-2x+1}{(x-1)^2}=\frac{(x-1)^2}{(x-1)^2}=1$。

5.A.$(3,4)$

解題過程：中點(diǎn)坐標(biāo)公式為$\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)$，代入得中點(diǎn)坐標(biāo)為$(\frac{2+4}{2},\frac{3+6}{2})=(3,4)$。

6.B.4

解題過程：$a_4=a_1\cdotq^3$，代入$a_1=2$，$a_4=16$，得$q^3=8$，所以$q=2$。

7.A.$\sqrt{6}$

解題過程：由勾股定理$AC^2=AB^2+BC^2$，代入$AB=3$，$BC=4$，得$AC^2=9+16=25$，所以$AC=\sqrt{25}=5$。

8.A.$\frac{1}{x}$

解題過程：$f'(x)=\frac6w0ouyg{dx}(\ln(x))=\frac{1}{x}$。

9.B.$\sqrt{10}$

解題過程：由距離公式$PQ=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$，代入得$PQ=\sqrt{(3-1)^2+(4-2)^2}=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}=\sqrt{10}$。

10.A.16

解題過程：$S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)$，由$S_n=3n^2-n$，得$a_1+a_n=6n-1$，代入$n=5$得$a_5=6\cdot5-1=29$。

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.A,B,D

解題過程：由導(dǎo)數(shù)的定義和二階導(dǎo)數(shù)的判斷，$f'(x)=3x^2-18x+27$，$f''(x)=6x-18$，$f'(1)=0$，$f''(2)=0$，$f'(3)=0$，$f''(4)=6$，$f'(4)=0$。

2.A,B

解題過程：由勾股定理和三角形的性質(zhì)，$AB^2+AC^2=BC^2$，所以三角形ABC是直角三角形。

3.A,B,C

解題過程：等差數(shù)列的定義是相鄰兩項(xiàng)之差為常數(shù)，所以$1,4,7,10,\ldots$，$2,6,12,18,\ldots$，$3,7,11,15,\ldots$都是等差數(shù)列。

4.A,B,D

解題過程：由導(dǎo)數(shù)的定義和函數(shù)的性質(zhì)，$f'(x)=e^x$，$f'(0)=1$，$f'(1)=e$，$f''(x)=e^x$，$f''(2)=e^2$。

5.A,B,C

解題過程：由直線的斜率和截距的定義，斜率為2，截距為1，代入點(diǎn)$(1,3)$得$3=2\cdot1+1$，所以直線過點(diǎn)$(1,3)$。

三、填空題（每題4分，共20分）

1.$f'(x)=3x^2-18x+27$

2.$BC=\sqrt{37}$

3.$a_3=3$

4.$f'(x)=\frac{2x}{x^2+1}$

5.$(-4,0)$

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.$f'(2)=8-16+18-16+4=4$

2.周長$P=AB+BC+AC=8+4\sqrt{6}+5=13+4\sqrt{6}$

3.$S_{10}=\frac{3(1-\frac{1}{2^{10}})}{1-\frac{1}{2}}=3\cdot2(1-\frac{1}{1024})=6-\frac{3}{512}$

4.解不等式組得解集為$